向量应用三角形的高线问题（精练）——2025-2026学年高中数学高一下学期人教A版必修二期末复习

向量应用三角形的高线问题（精练） 【思维导图】 面积等量替换思路 直角三角形边角对应关系 四大解题工具O 三边勾股等量关系 高线垂直对应的向量特性 基础计算：求解高线长度 证明类：推导角、边角等量关系 四类高频考法○ 最值类：三角形面积最小值、高线最大值 综合压轴：高线结合平面向量运算 利用内角和化简条件，算出内角 正、余弦定理完成边角互化 通用解题步骤○ 借助高线垂直建立等量关系式 计算高线、边长或求解最值 【核心总结】 1、题型本质 以三角形高线为载体，结合等面积、正余弦定理、三角变换、向量垂直关系综合求解边 长、角度、高线及最值问题。 2、通用公式 在△ABC中，AD是底边BC的高线，D为垂足.遇到高线问题，常见的处理方法有： S.=d 2absinC= -2acsin B=-besin A= -BC·AD (1)等面积法： (2)三角函数在直角三角形中的定 1B tanB=4D 4B COsB=BD .sin B=AD BD.(也可利 用角C) (3)勾股定理 第1页共7页 3.解题步骤 (1)利用内角和A+B+C=π、三角恒等变换化简条件，求出三角形内角： (2)(2)正弦、余弦定理建立边角等式，求出边长关系或具体边长： (3)面积双表达式联立，解出高线h: (4)拓展题型：结合均值不等式求面积、高线最值：或向量分解、数量积运算。 4.高频考法 (1)基础解答题，给三角条件求角，再用等面积求高： (2)先利用余弦定理、正弦定理证明角度关系，再设高线分段求解边长： (3)已知高线定值，求三角形面积最小值：已知边长定值，求高线最大值（均值不等式结 合余弦定理)； (4)高线作为垂直条件，进行向量线性表示、模长运算，是难点综合考法。 【例1】(2023·新高考I卷高考真题第17题)已知在△ABC中， A+B=3C,2sinA-C=sin B. (1)求sinA: (2)设AB=5,求AB边上的高. 第2页共7页 【变式1-1】在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且 (sin B-sin C)=sin2A-sin BsinC (1)求角A: 10√7 (2)若b=5,BC边上的高为7，求边C. 【变式1-2】已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,2c-b=2 a cos B. (1)求角A: 3b sim Bc-cos B-7 b (2)若2 ,b-c=2,求BC边上的高 第3页共7页 【例2】在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知c2-a=bc。 (1)证明：2C=A+π； (2)若△ABC的面积为2+23，A=,求b。 6 【变式2-1】已知△ABC中，角A,B,C的对边分别是a,b,c,且 1-cos 2B sinC+cosC sin2B sin C-cos C (1)求A的大小： (2)设AD是BC边上的高，且AD=2,求△ABC面积的最小值. 第4页共7页 【变式2-2】已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,C,a=1, sinB+3bcos4=0 (1)求角A: (2)设AM是△ABC的高，求AM的最大值. 【例3】在4BC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,且2 =sinAtan 2 (1)求C; (2)若a=8,b=5,CH是边AB上的高，且C万=m+nCB,求n. 第5页共7页 【变式3-1】△BC中，4=， 3,且AB=3,AC=4: (1)若AP=AB+AC且AP⊥BC,求的值： (2)求sinA+sinB+V3sinC的值. 【巩固加练】 1.在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,C,且c=2b,a=2 ccosC (1)求万的值； 2若△1BC的面积为店， I5,求AB边上的高. 第6页共7页 2.在aMBC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,m=(sinB,sinC+cosC), 1 (cosC-sin C,cosB)m (1)求sin2A: (2)若a=3,BC边上的高线长V7-L,求sin Bsin C. 3在AABC中，角A:B:C的对边分别为。：b,c,若wB=,且ABC的面积为 52 21 (1)求ac的值； (2)若bsin C-2W2,求AC边上的高BD. 第7页共7页 向量应用三角形的高线问题（精练） 【思维导图】 【核心总结】 1、 题型本质 以三角形高线为载体，结合等面积、正余弦定理、三角变换、向量垂直关系综合求解边长、角度、高线及最值问题。 2、 通用公式 在中，是底边的高线，为垂足.遇到高线问题，常见的处理方法有： （1）等面积法：. （2）三角函数在直角三角形中的定义:，，.（也可利用角） （3）勾股定理. 3. 解题步骤 （1） 利用内角和、三角恒等变换化简条件，求出三角形内角； （2） （2）正弦 、余弦定理建立边角等式，求出边长关系或具体边长； （3）面积双表达式联立，解出高线h； （4）拓展题型：结合均值不等式求面积 、高线最值；或向量分解、数量积运算。 4.高频考法 （1）基础解答题，给三角条件求角，再用等面积求高； （2）先利用余弦定理、正弦定理证明角度关系，再设高线分段求解边长； （3）已知高线定值，求三角形面积最小值；已知边长定值，求高线最大值（均值不等式结合余弦定理）； （4）高线作为垂直条件，进行向量线性表示、模长运算，是难点综合考法。 【例1】（2023·新高考Ⅰ卷高考真题第17题）已知在中，． （1）求； （2）设，求边上的高． 【答案】（1） （2）6 【解析】（1）， ，即， 又， ， ， ， 即，所以， . （2）由（1）知，， 由， 由正弦定理，，可得， ， . 【变式1-1】在中，内角，，的对边分别为，，，且． (1)求角； (2)若，边上的高为，求边． 【答案】(1) (2) 【解析】（1）因为， 所以， 所以由正弦定理得， 所以由余弦定理得， 因为，所以. (2)由三角形面积公式得， ， 所以，即， 由余弦定理得， 将代入上式得， 解得或（舍），所以边. 【变式1-2】已知的内角，，的对边分别为，，，. (1)求角； (2)若，，求边上的高. 【答案】(1) (2) 【解析】(1)由正弦定理可得， 故即： ， 所以， 而为三角形内角，故，所以， 而为三角形内角，故. (2)因为，所以，而， 即，所以， 其中为三角形外接圆的半径. 所以即. 所以， 故，所以，其中为边上的高， 故. 【例2】在中，内角，，所对的边分别为，，，已知。 （1）证明：； （2）若的面积为，，求。 【答案】（1）证明见详解 (2)4 【解析】（1）由余弦定理得， 又，所以-2abcosC=bc，于是b-2acosC=c， 由正弦定理得， 再结合sinB=sin(A+C)=sinAcosC+sinCcosA， 可得sinC=sinCcosA-sinAcosC=sin(C-A)， 由A,C∈(0,π)，知C+C-A=π，即2C=A+π （2）当A=时，2C=，C=，B=π-A-C= 如图，不妨作，垂足为。 设，则，， 由2+23=12x(3x+x)，得x=2， 故b=+=2x=4 【变式2-1】已知中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且． (1)求A的大小； (2)设AD是BC边上的高，且，求面积的最小值． 【答案】(1) (2) 【解析】（1）在中，由及二倍角公式， 得，即， 整理得， 因此，即，而，所以． （2）由（1）及已知，得，即有， 由余弦定理得，即， 因此，即， 于是，当且仅当时取等号， 而， 所以面积的最小值为． 【变式2-2】已知的内角，，所对的边分别为，，，，． (1)求角； (2)设是的高，求的最大值． 【答案】(1) (2) 【解析】（1）由及，得， 又，，所以，得， 因为，所以． （2） 由余弦定理得，则， 得，当且仅当时取等号， 所以， 得，故的最大值为． 【例3】在中，角的对边分别为，且． (1)求； (2)若是边上的高，且，求． 【答案】(1) (2) 【解析】（1）中，，由正弦定理和同角三角函数的商数关系， 得，由倍角公式得． 又因为为的内角，所以． 所以，，则有，得． （2）中，由余弦定理得，所以． 又因为，所以． 所以，．所以． 由平面向量基本定理知，，   所以． 【变式3-1】中，，且． (1)若且，求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【解析】（1）因为，且已知，， 所以，代入向量表达式得， 所以， 又，，， 所以，解得． （2）由，得， 又， 故，所以， 得，， 所以 【巩固加练】 1．在中，内角的对边分别为，且，． (1)求的值； (2)若的面积为，求边上的高． 【答案】(1) (2) 【解析】（1），由余弦定理得，， 又因， 所以，化简得， 所以. （2）由（1）得，                           所以为锐角，则， 所以的面积， 所以， 设边上的高为， 则的面积， 所以，即边上的高为. 2．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，． (1)求； (2)若，边上的高线长，求． 【答案】(1) (2) 【解析】（1）由已知得 ； （2），， ，，，， ， ， ，又，， ，， ，. 3.在中，角，，的对边分别为，，，若，且的面积为. (1)求的值； (2)若，求边上的高. 【答案】（1） (2) 【解析】（1）因为，，所以， 又的面积，所以， 所以. （2）由正弦定理得，则，所以， 由余弦定理，，解得， 即，又的面积， 解得，即边上的高为. 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $