精品解析：河南平顶山市宝丰县2025-2026学年第二学期期末评估试卷八年级数学

2025—2026学年第二学期期末评估试卷 八年级数学 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列剪纸图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 若正多边形的一个外角等于，则这个正多边形的边数是（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 3. 要使分式有意义，则的取值应满足（ ） A. B. C. D. 4. 下列各式从左到右的变形是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 数形结合是常用的思想方法．如图，一次函数与的图象相交于点，则不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB边上，将△CBD沿CD折叠，使点B恰好落在AC边上的点E处．若∠A＝26°，则∠CDE的度数为（　　） A. 45° B. 64° C. 71° D. 81° 8. 在物理学中，物质的密度等于由物质组成的物体的质量与它的体积之比，即．已知，两个物体的密度之比为，当物体的质量是，物体的质量是时，物体的体积比物体的体积大．设物体的体积是，根据题意列方程为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，两个直角三角形重叠在一起，将三角形沿着点到点的方向平移到三角形的位置．则下列说法正确的有（ ） ①； ②； ③； ④若，，，则． A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 10. 如图，在中，，，点、点分别是，边上的动点，连接，点、点分别是，的中点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，请你添加一个条件，使得四边形ABCD成为平行四边形，你添加的条件是___． 12. 因式分解：__________． 13. 小刚用元钱去购买笔记本和圆珠笔共件，已知每本笔记本元，每支圆珠笔元，则小刚最多能买圆珠笔________支． 14. 如图，点、、分别在等边的各边上，且于点，于点，于点，若，的长为________． 15. 如图，在长方形中，，，点是边上一动点，连接，过点作交边于点．将沿翻折得到，点的对应点为，连接，若是以为腰的等腰三角形，则的长为________． 三、解答题（本题8小题，共75分） 16. 按要求完成下列各题： （1）解方程：． （2）解不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来． 17. 在平面直角坐标系中，各顶点：，，． （1）请在图中画出将向左平移个单位长度得到的； （2）请在图中画出将绕着原点顺时针旋转得到的； （3）在轴上有一点，使得周长最小，请直接写出点的坐标． 18. 如图，在四边形中，，是对角线． （1）尺规作图：作线段的中点（要求：不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）的条件下，连接并延长交于点，连接，求证：四边形为平行四边形． 19. 请利用所学知识解决下列问题： （1）化简分式：，判断它的值能否等于，并说明理由； （2）利用因式分解说明：能被整除． 20. 求证：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半． 21. 为适应学生体育课学习和锻炼，学校购买A，B两种型号的跳绳共根，且购买A型号跳绳与B型号跳绳的费用都是元，已知A型号跳绳的单价是B型号跳绳单价的倍． （1）求A，B两种型号跳绳的单价； （2）在单价不变的情况下，学校计划用不超过元的资金再次购买这两种跳绳共根，且购进B型号的数量不少于A型号的倍，求A型号跳绳最多可购买多少根？ 22. 【问题背景】数学实践课上，学习小组进行探究活动，老师要求大家对长方形进行如下操作：如图所示，①尺规作图作直线交于点，连接；②将沿翻折，点的对应点落在点处，作射线交于点． 【问题提出】在长方形中，，，求线段的长； （1）【问题解决】经过小组合作、探究、展示，其中的两个方案如下： 方案一：连接，如图．可求出线段的长； 方案二：将绕点旋转至处，如图．可求出线段的长． 请你任选其中一种方案求线段的长． （2）【问题反思】在前面的已知条件及解决方法下继续探究，连接并延长交于点，直接写出线段的长________． 23. 在中，，垂足为，连接，将绕点逆时针旋转，得到，连接． （1）当点在线段上，时，如图①，求证：； （2）当点在线段延长线上，时，如图②；当点在线段延长线上，时，如图③，请猜想并直接写出线段，，的数量关系； （3）在（1）、（2）的条件下，若，，请直接写出线段的长度：________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年第二学期期末评估试卷 八年级数学 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列剪纸图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】把一个图形绕某一点旋转后，能够与原图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能互相重合，这个图形就叫做轴对称图形． 【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意； B、是轴对称图形，是中心对称图形，故符合题意； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意； D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故不符合题意． 2. 若正多边形的一个外角等于，则这个正多边形的边数是（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了正多边形的外角性质，用外角和除以正多边形的一个外角度数即可求解，掌握正多边形的外角性质是解题的关键． 【详解】解：∵正多边形的外角和为，且每个外角都相等 又∵该正多边形的一个外角为， ∴这个正多边形的边数为， 故选：． 3. 要使分式有意义，则的取值应满足（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查分式有意义的条件，解题关键是掌握分式有意义时分母不为零，据此列不等式求解即可． 【详解】解：∵分式有意义， ∴分母不为零，即， 解得． 4. 下列各式从左到右的变形是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据因式分解的含义逐一判断选项即可． 【详解】解：根据因式分解的定义，变形后等式右边必须是几个最简整式的乘积． ∵A选项是整式乘法，右边为和的形式，不是乘积，不符合要求，A错误． ∵B选项将多项式化为两个整式与的乘积，符合因式分解的定义，B正确． ∵C选项是整式乘法，右边为差的形式，不是乘积，不符合要求，C错误． ∵D选项右边为，是和的形式，不是几个整式的乘积，不符合要求，D错误． 5. 下列运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据分式的四则运算法则逐项判断即可． 【详解】A、，故运算错误，不符合题意； B、，故运算错误，不符合题意； C、，故运算错误，不符合题意； D、，故运算正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了分式的加、减、乘、除运算，解题的关键是掌握运算法则． 6. 数形结合是常用的思想方法．如图，一次函数与的图象相交于点，则不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据图象法求出不等式的解集，然后在数轴上表示出解集，判断即可. 【详解】解：由图象可知，不等式的解集为； 故在数轴上表示解集为： 7. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB边上，将△CBD沿CD折叠，使点B恰好落在AC边上的点E处．若∠A＝26°，则∠CDE的度数为（　　） A. 45° B. 64° C. 71° D. 81° 【答案】C 【解析】 【分析】由折叠的性质可求得∠ACD=∠BCD，∠BDC=∠CDE，在△ACD中，利用外角可求得∠BDC，则可求得答案． 【详解】解：由折叠可得∠ACD=∠BCD，∠BDC=∠CDE， ∵∠ACB=90°， ∴∠ACD=45°， ∵∠A=26°， ∴∠BDC=∠A+∠ACD=26°+45°=71°， ∴∠CDE=71°， 故选：C． 【点睛】考查三角形内角和定理以及折叠的性质，掌握三角形的外角定理是解题的关键． 8. 在物理学中，物质的密度等于由物质组成的物体的质量与它的体积之比，即．已知，两个物体的密度之比为，当物体的质量是，物体的质量是时，物体的体积比物体的体积大．设物体的体积是，根据题意列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据密度公式，结合A、B的密度比为，用表示出B的体积，再分别表示A、B的密度，根据比例关系列方程即可． 【详解】解：∵A体积为，B体积比A大， ∴B体积为， 由密度公式得，A的密度，B的密度， ∵，即， ∴． 9. 如图，两个直角三角形重叠在一起，将三角形沿着点到点的方向平移到三角形的位置．则下列说法正确的有（ ） ①； ②； ③； ④若，，，则． A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】C 【解析】 【分析】由平移的性质可得，，，，即可判断①②正确，③错误；再由，得出，由此计算即可得出结果． 【详解】解：由平移的性质可得，，，，故①②正确，③错误； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，故④正确； 综上所述，正确的有①②④，共个． 10. 如图，在中，，，点、点分别是，边上的动点，连接，点、点分别是，的中点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】连接，过点作于点，过点作于点，则为的中位线，即可得出，由等腰三角形的性质可得，由勾股定理得出，由等面积法求出，由垂线段最短可得，的最小值为，即可得出结果． 【详解】解：如图，连接，过点作于点，过点作于点， ∵点、点分别是，的中点， ∴为的中位线， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 由垂线段最短可得，的最小值为， ∴的最小值为． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，请你添加一个条件，使得四边形ABCD成为平行四边形，你添加的条件是___． 【答案】AB=DC（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据平行四边形的判定定理添加条件即可求解． 【详解】∵在四边形ABCD中，AB∥CD， ∴根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形的判定，可添加的条件是：AB=DC（答案不唯一）． 还可添加的条件AD∥BC或∠A=∠C或∠B=∠D或∠A+∠B=180°或∠C+∠D=180°等． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定，掌握平行四边形的判定定理是解题的关键． 12. 因式分解：__________． 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因式，再利用平方差公式完成二次分解即可． 【详解】解：． 13. 小刚用元钱去购买笔记本和圆珠笔共件，已知每本笔记本元，每支圆珠笔元，则小刚最多能买圆珠笔________支． 【答案】13 【解析】 【分析】设圆珠笔的数量为支，根据总花费不超过元列出一元一次不等式，求解后取最大整数即可． 【详解】解：设小刚买圆珠笔支，则购买笔记本本， 由题意得： 去括号得： 合并同类项得： 解得：， 为正整数， 的最大值为． 14. 如图，点、、分别在等边的各边上，且于点，于点，于点，若，的长为________． 【答案】5 【解析】 【分析】利用等边三角形内角均为的性质，结合垂直条件，推导图中三个小直角三角形的非直角内角均为和，证明为等边三角形，得到，进而证明三个小直角三角形全等，设的长度为，根据直角三角形的边长关系，将、等线段用含的表达式表示，结合的条件，列关于的方程求解． 【详解】∵是等边三角形， ∴， 又∵，，， ∴， 可得三个小直角三角形中， ∴， 同理可得， ∴是等边三角形， ∴， ∴ ∴， ∴，，  设， 则，， 在中，角对的直角边是斜边的一半， ∴， ∴ ， 解得， ∴． 15. 如图，在长方形中，，，点是边上一动点，连接，过点作交边于点．将沿翻折得到，点的对应点为，连接，若是以为腰的等腰三角形，则的长为________． 【答案】4或 【解析】 【分析】设，则，再分两种情况：①当时，在中，利用勾股定理求解即可；②当时，过作于点，得出，则，据此建立方程，解方程即可． 【详解】解：∵四边形是长方形， ∴， 由折叠的性质得：， 设， ∵， ∴， ∵是以为腰的等腰三角形， ∴或， ①当时， 在中，，即， 解得， 即； ②当时， 如图，过作于点， ∴（等腰三角形的三线合一），， 由折叠的性质得：， ∵， ∴， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，即， 解得， 即； 综上，的长为4或． 三、解答题（本题8小题，共75分） 16. 按要求完成下列各题： （1）解方程：． （2）解不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）先观察分母与，统一分母，再合并分子，进行化简，求解，最后检验即可． （2）首先解不等式组，先解第一个不等式的解，再解的解，合并两个不等式的解集，并把解集表示在数轴上即可． 【小问1详解】 解： 方程两边同乘， ， ， 解得， 检验：把代入， 是原分式方程的根． 【小问2详解】 解： 不等式， 得， 得． 不等式， 得， 得， 得． 不等式组的解集为 ． 数轴上表示解集如图： 17. 在平面直角坐标系中，各顶点：，，． （1）请在图中画出将向左平移个单位长度得到的； （2）请在图中画出将绕着原点顺时针旋转得到的； （3）在轴上有一点，使得周长最小，请直接写出点的坐标． 【答案】（1）如图，即为所求； （2）如上图，即为所求； （3）如上图，点P即为所求，点． 【解析】 【分析】（1）根据平移作图的步骤即可作图； （2）根据旋转作图的步骤即可作图； （3）过点作x轴的对称点，连接与x轴交点即为点，此时，次数的周长最小，根据两点之间线段最短即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：作图见答案，点． 18. 如图，在四边形中，，是对角线． （1）尺规作图：作线段的中点（要求：不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）的条件下，连接并延长交于点，连接，求证：四边形为平行四边形． 【答案】（1）如图，点即为所求， （2）证明：由（1）得点O是线段的中点， ∴． ∵， ∴，， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形为平行四边形． 【解析】 【分析】（1）作线段的垂直平分线交于点即可； （2）由（1）得点O是线段的中点，则．由平行线的性质可得，，证明，得出，即可得证． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 略． 19. 请利用所学知识解决下列问题： （1）化简分式：，判断它的值能否等于，并说明理由； （2）利用因式分解说明：能被整除． 【答案】（1），它的值不能为0，理由如下： ∵且， ∴且， ∴ （2）解：∵， ∴能被120整除． 【解析】 【分析】（1）括号内先通分，再将除法转化为乘法，约分即可化简，再根据分式有意义的条件得出且，从而即可得证； （2）利用幂的乘方法则将式子进行变形，得出，即可得证． 【小问1详解】 解： ， 它的值不能为0， 理由略； 【小问2详解】 略． 20. 求证：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半． 【答案】 已知：如图在△中，点、分别是与的中点，连接. 求证：，且 证明：∵点、分别是与的中点， ∴， ∵， ∴∽， ∴，， ∴且. 【解析】 【分析】根据文字，写出已知、求证，然后利用三角形相似的判定和性质证明即可. 【详解】略 【点睛】本题考查了利用三角形相似的性质来证明三角形的中位线定理，理解题意，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题关键. 21. 为适应学生体育课学习和锻炼，学校购买A，B两种型号的跳绳共根，且购买A型号跳绳与B型号跳绳的费用都是元，已知A型号跳绳的单价是B型号跳绳单价的倍． （1）求A，B两种型号跳绳的单价； （2）在单价不变的情况下，学校计划用不超过元的资金再次购买这两种跳绳共根，且购进B型号的数量不少于A型号的倍，求A型号跳绳最多可购买多少根？ 【答案】（1）A型号跳绳的单价是30元，B型号跳绳的单价是25元 （2）86根 【解析】 【分析】(1) 设B型号跳绳的单价是x元，A型号跳绳的单价是元，根据题意列出分式方程并求解，再检验是否符合题意即可； (2) 设A型号跳绳购买a根，则B型号跳绳购买根，根据题意列出一元一次不等式并求解，再由a为整数，得到a的最大值为86，即可解答． 【小问1详解】 解：设B型号跳绳的单价是x元，A型号跳绳的单价是元，根据题意得： ， 解得：， 经检验，是所列方程的根，且符合题意， ∴ (元)． 答：A型号跳绳的单价是30元，B型号跳绳的单价是25元； 【小问2详解】 解：设A型号跳绳购买a根，则B型号跳绳购买根， 根据题意得：， 解得：， 又∵， ∴， ∵a为整数， ∴a的最大值为86． 答：A型号跳绳最多可购买86根． 22. 【问题背景】数学实践课上，学习小组进行探究活动，老师要求大家对长方形进行如下操作：如图所示，①尺规作图作直线交于点，连接；②将沿翻折，点的对应点落在点处，作射线交于点． 【问题提出】在长方形中，，，求线段的长； （1）【问题解决】经过小组合作、探究、展示，其中的两个方案如下： 方案一：连接，如图．可求出线段的长； 方案二：将绕点旋转至处，如图．可求出线段的长． 请你任选其中一种方案求线段的长． （2）【问题反思】在前面的已知条件及解决方法下继续探究，连接并延长交于点，直接写出线段的长________． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）方案一：连接，如图2，由作图知，O为的中点，则，证明得到，设，在中，由勾股定理列方程求得x值即可解答； 方案二： 由作图知，O为的中点，则，由旋转性质和翻折性质得到，，，可证得点D、C、R共线，，设，在中，由勾股定理列方程求得x值即可解答； （2）解：如图3，连接，证明四边形是平行四边形得到，过P作于M，过H作于N，证明四边形是平行四边形，得到，，利用三角形的面积公式求得，在和中，利用勾股定理求得，，进而可求解． 【小问1详解】 解：方案一：连接，如图2， 在长方形中，，，， 由作图知，O为的中点，则， 由翻折性质得，，， ∴，，又， ∴， ∴， 设，则，， 在中，由勾股定理得，即， 解得，则线段的长为； 方案二：将绕点旋转至处，如图3， 在长方形中，，， 由作图知，O为的中点，则， 由旋转性质得，，， ∴，则点D、C、R共线， 由翻折性质得， ∴， 设，则，， 在中，由勾股定理得，即， 解得，则线段的长为； 【小问2详解】 解：如图3，连接， 由（1）知，，，， ∴，垂直平分，即， ∴，又，即， ∴四边形是平行四边形， ∴， 过P作于M，过H作于N，则， 又∵，即， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∵，，， ∴， 由得， 在中，， 在中，，， ∴， ∴，故． 23. 在中，，垂足为，连接，将绕点逆时针旋转，得到，连接． （1）当点在线段上，时，如图①，求证：； （2）当点在线段延长线上，时，如图②；当点在线段延长线上，时，如图③，请猜想并直接写出线段，，的数量关系； （3）在（1）、（2）的条件下，若，，请直接写出线段的长度：________． 【答案】（1）证明：， ， 由旋转得，， ∴， ， ， ， ， ， ， ． 四边形是平行四边形， ， ； （2）图②：；图③： （3）2或14 【解析】 【分析】（1）首先得出，，证明，得到，然后结合平行四边形的性质得到，等量代换即可证明； （2）如图②，当点E在线段延长线上，时，同（1）得，得到，结合平行四边形性质得，推出；如图③，当点E在线段延长线上，同理求解即可； （3）根据题意分三种情况讨论，分别利用勾股定理求解判断即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图②，当点E在线段延长线上，时， 同（1）可得， ∴， 四边形是平行四边形， ， ∴， 即； 如图③，当点E在线段延长线上，时， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 同（1）可证， ∴， 四边形是平行四边形， ， ∴， 即； 【小问3详解】 解：如图①，∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， 中，，， ∴， 由，得（不符合题意），故图①中，不存在，的情况； 如图②，， ∴， ∴， 由得，； 如图③，∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， 由知，． 综上，或14． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $