精品解析：河南省许昌市2025-2026学年八年级下学期7月期末数学试题

2025—2026学年第二学期期末质量检测 八年级数学 注意事项：本试卷满分120分，考试时间为100分钟． 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的． 1. 若代数式有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 如图是某加油站加油机上的数据显示牌，在此次加油中的常量是（ ） A. 金额 B. 油量 C. 单价 D. 金额和油量 3. 样本数据：，，，，的中位数是（ ） A. B. C. D. 4. 一技术人员用刻度尺（单位：）测量某三角形部件的尺寸．如图所示，已知，点D为边的中点，点A、B对应的刻度为1、7，则（ ） A. B. C. D. 5. 勾股定理是数学领域中绽放出的一朵思维之花，其证明方法多种多样．我国古代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出一个图形以证明勾股定理，人们称它为“赵爽弦图”．这个图形是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，，E为上一动点，M，N分别为，的中点，则的长为( ) A. 4 B. 3 C. 2 D. 不确定 7. 正比例函数的函数值y随x的增大而减小，则一次函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 8. 从一般到特殊是一种重要的数学思想，如图通过类比的方法展现了认识三角形与平行四边形图形特征的过程，你认为“?”处的图形名称是（　　） A. 平行四边形 B. 菱形 C. 正方形 D. 矩形 9. 如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为，点，，都在格点上，则下列结论中错误的是（ ） A. B. C. 是直角三角形 D. 的面积是 10. 随着科技的发展，部分快递送货被无人驾驶快递车替代．一辆无人驾驶快递车从公司出发，匀速行驶到达甲快递点卸完包裹后，立即以相同的速度前往乙快递点．已知公司和甲、乙两个快递点依次在同一条直线上，且在每个快递点包裹的时间相同，快递车离公司的路程与时间的函数关系如图所示，根据图象可知，快递车在每个快递点卸包裹的时间为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 化简：＝______． 12. 如图是河南博物院馆藏宋代定窑八角镂雕兽首祭盘，该瓷器器口为正八边形．其中，正八边形的每个外角的度数为__________． 13. 在学校组织举办的“唐风宋韵”诗词大赛中，八（1）班学生成绩的箱线图如图所示，则八（1）班学生成绩的第一四分位数是________分． 14. 直线与直线相交于点，则关于x的不等式的解集为 ________． 15. 如图，在矩形中，，，为边的中点，点在边上，连接，将沿翻折，点的对应点为，连接．若，则________． 三、解答题（本大题共8个小题，共73分） 16. 计算： （1）； （2）． 17. 如图，点、在的对角线上．若_________，则四边形是平行四边形．请从①；②；③这3个选项中选择一个作为条件（写序号），使结论成立，并说明理由． 18. 为提升学生体质健康水平，促进学生全面发展，学校开展了丰富多彩的课外体育活动．在八年级组织的篮球联赛中，甲、乙两名队员表现优异，他们在近六场比赛中关于得分、篮板两个方面的统计结果如下． 比赛得分统计图： 技术统计表： 队员 平均每场得分 得分众数 得分中位数 得分方差 平均每场篮板 甲 乙 根据以上信息，回答下列问题． （1）填空：________，________；________（填“”、“”或“”）． （2）请从得分方面分析：这六场比赛中，甲、乙两名队员谁的表现更好． （3）规定“综合得分”按平均每场得分的，平均每场篮板的计算，综合得分越高表现越好，通过计算说明甲、乙哪名队员的表现更好？ 19. 小方根据我国古代数学著作《九章算术》中的一道“折竹”问题改编了一个情境：如图，一根竹子原来高1丈（1丈尺），折断后顶端触到墙上距地面9尺的点处，墙脚离竹根处3尺远．请你解答：折断处离地面多高？ 20. 为了鼓励居民节约用电，某市实行居民生活用电阶梯电价方案．当每月用电量不超过时，按元/（）收费；当用电量超过时，超过部分按元/（）收费．设一个家庭某月用电量为，应缴电费为元． （1）求关于的函数解析式． （2）若这个家庭某月的用电量为，则此家庭这个月的电费是多少？ （3）若这个家庭某月的电费为元，则此家庭这个月的用电量是多少？ 21. 利用菱形的性质和判定，可以帮助我们完成一些尺规作图的问题． 例如，作一个给定角的平分线． 作法：如图． ①以的顶点为圆心，任意长为半径作弧，分别交两边于点，； ②分别以点，为圆心，（或）长为半径作弧，两弧相交于点（非点），则四边形为菱形（①________）（填推理的依据）； ③作射线，则就是的平分线（②________）（填推理的依据）． （1）任务一：上面横线处填的依据是①___________；②___________． （2）任务二：请你利用菱形的性质和判定，作下图线段的垂直平分线，保留作图痕迹，简要写出作法，并说明这样作图的道理（写出作图所利用的菱形的性质即可）． 解：作图如下： 作法： 作图道理： ______________________________________________________________________________． 22. 一次函数的图象经过点． （1）若一次函数的图象还经过点， ①求该一次函数的表达式； ②将点向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度后，恰好落在该一次函数的图象上，求的值． （2）当时，一次函数的最大值和最小值的差是，请直接写出的值． 23. 在正方形中，点是对角线上一点，连接．过点作的垂线，交射线于点，过点作的垂线，过点作的垂线，两线交于点． （1）如图，当点是对角线的中点时，四边形的形状为________． （2）如图，当点是对角线上任意一点时，（1）中的结论是否仍然成立？并说明理由． （3）已知正方形的边长为，连接，当时，请直接写出的长． 四、（2分）卷面分 要求：书写规范；卷面整洁；布局合理． ★挑战题 24. 在正方形中，E是边上的一个动点（不与点B，C重合），连接，P为点B关于直线的对称点． （1）连接，作射线交射线于点F，依题意补全图1． ①若，求的大小（用含的式子表示）； ②用等式表示线段，和之间的数量关系，并证明； （2）已知，连接，若，M，N是正方形的对角线上的两个动点，且，连接，，直接写出的最小值． 25. 【新定义】 对于线段和点，定义：若，则称点为线段的“等距点”；特别地，若，则称点是线段的“完美等距点”． 【解决问题】 如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，点的坐标为，点是直线上一动点． （1）已知个点：、、、、，其中，________是线段的“等距点”，________是线段的“完美等距点”（填写大写字母）； （2）若点在第三象限，且，点在轴上，且是线段的“等距点”，求点的坐标； （3）若点在第一象限，是否存在这样的点，使点是线段的“完美等距点”，且为线段的“等距点”？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年第二学期期末质量检测 八年级数学 注意事项：本试卷满分120分，考试时间为100分钟． 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的． 1. 若代数式有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵代数式有意义， ∴， 解得. 2. 如图是某加油站加油机上的数据显示牌，在此次加油中的常量是（ ） A. 金额 B. 油量 C. 单价 D. 金额和油量 【答案】C 【解析】 【分析】在变化过程中数值保持不变的量是常量，数值发生变化的量是变量. 【详解】解：在此次加油过程中，油量不断增加，金额随之变化，故油量和金额是变量；单价固定不变，故单价是常量. 3. 样本数据：，，，，的中位数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：将数据从小到大排列，共个数据， 中位数为排序后最中间的第个数，即为. 4. 一技术人员用刻度尺（单位：）测量某三角形部件的尺寸．如图所示，已知，点D为边的中点，点A、B对应的刻度为1、7，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由图求得的长度，结合直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求解． 【详解】解：由图可知， 在中，，点D为边的中点， , 故选：B． 【点睛】本题考查直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；解题的关键是熟练掌握该性质． 5. 勾股定理是数学领域中绽放出的一朵思维之花，其证明方法多种多样．我国古代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出一个图形以证明勾股定理，人们称它为“赵爽弦图”．这个图形是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：“赵爽弦图”是： 6. 如图，在中，，E为上一动点，M，N分别为，的中点，则的长为( ) A. 4 B. 3 C. 2 D. 不确定 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质求出，再根据三角形中位线的性质求解即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵M，N分别为，的中点， ∴． 7. 正比例函数的函数值y随x的增大而减小，则一次函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用正比例函数的性质得到，所以，然后根据一次函数的性质对各选项进行判断． 【详解】解：正比例函数的函数值随的增大而减小， ， ， 的图象经过第一、三象限，与轴的交点在轴的负半轴． 故选：C． 8. 从一般到特殊是一种重要的数学思想，如图通过类比的方法展现了认识三角形与平行四边形图形特征的过程，你认为“?”处的图形名称是（　　） A. 平行四边形 B. 菱形 C. 正方形 D. 矩形 【答案】C 【解析】 【分析】根据四边形之间的关系，解答即可． 本题考查了平行四边形，矩形，菱形，正方形的关系，熟练掌握关系是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得 故选：C． 9. 如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为，点，，都在格点上，则下列结论中错误的是（ ） A. B. C. 是直角三角形 D. 的面积是 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理，解决本题的关键是根据勾股定理求出各边的长度，再利用勾股定理的逆定理判断三角形是直角三角形． 【详解】解：A选项：根据网格可知，故A选项正确； B选项：根据网格可知，故B选项正确； C选项：由网格可知， ， 是直角三角形， 故C选项正确； D选项：．故D选择错误。 故选：D． 10. 随着科技的发展，部分快递送货被无人驾驶快递车替代．一辆无人驾驶快递车从公司出发，匀速行驶到达甲快递点卸完包裹后，立即以相同的速度前往乙快递点．已知公司和甲、乙两个快递点依次在同一条直线上，且在每个快递点包裹的时间相同，快递车离公司的路程与时间的函数关系如图所示，根据图象可知，快递车在每个快递点卸包裹的时间为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设快递车在每个快递点卸包裹的时间为x，根据快递车的速度不变列方程求解即可． 【详解】解：设快递车在每个快递点卸包裹的时间为x， ∵快递车的速度不变， ∴， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴快递车在每个快递点卸包裹的时间为． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 化简：＝______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式的化简，掌握知识点是解题的关键． 利用二次根式的性质将根号内的分数分解，再有理化分母即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 12. 如图是河南博物院馆藏宋代定窑八角镂雕兽首祭盘，该瓷器器口为正八边形．其中，正八边形的每个外角的度数为__________． 【答案】 ##45度 【解析】 【详解】解：正八边形的每个外角的度数为. 13. 在学校组织举办的“唐风宋韵”诗词大赛中，八（1）班学生成绩的箱线图如图所示，则八（1）班学生成绩的第一四分位数是________分． 【答案】 【解析】 【详解】解：根据箱线图的定义，箱线图主要由最小值、第一四分位数、中位数、第三四分位数、最大值这五个统计量构成，其中箱体的左边界表示第一四分位数，箱体的右边界表示第三四分位数； 由图可知，箱体的左边界对应的数值为， 所以八（1）班学生成绩的第一四分位数是分.  14. 直线与直线相交于点，则关于x的不等式的解集为 ________． 【答案】 【解析】 【分析】先求出a值，再根据图象得到直线在直线的上方部分的点的横坐标取值范围即可求解． 【详解】解：将点代入中，得，解得， ∴， 由图象知，当时，直线在直线的上方， ∴关于x的不等式的解集为 ． 15. 如图，在矩形中，，，为边的中点，点在边上，连接，将沿翻折，点的对应点为，连接．若，则________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，延长交的延长线于，根据勾股定理求出，利用勾股定理的逆定理证明为直角三角形，求出的度数，进而求出的度数，证明为等腰三角形，利用全等三角形的性质求解． 【详解】解：如图，连接，延长交的延长线于，取的中点G，连接， 矩形中，为边的中点， ，． 在中，， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴． 将沿翻折，点的对应点为， ，，． ， ，， ． 为直角三角形，且． 点在同一直线上， ， ． ∴． ， ，． ． ． ． 在和中， ． ． 故答案为． 三、解答题（本大题共8个小题，共73分） 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： . 17. 如图，点、在的对角线上．若_________，则四边形是平行四边形．请从①；②；③这3个选项中选择一个作为条件（写序号），使结论成立，并说明理由． 【答案】②或③， 理由如下，如图，连接交于点， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵ ∴ ∴四边形是平行四边形． 添加③为条件，则四边形是平行四边形． 理由如下，∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； 选择①无法得出四边形是平行四边形． 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质与判定，全等三角形的判定与性质，平行线的性质等知识，熟练掌握以上知识点是解题的关键．添加条件②，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，添加③为条件，证明得出，即可得证． 【详解】略 18. 为提升学生体质健康水平，促进学生全面发展，学校开展了丰富多彩的课外体育活动．在八年级组织的篮球联赛中，甲、乙两名队员表现优异，他们在近六场比赛中关于得分、篮板两个方面的统计结果如下． 比赛得分统计图： 技术统计表： 队员 平均每场得分 得分众数 得分中位数 得分方差 平均每场篮板 甲 乙 根据以上信息，回答下列问题． （1）填空：________，________；________（填“”、“”或“”）． （2）请从得分方面分析：这六场比赛中，甲、乙两名队员谁的表现更好． （3）规定“综合得分”按平均每场得分的，平均每场篮板的计算，综合得分越高表现越好，通过计算说明甲、乙哪名队员的表现更好？ 【答案】（1）28，29， （2）解：从得分方面看，甲队员的平均每场得分高于乙队员，且甲队员得分的方差小于乙队员得分的方差， 故甲队员的表现更好； （3）解：甲队员的综合得分为， 乙队员的综合得分为， ， 故乙队员的表现更好. 【解析】 【分析】（1）根据众数和中位数的定义求出的值，根据波动情况判断方差的大小即可； （2）从平均数和方差两方面，进行判断即可； （3）求出加权平均数，比较大小即可. 【小问1详解】 解：甲数据中出现次数最多的是28，故； 乙数据排序后，第3个和第4个数据的平均数为，故； 由折线图可知，甲的数据波动明显小于乙的数据波动， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 19. 小方根据我国古代数学著作《九章算术》中的一道“折竹”问题改编了一个情境：如图，一根竹子原来高1丈（1丈尺），折断后顶端触到墙上距地面9尺的点处，墙脚离竹根处3尺远．请你解答：折断处离地面多高？ 【答案】5尺 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定与性质、勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理的应用是解题关键．过点作于点，先证出四边形是矩形，则可得尺，，再设尺，则尺，尺，在中，利用勾股定理求解即可得． 【详解】解：如图，过点作于点， 由题意得：，尺，尺，尺， ∴四边形是矩形， ∴尺，， 设尺，则尺，尺， 在中，由勾股定理得：，即， 解得， 即尺， 答：折断处离地面5尺． 20. 为了鼓励居民节约用电，某市实行居民生活用电阶梯电价方案．当每月用电量不超过时，按元/（）收费；当用电量超过时，超过部分按元/（）收费．设一个家庭某月用电量为，应缴电费为元． （1）求关于的函数解析式． （2）若这个家庭某月的用电量为，则此家庭这个月的电费是多少？ （3）若这个家庭某月的电费为元，则此家庭这个月的用电量是多少？ 【答案】（1） （2） 100元 （3） 【解析】 【分析】（1）根据收费方式，分两种情况，进行讨论求解即可； （2）求出时，对应的函数值即可得出结果； （3）求出时的自变量的值，即可得出结果. 【小问1详解】 解：由题意， 当时，； 当时，；  综上：， 【小问2详解】 解：∵， ∴将代入得：（元）； 答：此家庭这个月的电费是100元. 【小问3详解】 解：当时，， ∴用电量， ∴将代入得：， 解得； 答：此家庭这个月的用电量是. 21. 利用菱形的性质和判定，可以帮助我们完成一些尺规作图的问题． 例如，作一个给定角的平分线． 作法：如图． ①以的顶点为圆心，任意长为半径作弧，分别交两边于点，； ②分别以点，为圆心，（或）长为半径作弧，两弧相交于点（非点），则四边形为菱形（①________）（填推理的依据）； ③作射线，则就是的平分线（②________）（填推理的依据）． （1）任务一：上面横线处填的依据是①___________；②___________． （2）任务二：请你利用菱形的性质和判定，作下图线段的垂直平分线，保留作图痕迹，简要写出作法，并说明这样作图的道理（写出作图所利用的菱形的性质即可）． 解：作图如下： 作法： 作图道理： ______________________________________________________________________________． 【答案】（1）①四边相等的四边形为菱形；②菱形的一条对角线平分一组对角； （2）解：作图如下： 作法：分别以为圆心，的长为半径画圆，两圆交于两点，连接，即为所求； 作图道理：菱形的对角线互相垂直平分. 【解析】 【分析】（1）根据四边相等的四边形为菱形，以及菱形的对角线平分一组对角，作答即可； （2）分别以为圆心，的长为半径画圆，两圆交于两点，连接，即为所求，根据作图方法可知：，则四边形为菱形，根据菱形的对角线互相垂直平分，可得垂直平分. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 22. 一次函数的图象经过点． （1）若一次函数的图象还经过点， ①求该一次函数的表达式； ②将点向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度后，恰好落在该一次函数的图象上，求的值． （2）当时，一次函数的最大值和最小值的差是，请直接写出的值． 【答案】（1）①；②4 （2）1或 【解析】 【分析】（1）①将点与点代入函数表达式中求解即可； ②根据平移的规律先表示出平移后的点的坐标，再将点代入函数表达式中求解即可． （2）先由函数过点可得的值，再分类讨论的正负，由函数的增减性求解最值，再结合最值的差是求解即可． 【小问1详解】 解：①将点与点代入函数表达式， 可得，解得， ∴该一次函数的表达式为； ②将点向右平移个单位长度，平移后的横坐标为， 再向上平移个单位长度后，平移后的纵坐标为， 可得平移后的点的坐标为， ∵平移后的点恰好落在该一次函数的图象上， ∴，解得， 故的值为4． 【小问2详解】 解：∵一次函数的图象经过点． ∴，即一次函数表达式为， 当时，一次函数的最大值和最小值的差是， 当时，随的增大而增大， 当时，函数有最小值；当时，函数有最大值， ∴，即，解得，满足条件； 当时，随的增大而减小， 当时，函数有最小值；当时，函数有最大值， ∴，即，解得，满足条件； 综上，的值为1或． 23. 在正方形中，点是对角线上一点，连接．过点作的垂线，交射线于点，过点作的垂线，过点作的垂线，两线交于点． （1）如图，当点是对角线的中点时，四边形的形状为________． （2）如图，当点是对角线上任意一点时，（1）中的结论是否仍然成立？并说明理由． （3）已知正方形的边长为，连接，当时，请直接写出的长． 【答案】（1）正方形 （2）解：仍然成立，理由如下： 如图所示，过点作交于点，交于点， ∵过点作的垂线，交射线于点，过点作的垂线，过点作的垂线， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，且平分，， ∴，， ∴， ∴，， ∴，四边形是矩形，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是正方形． （3）或 【解析】 【分析】（1）首先得到四边形是矩形，然后由即可证明； （2）如图所示，过点作交于点，交于点，首先证明出四边形是矩形，然后根据正方形的性质证明出，得到，即可证明四边形是正方形； （3）分点在线段上和点在延长线上两种情况，结合三角形全等及勾股定理计算的长． 【小问1详解】 解：∵过点作的垂线，交射线于点，过点作的垂线，过点作的垂线， ∴四边形是矩形， ∵四边形是正方形，点在对角线的中点处， ∴， ∴四边形是正方形． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：①点在线段上， 如图所示，过点作交于点，交于点，过点作交延长线于点， 由（2）得，，四边形是正方形， ，，，，， ∴，， ∴， ， ，， 又， ∴四边形是矩形， ， 又， 是等腰直角三角形， ， 设，则，， ， ， ， 在中，； ②点在延长线上，过点作交于点，交于点，过点作交延长线于点， 由①得，，，， 设，则，， ， ， ， 在中，． 四、（2分）卷面分 要求：书写规范；卷面整洁；布局合理． ★挑战题 24. 在正方形中，E是边上的一个动点（不与点B，C重合），连接，P为点B关于直线的对称点． （1）连接，作射线交射线于点F，依题意补全图1． ①若，求的大小（用含的式子表示）； ②用等式表示线段，和之间的数量关系，并证明； （2）已知，连接，若，M，N是正方形的对角线上的两个动点，且，连接，，直接写出的最小值． 【答案】（1） 补全图形如下： ①； ②， 证明：过点A作于点G，如下图：则 ∵， ∴， ∵， 由①可知，，， ∴ ∴， ∴ 在中，， ∴， 即． （2） 【解析】 【分析】（1）①根据题意补全图形，由轴对称的性质可得出，由正方形的性质可得出，，由三角形内角和定理即可得出 ②过点A作于点G，则，由等腰三角形三线合一的性质可得出，由①可知，，，即可求出，进一步可得出，由勾股定理可得出，由线段的和差关系可得出，变形即可得证． （2）由对称得，，结合等腰三角形的性质得点E为的中点，过点A作，且，则四边形为平行四边形，那么的最小值就等于，当点G，M，E三点共线时，取最小值，由题意得，过点G作交于点Q，作交延长线于点H，则四边形为矩形，有，，求得，对应有，，利用勾股定理求得，即可求得的最小值． 【小问1详解】 解：①∵点P与点B关于直线对称 ∴垂直平分，，且， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴，， ∴ ②略 【小问2详解】 由对称性得，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 则, ∴E为的中点， ∵， ∴， 过点A作，且， 则四边形为平行四边形， ∴，， ∴的最小值就等于， ∴当点G，M，E三点共线时，取最小值， ∵， ∴， 过点G作交于点Q，作交延长线于点H， 则四边形为矩形， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴，， ∴， 则的最小值为． 【点睛】本题主要考查轴对称的性质、正方形的性质、等腰三角形的性质、勾股定理以及平行四边形的判定和性质，解题的关键是熟悉正方形和等腰三角形的性质，作出辅助线和利用动态的思想找到对应的最小值． 25. 【新定义】 对于线段和点，定义：若，则称点为线段的“等距点”；特别地，若，则称点是线段的“完美等距点”． 【解决问题】 如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，点的坐标为，点是直线上一动点． （1）已知个点：、、、、，其中，________是线段的“等距点”，________是线段的“完美等距点”（填写大写字母）； （2）若点在第三象限，且，点在轴上，且是线段的“等距点”，求点的坐标； （3）若点在第一象限，是否存在这样的点，使点是线段的“完美等距点”，且为线段的“等距点”？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）； （2）； （3）存在，. 【解析】 【分析】（）先根据等距点定义，得出线段的等距点在的垂直平分线上，筛选出横坐标为的；再根据完美等距点需满足 的要求，用勾股定理逆定理，进行判断即可； （）先根据点在直线上且在第三象限、的条件，求出点坐标；再根据在轴上且为线段的等距点，利用列方程，解出点的纵坐标，得到其坐标； （）易得点的横坐标为，设，根据“完美等距点”定义，得到，，如解图，于H，作于M，证明，推出，代入解析式求出的值即可． 【小问1详解】 解：线段端点、，“等距点”满足 ， 因此等距点在的垂直平分线上， 五个点中横坐标为的是、 、 ， ∴这三个是等距点， “完美等距点”还需要满足， ∵三点共线， ∴点不是线段的“完美等距点”， ∵， 对于，， ∴， ∴， ∴点是线段的“完美等距点”， 同理：对于点， ，不符合； ∴完美等距点只有； 【小问2详解】 解：∵在上， ∴， ∵在第三象限， ∴ ， ∵， ∴， ∴ ， ， 解得：， ∴ ，即 ， 设，是的等距点， 故， ∵，， ∴，解得​， ∴； 【小问3详解】 解：存在， ∵是的等距点， ∴横坐标为， ∴设， 是的完美等距点， ∴，， 如图，于H，作于M，则，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点在直线上， ∴，解得， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $