高2027届高考数学一轮复习立体几何训练

**基本信息** 聚焦立体几何核心问题，通过多几何体情境覆盖证明与计算，以题载知构建空间观念与推理能力 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |空间垂直证明|3题|线面垂直、面面垂直判定|从线线垂直推导线面垂直，进而论证面面垂直的逻辑链| |空间角计算|6题|线面角、二面角的正弦/余弦值|几何直观与向量运算结合，体现空间角转化为平面角的思想| |空间距离计算|3题|点面距、异面直线距离|基于体积法或向量法，建立距离与空间几何体度量关系|

立体几何解答题训练1 1.如图，四棱锥P-ABCD的底面是直角梯形，AB/1CD,∠BAD=受，AD=2AB=4,BC=5, PA=PC=只13」 (I)当PB=PD时，证明：BD⊥PC; (Ⅱ)当平面PAC⊥平面ABCD时，求PB与平面PAD所成角的正弦值. 2.如图，四棱锥P-ABCD的底面是矩形，PD⊥底面ABCD,PD=DC=1,M为BC中点，且PB⊥AM. (1)求BC: D (2)求二面角A-PM-B的正弦值. 3.如图，四面体ABCD中，O、E分别BD、BC的中点，AB=AD=2,AC=2,且△BCD是边长为2的等边三 角形 (1)求证：AO⊥平面BCD; D B 第1页，共4项 (2)求异面直线AB与CD所成角的余弦值大小： (3)求点E到平面ACD的距离. 4.如图，△ABC是边长为2的正三角形，△ABD是以AB为斜边的等腰直角三角形，已知CD=2. (1)求证：平面ABC⊥平面ABD: (2)求直线AC与平面BCD所成角的正弦值. 5.如图，已知梯形ABCD中，AD//BC,∠DAB=90°，AB=BC=2AD=2,四边形EDCF为矩形， DE=2,平面EDCF⊥平面ABCD. (1)求证：DF/1平面ABE; D (2)求平面ABE与平面BEF所成二面角的正弦值： V14 (3)若点P在线段EF上，且直线AP与平面BEF所成角的正弦值为14， 求线段AP的长. 第2页，共4页 6.在四棱锥P-ABCD中，PD⊥底面ABCD,底面ABCD为菱形，PD=DC=a,PB与底面ABCD所成角为 45°. (1)求二面角D-PC-B的余弦值； (2)求点C到平面PAB的距离. 7.三棱柱ABC-A1B,C1中，侧面BB,C1C为菱形，∠CBB,=60°，AB⊥AC,AB=AC,BC=AB,=2. (1)求证：面ABC⊥面BBC1C: (2)在线段C,A1上是香存在-点M,使得=面角M-CB,-C为 A M CM 若存在，求出C,A,的值，若不存在，请说明理由. B B 第3页，共4项 8平行四边形ABCD所在的平面与直角梯形ABEF所在的平面垂直，BE11AD,AB=BE=AF=1,且 AB⊥AR,∠CBA=年，BC=R2,P为DF的中点. C (1)求证：AC⊥EF: (2)求点P到直线CE的距离； 10 (3)若直线EF上存在点H,使得CF,BH所成角的余弦值为S,求BH与平面ADF所成角的大小， 9.如图，四棱锥P-ABCD的底面为正方形，PD⊥底面ABCD.设平面PAD与平面PBC的交线为l. (1)证明：1⊥平面PDC; (2)已知PD=AD=1,Q为l上的点，求PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值. 第4页，共4页 10.如图在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，∠BAD=60°，平面PAD⊥平面ABCD,PA=PD=4, AD=2,Q为AD的中点，M是校PC上的一点，且PM=号PC, (1)求证：PA//平面BMQ: B (2)求二面角M-BQ-P的余弦值. 11.如图AD//BC,且AD=2BC,AD/EG,且AD=EG,CD//FG,且CD=2FG,AD⊥CD,DG⊥ 平面ABCD,AD=CD=DG=2 G (1)求二面角E-BC-F的余弦值： (2)若点P在线段DG上，且直线BP与平面ADGE所成的角为4，求线段DP1 12.如图，在正四棱柱ABCD-A1B,C1D1中，AB=1,AA1=2,点E为CC1中点，点F为BD1中点. (1)求异面直线BD1与CC1的距离： B 第5页，共4项 D (2)求直线BD1与平面BDE所成角的正弦值： (3)求点F到平面BDE的距离. 第6页，共4页 立体几何解答题训练1 1. 如图，四棱锥的底面是直角梯形，，，，，． Ⅰ当时，证明：； Ⅱ当平面平面时，求与平面所成角的正弦值． 【答案】Ⅰ证明：取的中点，连接，，过作于， ，，， 四边形是矩形，，， 又，，故CD， ，， 又，，又，，平面 平面，又平面， ． Ⅱ解：过作于， ，为的中点， 平面平面，平面平面，，平面 平面， 由，可得，故AF， ， 以为原点，以为轴，以为轴，以平面的过点的垂线为轴建立空间直角坐标系， 则，，，， ， ，， ， 设平面的法向量为，则，即， 令可得， ，， 与平面所成角的正弦值为． 【解析】本题考查线面垂直的判定，考查空间向量与二面角的计算，属于中档题． Ⅰ取中点，证明，即可得出平面，于是； Ⅱ以为原点建立空间坐标系，求出平面的法向量，计算和的夹角的余弦值即得出与平面所成角的正弦值． 2. 如图，四棱锥的底面是矩形，底面，，为中点，且． 求； 求二面角的正弦值． 【答案】解：连结， 因为底面，且平面， 则， 又，，，平面， 所以平面， 又平面，则， 所以， 又， 则有， 所以∽， 则，所以，解得； 因为，，两两垂直，故以点为坐标原点建立空间直角坐标系如图所示， 则，，，， 所以，，，， 设平面的法向量为， 则有，即， 令，则，，故， 设平面的法向量为， 则有，即， 令，则，，故， 所以， 设二面角的平面角为， 则， 所以二面角的正弦值为． 【解析】本题考查了空间中线段长度求解以及二面角的求解，在求解有关空间角问题的时候，一般会建立合适的空间直角坐标系，将空间角问题转化为空间向量问题进行研究，属于中档题． 连结，利用线面垂直的性质定理证明，从而可以证明平面，得到，证明∽，即可得到的长度； 建立合适的空间直角坐标系，求出所需点的坐标和向量的坐标，然后求出平面的法向量，由向量的夹角公式以及同角三角函数关系求解即可． 3. 如图，四面体中，、分别、的中点，且是边长为的等边三角形． 求证：平面； 求异面直线与所成角的余弦值大小； 求点到平面的距离． 【答案】解：连接，，，， ，，， 在中，由题设知 ，，， ， ，即， ，，且，平面， 平面；             取中点，连接、、， 中、分别为、中点， ，且， 中分别为，中点， 且 异面直线与所成角等于或其补角， 又是斜边上的中线， 等腰中；         解：以为原点，如图建立空间直角坐标系， 则，，，， ，，． ，， 异面直线与所成角的余弦值大小为． 解：设平面的法向量为， 则， ，令，得是平面的一个法向量． 又， 点到平面的距离． 【解析】本题主要考查线线，线面，面面垂直的转化及异面直线所成角的求法，同时，考查了转化思想和运算能力，是常考类型，属中档题． 如图所示，要证平面，只需证，即可，用运算的方式来证明结论． 以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，异面直线与的向量坐标，求出两向量的夹角即可； 求出平面的法向量，点到平面的距离转化成向量在平面法向量上的投影即可． 4. 如图，是边长为的正三角形，是以为斜边的等腰直角三角形，已知． 求证：平面平面； 求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】解：取中点，连、， 则，， 所以是二面角的平面角． 在中， ，，， ． 所以，平面平面． 以点为原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系． ，  ，   则，，． 设是平面的法向量， 则 取． 则， 直线与平面所成角的正弦值为． 【解析】本题考查了面面垂直的证明以及线面角的正弦值的求法，考查空间平面的转化思想，分析问题的能力，属于较难题． 取中点，连结、，则，，即是二面角的平面角，然后通过勾股定理证明，进而证明平面平面． 建立空间直角坐标系．得到，，设是平面的法向量，建立方程组，然后再利用公式求出直线与平面所成角的正弦值． 5. 如图，已知梯形中，，，，四边形为矩形，，平面平面． 求证：平面； 求平面与平面所成二面角的正弦值； 若点在线段上，且直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长． 【答案】证明：四边形为矩形，， 又平面平面，平面平面，平面， 平面． 取为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系， 如图， 则，，，，， 设平面的法向量， ，， 由，取，得， 又，，则， 又平面，平面； 解：设平面的法向量， ，， 由，取，可得， ， ， 即平面与平面所成二面角的正弦值为； 解：点在线段上，设，， ， 又平面的法向量，设直线与平面所成角为， ， ，即， ，． ，则， 的长为． 【解析】本题考查直线与平面平行的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用空间向量求解空间角，是中档题． 由四边形为矩形，可得，由面面垂直的性质可得平面取为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，证明，再由线面平行的判定可得平面； 求出平面的法向量，求出，可得，则平面与平面所成二面角的正弦值可求； 点在线段上，设，，可得，由直线与平面所成角的正弦值列式求得，得到，则的长可求． 6. 在四棱锥中，底面，底面为菱形，，与底面所成角为． 求二面角的余弦值； 求点到平面的距离． 【答案】解：由已知得为与底面所成角为， 所以， 所以由已知有， 取的中点，连接，则， 以方向上的单位向量建系， ， ， 设平面的法向量，由 取 又面的法向量， 所以， 即二面角的余弦值为 设平面的法向量， 则 取， 故点到平面的距离． 【解析】本题考查线面垂直的性质及空间向量求解二面角的平面的平面角和点到面的距离，属于基础题． 建立坐标系，得平面的一个法向量和面的一个法向量，求解即可 得平面的一个法向量，根据点到平面的距离为，即可求解． 7. 三棱柱中，侧面为菱形，，，，． 求证：面面； 在线段上是否存在一点，使得二面角为，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由． 【答案】证明：取中点，连，， ，，， ，， 又，， ，， 又， ， ， ，面，面， 面， 面， 面面C. 解：由可知，，两两垂直，以为坐标原点，分别以，，所在直线为，，轴建立如图空间直角坐标系， 则，，，， 设，， ，，， ， 设平面的法向量为， 则，即 取，则，，故， 又是面的一个法向量， ， ，． 即存在一点满足条件，且． 【解析】本题考查平面与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用空间向量求解二面角，是拔高题． 取中点，先由线面垂直的判定定理得出面，再由面面垂直的判定定理得出即可； 建立空间直角坐标系，设，，求出两个平面的法向量，再由二面角为，即可求出的值，即可得到答案． 8. 平行四边形所在的平面与直角梯形所在的平面垂直，，，且，，，为的中点． 求证：； 求点到直线的距离； 若直线上存在点，使得，所成角的余弦值为，求与平面所成角的大小． 【答案】证：在中，，， 所以， 所以，所以， 又平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 因为平面， 所以． 解：由知以为原点，以、、所在直线为、、轴建立空间直角坐标系． 所以，，，，， 所以，， 点到直线的距离． ，，， 设， 所以， 所以， 所以，得， 所以，设平面的法向量为， 所以 所以令，则， 设与平面成的角为， 所以． 所以，即与平面成的角为． 【解析】本题主要考查了线面垂直的性质，同时也考查了建立空间直角坐标系求点线距离和解线面角的问题，属于一般题． 通过求证平面，然后由线面垂直的性质即可求证； 建立空间直角坐标系，利用向量法即可求解； 求出平面的法向量，再计算即可求解． 9. 如图，四棱锥的底面为正方形，底面设平面与平面的交线为． 证明：平面 已知，为上的点，求与平面所成角的正弦值的最大值． 【答案】解：底面，且平面， ， 为正方形，， 又，且、在平面内， 平面， ，且平面，平面， 平面， 又平面与平面的交线为，且平面， ，平面； 以为原点，以、、分别为、、轴，建立空间直角坐标系如图所示： 由，得，，，， 则，， 设点的坐标为，平面的法向量为， 则，即有，即 取，得， 又设与夹角为，与平面所成角为， 则， 于是， 当时，， 当时，， 又当且仅当 时，取等号，即得， 当时，， 又当且仅当 时，取等号，即得， 综上可知，与平面所成角的正弦值的最大值为   【解析】本题考查了线面角的求解及线面垂直的判定定理、线面平行的判定定理和性质定理，属于拔高题． 本题先证明平面，再证明平面，再利用线面平行性质定理证得，从而证得平面； 本题可以建立空间直角坐标系，设出点坐标，求出和平面的法向量，再利用向量夹角公式求解，再结合基本不等式可求出与平面所成角的正弦值最大值． 10. 如图在四棱锥中，底面是菱形，，平面平面，，，为的中点，是棱上的一点，且． 求证：平面； 求二面角的余弦值． 【答案】证明：连接，交于，连接， 底面是菱形， ， ∽，则， ， 又， ， ， 又平面，平面， 平面． 解：连接， 底面是菱形，， 是正三角形， 为的中点， 又已知， ， 又平面平面，且平面平面，面， 平面， 平面， ， 以为坐标原点，以、、分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系， 则，，，， ，， 设平面的法向量， ，由知， ， ， 取，得， 平面的一个法向量， 设二面角的平面角为， 则， 依图知，二面角为锐角， 二面角的余弦值为． 【解析】本题考查线面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题． 连接，交于，连接，则，推导出，由此能证明平面． 连结，以为坐标原点，以、、分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角的余弦值． 11. 如图，且，，且，，且，，平面，． 求二面角的余弦值； 若点在线段上，且直线与平面所成的角为，求线段的长． 【答案】解：因为平面，平面，平面， 所以，，又， 故以为坐标原点，的方向分别为，，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系． 由且，且，且，可知， 各点坐标为，，，， 易知 设平面的法向量为， 则由可得， 令，则， 故平面的一个法向量为． 设平面的法向量为， 则由可得， 令，则， 故平面的一个法向量为 因为且显然二面角为锐角． 故二面角的余弦值为； 因为点在线段上，故可设点坐标为，其中， 于是， 易知平面的一个法向量为， 因为直线与平面所成的角为， 所以， 解得， 所以线段的长为． 【解析】本题主要考查二面角、直线与平面所成的角的求法，考查向量法的应用，考查运算求解能力，属于中档题． 推导出，，又，故以为坐标原点，的方向分别为，，轴的正方向，建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，利用向量的夹角公式即可求解； 设点坐标为，其中，利用向量法即可求解的值，从而可得结论． 12. 如图，在正四棱柱中，，，点为中点，点为中点． 求异面直线与的距离； 求直线与平面所成角的正弦值； 求点到平面的距离． 【答案】解：以为原点，，，所在直线分别为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，， ， ，，， ，， ，，即为与的公共垂线， 而， 异面直线与的距离为． 由知，，，， 设平面的法向量为， 则，即， 令，则，， ， 设直线与平面所成角为， 则， ， 故直线与平面所成角的正弦值为． 由知，， 由知，平面的法向量为， 点到平面的距离为． 【解析】本题考查异面直线间的距离、点到面的距离和线面角的求法，熟练掌握利用空间向量处理空间距离和线面角的方法是解题的关键，属于中档题． 以为原点，建立空间直角坐标系，由，，知为与的共垂线，再计算，即可； 求得平面的法向量，设直线与平面所成角为，由，，得解； 点到平面的距离为，代入相关数据，进行运算即可得解． 第2页，共2页 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $