2027届高考一轮复习专项训练单元4 基本初等函数 A卷

**基本信息** 聚焦基本初等函数核心素养，以题构建"概念-性质-应用"逻辑链，覆盖高考高频题型与数学建模能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念辨析|3题|集合运算、幂函数定义、函数奇偶性|从集合基础到函数概念生成| |性质应用|6题|单调性比较大小、图像识别、恒成立问题|性质推导到多维度应用| |实际建模|2题|放射性衰变、茶水温度预测|函数模型构建与数据分析| |综合拓展|5题|参数范围、新定义问题、零点探究|知识交汇与批判性思维|

学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2027届高考数学一轮复习单元检测卷 单元4 A卷 答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027届高考数学一轮复习单元检测卷 单元4 基本初等函数 A卷 参考答案与解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 B D C D C C C A AD ABD ABC 1．B 【解析】因为， 所以． 2．D 【解析】当时，，符合幂函数的形式，故充分性满足； 当为幂函数可得，解得或， 故必要性不满足， 所以“”是“为幂函数”的充分不必要条件. 3．C 【解析】因为，所以，. 4．D 【解析】由题意得，即，两边取对数得，即， 解得． 5．C 【解析】令，因为，所以单调递增，，所以； 令，因为，所以单调递减，，所以； 令，因为，所以单调递增，，所以； 综上所述：，，，所以. 6．C 【解析】可化为， 因为，是方程的两个根， 所以是方程的两根，则， 则. 7．C 【解析】已知，两边取以为底的对数，可得： ，， ， 则， 因此. 选项A，，，， 乘积为：，A错误. 选项B，左边， 右边， ，B错误. 选项C，由(1)(2)(3)得：，，， 因此： ，C正确. 选项D， ，D错误. 8．A 【解析】由题意可知，， 因为内层函数在上为增函数，外层函数为增函数， 所以，函数在上为增函数， 当时，， 当时，，则。 当且仅当时，即当时，等号成立，故， 所以，，解得，因此，实数的取值范围是. 9．AD 【解析】若，函数的图象过定点且在上单调递增， 函数的对称轴，图象开口向上， 令，得到或，且时，， 结合各个选项可知，选项A正确， 若，函数的图象过定点且在上单调递减， 函数的对称轴，图象开口向上， 令，得到或，且时，， 结合各个选项可知，选项D正确. 故选：AD 10．ABD 【解析】对于A：当时，设，则在上单调递减， 在上单调递增，因为是上的减函数，可知的递增区间为，则A正确； 对于B：若是偶函数，则，即， 对恒成立，所以，则B正确； 对于C：当时，由A选项，可知， 又因为，所以值域是，则C错误； 对于D：若恒成立，即恒成立， 所以，即恒成立， 所以，解得，则D正确， 故选：ABD 11．ABC 【解析】对于A：构造，得， 知在内单调递减，且，所以在内无零点； 在内单调递增，且， 所以存在唯一零点，故A正确； 对于B：由A知，存在，使得，即，取对数得，， ，故B正确； 对于C：由B知，，则， 若，则，所以，故C正确； 对于D：构造函数，则， 令，解得；令，解得； 可知在内单调递减，在内单调递增， 则，可得，当且仅当时，等号成立， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 因为在内单调递减，且，， 可知在内存在唯一零点，即， 所以的最小值为，不为，故D错误. 故选：ABC 12． 【解析】因为为指数函数，所以， 且底数，，求解可得：， ，根据对数函数恒有， 所以令，求解得， 所以， 因此的图像经过定点． 13． 【解析】令，且， ， 所以为奇函数，且在上连续， 根据奇函数的对称性：在上的最大、最小值关于原点对称， 则，故. 故答案为： 14． 【解析】函数，， 当时，可得作图如下： 由题意，若，则，化简可得，解得， 当时，，，此时不符合题意， 当时，令，， 令，且函数图象的对称轴为直线， 由，则或，所以函数在上单调递减， 可得，则，在上单调递减， ，则在上恒成立，所以此时不符合题意； 当时，可作图如下： 显然不存在符合题意的. 综上所述，的取值范围为. 故答案为： 15．【解析】（1） . （2）因为，则， 即， 则， 即， 所以. 16．【解析】（1）若，则有，解得， 此时有， 设，易得二次函数开口向上，所以， 则有在上单调递增，所以， 则的值域为. （2）若的定义域为R，则有恒成立， ①当时，即，解得，故实数的取值范围是. ②当时，不等式，解得，不满足定义域为R，故. 综上，实数的取值范围是. 17．【解析】（1）由表格可知，函数单调递减，且递减速度逐渐变慢， 模型③为单调递增 函数，不符合， 模型①为直线型，不符合递减速度逐渐变慢， 故模型①③不符合，选模型②， 则，解得：，，，所以； （2），得，， 刚泡好的普洱茶达到最佳饮用口感的放置时间约为分钟. 18．【解析】（1）由为幂函数，得，解得或， 当时，为偶函数，符合题意；当时，为奇函数，舍去. 综上：. （2） 或， 所以的取值范围为. （3）因为对，都存在，使得都成立， ，其中， 函数在上单调递增，所以在时取到最大值为4，即， 因为存在，使得成立， 又因为是关于的在单调递增函数， 或， 故实数的取值范围为. 19．【解析】（1）当时，， 由，得，即，即，即， 所以，解得或，所以不等式的解集是； （2）因为在定义域上单调递减且， 所以在区间上的最大值是，最小值是， 依题意得，即对恒成立， 即对恒成立，即对恒成立， 即对恒成立， 令，则， 当，;当，， 所以，故，所以的取值范围是； （3）因为只有一个零点， 所以方程只有一个根， 所以只有一个根，整理得，， 即，即， ①若，此时，代入真数知真数大于0，符合题意； ②若，此时，代入真数知真数大于0，符合题意； ③若使得真数大于0，使得真数小于等于0，即时符合题意，此时； ④若使得真数小于等于0，使得真数大于0，即时符合题意，此时无解． 综上所述，的取值范围为. 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027届高考数学一轮复习单元检测卷 单元4 基本初等函数 A卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．集合，集合，则（    ） A． B． C． D． 2．“”是“为幂函数”的（    ）条件． A．充要 B．必要不充分 C．既不充分也不必要 D．充分不必要 3．若函数则（    ） A． B． C． D． 4．已知某放射性同位素的含量（单位：贝克）与时间（单位：天）的关系式为，其中为初始含量，则当该放射性同位素的含量为初始含量的时，的值约为（   ）．附． A． B． C． D． 5．已知，，，则，，的大小为（   ） A． B． C． D． 6．若，是方程的两个根，则（    ） A．23 B．27 C． D． 7．已知，则（    ） A． B． C． D． 8．已知函数，，对于任意，存在，有，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．已知，且，则函数与函数在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（   ） A．   B．   C．   D．   10．关于函数，下列选项中正确的有（    ） A．当时，函数的增区间是 B．，使得函数是偶函数 C．当时，函数的值域是 D．若恒成立，则 11．我们把方程的实数解称为“欧米加常数”，记为. 和e一样，都是无理数，还被称为指数函数中的“黄金比例”·下列关于的结论正确的是（   ） A． B． C．若，则 D．函数的最小值为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知函数为指数函数，则函数的图像过一定点，该定点的坐标是________． 13．已知函数，的最大值为，最小值为，则______. 14．已知函数，，若有且仅有一个正整数，使得不等式成立，则实数a的取值范围是___________. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）求下列各式的值： (1). (2)已知，求的值. 16．（15分）已知函数：. (1)若，求的值，并求此时的值域； (2)若定义域为R，求实数的取值范围. 17．（15分）2023年9月17日，联合国教科文组织第45届世界遗产大会通过决议，将中国“普洱景迈山古茶树文化景观”列入《世界遗产名录》，成为全球首个茶主题世界文化遗产．经验表明，某种普洱茶用95℃的水冲泡，等茶水温度降至60℃饮用，口感最佳．某科学兴趣小组为探究在室温条件下，刚泡好的茶水达到最佳饮用口感的放置时间，每隔1分钟测量一次茶水温度，得到茶水温度（单位：℃）与时间（单位：分钟）的部分数据如下表所示： 时间/分钟 0 1 2 3 4 5 水温 95 88 (1)给出下列三种函数模型：①，②，③，请根据上表中的数据，选出你认为最符合实际的函数模型，简单叙述理由，并利用表中前3组数据求出相应的解析式； (2)根据(1)中所求模型，求刚泡好的普洱茶达到最佳饮用口感的放置时间（精确到0.1）．（参考数据：，） 18．（17分）已知幂函数为偶函数. (1)求的解析式； (2)若，求的取值范围； (3)若对任意，都存在，使得成立，求实数的取值范围. 19．（17分）已知函数 (1)当时，解不等式； (2)设，若对，函数在的最大值和最小值之差不超过，求的取值范围； (3)已知函数只有一个零点，求的取值范围． 第 1 页 共 2 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $