2027届高考数学一轮复习专项训练----含参函数分类讨论单调性、极值和最值

**基本信息** 聚焦含参函数单调性、极值、最值分类讨论，构建“方法总结-题型应用-逻辑递进”的专项训练体系，培养数学推理与运算能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |单调性|3题|依据参数对不等式解集影响分类讨论，结合定义域与导数零点划分单调区间|从导数应用基础出发，建立参数影响解集的分类标准| |极值|2题|极值点列方程组求解或转化为导函数变号零点个数问题，需验证根的合理性|以单调性为基础，深化导数零点与函数极值的逻辑关联| |最值|4题|通过参数分类讨论判断单调性，进而确定区间最值|综合单调性与极值，形成“定义域-单调性-最值”完整推理链|

1.［2024·全国甲卷（文）·20节选,4分］已知函数.讨论的单调性. 【解析】由题可知，的定义域为，. 当时，，故在上单调递减； 当时，令，得,当时，，单调递增，当时，，单调递减. 综上所述，当时，在上单调递减； 当时，在上单调递增，在上单调递减. 2.已知函数.讨论函数的单调性. 【解析】. 当时，令，得，当时,，所以在上单调递减，当时,，所以在上单调递增. 当时，令， 得或，分三种情况. 当时，，，所以当或时,，在，上单调递减，当时,,在上单调递增； 当时,恒成立，当且仅当时，取等号，所以在上单调递减； 当时，，，所以当或时,，在，上单调递减，当时,，在上单调递增. 综上所述，当时,在上单调递减，在上单调递增； 当时,在，上单调递减，在上单调递增； 当时,在上单调递减； 当时,在，上单调递减，在上单调递增. 3.已知函数，. （1） 若曲线在处的切线与轴垂直，求实数的值； （2） 讨论函数的单调性. 【解析】 （1） 依题意得，因为曲线在处的切线与轴垂直，所以，解得. （2） 由（1）知， 当时，令，得，令，得，所以在上单调递增，在上单调递减. 当时，分以下三种情况： 若，则在定义域内恒成立，当且仅当时，取等号，所以在上单调递增； 若，令，得或，令，得， 所以在,上单调递增，在上单调递减； 若，令，得或， 令，得， 所以在,上单调递增，在上单调递减. 综上所述，当时，在上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递增； 当时，在,上单调递增，在上单调递减； 当时，在,上单调递增，在上单调递减. 4.（2024· 新课标Ⅱ卷·16,15分）已知函数. （1） 当时，求曲线在点处的切线方程； （2） 若有极小值，且极小值小于0，求的取值范围. 【解析】 （1） 当时,,,, 切点为,， 所求切线的方程为,即. （2） 解法一：的定义域为，. 若，则对任意恒成立，则在上单调递增，无极值，不符合题意,故. 当时，令，解得，令，解得，所以在上单调递减，在上单调递增，则有极小值，且极小值为，无极大值， 由题意可得，即， 令,，则，则在上单调递增，且，则不等式等价于，所以，所以的取值范围为. 解法二：的定义域为，. 若有极小值，则有零点，令，可得，由曲线与直线有公共点，得， 下同解法一. 5.（2025·贵州贵阳七校联考）已知函数. （1） 当时，求的单调区间； （2） 若在区间内有2个极值点，求实数 的取值范围. 【解析】 （1） 当时,，此时函数的定义域为， ，令，得，令，得， 故的单调递减区间为，单调递增区间为. （2） 因为，所以， 令，得， 令 ， 则“在区间内有2个极值点”可以转化为“在区间内有两个不相等的实数根”， 故 得 解得， 所以 的取值范围为. 6.（2025·河北模拟）已知函数. （1） 若在上单调递减，求的取值范围； （2） 求在上的最大值. 【解析】 （1） 在上单调递减，在上恒成立， ,恒成立， 又,,. 故的取值范围是. （2） ， ， 令，解得， 当时,，所以在上单调递增； 当时,，所以在上单调递减， 的单调递增区间为，单调递减区间为. ①当，即时,在上的最大值为； ②当，即时，由的单调性可知,在上单调递减，最大值为； ③当，即时，由的单调性可知,在上单调递增，最大值为. 综上所述，当时,在上的最大值为； 当时,在上的最大值为； 当时,在上的最大值为. 7.（2025·安徽合肥模拟）设函数，. （1） 若的图象在处的切线方程为，求实数的值； （2） 是否存在实数，使得当时,的最小值是3？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【解析】 （1） 依题意，得，因为的图象在处的切线方程为，故，解得， 故，所以，所以，所以. （2） 存在，理由如下： 的定义域为,， 当时,在上恒成立，故在上单调递减， 所以，解得，与矛盾，舍去. 当时，令，得，令，得. 当，即时，在上单调递减，在上单调递增， 故，解得，满足要求； 当，即时，在上单调递减， 故，解得，与矛盾，舍去. 综上，. 8.已知函数在区间上的最小值为0，求正数的值. 【解析】由题可知，函数的定义域为，, 令,得,故当时，,单调递减，当时，,单调递增. ①当，即时，在上单调递增，所以，不符合题意； ②当，即时，在上单调递减，在上单调递增，所以，解得； ③当，即时,在上单调递减，所以，不符合题意. 综上，. 9.已知函数，其中. （1） 当时，求曲线在点处的切线方程； （2） 当时，求在上的最小值. 【解析】 （1） 当时，，则，，所以，所以曲线在点处的切线方程为，即. （2） ，令，解得或， 若，则当时，，单调递减，所以； 若，则当时，，单调递减，时，，单调递增，所以； 若，则当时，，单调递减，所以. 综上， 学科网（北京）股份有限公司 $ 含参函数分类讨论单调性、极值和最值 含参函数分类讨论是这几年的热点，也是学生的易错点。 解决含参函数的单调性问题： （1）研究含参函数的单调性问题，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论； （2）当划分函数的单调区间时，不仅要在函数定义域内讨论，还要注意导数为0的点和函数的间断点. 含参函数的极值（点）： （1）列式：若已知函数的极值（点），根据极值点处的导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解;若已知函数的极值点的个数，常转化为该函数的导函数的变号零点的个数，从而得不等式（组），解不等式（组），即可得参数的范围. （2）验证：求解后验证根的合理性 含参函数的最值： 求出函数的定义域、导函数，通过对参数的分类讨论判断函数的单调性，从而得到函数 的最值. 题型一：含参函数的单调性 1.［2024·全国甲卷（文）·20节选,4分］已知函数.讨论的单调性. 2. 已知函数.讨论函数的单调性 3.已知函数，. （1） 若曲线在处的切线与轴垂直，求实数的值； （2） 讨论函数的单调性. 题型二：含参函数的极值 4.（2024· 新课标Ⅱ卷·16,15分）已知函数. （1） 当时，求曲线在点处的切线方程； （2） 若有极小值，且极小值小于0，求的取值范围. 5.（2025·贵州贵阳七校联考）已知函数. （1） 当时，求的单调区间； （2） 若在区间内有2个极值点，求实数 的取值范围. 题型三：含参函数的最值 6.（2025·河北模拟）已知函数. （1） 若在上单调递减，求的取值范围； （2） 求在上的最大值. 7.（2025·安徽合肥模拟）设函数，. （1） 若的图象在处的切线方程为，求实数的值； （2） 是否存在实数，使得当时,的最小值是3？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 8.已知函数在区间上的最小值为0，求正数的值. 9.已知函数，其中. （1） 当时，求曲线在点处的切线方程； （2） 当时，求在上的最小值. 学科网（北京）股份有限公司 $