精品解析：云南省昆明市官渡区 2025-2026学年七年级下学期期末数学试卷

2025~2026学年下学期期末学业质量监测（一）七年级数学试题卷 （全卷三个大题，共27个小题，共8页；满分100分，考试用时120分钟） 注意事项： 1．本卷为试题卷．考生必须在答题卡上解题作答．答案应书写在答题卡的相应位置上，在试题卷、草稿纸上作答无效． 2．考试结束后，请将试题卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共15小题，每小题只有一个正确选项，每小题2分，共30分） 1. 瓦猫，云南特有的建筑装饰神兽，虽冠以猫名，实则以虎为原型．下列各组由瓦猫图案组成的图形中，右边图案可由左边图案平移得到的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列调查中，最适合采用全面调查的是（ ） A. 调查昆明市的空气质量 B. 检测鞋厂生产的鞋底能承受的弯折次数 C. 了解全市同学每周课余用于阅读的平均时间 D. 调查某车间名职工对安全生产知识的了解情况 3. 在实数，，0，2中，最大的是（ ） A. B. C. 0 D. 2 4. 下列方程是二元一次方程的是（ ） A. B. C. D. 5. 在平面直角坐标系中，点所在的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 6. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 若，则下列不等关系错误的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，直线a，b被直线c所截，已知，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 从装有豆子的瓶中取出30粒豆子做上标记，然后放回瓶中充分摇匀后，再取出50粒豆子发现带标记的豆子有5粒，则估计此瓶中豆子的粒数为（ ） A. 50 B. 100 C. 200 D. 300 10. 投壶是我国古代宴会时礼节性的游戏，游戏时宾客依次将箭矢投入一个特制的壶中，投中多者为胜．如图，若四位投壶者分别站在直线上的点，，，处往点处的壶内投箭矢，小明认为站在点处的投壶者更容易获胜，其中蕴含的数学知识是（ ） A. 垂线段最短 B. 两点确定一条直线 C. 两点之间，线段最短 D. 熟能生巧 11. 下列命题是假命题的是（ ） A. 对顶角相等 B. 无限不循环小数叫作无理数 C. 两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补 D. 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 12. 如图，把两个边长为1的小正方形沿对角线（图中虚线）剪开，得到4个完全一样的直角三角形，将这4个直角三角形拼成一个大正方形，估计这个大正方形的边长应在（ ） A. 0和0.5之间 B. 0.5和1之间 C. 1和1.5之间 D. 1.5和2之间 13. 如图，下列条件能判定的是（ ） A. B. C. D. 14. 受《乌鸦喝水》故事的启发，小官设计了利用量筒估算小球体积的实验．如图，估计量筒中有水溢出时，量筒内相同体积的小球个数至少是（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 15. 由于车辆前后轮胎的磨损并不一致，因此当车辆行驶一定里程之后，需进行前后轮胎换位．设轮胎报废时的总磨损量为1，如某轮胎可行驶a公里，则每公里的磨损量为．某品牌的轮胎安装在某车前轮行驶6万公里报废，安装在后轮行驶4万公里报废，如果此车行驶若干公里后将前后轮胎进行一次换位，使得前后两对轮胎同时报废，那么此品牌的轮胎从安装到报废最多可以行驶（ ） A. 4.5万公里 B. 4.8万公里 C. 5万公里 D. 5.2万公里 二、填空题（本大题共4小题，每小题2分，共8分） 16. 若点在轴上，则______． 17. 若一个正数的两个平方根分别是和，则a的值是________． 18. 某生物学习小组对春季昼夜温差大小与某花卉种子发芽多少之间的关系进行研究，他们分别记录了3月1日至3月5日的每天昼夜温差与实验室每天每100颗种子浸泡后的发芽数，并绘制了如图所示的趋势图，根据趋势图预测当昼夜温差为时，100颗种子浸泡后的发芽数约为________颗． 19. 以二元一次方程的解为坐标的点的全体叫作这个二元一次方程的图象．在同一个平面直角坐标系中，画出和的图象．如图，这两个二元一次方程的图象交于点，由图象可知，方程组的解是________． 三、解答题（本大题共8小题，共62分） 20. 计算和解方程组 （1） （2） 21. 解不等式组，并在数轴上表示出该不等式组的解集． 22. 如图，三角形的三个顶点的坐标分别是，，．将三角形先向右平移7个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到三角形，点A，B，C的对应点分别为，，． （1）在平面直角坐标系中画出三角形，并直接写出点的坐标为（________，________）； （2）求三角形的面积． 23. 如图，某款露营椅展开时，前支架垂直于后支架，且与靠背平行，扶手与底架都平行于地面．经厂家测试，当时，人体体感最为舒适，此时扶手与靠背所形成的是多少度？请你结合所学知识，补全下列解答过程． 解：∵（已知）， ∴________°（垂直定义）． ∵________（已知）， ∴________（________________________）． ∵， ∴． ∵，（已知）， ∴________（如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）． ∴________（________________________）． 24. 二十四节气是古人观察昼夜长短与寒暑变化结合农耕总结出的宝贵时序文化．某校七年级同学通过查阅资料，收集了2025年昆明市白昼时长的相关数据： 节气 立春 雨水 惊蛰 春分 清明 谷雨 时长 11时06分 11时26分 11时47分 12时07分 12时30分 12时51分 节气 立夏 小满 芒种 夏至 小暑 大暑 时长 13时11分 13时27分 13时37分 13时41分 13时37分 13时25分 节气 立秋 处暑 白露 秋分 寒露 霜降 时长 13时09分 12时50分 12时28分 12时06分 11时45分 11时24分 节气 立冬 小雪 大雪 冬至 小寒 大寒 时长 11时05分 10时49分 10时39分 10时35分 10时39分 10时50分 根据收集的数据绘制成如下两幅不完整的统计图： 请根据以上信息，解答下列问题： （1）2025年昆明市白昼时长在小时的节气有________个，并补全直方图； （2）填空：________，并计算白昼时长在小时的扇形的圆心角度数； （3）我国最长白昼日和最短白昼日分别是什么节气？分析二十四节气日的白昼时长是如何变化的？ 25. 背景 某公司准备组织员工到“滇超联赛”的比赛现场为支持的球队加油助威，需购买一些球衣和球帽． 信息1 购买件球衣和顶球帽共需元；购买件球衣和顶球帽共需元． 信息2 该公司需购买球衣和球帽共件（顶），用于购买球衣和球帽的总金额不超过元，且购买球衣的数量不少于件． 问题解决 （1）求购买一件球衣和一顶球帽各需多少元？ （2）设该公司购买球衣件，则购买球帽________顶（用含的式子表示）；请你算一算，该公司有哪几种购买方案？ 26. 【感悟思想】 已知实数x，y满足①，②，求和的值． 思考：常规思路是将①②联立成方程组，解出x，y的值再代入所求代数式求值． 观察这两个方程未知数的系数之间的数量关系，还可以通过适当整体变形求代数式的值．如可得；可得． 这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”． 【体会思想】 （1）已知二元一次方程组，则________，________； （2）已知方程组：，则________； 【应用思想】 （3）某班级组织活动购买小奖品，买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需27元，买39支铅笔、5块橡皮、3本日记本共需50元，若铅笔、橡皮和日记本的价格均为正整数，则1支铅笔、1块橡皮、1本日记本的价格共需多少元？ 27. 平面直角坐标系中，点，点分别在x轴和y轴上，点在线段上，满足． （1）请直接写出________，________，________； （2）如图1，点P从点A出发，以每秒2个单位长度沿x轴负方向运动，点Q从原点出发，以每秒1个单位长度沿y轴正方向运动．两点同时出发，当点P到达原点时，两点同时停止运动．设两点的运动时间均为t秒，是否存在t，使得？若存在，求出t的值，若不存在，说明理由． （3）如图2，连接，点D为第二象限内一点，且．点E是y轴正半轴上的一个动点（不与点B重合），连接，交直线于点F．已知，探究，，之间的数量关系，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年下学期期末学业质量监测（一）七年级数学试题卷 （全卷三个大题，共27个小题，共8页；满分100分，考试用时120分钟） 注意事项： 1．本卷为试题卷．考生必须在答题卡上解题作答．答案应书写在答题卡的相应位置上，在试题卷、草稿纸上作答无效． 2．考试结束后，请将试题卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共15小题，每小题只有一个正确选项，每小题2分，共30分） 1. 瓦猫，云南特有的建筑装饰神兽，虽冠以猫名，实则以虎为原型．下列各组由瓦猫图案组成的图形中，右边图案可由左边图案平移得到的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平移的性质：平移只改变图形的位置，不改变图形的形状、大小和方向，对各选项进行逐一判断即可． 【详解】解：A、右边图案由左边图案旋转得到，方向发生了改变，故本选项不符合题意； B、右边图案由左边图案旋转或轴对称得到，方向发生了改变，故本选项不符合题意； C、右边图案形状、大小、方向均未改变，可由左边图案平移得到，故本选项符合题意； D、右边图案与左边图案大小不同，故本选项不符合题意． 2. 下列调查中，最适合采用全面调查的是（ ） A. 调查昆明市的空气质量 B. 检测鞋厂生产的鞋底能承受的弯折次数 C. 了解全市同学每周课余用于阅读的平均时间 D. 调查某车间名职工对安全生产知识的了解情况 【答案】D 【解析】 【分析】根据全面调查的适用条件：调查范围小，数量少，无破坏性，逐项分析即可求解． 【详解】解：A选项调查昆明市空气质量，范围较大，无法进行全面调查； B选项检测鞋底能承受的弯折次数，调查具有破坏性，不适合全面调查； C选项了解全市同学每周阅读时间，范围大，人数多，不适合全面调查； D选项该车间仅名职工，范围小，人数少，适合采用全面调查． 3. 在实数，，0，2中，最大的是（ ） A. B. C. 0 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查实数大小比较，利用“负数小于0，0小于正数”的规则先排除较小的数，再比较剩余正数的大小即可． 【详解】解：∵ 负数小于0，0小于正数， ∴ ，， 又∵ ，且， ∴ ， ∴ 四个数中最大的是． 故选A． 4. 下列方程是二元一次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题根据二元一次方程的定义判断即可，二元一次方程需要满足三个条件：含有两个未知数，所有含未知数的项的次数为1，且为整式方程． 【详解】解：∵ 选项A ， 只含有1个未知数，是一元一次方程，不符合要求； ∵ 选项C， 中，项的次数为2，不符合要求，不是二元一次方程； ∵ 选项D， 中是分式，该方程是分式方程，不是整式方程，不符合要求； ∴ 选项B， 含有两个未知数，含未知数的项次数均为1，且是整式方程，符合二元一次方程定义． 5. 在平面直角坐标系中，点所在的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】根据平面直角坐标系中各象限内点的横纵坐标符号特征：第一象限，第二象限，第三象限，第四象限，即可判断点所在象限． 【详解】解：∵点的横坐标，纵坐标，符合第四象限内点的符号特征， ∴点在第四象限． 6. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据有理数的乘方，立方根与算术平方根的定义，逐项计算即可求解． 【详解】解：对选项A：，，故A选项计算正确； 对选项B：，故B选项计算错误； 对选项C：，故C选项计算错误； 对选项D：表示的算术平方根，结果为非负数，即，故D选项计算错误． 7. 若，则下列不等关系错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查不等式的基本性质，根据不等式的性质逐一判断即可找出错误选项． 【详解】解：根据不等式的基本性质判断： ∵ 不等式两边同时加（或减）同一个数，不等号方向不变，已知， ∴ ，，因此A、B选项正确； ∵ 不等式两边同时乘同一个负数，不等号方向改变 ∴ ，因此C选项正确； ∵ 不等式两边同时除以同一个正数，不等号方向不变 ∴ ，因此D选项错误． 8. 如图，直线a，b被直线c所截，已知，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解： ，， . 9. 从装有豆子的瓶中取出30粒豆子做上标记，然后放回瓶中充分摇匀后，再取出50粒豆子发现带标记的豆子有5粒，则估计此瓶中豆子的粒数为（ ） A. 50 B. 100 C. 200 D. 300 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查用样本估计总体，利用总体中标记豆子的占比与样本中标记豆子的占比相等列等式，求解即可得到估计的总粒数． 【详解】解：设此瓶中豆子的粒数为粒， ∵ 摇匀后总体中标记豆子的占比与抽取样本中标记豆子的占比相等， ∴ 可得方程 交叉相乘得 计算得 ， 解得 ， 经检验 是原方程的解，符合题意， 因此估计瓶中豆子粒数为． 10. 投壶是我国古代宴会时礼节性的游戏，游戏时宾客依次将箭矢投入一个特制的壶中，投中多者为胜．如图，若四位投壶者分别站在直线上的点，，，处往点处的壶内投箭矢，小明认为站在点处的投壶者更容易获胜，其中蕴含的数学知识是（ ） A. 垂线段最短 B. 两点确定一条直线 C. 两点之间，线段最短 D. 熟能生巧 【答案】A 【解析】 【分析】根据直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短进行求解即可． 【详解】解：由题意及图形可知，，即为点到直线的垂线段， ∵直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短， ∴站在点处的投壶者距离壶最近，更容易获胜． 11. 下列命题是假命题的是（ ） A. 对顶角相等 B. 无限不循环小数叫作无理数 C. 两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补 D. 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【答案】C 【解析】 【分析】根据对顶角性质，无理数定义，平行线性质，垂线的基本性质，逐项分析即可求解． 【详解】解：A、对顶角相等，该命题是真命题，本选项不符合题意； B、根据无理数的定义：无限不循环小数是无理数，该命题是真命题，本选项不符合题意； C、两条平行直线被第三条直线所截时，同旁内角才互补，命题中未说明两条直线平行，故该命题是假命题，本选项符合题意； D、在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，该命题是真命题，本选项不符合题意． 12. 如图，把两个边长为1的小正方形沿对角线（图中虚线）剪开，得到4个完全一样的直角三角形，将这4个直角三角形拼成一个大正方形，估计这个大正方形的边长应在（ ） A. 0和0.5之间 B. 0.5和1之间 C. 1和1.5之间 D. 1.5和2之间 【答案】C 【解析】 【分析】计算出大正方形的面积，从而得出大正方形的边长，再进一步估算即可． 【详解】解：∵两个小正方形的面积都为1， ∴大正方形的面积为2， ∴大正方形的边长为， ∵， ∴． 13. 如图，下列条件能判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行线的判定定理依次判定即可 【详解】解： ∵，∴，不能判定，故选项A不符合题意； ∵，∴，不能判定，故选项B不符合题意； ∵，∴，故选项C符合题意； ∵，∴，不能判定，故选项D不符合题意； 14. 受《乌鸦喝水》故事的启发，小官设计了利用量筒估算小球体积的实验．如图，估计量筒中有水溢出时，量筒内相同体积的小球个数至少是（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】B 【解析】 【分析】先根据放入个小球水面上升的高度，求出每个小球使水面上升的高度，再设放入个小球时水溢出，根据量筒总高度列出一元一次不等式求解即可． 【详解】解：由图可知，放入个小球后，水面从上升到， 故每个小球使水面上升， 设放入个小球时量筒内有水溢出， ∵量筒总高度为，初始水位为， ∴， 解得， ∵为整数， ∴的最小值为， 故量筒内相同体积的小球个数至少是个． 15. 由于车辆前后轮胎的磨损并不一致，因此当车辆行驶一定里程之后，需进行前后轮胎换位．设轮胎报废时的总磨损量为1，如某轮胎可行驶a公里，则每公里的磨损量为．某品牌的轮胎安装在某车前轮行驶6万公里报废，安装在后轮行驶4万公里报废，如果此车行驶若干公里后将前后轮胎进行一次换位，使得前后两对轮胎同时报废，那么此品牌的轮胎从安装到报废最多可以行驶（ ） A. 4.5万公里 B. 4.8万公里 C. 5万公里 D. 5.2万公里 【答案】B 【解析】 【分析】利用一元一次方程求解，设总行驶路程为万公里，根据总磨损量为两个轮胎各，结合前后轮每公里磨损量，列方程求解即可． 【详解】解：设此品牌轮胎从安装到报废最多可行驶万公里， ∵ 前轮万公里报废，总磨损量为， ∴ 前轮每公里磨损量为； 同理，后轮万公里报废，可得后轮每公里磨损量为， ∵ 全程中前轮位置总行驶路程为万公里，后轮位置总行驶路程为万公里，两个轮胎同时报废时总磨损量为， ∴ 列方程得： 通分得： 整理得： 解得： 即最多可行驶万公里． 二、填空题（本大题共4小题，每小题2分，共8分） 16. 若点在轴上，则______． 【答案】1 【解析】 【分析】由题意直接根据x轴上的点的纵坐标为0列出方程求解即可． 【详解】解：∵点在轴上， ∴m-1=0， ∴m=1． 故答案为：1． 【点睛】本题考查点的坐标，熟记x轴上的点的纵坐标为0是解题的关键． 17. 若一个正数的两个平方根分别是和，则a的值是________． 【答案】 【解析】 【分析】一个正数有两个平方根，它们互为相反数，根据这一性质列方程求解即可. 【详解】解：一个正数的两个平方根分别是和， ， 合并同类项得， 解得. 18. 某生物学习小组对春季昼夜温差大小与某花卉种子发芽多少之间的关系进行研究，他们分别记录了3月1日至3月5日的每天昼夜温差与实验室每天每100颗种子浸泡后的发芽数，并绘制了如图所示的趋势图，根据趋势图预测当昼夜温差为时，100颗种子浸泡后的发芽数约为________颗． 【答案】37（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了趋势图，熟练掌握趋势图的定义是解题的关键：趋势图是一种用于描述两个量之间关系的统计图，它能够清楚地表示两个量之间的关系，并有助于根据一个量的变化预测另一个量的变化趋势，能运用趋势图对两个量进行分析，预测另一个量的变化趋势．这是学习的重点和难点‌．观察趋势图即可求解． 【详解】解：如图，由趋势图预测当昼夜温差为时，100颗种子浸泡后的发芽数约为37颗， 故答案为：37（答案不唯一）． 19. 以二元一次方程的解为坐标的点的全体叫作这个二元一次方程的图象．在同一个平面直角坐标系中，画出和的图象．如图，这两个二元一次方程的图象交于点，由图象可知，方程组的解是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二元一次方程组和对应图象的关系，方程组的解就是两个方程图象的交点坐标，直接可得到方程组的解． 【详解】解：∵和的图象交点为， ∴方程组的解是． 三、解答题（本大题共8小题，共62分） 20. 计算和解方程组 （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先计算算术平方根，立方根，绝对值，再合并即可； （2）利用加减消元法解方程组即可. 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：， 整理得：， 得：， 解得：， 把代入②得：， 解得：， ∴方程组的解为：. 21. 解不等式组，并在数轴上表示出该不等式组的解集． 【答案】不等式组的解集为， 表示在数轴上如图所示： 【解析】 【分析】先分别解不等式组的两个不等式，再取公共部分解集，最后将解集在数轴上表示出即可． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为． 数轴表示略 22. 如图，三角形的三个顶点的坐标分别是，，．将三角形先向右平移7个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到三角形，点A，B，C的对应点分别为，，． （1）在平面直角坐标系中画出三角形，并直接写出点的坐标为（________，________）； （2）求三角形的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）分别确定点A，B，C的对应点为，，，再顺次连接，并根据的位置可得其坐标； （2）利用割补法求解三角形的面积即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：． 23. 如图，某款露营椅展开时，前支架垂直于后支架，且与靠背平行，扶手与底架都平行于地面．经厂家测试，当时，人体体感最为舒适，此时扶手与靠背所形成的是多少度？请你结合所学知识，补全下列解答过程． 解：∵（已知）， ∴________°（垂直定义）． ∵________（已知）， ∴________（________________________）． ∵， ∴． ∵，（已知）， ∴________（如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）． ∴________（________________________）． 【答案】90；；；两直线平行，内错角相等；；；两直线平行，同位角相等 【解析】 【分析】根据已知条件得出，再由平行线的性质结合题意可得出． 【详解】略 24. 二十四节气是古人观察昼夜长短与寒暑变化结合农耕总结出的宝贵时序文化．某校七年级同学通过查阅资料，收集了2025年昆明市白昼时长的相关数据： 节气 立春 雨水 惊蛰 春分 清明 谷雨 时长 11时06分 11时26分 11时47分 12时07分 12时30分 12时51分 节气 立夏 小满 芒种 夏至 小暑 大暑 时长 13时11分 13时27分 13时37分 13时41分 13时37分 13时25分 节气 立秋 处暑 白露 秋分 寒露 霜降 时长 13时09分 12时50分 12时28分 12时06分 11时45分 11时24分 节气 立冬 小雪 大雪 冬至 小寒 大寒 时长 11时05分 10时49分 10时39分 10时35分 10时39分 10时50分 根据收集的数据绘制成如下两幅不完整的统计图： 请根据以上信息，解答下列问题： （1）2025年昆明市白昼时长在小时的节气有________个，并补全直方图； （2）填空：________，并计算白昼时长在小时的扇形的圆心角度数； （3）我国最长白昼日和最短白昼日分别是什么节气？分析二十四节气日的白昼时长是如何变化的？ 【答案】（1）6， （2）25，白昼时长在小时的扇形的圆心角度数为 （3）我国最长白昼日是夏至节气，最短白昼日是冬至节气；二十四节气日的白昼时长变化是先长后短． 【解析】 【分析】（1）根据题中白昼时长的相关数据表格，数出白昼时长在小时的节气个数，并将所得数据表示在直方图中即可； （2）先用白昼时长在小时的节气个数除以总节气个数乘可得出m的值，再用白昼时长在小时的节气个数除以总节气个数乘即可得出结果； （3）先在题中表格找出白昼时长最长和最短的节气，再根据表格中白昼时长的数据变化进行分析总结即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ∴， 白昼时长在小时的扇形的圆心角度数为：． 【小问3详解】 略 25. 背景 某公司准备组织员工到“滇超联赛”的比赛现场为支持的球队加油助威，需购买一些球衣和球帽． 信息1 购买件球衣和顶球帽共需元；购买件球衣和顶球帽共需元． 信息2 该公司需购买球衣和球帽共件（顶），用于购买球衣和球帽的总金额不超过元，且购买球衣的数量不少于件． 问题解决 （1）求购买一件球衣和一顶球帽各需多少元？ （2）设该公司购买球衣件，则购买球帽________顶（用含的式子表示）；请你算一算，该公司有哪几种购买方案？ 【答案】（1）购买一件球衣需元，购买一顶球帽需元 （2）；共有种购买方案： 方案一：购买球衣件，球帽顶； 方案二：购买球衣件，球帽顶； 方案三：购买球衣件，球帽顶 【解析】 【分析】（1）设球衣和球帽的单价为未知数，根据两组购买费用的等量关系列出二元一次方程组，求解方程组即可得到两者的单价； （2）用总数量减去球衣数量即可表示出球帽数量，根据总金额限制和球衣数量要求列一元一次不等式组，求出的取值范围，结合为正整数确定具体取值，即可得出所有购买方案． 【小问1详解】 解：设购买一件球衣需元，购买一顶球帽需元， ， 解得， 答：购买一件球衣需元，购买一顶球帽需元； 【小问2详解】 解：总数量为件，球衣为件，因此球帽数量为顶， ， 解得， ∵为正整数， ∴，，， 当时，； 当时，； 当时，； 答：共有种购买方案： 方案一：购买球衣件，球帽顶； 方案二：购买球衣件，球帽顶； 方案三：购买球衣件，球帽顶． 26. 【感悟思想】 已知实数x，y满足①，②，求和的值． 思考：常规思路是将①②联立成方程组，解出x，y的值再代入所求代数式求值． 观察这两个方程未知数的系数之间的数量关系，还可以通过适当整体变形求代数式的值．如可得；可得． 这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”． 【体会思想】 （1）已知二元一次方程组，则________，________； （2）已知方程组：，则________； 【应用思想】 （3）某班级组织活动购买小奖品，买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需27元，买39支铅笔、5块橡皮、3本日记本共需50元，若铅笔、橡皮和日记本的价格均为正整数，则1支铅笔、1块橡皮、1本日记本的价格共需多少元？ 【答案】（1）， （2） （3）购买1支铅笔、1块橡皮、1本日记本共需4元 【解析】 【分析】（1）把两个方程相加可求，相减可求； （2）把3个方程相加得； （3）设未知数列出方程组，用整体思想求解即可． 【小问1详解】 解：， 得 ， 得 ， 解得. 【小问2详解】 解：， ①+②+③得， ， 即； 【小问3详解】 解：设购买1支铅笔a元，1块橡皮b元，1本日记本c元,根据题意列方程组得， ． ①②得， ， 答：购买1支铅笔、1块橡皮、1本日记本共需4元． 27. 平面直角坐标系中，点，点分别在x轴和y轴上，点在线段上，满足． （1）请直接写出________，________，________； （2）如图1，点P从点A出发，以每秒2个单位长度沿x轴负方向运动，点Q从原点出发，以每秒1个单位长度沿y轴正方向运动．两点同时出发，当点P到达原点时，两点同时停止运动．设两点的运动时间均为t秒，是否存在t，使得？若存在，求出t的值，若不存在，说明理由． （3）如图2，连接，点D为第二象限内一点，且．点E是y轴正半轴上的一个动点（不与点B重合），连接，交直线于点F．已知，探究，，之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）8，6，3 （2）存在，秒 （3）， 理由：如图， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 过点F作，交x轴于点H， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 整理得：， ∴关系为：． 【解析】 【分析】（1）利用非负性即可求出a，b，c的值，即可得出结论； （2）先表示出，，利用面积相等，建立方程求解即可得出结论； （3）利用平行线的性质，三角形的外角性质，三角形内角和定理及角度的等量代换即可证得结论． 【小问1详解】 解：∵， ∴，，， ∴，，． 【小问2详解】 解：由（1）知，，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 由题意知，，， ∴， ∴， 整理得：， 解得：， ∴t的值为2秒． 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $