山西忻州市2025-2026学年高二下学期7月期末考试数学试题

参考答案 1．D 2．C 3．A 4．B 5．A 6．A 7．D 8．C 9．AD 10．ABC 11．ABD 12． 13．10 14． 15．答案：（1）100 （2） 解析：（1） （2）已知，是方程的两根，则 由， 可得 ． 16．答案：（1）240种 （2）144种 （3）840种 解析：（1）2个唱歌节目排在两头，先排两头的唱歌节目，有种排法，再排中间的5个节目，有种排法， 则唱歌节目排在两头，有种排法． （2）2个唱歌节目全排列，排法有种，将这2个唱歌节目看成一个整体， 3个舞蹈节目全排列，排法有种，将这3个舞蹈节目看成一个整体， 把这两个整体进行全排列，排法有种，此时形成3个空， 将2个小品节目插入这3个空中，排法有种， 则唱歌节目相邻，舞蹈节目相邻，2个小品节目不相邻，有种排法． （3）7个节目进行全排列，排法有种，3个舞蹈节目出场顺序固定， 则不同的排法有种． 17．答案：（1）证明见解析 （2） 解析：（1）取的中点，连接，，由等边可得， 又平面平面，平面平面， 平面，所以平面， 又平面，所以． 在中，，，，由余弦定理可得 ， 因为，所以， 又，所以， 又，，平面，所以平面， 又平面，所以， 故为直角三角形． （2）由（1）得，，两两垂直， 如图，以为坐标原点，，，所在的直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系， 则，，，， 所以，，， 设（），则． 设平面的一个法向量，则 令，解得，， 所以平面的一个法向量． 因为直线与平面所成角的正弦值为， 所以， 解得或（舍），所以， ， 即线段的长为． 18．答案：（1），相关程度较高 （2），9.3亿元 解析：（1）由表中数据可知，，， ，，， 则， 故相关程度较高； （2），， 则，， 故， 令，解得， 故研发投入至少9.3亿元． 19．答案：（1）极大值为，极小值为． （2）时，在上单调递减，在单调递增； 时，在和上单调递增，在上单调递减； 时，在上单调递增； 时，在和上单调递增，在上单调递减． （3）见解析 解析：（1）当时，， 对函数求导得：， 解得或；解得， 所以在和上单调递增，在上单调递减， 则的极大值为，极小值为． （2）（）， 对求导得， 当时，恒成立， 时，单调递减；时，单调递增， 当时，令得或， ①若，则， 时，单调递增； 时，单调递减； 时，单调递增； ②若，则，恒成立，在上单调递增； ③若，则， 时，单调递增； 时，单调递减； 时，单调递增； 综上所述，时，在上单调递减，在单调递增； 时，在和上单调递增，在上单调递减； 时，在上单调递增； 时，在和上单调递增，在上单调递减． （3）不存在满足条件的，理由如下： 假设存在实数，使得的两个零点互为相反数，设两个零点为和（）， 则有：， 两式相减消去参数，得， 令， 求导得，对任意，恒成立， 仅在处导数为0，故在上单调递增， 又，因此仅有唯一解， 但时，与零点定义矛盾，故不存在满足条件的． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第二学期高二年级期末考试试题 数 学 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚． 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设全集，已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 2．已知函数是偶函数，则实数（ ） A．1 B．-1 C．2 D．-2 3．已知幂函数（）的图象不经过原点，则（ ） A． B． C．或 D．或 4．函数的图象大致是（ ） A． B． C． D． 5．对于一个声强为（单位：）的声波，其声强级（单位：）可由如下公式计算：（其中是能引起听觉的最弱声强）．设声强为时的声强级为，声强为时的声强级为，则等于（ ） A．10 B．100 C． D．10000 6．已知函数是定义在上的奇函数，且图象关于直线对称，当时，，则（ ） A．-2 B．-1 C．1 D．2 7．已知函数，若函数有3个零点，则的取值范围是（ ）A． B． C． D． 8．在自然界中，对称性无处不在．从蝴蝶翅膀的美丽图案到雪花晶体的完美结构，对称性展现了自然界的和谐与平衡．数学作为描述自然规律的语言，同样充满了对称之美．函数图像的对称性，例如轴对称和中心对称，关于函数的相关对称性质是数学中研究的重要概念．已知函数，使得不等式成立的实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列选项中，正确的是（ ） A．若：，，则：， B．若不等式的解集为，则 C．函数（且）的图象恒过定点 D．若，，且，则的最小值为9 10．下列结论中，所有正确的结论是（ ） A．若，，则 B．命题：，，的否定是：， C．若且，则 D．若，，则实数的取值范围为 11．已知函数，则（ ） A．的图象关于轴对称 B．有两个零点 C．不等式的解集为 D．若，则的最小值为2 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知函数若，则____________． 13．已知函数（，），若，则实数____________． 14．已知，，若对，总，使成立，则实数的取值范围为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） （1）求值：； （2）已知，是方程的两根，且，求的值． 16．（15分） 某次文艺晚会上计划演出7个节目，其中2个唱歌节目，3个舞蹈节目，2个小品节目，需要制作节目单． （1）唱歌节目排在两头，有多少种排法？ （2）唱歌节目相邻，舞蹈节目相邻，2个小品节目不相邻，有多少种排法？ （3）3个舞蹈节目出场顺序固定，有多少种排法？ 17．（15分） 如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，为等边三角形，平面平面，点是棱上的一点． （1）求证：为直角三角形； （2）若直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长． 18．（17分） 某中医药企业根据市场调研与模拟，得到研发投入（亿元）与产品收益（亿元）的数据统计如下： 研发投入（亿元） 1 2 3 4 5 产品收益（亿元） 3 7 9 10 11 （1）计算，的相关系数，并判断是否可以认为研发投入与产品收益具有较高的线性相关程度？（若，则线性相关程度一般；若，则线性相关程度较高） （2）求出关于的线性回归方程，并预测若想收益超过20（亿元），则需研发投入至少多少亿元？（结果保留一位小数） 参考公式：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式，相关系数的公式分别为 ，，． 参考数据：，，． 19．（17分） 已知函数（）． （1）若，求的极值； （2）讨论函数的单调性； （3）是否存在实数，使得的两个零点互为相反数？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $