精品解析：山西忻州市2025-2026学年高二下学期7月期末考试数学试题

2025-2026学年第二学期高二年级期末考试试题 数 学 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚． 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设全集，已知集合，，则=（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】化简集合，先求出，再求出其补集即可得解. 【详解】或，， 所以， 所以，即. 故选：D 2. 已知函数是偶函数，则实数（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用偶函数的定义即可求解. 【详解】已知函数的定义域为， 所以 ， 又因为函数是偶函数，所以，解得，故C正确. 3. 已知幂函数的图象不经过原点，则（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】先根据幂函数的定义求出的可能取值，再结合图象不过原点的约束筛选出符合条件的，最后代入计算函数值即可. 【详解】由题意可得，解得或， 当时，，此时图象不经过原点，符合题意； 当时，，此时图象经过原点，不符合题意； 所以，. 4. 函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由函数的奇偶性及趋近性，结合选项即可得出答案. 【详解】函数的定义域为. 又， 函数为奇函数，其图象关于原点对称，可排除选项AD； 又时，，可排除选项C. 故选：B. 【点睛】本题考查函数的奇偶性和图象的识别，属于基础题. 5. 对于一个声强为I（单位：）的声波，其声强级L（单位：）可由如下公式计算：（其中是能引起听觉的最弱声强）.设声强为时的声强级为70，声强为时的声强级为60，则等于（ ） A. 10 B. 100 C. D. 10000 【答案】A 【解析】 【分析】代入求值，得到，，得到答案. 【详解】令，则，解得：， 令，则，解得：， 故. 故选：A 6. 已知函数是定义在上的奇函数，且图象关于直线对称，当时，，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】由于是定义在上的奇函数，且其图象关于直线对称，故，进而得出函数的周期为，，然后代入解析式进行计算即可. 【详解】因为是定义在上的奇函数，且其图象关于直线对称， 所以， ， 所以函数的周期为， . 故选：A 【点睛】关键点点睛：函数图象关于直线对称，则有成立，函数是定义在上的奇函数可得，即，可得函数周期为8. 7. 已知函数，若函数有3个零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】转化为与图象有3个不同的交点，画出两函数图象，数形结合得到答案. 【详解】令，故， 画出与的图象， 函数有3个零点，即与图象有3个不同的交点， 则， 解得. 故选：D 8. 在自然界中，对称性无处不在.从蝴蝶翅膀的美丽图案到雪花晶体的完美结构，对称性展现了自然界的和谐与平衡.数学作为描述自然规律的语言，同样充满了对称之美.函数图像的对称性，例如轴对称和中心对称，关于函数的相关对称性质是数学中研究的重要概念.已知函数使得不等式成立的实数m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题可得关于直线对称，判断在上单调递增，由此可得，运算得解. 【详解】， ， 所以函数关于直线对称， 当时，， 由对号函数单调性可知在时单调递增，单调递增， 所以在上单调递增， 由，可得， ，化简整理得， 解得. 故选：C. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列选项中，正确的是（ ） A. 若，，则， B. 若不等式的解集为，则 C. 函数的图象恒过定点 D. 若，，且，则的最小值为9 【答案】AD 【解析】 【分析】根据命题的否定即可判断选项A正误,根据一元二次不等式解集和一元二次方程根之间的关系,再利用韦达定理,即可判断选项B正误,根据对数函数恒过,即可得选项C正误,根据“1”的代换,即可得选项D的正误. 【详解】对于A：由题知,“”的否定是“”，故A正确； 对于B：若不等式的解集为, 则的两根为，且, 根据韦达定理有: ，解得，所以,故B错误； 对于C：对数函数恒过, 所以恒过，故C错误； 对于D：因为, 所以, 当且仅当,即时等式成立， 故的最小值为9，故D正确. 故选：AD. 10. 下列结论中，所有正确的结论是（　　） A. 若，则 B. 命题的否定是： C. 若且，则 D. 若，则实数的取值范围为 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据不等式的性质、特称命题的否定、作差法比较大小以及恒成立问题的求解方法，对每个选项逐一进行分析. 【详解】对于选项A： 因为，所以. 因为，所以，即，所以A正确； 对于选项B： 特称命题的否定是全称命题，对于命题的否定是： ，所以B正确； 对于选项C： ，因为， 所以，所以， 所以，所以C正确； 对于选项D： 因为时，恒成立，即恒成立. 根据基本不等式的性质， 所以要使得不等式恒成立，则，所以D错误. 故选：ABC. 11. 已知函数，则（ ） A. 的图象关于轴对称 B. 有两个零点 C. 不等式的解集为 D. 若，则的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用函数奇偶性的定义可判断A选项；分析函数的单调性，结合可判断B选项；将所求不等式转化为，结合函数的单调性与定义域可得出关于的不等式组，即可解得原不等式的解集，可判断C选项；分析可得，由已知条件得出，结合函数的单调性得出，由基本不等式可判断D选项. 【详解】对于A选项，函数的定义域为， ， 所以函数为偶函数，其图象关于轴对称，A对； 对于B选项，当时，， 因为函数、、在上均为增函数， 故函数在上为增函数，且， 故函数在上为减函数，且， 故函数有且只有两个零点，B对； 对于C选项，因为函数是定义域为上的偶函数，且该函数在上为增函数， 由可得，所以，解得且， 所以不等式的解集为，C错； 对于D选项，因为， 所以， 由可得，即， 因为函数在上单调递增，所以，即， 所以， 当且仅当时，即当时，等号成立，故的最小值为，D对. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数若，则___________. 【答案】 【解析】 【分析】 先计算，可得，分段解方程即可. 【详解】因为，若，则， 当时， 无解 当时，，可得， 故答案为： 13. 已知函数，若，则实数________． 【答案】 10 【解析】 【分析】根据对数的计算公式即可求解. 【详解】由题意，故. 14. 已知，，若对，总，使成立，则实数a的取值范围为________． 【答案】 【解析】 【分析】利用导数求解两个函数的值域，根据值域的包含关系可得答案. 【详解】，，当时，，单调递减； 当时，，单调递增，由，可得的值域为. ，， 当时，，单调递增，由，可得的值域为. 因为若对，总，使成立，所以， 即，解得，故实数a的取值范围为. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. （1）求值： （2）已知是方程的两根，且，求的值. 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）利用幂的运算性质去化简运算即可解决； （2）利用根与系数的关系及根式的性质去求解即可解决. 【详解】（1） （2）已知是方程的两根，则 由， 可得 16. 某次文艺晚会上计划演出7个节目，其中2个歌曲节目，3个舞蹈节目，2个小品节目，需要制作节目单： （1）唱歌节目排在两头，有多少种排法？ （2）唱歌节目相邻，舞蹈节目相邻，两个小品节目不相邻，有多少种排法？ （3）三个舞蹈节目出场顺序固定，有多少种排法？ 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）先排两头的唱歌节目，再排中间的5个节目，即可得解； （2）第一步，先将2个唱歌节目全排列，再将这2个唱歌节目看成一个整体，第二步，先将3个舞蹈节目全排列，再将这3个舞蹈节目看成一个整体，第三步，把这两个整体进行全排列，此时这两个整体的全排列，形成3个空，将2个小品节目插入这3个空中，即可得解； （3）先将7个节目进行全排列，再由3个舞蹈节目出场顺序固定，就是7个节目的全排列数除以3个舞蹈节目的全排列数，即为所求. 【小问1详解】 2个唱歌节目排在两头，先排两头的唱歌节目，有种，再排中间的5个节目，有种， 则唱歌节目排在两头，有种排法； 【小问2详解】 2个唱歌节目全排列，排法有种，将这2个唱歌节目看成一个整体， 3个舞蹈节目全排列，排法有种，将这3个舞蹈节目看成一个整体， 把这两个整体进行全排列，排法有种，此时这两个整体的全排列，形成3个空， 将2个小品节目插入这3个空中，排法有种， 则唱歌节目，舞蹈节目相邻，两个小品节目不相邻， 有种； 【小问3详解】 7个节目进行全排列，排法有种，3个舞蹈节目出场顺序固定，则不同的排法有种. 17. 如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，为等边三角形，平面平面，点是棱上的一点. （1）求证：为直角三角形； （2）若直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长. 【答案】（1） 取的中点，连接，，由等边可得， 又平面平面，平面平面， 平面，所以平面， 又平面，所以. 在中，，，， 由余弦定理可得， 因为，所以， 又，所以， 又，，平面，所以平面， 又平面，所以， 故为直角三角形. （2） 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接，，由面面垂直的性质定理及线面垂直的判定定理，可证平面，从而证得，得为直角三角形； （2）建立空间直角坐标系，设（），由线面角的向量求法列得关于的方程，求出，即可得线段的长.. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）得，，两两垂直， 如图，以为坐标原点，，，所在的直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系， 则，，，， 所以，，， 设（），则. 设平面的一个法向量，则 令，解得，， 所以平面的一个法向量. 因为直线与平面所成角的正弦值为， 所以， 解得或（舍），所以， ， 即线段的长为. 18. 某中医药企业根据市场调研与模拟，得到研发投入（亿元）与产品收益（亿元）的数据统计如下： 研发投入（亿元） 1 2 3 4 5 产品收益（亿元） 3 7 9 10 11 （1）计算，的相关系数，并判断是否可以认为研发投入与产品收益具有较高的线性相关程度？（若，则线性相关程度一般；若，则线性相关程度较高） （2）求出关于的线性回归方程，并预测若想收益超过20（亿元），则需研发投入至少多少亿元？（结果保留一位小数） 参考公式：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式，相关系数的公式分别为，，. 参考数据：，，. 【答案】（1），相关程度较高 （2），9.3亿元 【解析】 【分析】（1）通过计算相关系数来进行判断. （2）先计算回归直线方程，并由此作出预测. 【小问1详解】 由表中数据可知，，， ，，， 则， 故相关程度较高； 【小问2详解】 ，， 则，， 故， 令，解得， 故研发投入至少9.3亿元. 19. 已知函数． （1）若，求的极值； （2）讨论函数的单调性； （3）是否存在实数，使得的两个零点互为相反数？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【答案】（1）极大值为，极小值为. （2）时，在上单调递减，在单调递增； 时，在和上单调递增，在上单调递减； 时，在R上单调递增； 时， 在和上单调递增，在上单调递减. （3）不存在满足条件的a，理由如下： 假设存在实数a，使得的两个零点互为相反数，设两个零点为和， 则有：， 两式相减消去参数a，得， 令， 求导得，对任意，恒成立， 仅在处导数为0，故在R上单调递增， 又，因此仅有唯一解， 但时，与零点定义矛盾，故不存在满足条件的a. 【解析】 【分析】（1）利用导数求的极值； （2）讨论a的取值范围，利用导数求函数的单调性； （3）假设存在满足条件的a，利用零点的定义得出矛盾. 【小问1详解】 当时，， 对函数求导得：， 解得或；解得， 所以在和上单调递增，在上单调递减， 则的极大值为，极小值为. 【小问2详解】 ， 对求导得， 当时，恒成立， 时，单调递减；时，单调递增， 当时，令得或， ①若，则， 时，单调递增； 时，单调递减； 时，单调递增； ②若，则，恒成立，在R上单调递增； ③若，则， 时，单调递增； 时，单调递减； 时，单调递增； 综上所述，时，在上单调递减，在单调递增； 时，在和上单调递增，在上单调递减； 时，在R上单调递增； 时， 在和上单调递增，在上单调递减. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第二学期高二年级期末考试试题 数 学 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚． 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设全集，已知集合，，则=（ ） A. B. C. D. 2. 已知函数是偶函数，则实数（ ） A. B. C. D. 3. 已知幂函数的图象不经过原点，则（ ） A. B. C. 或 D. 或 4. 函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 5. 对于一个声强为I（单位：）的声波，其声强级L（单位：）可由如下公式计算：（其中是能引起听觉的最弱声强）.设声强为时的声强级为70，声强为时的声强级为60，则等于（ ） A. 10 B. 100 C. D. 10000 6. 已知函数是定义在上的奇函数，且图象关于直线对称，当时，，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 7. 已知函数，若函数有3个零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 在自然界中，对称性无处不在.从蝴蝶翅膀的美丽图案到雪花晶体的完美结构，对称性展现了自然界的和谐与平衡.数学作为描述自然规律的语言，同样充满了对称之美.函数图像的对称性，例如轴对称和中心对称，关于函数的相关对称性质是数学中研究的重要概念.已知函数使得不等式成立的实数m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列选项中，正确的是（ ） A. 若，，则， B. 若不等式的解集为，则 C. 函数的图象恒过定点 D. 若，，且，则的最小值为9 10. 下列结论中，所有正确的结论是（　　） A. 若，则 B. 命题的否定是： C. 若且，则 D. 若，则实数的取值范围为 11. 已知函数，则（ ） A. 的图象关于轴对称 B. 有两个零点 C. 不等式的解集为 D. 若，则的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数若，则___________. 13. 已知函数，若，则实数________． 14. 已知，，若对，总，使成立，则实数a的取值范围为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. （1）求值： （2）已知是方程的两根，且，求的值. 16. 某次文艺晚会上计划演出7个节目，其中2个歌曲节目，3个舞蹈节目，2个小品节目，需要制作节目单： （1）唱歌节目排在两头，有多少种排法？ （2）唱歌节目相邻，舞蹈节目相邻，两个小品节目不相邻，有多少种排法？ （3）三个舞蹈节目出场顺序固定，有多少种排法？ 17. 如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，为等边三角形，平面平面，点是棱上的一点. （1）求证：为直角三角形； （2）若直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长. 18. 某中医药企业根据市场调研与模拟，得到研发投入（亿元）与产品收益（亿元）的数据统计如下： 研发投入（亿元） 1 2 3 4 5 产品收益（亿元） 3 7 9 10 11 （1）计算，的相关系数，并判断是否可以认为研发投入与产品收益具有较高的线性相关程度？（若，则线性相关程度一般；若，则线性相关程度较高） （2）求出关于的线性回归方程，并预测若想收益超过20（亿元），则需研发投入至少多少亿元？（结果保留一位小数） 参考公式：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式，相关系数的公式分别为，，. 参考数据：，，. 19. 已知函数． （1）若，求的极值； （2）讨论函数的单调性； （3）是否存在实数，使得的两个零点互为相反数？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $