精品解析：河北邯郸市馆陶县第一中学等校2025-2026学年高二下学期期末数学试题

高二数学 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4．本卷命题范围：高考范围. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】应用补集定义计算求解. 【详解】因为全集，集合， 所以. 故选:C. 2. 已知数列满足，则（ ） A. 3 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】C 【解析】 【详解】因为，. 所以， 所以. 3. 已知复数满足，则复数在复平面内所对应的点位于（　　） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】结合复数的除法运算可求得. 【详解】， 所以复数在复平面内所对应的点是，位于第二象限． 故选：B. 4. 已知，若，则点C的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由及双曲线的定义可知点C的轨迹是双曲线的左支， 设其标准方程为， 所以，解得， 所以点C的轨迹方程为． 5. 函数在一个周期内的图象如图所示，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由函数图像求出，利用周期公式求出，将代入函数求出. 【详解】由函数图像可知，所以，又，所以， 将代入得到，因为，所以， 故，解得． 故选：C． 6. 已知函数在区间上单调递增，则实数m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用导数将函数的单调递增转化为不等式恒成立问题，再通过分离参数法将其转化为求已知函数的最大值问题，从而最终确定参数的取值范围. 【详解】由在区间上单调递增，得在区间上恒成立， 即在区间上恒成立，所以， 因为在区间上单调递减，在区间上单调递减， 所以在区间上单调递减， 所以的最大值为， 即实数m的取值范围为． 7. 已知椭圆的右焦点为F，短轴的一个端点为M，直线交椭圆E于两点，若，点M到直线l的距离为，则椭圆E的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先利用对称性构建平行四边形并结合椭圆的定义求出，接着利用点到直线的距离公式求出，最后代入离心率公式得出最终结果. 【详解】设椭圆E的左焦点为，连接， 因为直线过原点，所以其与椭圆的交点关于原点对称， 且焦点也关于原点对称，所以四边形为平行四边形， 所以， ，所以，解得， 因为点M到直线l的距离为，不妨设， 则点M到直线l的距离为，解得， 所以， 故椭圆E的离心率为. 8. 已知某球恰好与圆台的上下底面及侧面都相切，若该圆台的上底面半径为1，母线长为4，则该圆台外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据圆台的几何性质，结合已知条件，分圆台外接球球心在圆台内和外两种情况讨论，求出圆台外接球的表面积． 【详解】设圆台的上底面半径为，下底面半径为，母线长为l， 根据切线长定理，得， 所以，圆台的高， 若圆台外接球的球心O在圆台内，设外接球的半径为R，球心O到下底面的距离为x， 则解得， 所以圆台外接球的表面积为； 若圆台外接球的球心O在圆台外，设外接球的半径为R，球心O到下底面的距离为x， 则解得（舍）． 综上所述，圆台外接球的表面积为． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知一组样本数据：4，5，6，8，9，10，则下列说法正确的是（ ） A. 该组样本数据的极差为6 B. 该组样本数据的平均数为7 C. 该组样本数据的第60百分位数为7 D. 从该组数据中任取两个数，则这两个数的乘积大于50的概率为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据极差、平均数和百分位数的定义判断ABC；由古典概型求概率判断D. 【详解】由题知，该组样本数据的极差为，A正确； 平均数为，B正确； 因为，故第60百分位数为第4个数据8，C错误； 从该组数据中任取两个数，则样本空间 ， ，共15个样本点， 其中乘积大于50的样本点有，共5个， 所以，D正确. 故选：ABD. 10. 已知向量，，则（ ） A. B. C. 与的夹角为 D. 在方向上的投影向量的坐标为 【答案】BC 【解析】 【分析】应用向量线性关系的坐标运算及共线的坐标表示判断A；由向量模长、夹角的坐标运算判断B、C；根据投影向量的定义及坐标运算求投影向量判断D. 【详解】由题知，显然，即与不平行，A错误， ，，因此，B正确； 设与的夹角为，则，且， 因此与的夹角为，C正确； 在方向上的投影向量为，D错误． 故选：BC 11. 已知函数的定义域为R，且，则下列说法正确的是（ ） A. B. 函数是奇函数 C. 若，则 D. 若，则 【答案】AD 【解析】 【分析】利用赋值法判断AC，根据奇函数定义判断B，根据C选项得到的结论判断D. 【详解】对于A，取，得，取，得， 所以，，A正确； 对于B，， 函数不是奇函数，B错误； 对于C，取，得， 所以 ， 所以，， 若，则，C错误； 对于D，，D正确. 故选：AD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 某班6人（含学生甲）站成一排拍照，若甲不站最右端也不站最左端，则不同站法数为________． 【答案】480 【解析】 【分析】优先排列限制元素甲，剩下人全排列即可. 【详解】先安排甲从除最左端和最右端的4个位置中选一个站，有种站法； 将剩余的人任意排序，有种站法． 所以不同站法数有种． 13. 已知角的始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，将角的终边按逆时针方向旋转角至第三象限，若，则_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据三角函数的定义先得到及的值，再结合角的终边所在象限，由的值求出，再利用和角的正弦和余弦公式将两式展开，通过加减消元即可求出的值. 【详解】因为角的始边与轴的非负半轴重合，终边经过点， 所以可知，. 由题意可知角的终边在第三象限，又， 所以. 又因为①， ②， ①②可得，所以. 14. 已知数列满足，数列满足，，记集合，若集合中有3个元素，则实数的取值范围为_________. 【答案】 【解析】 【分析】根据递推关系数列是首项为，公比为的等比数列，可求出，根据等差数列的通项公式可得,结合集合的定义即可求解. 【详解】由，得，且， 则数列是首项为，公比为的等比数列，则，所以. 因为数列满足，所以数列是首项为1，公差为1的等差数列，所以. 因为集合中有3个元素，且， 所以当时，；当时，， 即，且， 所以满足条件时. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，角的对边分别是，且. （1）求角的大小； （2）若，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 由及正弦定理可得， 所以， 又，所以，所以， 又，所以. 【小问2详解】 由余弦定理，有，即， 又，联立解得，或（舍去）， 所以. 16. 2026年春节期间，电影《飞驰人生3》想看人数、讨论度、社交平台热度全程领跑，掀起全民观影热潮，总票房高达29.27亿元.某电影院为了解民众对该部热映电影的喜欢程度，随机采访了140名观影人员，得到下表： 是否成年人 是否喜欢 合计 不喜欢 喜欢 未成年人 20 60 80 成年人 40 60 合计 140 （1）根据小概率值的独立性检验，能否认为喜欢电影《飞驰人生3》与是否成年有关? （2）用频率估计概率，现随机采访一名成年人和一名未成年人，设表示这两人中喜欢电影《飞驰人生3》的人数，求的分布列和数学期望. 参考公式：，其中. 0.1 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 【答案】（1）认为喜欢电影《飞驰人生3》与是否成年无关. （2） 0 1 2 数学期望为. 【解析】 【16题详解】 由数据表格可知，，，. 零假设为：喜欢电影《飞驰人生3》与是否成年无关， 根据列联表中的数据，计算得， 根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，因此可以认为成立，即认为喜欢电影《飞驰人生3》与是否成年无关. 【17题详解】 由题意可知，未成年人喜欢该电影的概率是，不喜欢的概率是； 成年人喜欢该电影的概率是，不喜欢的概率是. 由题意，的可能取值为0，1，2， 则；；. 所以的分布列为 0 1 2 数学期望为. 17. 如图，在四棱锥中，平面，，，，，是的中点． （1）求证：平面平面； （2）若点到平面的距离为，求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1）证明：因为是的中点，所以． 又，所以四边形是平行四边形，所以． 因为，所以． 因为平面平面，所以． 因为平面，所以平面． 又平面，所以平面平面． （2） 【解析】 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以为坐标原点，所在直线分别为轴建立如图所示空间直角坐标系， 设，则， 设平面的法向量为， 则， 令，得，故， 所以点到平面的距离为， 解得，即平面的法向量． 设平面的法向量为，由， 得， 令，得，所以，即平面的法向量为， 所以， 即平面与平面夹角的余弦值为． 18. 已知抛物线的焦点为，过点且斜率不为0的直线交抛物线于A，B两点（点在轴上方），点D，E都在抛物线的准线上，且轴，轴. （1）若直线的斜率为1，求|AB|的值； （2）设是DE的中点，判断AR与EF是否平行，并说明理由； （3）证明：直线BD恒过定点，并求出该定点坐标. 【答案】（1） （2） 由（1）知，，且， . 由，得，代入上式： ， ， 由于A,R与E,F不共线，则AR与EF平行. （3） ，， 则三点共线，直线BD恒过定点. 【解析】 【分析】（1）设直线，与抛物线方程联立，由韦达定理以及弦长公式计算即可； （2）表示出各点的坐标，结合韦达定理，证明AR与EF的斜率相等即可； （3）由，证明，即可得直线BD恒过定点. 【小问1详解】 由题意，设直线：，， 联立得， 恒成立， 由韦达定理得. 若直线的斜率为1，则，则， . 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 19. 已知函数. （1）求曲线在点处的切线方程； （2）设，求的单调区间； （3）若存在，使得，求证：. 【答案】（1）； （2）单调递减区间为，单调递增区间为； （3）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）求导得函数的导数，再利用导数的几何意义求出切线方程. （2）求出函数，利用导数求出单调区间. （3）利用导数求得，确定函数单调性，由此可得，再按分类并构造函数，利用单调性证明不等式. 【小问1详解】 函数，求导得，则，而， 所以曲线在点处的切线方程为，即. 【小问2详解】 依题意，的定义域为，求导得， 令函数，求导得， 函数，即在上单调递增，而，则当时，； 当时，，函数在上单调递减，在上单调递增， 所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为. 【小问3详解】 函数，求导得， 则函数在上单调递减，又，则当时，；当时，， 由，得，当时，；当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增，且，则， 若存在，使得，则， 当时，，满足； 当时，，此时或， 当时，，不等式显然成立； 当时，要证，即证明，而，在上单调递增， 因此要证明，即证明，又，即证明. 令函数， 求导得，令， 求导得， 函数在上单调递减，，即，函数在上单调递增， 因此，即在区间上恒成立，则， 由，得， 由函数在上单调递增，得，即， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4．本卷命题范围：高考范围. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知数列满足，则（ ） A. 3 B. 4 C. 6 D. 8 3. 已知复数满足，则复数在复平面内所对应的点位于（　　） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 4. 已知，若，则点C的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 5. 函数在一个周期内的图象如图所示，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数在区间上单调递增，则实数m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 已知椭圆的右焦点为F，短轴的一个端点为M，直线交椭圆E于两点，若，点M到直线l的距离为，则椭圆E的离心率为（ ） A. B. C. D. 8. 已知某球恰好与圆台的上下底面及侧面都相切，若该圆台的上底面半径为1，母线长为4，则该圆台外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知一组样本数据：4，5，6，8，9，10，则下列说法正确的是（ ） A. 该组样本数据的极差为6 B. 该组样本数据的平均数为7 C. 该组样本数据的第60百分位数为7 D. 从该组数据中任取两个数，则这两个数的乘积大于50的概率为 10. 已知向量，，则（ ） A. B. C. 与的夹角为 D. 在方向上的投影向量的坐标为 11. 已知函数的定义域为R，且，则下列说法正确的是（ ） A. B. 函数是奇函数 C. 若，则 D. 若，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 某班6人（含学生甲）站成一排拍照，若甲不站最右端也不站最左端，则不同站法数为________． 13. 已知角的始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，将角的终边按逆时针方向旋转角至第三象限，若，则_____. 14. 已知数列满足，数列满足，，记集合，若集合中有3个元素，则实数的取值范围为_________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，角的对边分别是，且. （1）求角的大小； （2）若，求的面积. 16. 2026年春节期间，电影《飞驰人生3》想看人数、讨论度、社交平台热度全程领跑，掀起全民观影热潮，总票房高达29.27亿元.某电影院为了解民众对该部热映电影的喜欢程度，随机采访了140名观影人员，得到下表： 是否成年人 是否喜欢 合计 不喜欢 喜欢 未成年人 20 60 80 成年人 40 60 合计 140 （1）根据小概率值的独立性检验，能否认为喜欢电影《飞驰人生3》与是否成年有关? （2）用频率估计概率，现随机采访一名成年人和一名未成年人，设表示这两人中喜欢电影《飞驰人生3》的人数，求的分布列和数学期望. 参考公式：，其中. 0.1 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 17. 如图，在四棱锥中，平面，，，，，是的中点． （1）求证：平面平面； （2）若点到平面的距离为，求平面与平面夹角的余弦值． 18. 已知抛物线的焦点为，过点且斜率不为0的直线交抛物线于A，B两点（点在轴上方），点D，E都在抛物线的准线上，且轴，轴. （1）若直线的斜率为1，求|AB|的值； （2）设是DE的中点，判断AR与EF是否平行，并说明理由； （3）证明：直线BD恒过定点，并求出该定点坐标. 19. 已知函数. （1）求曲线在点处的切线方程； （2）设，求的单调区间； （3）若存在，使得，求证：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $