精品解析：河北邯郸市馆陶县第一中学2025-2026学年高二第二学期期中监测数学试题

2025-2026学年第二学期高二期中监测 数学试题 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：人教A版选择性必修第二册第五章，选择性必修第三册. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知书架上仅有，，，四类杂志，其数量分别为6，4，5，4，且每类杂志中的每一本都不同.若小张要从该书架选一本杂志，则他的选法数为（ ） A. 4 B. 19 C. 60 D. 480 【答案】B 【解析】 【分析】由分类加法计数原理即可直接求解. 【详解】选类，有6种选法， 选类，有4种选法， 选类，有5种选法， 选类，有4种选法， 故共有种. 【点睛】 2. 若随机变量，且，则（ ） A. 0.13 B. 0.26 C. 0.14 D. 0.27 【答案】A 【解析】 【分析】由正态分布的对称性即可求解. 【详解】因为，且， 所以， 则. 3. 函数的极值点之和为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】，因为，所以有两个极值点， 由韦达定理得这两个极值点之和为． 4. 展开式的常数项为（ ） A. B. 20 C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】展开式的常数项为. 5. 用4个1、3个2、3个3组成一个十位数，则3个2相邻的十位数的个数为（ ） A. 280 B. 420 C. 720 D. 1680 【答案】A 【解析】 【分析】通过捆绑法即可求解. 【详解】要求3个2相邻，因为3个2是相同数字， 将3个2捆绑为1个整体，捆绑内部无需排列， 捆绑后共 个元素， 由重复元素的排列公式得，  因此符合要求的十位数个数为280. 6. 若空间向量，，且，则（ ） A. 有最大值，且最大值为 B. 有最小值，且最小值为 C. 有最大值，且最大值为 D. 有最小值，且最小值为 【答案】A 【解析】 【分析】由平行的坐标表示得，设，求导，利用导数得到最值即可． 【详解】解：因为，所以存在唯一的实数，使得， 即，，其中，则. 设，则， 令，得，令，得， 所以在上单调递增，在上单调递减. 故，则有最大值，且最大值为，无最小值. 7. 将12瓶完全相同的矿泉水随机分给8位建筑工人（含甲、乙），在每人至少分得1瓶的前提下，甲和乙都分得2瓶的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用排列组合，结合隔板法求概率即可． 【详解】解：若每人至少分得1瓶，则由隔板法可得分法数为， 在每人至少分得1瓶的前提下，甲和乙都分得2瓶， 则其余8瓶分给6位建筑工人，由隔板法可得分法数为， 故所求概率为. 8. 函数的最小值为（ ） A. B. C. 1 D. 0 【答案】D 【解析】 【分析】令，通过求导确定的范围，再结合二次函数性质即可求解. 【详解】. 设，则， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 则. 令，，则， 因为在上单调递增， 所以当时，取得最小值，且最小值为0. 故的最小值为0. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 一箱脐橙共有12个，其中有若干个为烂果，从这一箱脐橙中任取2个，恰有1个烂果的概率不大于，则这箱脐橙的烂果个数可能为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】ABC 【解析】 【详解】设这一箱脐橙中有个烂果， 则从这一箱脐橙中任取2个，恰有1个烂果的概率， 解得或，结合各选项，所以这箱脐橙的烂果个数可能为． 10. 已知函数，则（ ） A. 当仅有一个零点时， B. 当有三个零点时， C. 当恰有两个零点时， D. 当有三个零点时， 【答案】BCD 【解析】 【分析】求出函数的导数，通过讨论的范围，求出函数的单调区间，从而确定函数的极值点的个数和零点个数，再逐项判断即可． 【详解】由，得.设，则， 令，得或， 令，得， 则的单调递增区间为，，单调递减区间为， ，，当时，，当时，. 当或时，直线和曲线仅有一个交点，仅有一个零点，A错误. 当或时，直线和曲线有两个交点，恰有两个零点，， 设，当时，，，， 则，则， 当时，，，则，C正确. 当时，直线和曲线有三个交点，有三个零点， 由图可知，，B，D均正确. 11. 若随机变量，随机变量服从两点分布，且，已知与相互独立，则（ ） A. 恒小于 B. 的最小值为 C. 的最小值为 D. 的最大值为 【答案】AC 【解析】 【分析】利用二项分布得到，，，，再由即可判断A；根据即可判断B；分别计算即可判断C；根据即可判断D． 【详解】因为， 所以，， ，， 因为与相互独立， 所以， ，A正确，B错误. ， ， 则 ，C正确； ， 当且仅当时，等号成立，因为，所以等号取不到，D错误． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 决定系数可以用来比较两个模型的拟合效果，的计算公式为，则越大，表示残差平方和越________（填“大”或“小”），即拟合效果越________（填“好”或“差”）. 【答案】 ①. 小 ②. 好 【解析】 【详解】略 13. 函数的值域为________. 【答案】 【解析】 【分析】求导，利用导数的符号确定函数单调性，得到最值及值域． 【详解】，令，得， 令，得，则在上单调递减，在上单调递增， 则，又， 所以的值域为. 14. 如图，给这八个方格涂色，现有红、蓝、黄、紫、绿、黑六种颜色可供选择，要求相邻的方格涂不同的颜色，且两端都涂红色，则不同的涂色方法共有________种． 【答案】13020 【解析】 【分析】对最中间的4个方格进行分类讨论，分为中间4个方格中有2个方格涂红色、中间4个方格中只有1个方格涂红色、中间4个方格都不涂红色三种，每一种逐个根据分步乘法计数原理求解即可． 【详解】设方格从左至右分别命名为， 因为两端都涂红色，且相邻方格不同颜色，所以中间4个方格也可以涂红色， ①当中间4个方格中有2个方格涂红色时， 涂红色的位置有方格3、5或方格4、6或方格3、6共3种选择， 剩下的4个方格，还有两个单独和两个相邻的，而其左右两边皆为红色方格， 对于两个单独的方格而言，除红色外其他颜色都可选取，共种， 对于相邻的两个方格，其中第一块方格可选除红色外的5种颜色， 第二块方格选取剩余4种颜色，共种， 所以该类涂法一共有种； ②当中间4个方格中只有1个方格涂红色时，涂红色的位置有4种选择， 未涂色区域划分为两部分，其中对于每一部分， 其中第一块方格都可以涂除红色外的5种颜色， 剩余的都只能涂除红色以及上一块相邻颜色之外的4种颜色， 故剩下的共有种选择，所以该类涂法一共有种； ③当中间4个方格都不涂红色时， 中间一大块区域每个方格均只能涂上除红色以及上一块相邻颜色之外的4种颜色， 共有种； 综上，不同的涂色方法共有种． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 敦煌文化，以莫高窟佛教艺术和藏经洞文化为代表，延续近2000年.为研究敦煌文化的传承意愿与参与体验活动之间的关系，某调研队在甘肃省敦煌市随机抽取了1000名游客进行调查，得到如下表格： 愿意传承 不愿意传承 合计 参与过体验活动 320 80 400 未参与过体验活动 240 360 600 合计 560 440 1000 （1）记参与过体验活动的人中愿意传承敦煌文化的概率为，求的估计值. （2）根据小概率值的独立性检验，能否认为参与体验活动与传承意愿有关？说明你的理由. 附：，. 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 【答案】（1） （2）可以认为参与体验活动与传承意愿有关，理由见解析 【解析】 【分析】（1）由频率估计概率即可； （2）由卡方的计算结合独立性检验可得. 【小问1详解】 解：由题意可得参与过体验活动的人中愿意传承敦煌文化的频率为， 以样本频率估计总体概率，则的估计值为； 【小问2详解】 零假设为：参与体验活动与传承意愿无关. ， ， 依据小概率值的独立性检验，有充分证据推断不成立， 因此可以认为参与体验活动与传承意愿有关. 16. 某用户只在某外卖平台的甲、乙两家餐厅点餐，根据历史数据，选择甲餐厅的概率为，选择乙餐厅的概率为，甲餐厅的准时送达率为，乙餐厅的准时送达率为．已知该用户每次外卖点餐准时送达与否相互独立． （1）求该用户每次外卖点餐准时送达的概率． （2）在该用户的次外卖点餐中，记准时送达的次数为，若的方差大于，求的最小值． （3）平台推出“准时保”，每单需支付元的服务费，若外卖未准时送达，则平台赔付3元；若外卖准时送达，则平台不赔付．该用户愿意购买“准时保”的条件是亏损期望不超过元，试问他是否愿意购买“准时保”？说明你的理由． 【答案】（1）0.93； （2）11； （3）他愿意购买“准时保”. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用全概率公式列式求解. （2）由（1）的结论，利用二项分布的方差公式列式求解. （3）由（1）的结论，求出购买“准时保”的期望，与给定条件比对即可. 【小问1详解】 令事件“外卖点餐准时送达”，“选择甲餐厅”，“选择乙餐厅”， 依题意，，， 由全概率公式得， 所以该用户每次外卖点餐准时送达的概率为0.93. 【小问2详解】 依题意，的所有可能取值为，， 则，由的方差大于，得， 解得，所以的最小值为11. 【小问3详解】 他愿意购买“准时保”. 设他购买“准时保”的净收益为元，则的所有可能取值为， ，， 显然，即亏损期望不超过元， 所以他愿意购买“准时保”. 17. 已知. （1）证明：. （2）求的值. （3）证明：能被147整除. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）通过令，和即可求证； （2）由可看作的展开式各项系数之和，通过赋值即可求解； （3）通过复合函数求导得到，再通过赋值，进而可求证. 【小问1详解】 证明：令，得， 令，得， 所以. 【小问2详解】 因为为的展开式各项系数之和， 所以， 所以. 【小问3详解】 由， 得， 即， 令，得， 因为能被147整除，所以能被147整除. 18. 已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若在其定义域内单调递增，求的取值范围； （3）若，且，，，求的取值范围. 【答案】（1） （2） （3）. 【解析】 【分析】（1）求导，确定切线斜率，进而可求解； （2）求导，结合单调性得到对恒成立.再通过和分类讨论求解即可； （3）通过移项变形得到，构造函数，通过求导确定单调性，得到最值进而可求解. 【小问1详解】 当时，，则， 则. 因为，所以曲线在点处的切线方程为， 即. 【小问2详解】 的定义域为. . 若在其定义域内单调递增，则对恒成立， 即对恒成立. 易知，当时，在上单调递增，所以满足题意. 当时，设， 则. 令，得，令，得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以. 又，所以. 综上，的取值范围是. 【小问3详解】 由（2）知，当时，在其定义域内单调递增，则在上单调递增， 则在上的最大值为. 由，得， 则. 设，则，当时，，当时，， 所以. 设，， 则，当时，，当时，， 所以. 由，，， 得， 解得，又，所以的取值范围是. 19. 一个不透明的袋子中装有编号分别为的4个小球，每次从袋中随机摸出1个小球并记录编号后放回袋中，当连续两次摸出的小球编号相同时，停止摸球，设停止摸球时已摸球的次数为.记第次摸到的小球编号为. （1）求与； （2）设，求与； （3）当时，为随机变量，若是奇数，则，若是偶数，则，求. 【答案】（1）， （2）1， （3） 当且为偶数时，； 当且为奇数时， 【解析】 【分析】（1）解法一：利用独立事件的乘法公式，讨论每次摸球的编号即可解题；解法二：利用计数原理得到样本点个数，再利用古典概型可得答案. （2）解法一：建立起关于的递推公式，再求出通项公式，再利用等比数列的前项和公式求出的前项和；解法二：摸球次停止，意思是除了最后2次摸球的编号一样，其他的与前面一次摸球的编号都不一样，利用这个规则，可直接归纳出，即可得答案. （3）利用“当时，可分成两种情况：当时，与同为奇数或同为偶数；当时，与一奇一偶”可建立起与的关系，进一步可讨论通项公式. 【小问1详解】 解法一：，. 解法二：，. 【小问2详解】 解法一：因为，所以，则. 若，则且，所以， 即， 所以，所以，即 由（1）可知，所以当时，. 又因为，所以， 所以， . 解法二：. ， 所以， . 【小问3详解】 当时，设随机变量满足：若是奇数，则，若是偶数，则.设. 当时，即为偶数，可得. 当时，即是偶数，可得. 当时，可分成两种情况：当时，与同为奇数或同为偶数；当时，与一奇一偶. 所以，即 当且为奇数时，，即； 当且为偶数时，，即. 当时，. 当时，. 综上可得，当且为偶数时，； 当且为奇数时，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第二学期高二期中监测 数学试题 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：人教A版选择性必修第二册第五章，选择性必修第三册. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知书架上仅有，，，四类杂志，其数量分别为6，4，5，4，且每类杂志中的每一本都不同.若小张要从该书架选一本杂志，则他的选法数为（ ） A. 4 B. 19 C. 60 D. 480 2. 若随机变量，且，则（ ） A. 0.13 B. 0.26 C. 0.14 D. 0.27 3. 函数的极值点之和为（ ） A. B. C. D. 4. 展开式的常数项为（ ） A. B. 20 C. D. 5. 用4个1、3个2、3个3组成一个十位数，则3个2相邻的十位数的个数为（ ） A. 280 B. 420 C. 720 D. 1680 6. 若空间向量，，且，则（ ） A. 有最大值，且最大值为 B. 有最小值，且最小值为 C. 有最大值，且最大值为 D. 有最小值，且最小值为 7. 将12瓶完全相同的矿泉水随机分给8位建筑工人（含甲、乙），在每人至少分得1瓶的前提下，甲和乙都分得2瓶的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 函数的最小值为（ ） A. B. C. 1 D. 0 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 一箱脐橙共有12个，其中有若干个为烂果，从这一箱脐橙中任取2个，恰有1个烂果的概率不大于，则这箱脐橙的烂果个数可能为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 10. 已知函数，则（ ） A. 当仅有一个零点时， B. 当有三个零点时， C. 当恰有两个零点时， D. 当有三个零点时， 11. 若随机变量，随机变量服从两点分布，且，已知与相互独立，则（ ） A. 恒小于 B. 的最小值为 C. 的最小值为 D. 的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 决定系数可以用来比较两个模型的拟合效果，的计算公式为，则越大，表示残差平方和越________（填“大”或“小”），即拟合效果越________（填“好”或“差”）. 13. 函数的值域为________. 14. 如图，给这八个方格涂色，现有红、蓝、黄、紫、绿、黑六种颜色可供选择，要求相邻的方格涂不同的颜色，且两端都涂红色，则不同的涂色方法共有________种． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 敦煌文化，以莫高窟佛教艺术和藏经洞文化为代表，延续近2000年.为研究敦煌文化的传承意愿与参与体验活动之间的关系，某调研队在甘肃省敦煌市随机抽取了1000名游客进行调查，得到如下表格： 愿意传承 不愿意传承 合计 参与过体验活动 320 80 400 未参与过体验活动 240 360 600 合计 560 440 1000 （1）记参与过体验活动的人中愿意传承敦煌文化的概率为，求的估计值. （2）根据小概率值的独立性检验，能否认为参与体验活动与传承意愿有关？说明你的理由. 附：，. 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 16. 某用户只在某外卖平台的甲、乙两家餐厅点餐，根据历史数据，选择甲餐厅的概率为，选择乙餐厅的概率为，甲餐厅的准时送达率为，乙餐厅的准时送达率为．已知该用户每次外卖点餐准时送达与否相互独立． （1）求该用户每次外卖点餐准时送达的概率． （2）在该用户的次外卖点餐中，记准时送达的次数为，若的方差大于，求的最小值． （3）平台推出“准时保”，每单需支付元的服务费，若外卖未准时送达，则平台赔付3元；若外卖准时送达，则平台不赔付．该用户愿意购买“准时保”的条件是亏损期望不超过元，试问他是否愿意购买“准时保”？说明你的理由． 17. 已知. （1）证明：. （2）求的值. （3）证明：能被147整除. 18. 已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若在其定义域内单调递增，求的取值范围； （3）若，且，，，求的取值范围. 19. 一个不透明的袋子中装有编号分别为的4个小球，每次从袋中随机摸出1个小球并记录编号后放回袋中，当连续两次摸出的小球编号相同时，停止摸球，设停止摸球时已摸球的次数为.记第次摸到的小球编号为. （1）求与； （2）设，求与； （3）当时，为随机变量，若是奇数，则，若是偶数，则，求. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $