内蒙古自治区呼和浩特市土默特左旗2025-2026学年八年级下学期7月期末数学试题

**基本信息** 2025-2026学年八年级期末数学试卷，以无人机飞行、传统服装销售等真实情境为载体，融合二次根式、函数、几何证明等核心知识，考查抽象能力、推理意识与数据观念。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/24|最简二次根式、直角三角形判定、函数定义|矩形折叠（7题）考查空间观念| |填空题|4/12|统计加权、方位角计算、不等式组解集|港口航行（10题）体现数学眼光| |解答题|6/64|二次根式运算、统计分析、几何证明、应用题|传统服装销售（17题）培养模型意识，正方形旋转综合题（18题）发展推理能力|

2025-2026学年第二学期八年级期末考试 数学 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．下列式子中，属于最简二次根式的是（     ） A． B． C． D． 2．三边分别为、、，在下列条件下，不是直角三角形的是（     ） A．，， B． C．，， D． 3．下列关系式中，y是x的函数的是（     ） A． B． C． D． 4.如图，在中，点是上一点，，平分交于点，点是的中点，连接．若，，则的长为（     ） A． B． C． D． 4题图 5题图 7题图 5．无人机产业已经成为新兴产业的热点之一，中国无人机研发技术后来居上，世界领先．如图所示为某型无人机的飞行高度（单位：米）与操控无人机的时间（单位：分钟）之间的关系图，根据图象提供的信息，下列说法不正确的是（     ） A．在上升或下降过程中，无人机的速度均为米/分钟 B．无人机在米高的上空停留的时间是5分钟 C．无人机在米高的上空停留的时间是5分钟 D．第14分钟时无人机的飞行高度是米 6．对于一次函数，下列结论错误的是（     ） A．函数的图象不经过第三象限 B．函数的图象与轴的交点坐标是 C．函数值随自变量的增大而减小 D．函数的图象向下平移4个单位长度得的图象 7．如图，在矩形中，，．将矩形沿折叠，点落在点处，则的长度为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 8．一次函数和 ，在同一平面直角坐标系中的图象可能是（     ） A．B． C． D． 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分．本题要求把正确结果填在规定的横线上，不需要解答过程） 9．某校举办运动会开幕式方阵评比活动，评比内容分为：队列整齐度、精神面貌、创意展示（每项满分均为10分），按照如图所示的占比计算最终成绩．已知九年级（1）班三项内容得分依次为8分，9分，8分，则九年级（1）班的最终成绩为__________分． 9题图 10题图 10．如图，某港口位于东西方向的海岸线上，甲、乙轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，甲、乙轮船每小时分别航行12海里和16海里，1小时后两船分别位于点，处，且相距20海里，如果知道甲船沿北偏西方向航行，则乙船沿________方向航行． 11． 直线与在平面直角坐标系中的位置如图所示，则不等式组的解集为 _________.． 11题图 12题图 12.如图，在直角三角形中，，，，点是边上一点（不与点，重合），作于点，于点，若点是的中点，则的最小值是______． 三、解答题（本大题共6小题，共64分．解答题应写出文字说明、计算过程或演算步骤） 13．(12分）计算： (1)； (2)． （3）已知，，求的值． 14．（10分）为激发青少年崇尚科学、探索未知的热情，某中学开展了“航空航天”知识问答系列活动，为了解活动效果，从七、八年级学生的知识问答成绩中，各随机抽取12名学生的成绩（单位：分）进行统计分析，并绘制如图所示的箱线图（不完整）． 七年级：60，70，70，80，83，89，91，93，95，97，98，100； 八年级：70，77，79，81，88，89，91，92，93，93，95，96． 七、八年级抽取的学生的成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 七年级 85.5 a 70 八年级 87 b c (1)上述表中，_______，_______，并补全七年级的箱线图； (2)若该校八年级有600名学生参与了此次活动，请估计该校此次活动中八年级学生成绩超过90分的人数； (3)你认为本次活动，哪个年级的学生成绩更好？请结合统计表和箱线图进行说明． 15．(8分）如图，有两棵树，一棵高米（米），另一棵高米（米），两树相距米（米）．    (1)求一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了多少米？ (2)如图，台风过后，高米的树在点处折断，大树顶部落在点处，则树折断处距离地面多少米？ 16．（10分）如图，已知在中，，D是的中点，E是的中点，过点A作交的延长线于点F，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，菱形的面积为40，求的长． 17．（12分）近年来，中国传统服装备受大家的青睐，走上国际时装周舞台，大放异彩．某服装店直接从工厂购进长、短两款传统服装进行销售，进货价和销售价如下表： 价格/类别 短款 长款 进货价（元/件） 80 90 销售价（元/件） 100 120 (1)该服装店第一次用4200元购进长、短两款服装共50件，求两款服装分别购进的件数； (2)第一次购进的两款服装售完后，该服装店计划再次购进长、短两款服装共200件（进货价和销售价都不变），且第二次进货总价不高于16600元．服装店这次应如何设计进货方案，才能获得最大的销售利润，并求出最大的销售利润是多少元？ 18．（12分）如图，正方形的对角线、相交于点，正方形的顶点与点重合，而且这两个正方形的边长相等，边与边相交于点，边与边相交于点，连接． 问题发现 (1)①求证：； ②猜想：，，之间的数量关系是______． 类比迁移 (2)如图，矩形的中心是矩形的一个顶点，与边相交于点，与边相交于点，连接，矩形可绕着点旋转，判断，，之间的数量关系并进行证明． 拓展应用 (3)如图，在中，，，，点是边的中点，，它的两条边和分别与直线，相交于点，，可绕着点旋转，当时，请直接写出线段的长. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年第二学期八年级期末考试参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B D C 9.8.3 【详解】解：8×50%+9×30%+8×20%=8.3（分）. 10.北偏东50°（或东偏北40°） 【详解】解：由题意得：AP=1×12=12海里，PB=1×16=16海里，∠APN=40°，AB=20 海里， .AP2+BP2=400=AB2, ∴.∠APB=90°， .∠BPN=50°， ∴.乙船沿北偏东50°（或东偏北40）方向航行： 故答案为北偏东50°（或东偏北40）. 11.0<x<2 【详解】 解：从图象可知：两函数的交点坐标是2) 直线y=+b与》 (0,-1) 轴的交点坐标是 所以不等式组-l<x+b<mr的解集是0<x<2, 故答案为：0<x<2 12.1.2 【详解】解：如图，连接MC, M P B C:∠ACB=90°ME⊥ACMF⊥BC ∴四边形MECF是矩形， :EF=MC, :点P是EF的中点， PE=1EF-1MC 2 2 当MC⊥AB时，MC取得最小值，此时PE也取得最小值， 在Rt△ABC中，AC=3,BC=4, AB=√AC2+BC2=V32+42=5 S.c=AC.BC=AB-MC, 2 .MC-AC.BC-3x4-2.4. AB 5 ∴PE的最小值为2×2.4=1.2 13.a35-2V2 (2)11 3)-8 【群14)解.匝+3传8 =25+3x5-22 3 =25+V5-2W2 =33-22 (2)解：(5-°+5(5+2) =5+1-2√5+5+25 =11. 3)解：x=-1+V2y=-1-2 :x-y=-1+5-（1-2)=2w2 A2+2y-y2=-(k2-2+y)=-k-=-5=8 分数 100 14.(1)90,93: 80 75 70 60 七年级 八年级 (2)估计该校此次活动中八年级学生成绩超过90分的人数为300人 (3)八年级的学生成绩更好，理由如下：因为两个年级成绩的中位数相同，而八年级的平均 数和众数高于七年级，从箱线图看，八年级中间50%的学生成绩高于90分，所以八年级的 学生成绩更好 15.(1)20米 (2)5米 【详解】(1)解：两棵树的高度差为18-2=16（米），两树相距12米(BD=12米)， 根据勾股定理可得：小鸟至少飞行的距离V16+12=20(米)， 答：至少飞了20米： (2)解：由勾股定理得：BM2+AB2=AM2, .BM+122=(18-BM)2 解得：BM=5, 答：树AB折断处M距离地面5米. 16.(1)证明：，AF∥BC, .∠AFE=∠DBE, E是AD的中点， :'AE=DE, 在△AEF和△DEB中， ∠AFE=∠DBE ∠AEF=∠DEB AE=DE △AEF≌ADEB(AAS) .AF =DB, ,AD为BC边上的中线， .'DB=DC, .AF=CD, AF∥BC, ∴.四边形ADCF是平行四边形， :LBAC=90°，D是BC的中点， :AD=IBC=CD 2 .平行四边形ADCF是菱形； (2)10 【详解】(2)解：，四边形ADCF是菱形，D是BC的中点， ,S菱形ADCr=2SADc=SABC 4c48 1 ×8AB=40 2 .AB=10 17.(1)短款服装购进30件，长款服装购进20件 (2)当购进140件短款服装，60件长款服装时可获得最大销售利润，最大销售利润是4600 元 【详解】(1)解：设购进短款服装x件，购进长款服装y件， x+y=50 由题意得80x+90y=4200, [x=30 解得y=20, 即短款服装购进30件，长款服装购进20件； (2)解：设第二次购进m件短款服装，则购进(200-m)件长款服装， 由题意可得80m+90(200-m)≤16600 解得：m≥140， 设总利润为P元，则”=(100-80)m+(120-90)200-m)=-10m+60 -10<0, ∴w随的增大而减小， :当m=140时，p取得最大值， w最大=-10×140+6000=4600 (元)， 此时长款服装数量为200-140=60（件）， 即当购进140件短款服装，60件长款服装时可获得最大销售利润，最大销售利润是4600元. 18.(1)①证明见解析： ②AE2+CF2=EF2； (2)E+CF2=EF ,证明见解析： 3)CF=53 m 8 【详解】(1)解：①：正方形ABCD中，AC⊥BD,OA=OB=OC=OD, AB,C,D,∠EDF=90° 正方形 中， .∠ED,F=∠AOB=90°∠OAE=∠OBF=45° ∴.∠ED,F-∠EDB=∠AOB-∠ED,B 即∠BOF=∠AOE, :在△AOE和△BOF中， [∠AOE=∠BOF OA=OB ∠OAE=∠OBF' ∴.△AOE≌ABOF(ASA) ②解：AE+CF2=EF2,理由如下： △AOE≌△BOF, :AE =BF 正方形ABCD中，AB=BC,∠ABC=90°， :AB-AE BC-BF, 即BE=CF, Rt△BEF中，BE2+BF2=EF2, .AE2+CF2=EF2 (2)解：AE2+CF2=EF2,理由如下： 连接AC,延长EO交DC于点E', :O点是矩形ABCD的中心， ∴.AO=C0 E E C 矩形ABCD中，∠C=90°，AB/ICD, .∠OAE=∠OCE', :在△AOE和△COE'中， ∠OAE=∠OCE A0=CO ∠AOE=∠COE' ∴.△AOE≌△COE'(ASA) ∴AE=CE',OE=OE', “矩 4BC0中，∠E0F=90 ∴.OF垂直平分EE, :.EF =E'F, .RtACE'F CE2+CF2=E'F2 中， ∴.AE2+CF2=EF2 (3)解：如下图：∠EDF=90°，AE=4cm. ∴.CE=AC-AE=lcm. 过点B作BMI‖AC,延长ED交BM于点M,连接EF、MF, M ∠A=∠DBM, ~点D是边AB的中点，∠C=90°，AC=5cm,BC=12cm, ∴.∠MBF=180°-∠C=90°，AD=BD, 在△ADE和△BDM中， 「∠A=∠DBM AD=BD ∠ADE=∠BDM' △ADE≌△BDM(ASA) ∴.BM=AE=4cm,DE=DM, 又LEDF=90°， 即DF垂直平分EM, :EF =MF, RtAECF CE2+CF2=EF2 中， RtABMF中，BM2+BF2=MF2, .CE2+CF2=BM2+BF2 设CF=cm,则 BF=BC-CF=(12-x)cm 有+r=4+2- 解得xs3 8 ·CF=53 cm 8