专项提升训练08 因数与倍数（8大考点50道题）-2026-2027学年数学五年级上册（苏教版·新教材）

**基本信息** 以8大考点50道题构建因数与倍数知识网络，从概念认知到实际应用层层递进，强化抽象能力与运算能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |因数和倍数的认识|3题|判断关系、辨析概念|概念引入，建立因数与倍数依存关系| |找因数/倍数及特征|8题|求因数个数、写倍数序列|从具体数到特征归纳，培养数感| |2、3、5的倍数|7题|综合数字组构、实际应用|结合倍数特征解决编码问题，发展应用意识| |质数与合数|6题|分类判断、文化情境题|概念辨析与实际情境结合，提升数学眼光| |质因数|8题|分解质因数、质数填空|衔接因数与质数，构建数的分解逻辑| |公因数与最大公因数|7题|短除法、分配问题|从理论计算到实际分配，强化推理能力| |公倍数与最小公倍数|11题|最小公倍数应用、行程问题|综合时间、数量情境，培养模型意识|

专项提升训练08 因数与倍数 （8大考点50道题） 目录概览 考点一、因数和倍数的认识 1 考点二、找一个数的因数及因数的特征 1 考点三、找一个数的倍数及倍数的特征 1 考点四、2、3、5的倍数 2 考点五、质数与合数的认识 2 考点六、质因数 3 考点七、公因数与最大公因数 3 考点八、公倍数与最小公倍数 5 题型演练 考点一、因数和倍数的认识 1．（    ）组中的两个数是因数和倍数的关系。 A．9和12 B．5和20 C．3和13 D．4和6 2．因为4×1.5＝6，所以6是4的倍数。( ) 3．在算式72÷9＝8中，72是9或8的( )，9和8都是72的( )。 考点二、找一个数的因数及因数的特征 4．8的最大的因数是（    ）。 A．1 B．4 C．8 D．16 5．下面各数中，因数个数最多的是（    ）。 A．18 B．36 C．40 D．45 6．一个数的最大因数是36，这个数的因数有（    ）个。 A．8 B．9 C．10 D．无数 7．写出12所有的因数( )。 8．文成县百丈漈瀑布是国家级风景名胜区，一漈垂直落差高达207米，是中华第一高瀑。207的因数共6个，分别是( )。 考点三、找一个数的倍数及倍数的特征 9．在32、16、12、3、5、7这六个数中，( )是35的因数，48是( )的倍数。 10．20的因数有( )个，它的倍数有( )个。 11．70以内9的倍数有( )，最小的倍数是( )。 12．18的因数有( )；50以内13的倍数有( )。 13．五（1）班同学参加社区举行的“保护家乡的青山绿水”活动，已经有35人来到社区广场，要是每8人一组，至少再来几人正好分完？ 考点四、2、3、5的倍数 14．从0，4，6，8中选出三个数字组成三位数（同时是2，3，5的倍数），不能选的是（    ）。 A．0 B．4 C．6 D．8 15．7☐1☐同时是2，3，5的倍数，右边的☐可以填( )，左边的☐可以填( )。 16．既是2又是5的倍数的最小三位数是( )；同时是2、3和5的倍数的最大三位数是( )。 17．《三国演义》是中国古典四大名著之一，其中有很多带有数的精彩故事，如：桃园三结义、过五关斩六将、七擒孟获、十八路诸侯讨伐董卓等。 (1)其中质数有( )   偶数有( )。 (2)既是2的倍数又是3的倍数的有( )。 18．笑笑经常使用“江西智慧教育平台”学习，在平台学习的积分达到了1096分，至少增加( )分就是3的倍数，至少增加( )分就同时是2和5的倍数。 19．23□是一个三位数，当□里填( )时，它既是2的倍数，又是5的倍数，当□里填( )时，它是含有因数3的偶数。 20．商场开展礼盒打包活动，需要制作三位数编号礼盒，编号既是2和5的倍数，又是3的倍数。这个编号最小是( )，最大是( )。 考点五、质数与合数的认识 21．下面的四组数中，三个数全是质数的一组是（    ）。 A．1，5，7 B．2，51，57 C．17，37，47 D．19，29，49 22．下面成语中，所含的数都是合数的是（    ）。 A．一目十行 B．三五成群 C．十有八九 D．五颜六色 23．在自然数1～15中，质数有( )个，合数有( )个。 24．明明和乐乐在玩猜数游戏，明明说：“请你猜一个四位数，千位上的数字是一位数中最大的偶数，百位上的数字既是2的倍数也是3的倍数，十位上的数字是最小的合数，个位上的数字比最小的质数大3”请你猜一猜，明明说的四位数是( )。 25．20以内，最小的质数是( )，最小的合数是( )。 26．“一去二三里，烟村四五家。亭台六七座，八九十枝花。”这首诗中提到的数中，质数有( )，合数有( )，( )既不是质数也不是合数，( )既是奇数又是合数，( )既是偶数又是质数。（填数字） 考点六、质因数 27．把54分解质因数正确的是（    ）。 A．54＝6×9 B．54＝1×2×3×3×3 C．54＝6×3×3 D．54＝2×3×3×3 28．210的质因数共有（    ）。 A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 29．如果自然数A分解质因数是A＝2×3×5，那么自然数A有（    ）个因数。 A．3 B．8 C．10 D．12 30．分解质因数：72＝( )。 31．在括号里填上适当的质数。 ( )( )        ( )( )( ) 32．20以内的质数有：( )；用质数和的形式表示21＝( )＋( )＋( )；用分解质因数的形式表示15＝( )×( )。 33．在括号里填上合适的质数。 27＝( )×( )×( ) 10＝( )＋( )＝( )×( ) 34．把下面各数分解质因数。 30    40    28 考点七、公因数与最大公因数 35．24和4的公因数有（    ）个。 A．1 B．2 C．3 D．无数 36．下面的选项中，（    ）是63和117的最大公因数。 A．3 B．7 C．9 D．819 37．M＝2×2×3，N＝2×3×7，M和N的最大公因数是（    ）。 A．3 B．6 C．84 D．504 38．红红用60朵玫瑰和48朵百合扎花束。要求：每束花中都要有玫瑰和百合，且每束花中玫瑰的朵数相同，百合的朵数也相同，所有的玫瑰和百合都正好全部用完。用这些玫瑰和百合最多能扎( )束花，每束花中共有( )朵花。 39．用短除法求下面每组数的最大公因数。 36和45         24和12         26和91 40．草鞋技艺属于传统手工技艺类非物质文化遗产。非遗体验课上，老师把两条长度分别为63分米和70分米的草绳，剪成同样长的整数分米小段分给学员，且没有剩余。每段草绳最长为多少分米？一共可以剪成多少小段？ 41．拾金不昧、见义勇为、帮扶同学，这些都是当代学生的高尚品格。希望小学的校长将48本笔记本和36支钢笔全部分给五年级的品德模范，要求每名品德模范都有笔记本和钢笔，且每人分得的笔记本数量相同，钢笔数量也相同。每名品德模范至少分得几本笔记本和几支钢笔？ 考点八、公倍数与最小公倍数 42．60以内3和4的公倍数有（    ）个。 A．5 B．6 C．7 D．无数个 43．a＝9b，a和b的最大公因数是( )，最小公倍数是( )。 44．36和48的最大公因数是( )；15和35的最小公倍数是( )。 45．六·1班的学生人数在30——40之间，拍毕业照时要求每排人数同样多，刚好可以站成4排或6排，六·1班共有学生( )人。 46．已知自然数，自然数（与都是质数），如果与的最大公因数是30，最小公倍数是210，那么是( )，是( )。 47．求出下面每组数的最小公倍数。 16和24        20和18        15和25        6和12 48．体育器材店有80多个篮球，如果把它们放在4个一排的球架上正好放完；如果把它们放在6个一排的球架上也正好放完。这些篮球一共有多少个？ 49．中国画绘画社成员在老师的带领下乘车去乡村写生。无论是只乘面包车（限乘客9人），还是只乘中巴车（限乘客24人），都正好坐满。此次外出写生的师生至少有多少人？ 50．环绕操场步行一周，甲要4分钟，乙要6分钟，丙要8分钟。三人同时同地同向出发环绕操场步行，当他们三人再次相遇时，甲、乙、丙分别走了几周？ 试卷第1页，共3页 第 1 页 共 21 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专项提升训练08 因数与倍数 （8大考点50道题） 目录概览 考点一、因数和倍数的认识 1 考点二、找一个数的因数及因数的特征 2 考点三、找一个数的倍数及倍数的特征 4 考点四、2、3、5的倍数 6 考点五、质数与合数的认识 9 考点六、质因数 12 考点七、公因数与最大公因数 14 考点八、公倍数与最小公倍数 18 题型演练 考点一、因数和倍数的认识 1．（    ）组中的两个数是因数和倍数的关系。 A．9和12 B．5和20 C．3和13 D．4和6 【答案】B 【分析】如果整数除以整数（），商是整数且没有余数，我们就说是的倍数，是的因数。 【详解】A．9和12都是整数，，商是整数但是有余数，所以9和12不是因数和倍数的关系，此选项错误； B．5和20都是整数，，商是整数且没有余数，所以20是5的倍数，5是20的因数，这两个数存在因数和倍数的关系，此选项正确； C．3和13都是整数，，商是整数但是有余数，所以3和13不是因数和倍数的关系，此选项错误； D．4和6都是整数，，商是整数但是有余数，所以4和6不是因数和倍数的关系，此选项错误。 2．因为4×1.5＝6，所以6是4的倍数。( ) 【答案】× 【分析】因数和倍数是在不为0的自然数范围内才有的说法，1.5是小数，没有这种说法。 【详解】根据分析，不能说6是4的倍数。故原题说法错误。 故答案为：× 3．在算式72÷9＝8中，72是9或8的( )，9和8都是72的( )。 【答案】 倍数 因数 【分析】在除法算式中，被除数除以除数等于商。被除数是除数和商的倍数，除数和商都是被除数的因数。 【详解】72÷9＝8这个算式中，72是被除数，9是除数，8是商。72是9的8倍，也是8的9倍，所以72是9或8的倍数。9和8相乘得72，所以9和8都是72的因数。 考点二、找一个数的因数及因数的特征 4．8的最大的因数是（    ）。 A．1 B．4 C．8 D．16 【答案】C 【分析】找一个数的因数的方法：列除法算式找因数，按照从小到大的顺序，一组一组地写出以这个数为被除数的所有除法算式，除法算式中的除数和商就是这个数的因数；一个数的最大因数是它本身。 【详解】，，则8的因数有1、2、4、8，最大的因数是8。 5．下面各数中，因数个数最多的是（    ）。 A．18 B．36 C．40 D．45 【答案】B 【分析】找一个数因数的方法，分别从开始利用乘法算式一对一对地找出各选项中数的所有因数，统计因数的个数，最后比较大小即可得出结论。 【详解】A．18＝1×18＝2×9＝3×6，的因数有、、、、、，共个； B．36＝1×36＝2×18＝3×12＝4×9＝6×6，的因数有、、、、、、、、，共个； C．40＝1×40＝2×20＝4×10＝5×8，的因数有、、、、、、、，共个； D．45＝1×45＝3×15＝5×9，的因数有、、、、、，共个。 综上，因数个数最多的是。 6．一个数的最大因数是36，这个数的因数有（    ）个。 A．8 B．9 C．10 D．无数 【答案】B 【分析】根据因数的意义，一个数的最大因数是它本身，由此可确定这个数是36。再根据找一个数因数的方法，通过乘法算式一对一对地列举出36的所有因数，最后数出因数的个数即可得出答案。 【详解】根据因数的特征：一个数的最大因数是它本身。 因为这个数的最大因数是36，所以这个数是36。 找36的因数，可以通过乘法算式一对一对地找： 所以的因数有：、、、、、、、、。 一共有个因数。 7．写出12所有的因数________。 【答案】1、2、3、4、6、12 【分析】找一个数的因数的方法：列举法算式找因数，按照从小到大的顺序，一组一组地写出以这个数为被除数的所有除法算式，除法算式中的除数和商就是这个数的因数；一个数的最大因数是它本身。 【详解】12÷1＝12，12÷2＝6，12÷3＝4，因此12所有的因数是1、2、3、4、6、12。 8．文成县百丈漈瀑布是国家级风景名胜区，一漈垂直落差高达207米，是中华第一高瀑。207的因数共6个，分别是( )。 【答案】 1，3，9，23，69，207 【分析】找一个数的因数，可以利用乘法算式或除法算式，一对一对地寻找。为了确保不遗漏、不重复，通常从1开始，按从小到大的顺序有序书写。同时需要结合3的倍数的特征（各位数字之和是3的倍数）来辅助判断。 【详解】寻找207的因数，过程如下： 从1开始找：1×207＝207，得到因数1和207； 判断2：207是个位为7的奇数，不是2的倍数； 判断3：各位数字之和2＋0＋7＝9，9是3的倍数，所以207是3的倍数。207÷3＝69，得到因数3和69； 继续找：69是3的倍数，69÷3＝23，即9×23＝207，得到因数9和23； 判断中间数：23是质数，在9和23之间没有整数能整除207。 即207的因数共6个，分别是1，3，9，23，69，207。 考点三、找一个数的倍数及倍数的特征 9．在32、16、12、3、5、7这六个数中，( )是35的因数，48是( )的倍数。 【答案】 5、7 16、12、3 【分析】一个数能整除48，即48是这个数的倍数；一个数能整除35，即为35的因数。据此解答即可。 【详解】35＝5×7 16×3＝48、12×4＝48 在32、16、12、3、5、7这六个数中，5、7是35的因数，48是16、12、3的倍数。 10．20的因数有( )个，它的倍数有( )个。 【答案】 6 无数 【分析】因数是指能整除这个数的整数，一个数的因数个数是有限的，可通过有序列举全部找出； 倍数是指这个数依次与非0自然数相乘得到的数，自然数的个数无限，因此一个数的倍数个数也是无限的。 【详解】20÷1＝20 20÷2＝10 20÷4＝5 所以，20的因数：1、2、4、5、10、20，共6个。 20×1＝20 20×2＝40 20×3＝60 …… 所以，20乘任何一个自然数（0除外）的积都是20的倍数，有无数个。 11．70以内9的倍数有( )，最小的倍数是( )。 【答案】 9、18、27、36、45、54、63 9 【分析】要找9的倍数，用9依次乘自然数（0除外）就可得到，再找出符合70以内条件的倍数列举出来即可。一个数的最小倍数是它本身。 【详解】9的倍数：9、18、27、36、45、54、63、72… 符合70以内的9的倍数：9、18、27、36、45、54、63； 9的最小倍数是：9。 12．18的因数有( )；50以内13的倍数有( )。 【答案】 1、2、3、6、9、18 13、26、39 【分析】求一个数的因数可以通过用这个数从1开始除以一个数，找到没有余数的商和除数，就都是这个数的因数。1和它本身也是这个数的因数； 求一个数的倍数的方法：分别用1，2，3，4…去乘这个数，得到的结果就是这个数的倍数。 【详解】18÷1＝18 18÷2＝9 18÷3＝6 因此：18的因数有1、2、3、6、9、18； 1×13＝13 2×13＝26 3×13＝39 4×13＝52（52大于50，不合题意。） 因此：50以内13的倍数有13、26、39。 13．五（1）班同学参加社区举行的“保护家乡的青山绿水”活动，已经有35人来到社区广场，要是每8人一组，至少再来几人正好分完？ 【答案】5人 【分析】列乘法算式找倍数，按照从小到大的顺序，一组一组地写出这个数与非0自然数的乘法算式，乘法算式中的积就是这个数的倍数。据此先求出比35大的8的最小倍数，再减去35即可求解。 【详解】8×1＝8、8×2＝16、8×3＝24、8×4＝32、8×5＝40 比35大的8的最小倍数是40。 40－35＝5（人） 答：至少再来5人正好分完。 考点四、2、3、5的倍数 14．从0，4，6，8中选出三个数字组成三位数（同时是2，3，5的倍数），不能选的是（    ）。 A．0 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【分析】同时是和的倍数，确定个位数字必须是，从而确定数字必选。然后根据的倍数的特征（各位数字之和是的倍数），在剩余数字中选取两个，验证其和与相加是否为的倍数，从而找出不能选的数字。 【详解】该数的个位数字必须是。 若选、、：数字之和为，不是的倍数，此组合不符合题意； 若选、、：数字之和为，是的倍数，此组合符合题意； 若选、、：数字之和为，不是的倍数，此组合不符合题意。 符合条件的三个数字只能是、、，所以，不能选的是。 15．7☐1☐同时是2，3，5的倍数，右边的☐可以填( )，左边的☐可以填( )。 【答案】 0 1、4、7 【分析】个位上是0、2、4、6、8的数是2的倍数；个位上是0、5的数是5的倍数；一个自然数各个数位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数；则同时是2、3、5的倍数的数个位上必须是0，且各个数位上的数的和是3的倍数。右边的☐也就是这个数的个位，可以填0。左边的☐也就是这个数的百位，因为，8再加一个数必须是3的倍数，则这个数最小是1，另外还有4和7（确定好最小的数后，3个3个增加，就可以找到另外几个符合条件的数）。 【详解】7☐1☐同时是2，3，5的倍数，右边的☐可以填0。 ，9是3的倍数，所以左边的☐可以填1。 ，12是3的倍数，所以左边的☐可以填4。 ，15是3的倍数，所以左边的☐可以填7。 所以，左边的☐可以填1、4、7。 16．既是2又是5的倍数的最小三位数是( )；同时是2、3和5的倍数的最大三位数是( )。 【答案】 100 990 【分析】2的倍数特征：个位上是0、2、4、6、8的数；5的倍数特征：个位上是0或5的数；既是2的倍数又是5的倍数，个位上是0； 同时是2、3、5的倍数特征：个位数字是0，各个位上数字相加的和是3的倍数；据此解答。 【详解】既是2的倍数又是5的倍数的最小三位数是100； 同时是2、3和5的倍数，这个三位数百位上最大为数字9，个位上为数字0，则十位上最大为数字9，所以这个三位数最大是990。 17．《三国演义》是中国古典四大名著之一，其中有很多带有数的精彩故事，如：桃园三结义、过五关斩六将、七擒孟获、十八路诸侯讨伐董卓等。 (1)其中质数有( )   偶数有( )。 (2)既是2的倍数又是3的倍数的有( )。 【答案】(1) 3、5、7 6、18 (2) 6、18 【分析】根据题干信息“桃园三结义、过五关斩六将、七擒孟获、十八路诸侯”，提取出的数为：3、5、6、7、18。 质数是指只有和它本身两个因数的自然数（大于）；偶数是能被整除的数。 既是的倍数又是的倍数的数，即找出能同时被和整除的数（也就是的倍数）。 【详解】（1）的因数只有和，是质数； 的因数只有和，是质数； 的因数有1、2、3、6，是合数； 的因数只有和，是质数； 的因数有1、2、3、6、9、18，是合数。 所以，质数有：3、5、7。 3、5、7不能被整除，是奇数； ，能被整除，是偶数； ，能被整除，是偶数。 所以，偶数有：6、18。 （2）：是的倍数，但不是的倍数。 ：既不是的倍数，也不是的倍数。 ：，，符合条件。 ：既不是的倍数，也不是的倍数。 ：，，符合条件。 所以，既是的倍数又是的倍数的有：6、18。 18．笑笑经常使用“江西智慧教育平台”学习，在平台学习的积分达到了1096分，至少增加( )分就是3的倍数，至少增加( )分就同时是2和5的倍数。 【答案】 2 4 【分析】判断一个数是不是3的倍数，要看它各位数字之和是不是3的倍数。 同时是2和5的倍数的数，个位必须是0。 【详解】①1096的各位数字和：1＋0＋9＋6＝16 比16大且最接近的3的倍数是18，所以需要增加：18－16＝2 此时积分变为1096＋2＝1098，是3的倍数。 即至少增加2分就是3的倍数。 ②1096的个位是6，比1096大且个位是0的最小数是1100，所以需要增加： 1100－1096＝4 即至少增加4分就同时是2和5的倍数。 19．23□是一个三位数，当□里填( )时，它既是2的倍数，又是5的倍数，当□里填( )时，它是含有因数3的偶数。 【答案】 0 4 【分析】个位上是0、2、4、6、8的数，都是2的倍数。个位上是0或5的数，都是5的倍数；一个数各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。 整数中，是2的倍数的数叫做偶数，不是2的倍数的数叫做奇数。 【详解】要使23□既是2的倍数，又是5的倍数，那么□里填0； 要使23□是偶数，那么□里填0、2、4、6、8。 2＋3＋0＝5，5不是3的倍数；2＋3＋2＝7，7不是3的倍数；2＋3＋4＝9，9是3的倍数；2＋3＋6＝11，11不是3的倍数；2＋3＋8＝13，13不是3的倍数； 综上可知：要使23□是含有因数3的偶数，则□里填4。 20．商场开展礼盒打包活动，需要制作三位数编号礼盒，编号既是2和5的倍数，又是3的倍数。这个编号最小是( )，最大是( )。 【答案】 120 990 【分析】同时是2和5的倍数的数个位一定是0，再满足各位数字和是3的倍数；找最小三位数从百位1开始试，找最大三位数从百位9往下试 【详解】最小三位数百位为1，个位0，1＋十位数字是3的倍数，最小十位2，得120； 最大三位数百位9，个位0，9＋十位数字是3的倍数，最大十位9，得990。 考点五、质数与合数的认识 21．下面的四组数中，三个数全是质数的一组是（    ）。 A．1，5，7 B．2，51，57 C．17，37，47 D．19，29，49 【答案】C 【分析】质数是指只有1和它本身两个因数的自然数；合数是指除了1和它本身还有别的因数的自然数；1既不是质数也不是合数。 【详解】A．1既不是质数也不是合数，5是质数，7是质数，不全为质数，此选项错误； B．2是质数，51的因数有1、3、17、51，是合数，57的因数有1、3、19、57，是合数，不全为质数，此选项错误； C．17只有因数1和17，是质数；37只有因数1和37，是质数；47只有因数1和47，是质数，三个数均为质数，此选项正确； D．19是质数，29是质数，49的因数有1、7、49，是合数，不全为质数，此选项错误。 22．下面成语中，所含的数都是合数的是（    ）。 A．一目十行 B．三五成群 C．十有八九 D．五颜六色 【答案】C 【分析】质数：一个数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数（素数）。 合数：一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，这样的数叫做合数。 注意既不是质数也不是合数。 【详解】A．一目十行所含的数是1和10，既不是质数也不是合数，不符合题意； B．三五成群所含的数是3和5，3和5的因数都是1和它们本身，都是质数，不符合题意； C．十有八九所含的数是10、8、9，10的因数有1、2、5、10，8的因数有1、2、4、8，9的因数有1、3、9，因此10、8、9都是合数，符合题意； D．五颜六色所含的数是5和6，5的因数只有1和5，是质数，6的因数有1、2、3、6，是合数，不符合题意。 只有十有八九所含的数都是合数。 23．在自然数1～15中，质数有( )个，合数有( )个。 【答案】 6 8 【分析】质数是指只有1和它本身两个因数的数；合数是指除1和本身外还有其他因数的数；1既不是质数也不是合数。 【详解】在自然数1～15中，1既不是质数也不是合数； 质数有2、3、5、7、11、13，共6个； 合数有4、6、8、9、10、12、14、15，共8个； 因此，在自然数1～15中，质数有6个，合数有8个。 24．明明和乐乐在玩猜数游戏，明明说：“请你猜一个四位数，千位上的数字是一位数中最大的偶数，百位上的数字既是2的倍数也是3的倍数，十位上的数字是最小的合数，个位上的数字比最小的质数大3”请你猜一猜，明明说的四位数是( )。 【答案】8645 【分析】四位数，最高位是千位，千位是几表示几个千，百位是几表示几个百，十位是几表示几个十，个位是几表示几个一。 偶数是能够被2所整除的整数；合数是指在大于1的整数中除了能被1和本身整除外，还能被其他数（0除外）整除的数；质数是指在大于1的自然数中，除了1和它本身以外不再有其他因数的自然数；2的倍数的特征是个位上是0、2、4、6、8的数；3的倍数的特征是一个数的各位数之和是3的倍数，这个数就是3的倍数。 【详解】一位数中最大的偶数是8，所以千位上的数字是8，表示8个千。 既是2的倍数也是3的倍数的一位数，2的倍数有2、4、6、8，3的倍数有3、6、9，所以既是2的倍数也是3的倍数的一位数是6，即百位上的数字是6，表示6个百。 最小的合数是4，所以十位上的数字是4，表示4个十。 最小的质数是2，个位上的数字比最小的质数大3，则个位上的数字为：2＋3＝5，表示5个一。 所以这个四位数是8645。 25．20以内，最小的质数是( )，最小的合数是( )。 【答案】 【分析】质数是只有1和它本身两个因数的自然数；合数是除了1和它本身，还有其他因数的自然数；1既不是质数也不是合数。 【详解】20以内的质数：2、3、5、7、11、13、17、19，最小是2； 20以内的合数：4、6、8、9、10、12、14、15、16、18，最小是4； 20以内，最小的质数是2，最小的合数是4。 26．“一去二三里，烟村四五家。亭台六七座，八九十枝花。”这首诗中提到的数中，质数有( )，合数有( )，( )既不是质数也不是合数，( )既是奇数又是合数，( )既是偶数又是质数。（填数字） 【答案】 2、3、5、7 4、6、8、9、10 1 9 2 【分析】一个数，如果只有和它本身两个因数，这样的数叫做质数（或素数）。 一个数，如果除了和它本身还有别的因数，这样的数叫做合数。 既不是质数也不是合数。 不是的倍数的数，是奇数。 是的倍数的数，是偶数。 【详解】诗中包含的数字依次为：1、2、3、4、5、6、7、8、9、10， 质数有：2、3、5、7；合数有：4、6、8、9、10；1既不是质数也不是合数； 奇数有：1、3、5、7、9；偶数有：2、4、6、8、10； 既是奇数又是合数的数是9；既是偶数又是质数的数是2。 考点六、质因数 27．把54分解质因数正确的是（    ）。 A．54＝6×9 B．54＝1×2×3×3×3 C．54＝6×3×3 D．54＝2×3×3×3 【答案】D 【分析】把合数写成几个质数相乘的形式就是分解质因数，据此判断。 【详解】A．54＝6×9，6和9不是质数，不符合题意，故A错误； B．54＝1×2×3×3×3，1既不是质数也不是合数，不符合题意，故B错误； C．54＝6×3×3，6不是质数，不符合题意，故C错误； D．54＝2×3×3×3，2和3都是质数，符合题意，故D正确。 28．210的质因数共有（    ）。 A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 【答案】A 【分析】先找出210所有的因数，再找出所有因数属于质数的数即可。 【详解】210的因数：1、2、3、5、6、7、10、14、15、21、30、35、42、70、105、210； 其中质因数有：2、3、5、7，一共有4个。 故答案为：A 29．如果自然数A分解质因数是A＝2×3×5，那么自然数A有（    ）个因数。 A．3 B．8 C．10 D．12 【答案】B 【分析】先求出A的值：再列乘法算式找A的因数：按照从小到大的顺序一组一组地写出所有积是A的乘法算式，乘法算式中的两个因数就是A的因数。 【详解】A＝2×3×5＝30 30＝1×30＝2×15＝3×10＝5×6 所以A的因数有1、2、3、5、6、10、15、30共8个因数。 30．分解质因数：72＝( )。 【答案】 【分析】把一个合数分解成若干个质因数的乘积的形式，即求质因数的过程叫做分解质因数。分解质因数通常用短除法，通常从最小的质数除起，一直除到结果为质数为止。 【详解】 72＝2×2×2×3×3 31．在括号里填上适当的质数。 ( )( )        ( )( )( ) 【答案】 【分析】（1）需要将30写成两个质数相加的形式。可以先列举出小于30的质数，再通过尝试找出和为30的两个质数。 （2）需要将66写成三个质数相乘的形式，实际上就是对66进行分解质因数。 【详解】（1）小于30的质数有：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29。 其中两个质数和是30的有：7＋23＝30、11＋19＝30、13＋17＝30 所以以上三组任选一组填入即可。 （2）对66进行分解质因数：66＝2×3×11 只要填入2、3、11即可，顺序不要求。 32．20以内的质数有：( )；用质数和的形式表示21＝( )＋( )＋( )；用分解质因数的形式表示15＝( )×( )。 【答案】 2、3、5、7、11、13、17、19 3 5 13 3 5 【分析】质数：在大于1的自然数中，除了1和它本身以外不再有其他因数。根据质数的定义，从小到大依次找出20以内的质数。优先从小质数开始找出合适的三个和为21的质数，组成质数和的形式。分解质因数就是把一个合数用质数相乘的形式表示出来；从最小的质数开始试除，直到商也是质数为止，15的质因数只有3和5。 【详解】20以内的质数有：2、3、5、7、11、13、17、19 21＝3＋7＋11或21＝3＋5＋13 15＝3×5 33．在括号里填上合适的质数。 27＝( )×( )×( ) 10＝( )＋( )＝( )×( ) 【答案】 3 3 3 3 7 2 5 【分析】质数是指大于1，且只有1和它本身两个因数的数。 27可以分解为27＝3×9，再把9分解成3×3，所以27可以分解为27＝3×3×3； 10能分解的情况，加法：3和7是质数，5也是质数，所以10可以分解为10＝3＋7或10＝5＋5； 乘法：2是质数，5是质数，所以10可以分解为10＝5×2。 【详解】27＝3×9＝3×3×3 10＝3＋7或10＝5＋5 10＝5×2 34．把下面各数分解质因数。 30    40    28 【答案】30＝2×3×5；40＝2×2×2×5；28＝2×2×7 【分析】短除法分解质因数：先用能整除这个合数的最小质数去除；得到的商如果是合数，继续用质数去除，一直除到商是质数为止；把所有的除数和最后的商写成连乘的形式。 【详解】 30＝2×3×5        40＝2×2×2×5        28＝2×2×7 考点七、公因数与最大公因数 35．24和4的公因数有（    ）个。 A．1 B．2 C．3 D．无数 【答案】C 【分析】分别找出和的因数，再找出它们公有的因数，最后数出个数。 【详解】的因数有：、、。 的因数有：、、、、、、、。 和公有的因数：、、，统计个数：一共有个公因数。 36．下面的选项中，（    ）是63和117的最大公因数。 A．3 B．7 C．9 D．819 【答案】C 【分析】先分别找出两个数的所有因数，再找出它们的公因数，最后确定最大的一个。 【详解】63的因数：1，3，7，9，21，63。 117的因数：1，3，9，13，39，117。 63和117的公因数：1，3，9。 9＞3＞1 所以63和117的最大公因数是9。 37．M＝2×2×3，N＝2×3×7，M和N的最大公因数是（    ）。 A．3 B．6 C．84 D．504 【答案】B 【分析】分解质因数：把一个合数写成几个质数相乘的形式，把两个数分解质因数后，这两个数的最大公因数是它们所有公有的因数的乘积；据此解答。 【详解】2×3＝6 M＝2×2×3，N＝2×3×7，M和N的最大公因数是6。 38．红红用60朵玫瑰和48朵百合扎花束。要求：每束花中都要有玫瑰和百合，且每束花中玫瑰的朵数相同，百合的朵数也相同，所有的玫瑰和百合都正好全部用完。用这些玫瑰和百合最多能扎( )束花，每束花中共有( )朵花。 【答案】 12 9 【分析】每束花中玫瑰朵数相同、百合朵数相同且全部用完，所以最多花束数是60和48的最大公因数。求出60和48的最大公因数后，因为玫瑰总朵数除以花束数是每束玫瑰的朵数，百合总朵数除以花束数是每束百合的朵数，所以将两者相加就能得到每束花的总朵数。 【详解】60＝2×2×3×5 48＝2×2×2×2×3 2×2×3＝12，所以最多能扎12束花。 （朵） （朵） （朵） 所以每束花中共有9朵花。。 39．用短除法求下面每组数的最大公因数。 36和45         24和12         26和91 【答案】9；12；13 【分析】用短除法求两个数的最大公因数时，从两个数公有的最小质因数除起，一直除下去，直到除得的两个商互质为止。几个数的最大公因数就是这几个数的公有质因数的连乘积。 【详解】 所以36和45的最大公因数是3×3＝9。 所以24和12的最大公因数是2×2×3＝12。 所以26和91的最大公因数是13。 40．草鞋技艺属于传统手工技艺类非物质文化遗产。非遗体验课上，老师把两条长度分别为63分米和70分米的草绳，剪成同样长的整数分米小段分给学员，且没有剩余。每段草绳最长为多少分米？一共可以剪成多少小段？ 【答案】7分米；19小段 【分析】要把两根草绳剪成同样长且无剩余的小段，每段最长的长度就是63和70的最大公因数，再分别计算两根草绳能剪出的段数求和即可。 【详解】分解质因数：63＝3×3×7；70＝2×5×7 63和70的最大公因数是7，即每段最长7分米。 63分米草绳可剪段数：63÷7＝9（段） 70分米草绳可剪段数：70÷7＝10（段） 总段数：9＋10＝19（段） 答：每段草绳最长为7分米，一共可以剪成19小段。 41．拾金不昧、见义勇为、帮扶同学，这些都是当代学生的高尚品格。希望小学的校长将48本笔记本和36支钢笔全部分给五年级的品德模范，要求每名品德模范都有笔记本和钢笔，且每人分得的笔记本数量相同，钢笔数量也相同。每名品德模范至少分得几本笔记本和几支钢笔？ 【答案】 本；支 【分析】根据题意，笔记本和钢笔都要全部分完，且每人分得的数量相同，说明品德模范的人数必须是和的公因数。题目要求每名品德模范分得的物品数量“至少”是多少，意味着品德模范的人数要尽可能“最多”。因此，解题思路是先求和的最大公因数，确定最多有多少名品德模范，再用物品总数除以人数，即可得到每人分得的最少数量。 【详解】的因数有： 的因数有： 和的公因数有： 其中最大公因数是，所以最多有名品德模范。 每名品德模范分得笔记本的数量： （本） 每名品德模范分得钢笔的数量： （支） 答：每名品德模范至少分得本笔记本和支钢笔。 考点八、公倍数与最小公倍数 42．60以内3和4的公倍数有（    ）个。 A．5 B．6 C．7 D．无数个 【答案】A 【分析】两个数的公有质因数与每一个数的独有质因数的连乘积，就是两个数的最小公倍数；如果两个数为互质数，最小公倍数就是两个数的乘积；据此求出3和4的最小公倍数；再列举60以内该公倍数的所有倍数，即可解答。 【详解】和的公因数只有，所以和的最小公倍数是。 的倍数有：、、、、、 以内和的公倍数有：、、、、，共有个。 43．a＝9b，a和b的最大公因数是( )，最小公倍数是( )。 【答案】 b a 【分析】根据“当两个数成倍数关系时，较大的那个数，是这两个数的最小公倍数，较小的那个数，是这两个数的最大公因数”进行解答。 【详解】如果a＝9b，即a÷b＝9，即a和b成倍数关系，那么它们的最大公因数是b，最小公倍数是a。 44．36和48的最大公因数是( )；15和35的最小公倍数是( )。 【答案】 12 105 【分析】全部共有的质因数（公有质因数）相乘的积就是这几个数的最大公因数。全部公有的质因数和各自独立的质因数，它们连乘的积就是这几个数的最小公倍数。 【详解】36＝2×2×3×3、48＝2×2×2×2×3 2×2×3＝12 36和48的最大公因数是12； 15＝3×5、35＝5×7 3×5×7＝105 15和35的最小公倍数是105。 45．六·1班的学生人数在30——40之间，拍毕业照时要求每排人数同样多，刚好可以站成4排或6排，六·1班共有学生( )人。 【答案】 36 【分析】根据题意“每排人数同样多，刚好可以站成4排或6排”可知，总人数是4和6的公倍数，首先求出4和6的最小公倍数，然后列举出4和6的公倍数，再找出在30——40之间的公倍数，据此解答。 【详解】4＝2×2 6＝2×3 4和6的最小公倍数：2×2×3＝4×3＝12 4和6的公倍数有12、24、36、48…… 因为六·1班的学生人数在30——40之间，所以六·1班共有学生36人。 46．已知自然数，自然数（与都是质数），如果与的最大公因数是30，最小公倍数是210，那么是( )，是( )。 【答案】 7 2 【分析】（1）通过分解最大公因数30和最小公倍数210的质因数，去确定a与n的值。两个数的最大公因数是它们所有相同质因数的乘积，所以对比A、B的质因数组成，确定n的值； （2）两个数的最小公倍数是它们所有质因数的乘积（每个相同因数只乘一次），依此可推导剩余未知质数a的取值。 【详解】（1），说明A和B都含有相同质因数2：A已经有2了，因此B必须含有2，B的未知质因数是，所以， （2）210＝2×3×5×7，，（1）中求得n＝2，因此，所以a只能是7。 所以a是7，n是2。 47．求出下面每组数的最小公倍数。 16和24        20和18        15和25        6和12 【答案】48；180；75；12 【分析】两个数的公有质因数与每一个数的独有质因数的连乘积，就是两个数的最小公倍数；如果两个数为倍数关系，最小公倍数为较大的那个数；如果两个数为互质数，最小公倍数就是两个数的乘积。 【详解】16和24 16＝2×2×2×2 24＝2×2×2×3 16和24的最小公倍数是2×2×2×3×2＝48 20和18 20＝2×2×5 18＝2×3×3 20和18的最小公倍数是2×2×5×3×3＝180 15和25 15＝3×5 25＝5×5 15和25的最小公倍数是3×5×5＝75 6和12 6和12是倍数关系，最小公倍数是12。 48．体育器材店有80多个篮球，如果把它们放在4个一排的球架上正好放完；如果把它们放在6个一排的球架上也正好放完。这些篮球一共有多少个？ 【答案】84个 【分析】装进4个一排的球架上正好装完；装进6个一排的球架上也正好装完。说明篮球的数量正好是4和6的公倍数，先根据求一个数的倍数的方法，分别求出4和6的倍数，再找出这两个数的公倍数，并且这个公倍数的大小要满足在80多，据此解答。 【详解】4的倍数：4、8、12、16、20、24、28、32、36、40、44、48、52、56、60、64、68、72、76、80、84、88、92…… 6的倍数：6、12、18、24、30、36、42、48、54、60、66、72、78、84、90…… 可得80多中4和6的公倍数是84。 答：这些篮球一共有84个。 49．中国画绘画社成员在老师的带领下乘车去乡村写生。无论是只乘面包车（限乘客9人），还是只乘中巴车（限乘客24人），都正好坐满。此次外出写生的师生至少有多少人？ 【答案】72人 【分析】根据题意，师生总人数既能被9整除，又能被24整除，说明总人数是9和24的公倍数。题目要求“至少”有多少人，即求9和24的最小公倍数。 【详解】 9和24的最小公倍数是： 答：此次外出写生的师生至少有72人。 50．环绕操场步行一周，甲要4分钟，乙要6分钟，丙要8分钟。三人同时同地同向出发环绕操场步行，当他们三人再次相遇时，甲、乙、丙分别走了几周？ 【答案】甲走了6周，乙走了4周，丙走了3周 【分析】三人同时同地同向出发，当他们再次相遇时，所用的时间必须是每个人走一周所需时间的公倍数。要求第一次相遇，即求4、6、8的最小公倍数。求出相遇所需的总时间后，分别除以每人走一周的时间，即可求出各自走的周数。 【详解】4＝2×2 6＝2×3 8＝2×2×2 4、6、8的最小公倍数是2×2×2×3＝24。 即经过24分钟三人再次相遇。 甲：24÷4＝6（周） 乙：24÷6＝4（周） 丙：24÷8＝3（周） 答：甲走了6周，乙走了4周，丙走了3周。 试卷第1页，共3页 第 1 页 共 21 页 学科网（北京）股份有限公司 $