3.4.1 相似三角形中特殊对应线段的性质 课件2026-2027学年北师大版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦相似三角形中对应线段的性质，通过模型房屋架立柱问题导入，从全等三角形对应线段相等过渡，经思考交流、操作推理概括出相似三角形对应高、角平分线、中线及一般对应线段的比等于相似比，构建知识支架。 其亮点是以实际问题驱动探究，通过推理证明培养学生数学思维（推理意识），结合照相机成像等实例强化模型意识，用数学眼光观察现实。采用问题链教学，学生能深化知识联系，教师可提升教学效率。

第1课时 相似三角形中特殊对应线段的性质 第三章　图形的相似 4 探究与应用 两个全等三角形的对应高、对应角平分线和对应中线分别相等,那么两个相似三角形的这些对应线段会有怎样的关系呢? 探究 对应线段的比与相似比的关系 问题导入 如图3-4-1,小王依据图纸上的△ABC,以1∶2的比例建造了模型房的屋架△A'B'C',CD和C'D'分别是它们的立柱.如果CD=1.5 cm,那么模型房的屋架立柱有多高?你是怎样想的? 图3-4-1 解:根据已知条件可知△ABC∽△A'B'C',进而得到AC∶A'C'=1∶2,再证明△ACD∽△A'C'D',得到CD∶C'D’= AC∶A'C'=1∶2.因为CD=1.5 cm,所以C'D’= 3 cm.所以模型房的屋架立柱有3 cm高. (1)如图3-4-2,已知△ABC∽△A'B'C',△ABC与△A'B'C'的相似比为3,那么这两个三角形的两条中线AD,A'D'有怎样的关系?你还能提出类似的问题吗? 思考交流 图3-4-2 解:(1)AD∶A'D'=3∶1. 提出问题:这两个三角形的角平分线AE, A'E'有怎样的关系?(提出问题不唯一) (2)如果两个三角形相似,那么它们的对应高的比是多少?对应角平分线的比是多少?对应中线的比呢?请说明你的理由. 图3-4-2 解:(2)如果两个三角形相似,那么它们的对应高的比,对应角平分线的比,对应中线的比都等于相似比.可借助三角形相似加以说明.理由略. 相似三角形的性质定理:相似三角形对应高的比、对应角平分线的比、对应中线的比都等于　　　　.  概括新知 相似比 如图3-4-3,已知△ABC∽△A'B'C',△ABC与△A'B'C'的相似比为k;点D,E在BC边上,点D',E'在B'C'边上. (1)若∠BAD=∠BAC,∠B'A'D'=∠B'A'C',则等于多少? 操作思考 图3-4-3 解:(1)由“两角分别相等的两个三角形相似”,可知△ABD∽△A'B'D',于是==k. (2)若BE=BC,B'E'=B'C',则等于多少? 图3-4-3 解：(2)由“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”,可知△ABE∽△A'B'E',于是==k. (3)你能提出更一般性的问题吗? 图3-4-3 解：(3)答案不唯一.例如,若∠BAD=∠BAC,∠B'A'D'=∠B'A'C',则等于多少?若BE=BC,B'E'=B'C',则等于多少? 在相似三角形中,对应线段的比都等于　　　　.  概括新知 相似比 (1)如果两个相似三角形的对应角平分线之比是2∶3,那么它们的对应边之比是　　　　;  (2)如果两个相似三角形的对应边之比为3∶7,其中一个三角形的一边上的中线长为2,那么另一个三角形对应中线的长为　　　　.  应用 　利用对应线段的比等于相似比解决问题 例 1 2∶3 或 在运用相似三角形中对应线段的性质定理时,要注意分清线段的“对应”关系,以及两个相似三角形的顺序. 知 关键 (教材典题)如图3-4-4,AD是△ABC的高,AD=h,点R在AC边上,点S在AB边上,SR⊥AD,垂足为E.当SR=BC时,求DE的长.如果SR=BC呢? 例 2 图3-4-4 解:∵SR⊥AD,BC⊥AD, ∴SR∥BC. ∴∠ASR=∠B,∠ARS=∠C. ∴△ASR∽△ABC(两角分别相等的两个三角形相似). ∴=(相似三角形对应高的比等于相似比), 即=. 当SR=BC时,得=,解得DE=h. 当SR=BC时,得=,解得DE=h. 图3-4-4 课堂小结与检测 | 认知逻辑 | 1.如果两个相似三角形对应边的比为2∶3,那么它们对应角平分线的比是 (　　) A.2∶3 B.2∶5 C.4∶9 D.8∶27 | 课堂检测 | A 2.两个相似三角形的相似比为1∶4,其中较小的三角形某一条边上的中线长为3,则较大的三角形对应边上的中线长为　　　　.  12 3.如图3-4-5是一个照相机成像的示意图,如果底片AB宽40 mm,焦距是60 mm,求所拍摄的2 m外的景物的宽CD.   图3-4-5 解:2 m=2000 mm. ∵AB∥CD, ∴∠BAE=∠CDE,∠ABE=∠DCE. ∴△AEB∽△DEC. ∴=, 即=. ∴CD= mm= m. 即所拍摄的2 m外的景物的宽CD为 m. 图3-4-5 $