3.5.2平面直角坐标系中的位似变换（课件）-2026-2027学年北师大版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦平面直角坐标系中的位似变换，核心知识点涵盖原点位似坐标规律、位似比缩放规则、任意点位似公式及作图步骤。通过△OAB横纵坐标乘2或-2的问题导入与坐标变换表格，衔接位似图形性质，搭建从图形性质到坐标规律的学习支架。 其亮点在于高频易错点精准汇总，如符号判断、面积比平方等，结合经典例题规范步骤培养运算能力与推理意识，课时小结口诀化助力数学语言表达。学生能掌握中考高频题型，教师可直接用其系统教学，提升课堂效率。

北师大版数学9年级上册精做课件 授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 2026年7月4日 3.5.2平面直角坐标系中的位似变换 第三章 图形的相似 3.5.2 平面直角坐标系中的位似变换 同步讲义与习题 本节课是位似图形的坐标实操考点，也是中考高频必考题型。在掌握位似图形性质的基础上，重点学习平面直角坐标系中图形放大、缩小的坐标变化规律，掌握原点位似、任意点位似的计算与作图，是期末几何压轴、坐标几何的核心基础。 一、核心知识点精讲 1. 以原点为位似中心的位似变换（重中之重） 在平面直角坐标系中，如果位似变换以原点为位似中心，位似比为 $$k$$，那么原图形上点 $$(x,y)$$ 对应的位似点坐标为： $$\boldsymbol{(kx,\ ky)}$$ 或 $$\boldsymbol{(-kx,\ -ky)}$$ 2. 坐标符号与位置规律（必考区分） - 同向位似（同侧）：坐标同乘正数 $$k$$，图形与原图形在原点同一象限，对应顶点连线过原点； - 反向位似（对侧）：坐标同乘负数 $$-k$$，图形与原图形关于原点中心对称缩放，分居原点两侧。 规律总结：正负决定位置，绝对值决定大小。 3. 位似比 k 的缩放规则 - 当 $$|k|>1$$：图形放大； - 当 $$0<|k|<1$$：图形缩小； - 当 $$|k|=1$$：图形大小不变，仅位置变化。 4. 任意点为位似中心（拓展难点） 若位似中心不是原点，而是定点 $$(a,b)$$，位似比为 $$k$$，则点 $$(x,y)$$ 的对应点坐标公式： $$\boldsymbol{(a+k(x-a),\ b+k(y-b))}$$ 口诀：先减中心坐标，乘比例，再加回中心坐标。 5. 坐标位似的性质延续 坐标系中的位似图形，完全继承位似所有性质： - 对应边平行或共线，图形相似； - 坐标缩放比 = 位似比 $$k$$； - 周长比 = $$|k|$$； - 面积比 = $$k^2$$（平方不变）。 6. 坐标位似作图四步法（标准答题） 1. 定中心：确定位似中心（原点或定点）； 2. 算坐标：根据位似比求出所有顶点对应坐标； 3. 描点：在坐标系中描出所有新顶点； 4. 连线：顺次连接各点，得到位似图形。 二、高频易错点汇总（扣分重灾区） - 只记正数缩放，忘记负号位似会翻转象限； - 混淆放大缩小：$$k$$ 大于1放大、小于1缩小，切勿记反； - 已知坐标求位似比时，忘记带符号判断位置关系； - 面积比依旧平方，很多学生坐标缩放后直接用 $$k$$ 算面积； - 非原点位似乱用原点公式，导致坐标全部算错。 三、经典例题精讲（满分标准步骤） 例1 原点正向位似（基础计算） 已知点 $$A(2,3)$$，以原点为位似中心，位似比 $$k=2$$，求对应点坐标。 解： 由原点位似坐标规律：$$(kx,ky)$$ 对应点坐标为 $$(4,6)$$，图形在原象限同向放大。 例2 原点反向位似（易错题型） 点 $$B(4,-2)$$，以原点为位似中心，位似比$$k=-\dfrac{1}{2}$$，求对应点坐标。 解： 坐标同乘 $$-\dfrac{1}{2}$$： $$\left(4\times\left(-\dfrac{1}{2}\right),\ -2\times\left(-\dfrac{1}{2}\right)\right)=(-2,1)$$ 负号表示图形翻转到对侧象限，绝对值表示缩小。 例3 图形面积比计算 一个三角形以原点为位似中心，位似比为 $$3$$，求原图形与新图形的面积比。 解： 面积比 = 位似比的平方 = $$3^2=9$$ 新图形面积是原图形的9倍。 例4 非原点位似拓展 点 $$P(3,5)$$，以点 $$(1,2)$$ 为位似中心，位似比 $$k=2$$，求对应点坐标。 解： 套用定点位似公式：$$(a+k(x-a),\ b+k(y-b))$$ $$x=1+2\times(3-1)=5$$ $$y=2+2\times(5-2)=8$$ 对应点坐标为 $$(5,8)$$。 四、同步练习题 （一）选择题（每题4分，共20分） 1. 以原点为位似中心，点 $$(3,-4)$$ 按位似比 $$2$$放大后的坐标为（ ） A. $$(6,-8)$$ B. $$(-6,8)$$ C. $$(1.5,-2)$$ D. $$(3,-8)$$ 2. 位似比 $$k=-\dfrac{1}{3}$$，下列说法正确的是（ ） A. 放大、同侧 B. 缩小、对侧 C. 放大、对侧 D. 缩小、同侧 3. 原点位似变换，位似比为4，则面积比为（ ） A. 4:1 B. 8:1 C. 16:1 D. 1:16 4. 已知点 $$(2,4)$$ 位似后为 $$(-1,-2)$$，位似比为（ ） A. $$\dfrac{1}{2}$$ B. $$-\dfrac{1}{2}$$ C. 2 D. -2 5. 平面直角坐标系中位似变换不会改变图形的（ ） A. 形状 B. 大小 C. 位置 D. 周长 （二）填空题（每空3分，共30分） 1. 以原点为位似中心，点 $$(x,y)$$ 的位似坐标为________或________。 2. 位似比 $$|k|>1$$ 图形________，$$0<|k|<1$$ 图形________。 3. 位似变换的周长比等于________，面积比等于________。 4. 位似比为负数时，新图形与原图形分居位似中心________。 5. 非原点位似计算口诀：先减中心坐标，________，再加回中心坐标。 （三）解答题（共50分） 1.（16分）已知 $$\triangle ABC$$ 三个顶点坐标为 $$A(1,2),B(3,1),C(2,3)$$，以原点为位似中心，位似比 $$k=3$$，求放大后三个顶点的坐标。 2.（16分）已知点 $$M(5,-3)$$，以原点为位似中心，位似比 $$k=-\dfrac{1}{5}$$，求对应点坐标，并说明图形变化特点。 3.（18分）一个图形经原点位似变换，位似比为 $$\dfrac{1}{2}$$，若原图形面积为48，求新图形面积；若原图形周长为20，求新图形周长。 五、参考答案与详细解析 （一）选择题 1.A 解析：正数位似，坐标同乘2，同向放大。 2.B 解析：绝对值小于1缩小，负号表示分居两侧。 3.C 解析：面积比为位似比平方，$$4^2=16$$。 4.B 解析：对应坐标比值为 $$-\dfrac{1}{2}$$。 5.A 解析：位似只改位置、大小，不改变形状。 （二）填空题 1. $$(kx,ky)$$；$$(-kx,-ky)$$ 2. 放大；缩小 3. $$|k|$$；$$k^2$$ 4. 两侧 5. 乘位似比 （三）解答题 1. 解： 原点位似，坐标同乘3： $$A_1(3,6),\ B_1(9,3),\ C_1(6,9)$$ 答：放大后顶点坐标为$$(3,6)、(9,3)、(6,9)$$。 2. 解： $$x=5\times\left(-\dfrac{1}{5}\right)=-1$$ $$y=-3\times\left(-\dfrac{1}{5}\right)=\dfrac{3}{5}$$ 对应点坐标为 $$\left(-1,\dfrac{3}{5}\right)$$； 特点：图形缩小为原来的 $$\dfrac{1}{5}$$，且与原图形分居原点两侧。 3. 解： 位似比 $$k=\dfrac{1}{2}$$ 新周长 $$=20\times\dfrac{1}{2}=10$$ 新面积$$=48\times\left(\dfrac{1}{2}\right)^2=12$$ 答：新图形周长为10，面积为12。 六、课时终极小结 1. 原点位似核心公式：$$k$$ 正同侧、$$k$$ 负对侧，坐标直接乘 $$k$$； 2. 缩放规则：绝对值大于1放大，小于1缩小； 3. 比例铁律：周长、线段一次比，面积永远平方比； 4. 非原点位似记住平移缩放公式，考场直接套用不出错。 1. 理解平面直角坐标系中，位似图形对应点的坐标之间的联系。 2. 会用图形的坐标的变化表示图形的位似变换，掌握把一个图形按一定比例放大或缩小后，点的坐标变化的规律。 学习目标 2 问题 如图，在平面直角坐标系中，△OAB三顶点的坐标分别是O(0，0)，A(3，1)，B(2，3)。 将点O，A，B的横坐标、纵坐标都乘2，得到三个点， 以这三个点为顶点的三角形与△OAB位似吗?如果位 似，指出位似中心和相似比。 位似； 位似中心是坐标原点O，相似比为2。 -6 -4 -2 O 2 4 6 6 4 2 -2 -4 -6 A B y x 原坐标 O(0,0) A(3,0) B(2,3) 横纵坐标乘2 O′(0,0) A′(6,0) B′(4,6) 问题 如图，在平面直角坐标系中，△OAB三顶点的坐标分别是O(0，0)，A(3，1)，B(2，3)。 如果将点O，A，B的横坐标、纵坐标都乘-2呢? 位似； 位似中心是坐标原点O，相似比为2。 -6 -4 -2 O 2 4 6 6 4 2 -2 -4 -6 A B y x 原坐标 O(0,0) A(3,0) B(2,3) 横纵坐标乘-2 O′(0,0) A′(-6,0) B′(-4,-6) 如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD的顶点坐标分别是A(4，2)，B(8，6)，C(6，10)，D(-2，6)。 (1)将点A，B，C，D的横坐标、纵坐标都乘， 得到四个点，以这四个点为顶点的四边形与 四边形ABCD位似吗?如果位似，指出位似中 心和相似比。 位似，位似中心为点O，相似比为。 知识点1 平面直角坐标系中的位似变换 -10 -8-6 -4-2O 2 4 6 8 10 10 8 6 4 2 -2 -4 -6 -8 -10 A B C D y x 如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD的顶点坐标分别是A(4，2)，B(8，6)，C(6，10)，D(-2，6)。 (2)如果将点A，B，C，D的横坐标、 纵坐标 都乘-呢? 位似，位似中心为点O，相似比为。 知识点1 平面直角坐标系中的位似变换 -10 -8-6 -4-2O 2 4 6 8 10 10 8 6 4 2 -2 -4 -6 -8 -10 A B C D y x 如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD的顶点坐标分别是A(4，2)，B(8，6)，C(6，10)，D(-2，6)。 (3)你还能提出更一般性的问题吗? 如：在平面直角坐标系中，将一个四边形每个顶点的横坐标、纵坐标都乘同一个数k(k≠0)，所对应的图形和原四边形位似吗? 知识点1 平面直角坐标系中的位似变换 位似多边形对应点的坐标的变化规律： 在平面直角坐标系中，将一个多边形每个顶点的横坐标、纵坐标都乘同一个数k(k≠0)，所对应的图形与原图形位似，位似中心是坐标原点，它们的相似比为|k|。 知识点1 平面直角坐标系中的位似变换 在平面直角坐标系中，四边形OABC的顶点坐标分别是O(0，0)， A(6，0)，B(3，6)，C(-3，3)。以原点O为位似中心画一个四边形，使它与 四边形OABC位似，且相似比是 。 分析：为了使画出的四边形与原四边形的相似比为，需要将原四边形每 个顶点的横坐标、纵坐标都乘多少? 例1 知识点1 平面直角坐标系中的位似变换 B C A 解：如图，有两种画法。 画法一：将四边形OABC各顶点的横坐标、 纵坐标都乘，得到O(0，0)，A′(4，0)， B′(2，4)，C′(-2，2)； 在平面直角坐标系中描出点A′，B′，C′， 用线段依次连接点O，A′，B′，C′，O， 则四边形OA′B′C′就是符合要求的四边形。 -6 -4 -2 O 2 4 6 6 4 2 -2 -4 -6 y x B′ C′ A′ 知识点1 平面直角坐标系中的位似变换 画法二：将四边形OABC各顶点的横坐标、 纵坐标都乘-，得到O(0，0)，A″(-4，0)， B″(-2，-4)，C″(2，-2)； 在平面直角坐标系中描出点A″，B″，C″， 用线段依次连接点O，A″，B″，C″，O， 则四边形OA″B″C″也是符合要求的四边形。 知识点2 位似图形的画法 -6 -4 -2 O 2 4 6 6 4 2 -2 -4 -6 y x B C A A″ C″ B″ 剪纸是我国历史悠久的民间艺术形式之一，它是人们对吉祥、幸福的一种寄托。如图，将一幅剪纸图案放在直角坐标系中，已知其上点A(-1，4)。若以原点O为位似中心，将原图案放大，得到的新图案与原图案的相似比为2，则点A 的对应点A′的坐标是 。 跟踪训练 知识点1 平面直角坐标系中的位似变换 (-2，8)或(2，-8) 名称 变换规律 变换方式 平移 轴对称 旋转 位似 四种常见的图形变换的比较： 对应点的横坐标（或纵坐标）加上（或减去）平移的单位长度 以x轴为对称轴：对应点的横坐标相等，纵坐标互为相反数；以y轴为对称轴：对应点的纵坐标相等，横坐标互为相反数 若一个图形绕原点旋转180°，则旋转前后两个图形对应点的横坐标与纵坐标均互为相反数 当以原点为位似中心时，变换前后两个图形对应点的横坐标、纵坐标之比的绝对值均等于相似比 全等变换 相似变换 1.将平面直角坐标系中某个图形的各点坐标做如下变化，其中属于位似变换的是 ( ) A. 将各点的纵坐标乘以 2，横坐标不变 B. 将各点的横坐标除以 2，纵坐标不变 C. 将各点的横坐标、纵坐标都乘以 2 D. 将各点的纵坐标减去 2，横坐标加上 2 C 随堂练习 2.在平面直角坐标系中，△OAB各顶点的坐标分别为O(0，0)，A(1，2)，B(0，3)，以点O为位似中心，△OA′B′与△OAB位似，若点B的对应点B′的坐标为(0，－6)，则点A的对应点A′的坐标为(　　) A．(－2，－4) B．(－4，－2) C．(－1，－4) D．(1，－4) A 随堂练习 知识点1 平面直角坐标系中的位似变换 （第1题） 1. 如图，矩形 各顶点的坐标分别为 ，，，，以原点 为 位似中心，将这个矩形按相似比 缩小，则顶点 在第一象限对应点的坐标是( ) D A. B. C. D. 返回 考试考法 16 （第2题） 2. 如图，在平面直角坐标系 中， 与 是位似图形，各顶点都在 格点上，则位似中心的坐标是( ) D A. B. C. D. 返回 考试考法 17 （第3题） 3. [2025浙江] 如图，五边形 , 是以坐标原点 为位似中心的 位似图形，已知点, 的坐标分别为 ,.若的长为3，则 的长为 ( ) C A. B. 4 C. D. 5 返回 考试考法 18 4.在平面直角坐标系中，与 位似，位似中心是 原点.若对应点坐标分别为，，则 与 的面积比为_____. 返回 考试考法 19 （第5题） 5.如图，在平面直角坐标系中，正方形 与正方形是以原点 为位似中心 的位似图形，且相似比为,点,,在 轴 上，若正方形的边长为3，则点 的坐 标为______. 考试考法 20 图形的 位似 画法 找准位似中心，由相似比确定关键 点的对应点，顺次连接各对应点 直角坐标系中的位似变换： (a，b) (ka，kb)或(-ka，-kb) 以原点为位似中心 k为相似比 课堂小结 $