3.3.1 平行线分线段成比例 课件2026-2027学年北师大版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦“平行线分线段成比例”，通过方格纸计算、直线平移验证等探究活动，从特殊实例归纳基本事实，再推导推论，搭建从具体到抽象的学习支架，衔接知识脉络。 其亮点在于以探究培养数学眼光（几何直观），通过推理发展数学思维（推理意识），用符号语言和方程思想强化数学语言（模型意识）。如方格纸计算发现规律，例题分步解析，延伸拓展添加辅助线方法，课堂小结梳理认知逻辑，助力学生构建知识体系，方便教师高效教学。

第1课时 平行线分线段成比例 第三章　图形的相似 3 探究与应用 (1)在图3-3-1中,方格纸中每个小方格的边长均为1,直线l1∥l2∥l3,分别交直线m,n于格点A1,A2,A3,B1,B2,B3.计算与,与,与的值,你有什么发现? 探究一 平行线分线段成比例的基本事实 问题导入 图3-3-1 解:(1)==,==,==. 发现:平行线截得的对应线段成比例. 图3-3-1 (2)将图3-3-1中的直线l2向下平移到如图3-3-2所示的位置,你在(1)中发现的结论还成立吗?如果将直线l2平移到其他位置呢? 图3-3-2 解：(2)成立.直线l2平移到其他位置 也成立. (3)在平面上任意作三条平行线,用它们截两条直线,截得的线段成比例吗? 解：(3)在平面上任意作三条平行线,用它们截两条直线,截得的对应线段成比例. 平行线分线段成比例的基本事实:两条直线被一组平行线所截,所得的　　　　　　成比例. 符号语言:如图3-3-3,当l3∥l4∥l5时,有=　　　,=　　　,= 　　　　.    概括新知 对应线段 图3-3-3 由平行线得到成比例线段的比例式时,把对应的线段写在对应位置.这里应该特别注意的是被截直线上的线段成比例,而不是平行线上的线段. 防 易错 如图3-3-4,已知直线l1∥l2∥l3,分别交直线l4,l5于点A,B,C,D,E,F. (1)如果AB=3,BC=6,EF=8,求DE的长; 应用一　利用平行线分线段成比例的基本事实求线段的长 例 1 解:(1)∵直线l1∥l2∥l3, ∴===. ∴DE=EF=×8=4. 图3-3-4 (2)如果AB=AC,DF=9,求EF的长. 解:(2)∵AB=AC,∴=. ∴=. ∵l1∥l2∥l3,∴=, 即=, ∴EF=. 图3-3-4 利用平行线分线段成比例这个基本事实求线段的长时,先确定图中的平行线,结合待求线段和已知线段找出一个含有它们的比例关系,构造方程并解方程,从而求出待求线段的长. 理 思路 如图3-3-5,直线a∥b∥c,分别交直线m,n于点A1,A2,A3,B1,B2,B3,过点A1作直线n的平行线,分别交直线b,c于点C2,C3.图中有哪些成比例线段? 探究二 平行线分线段成比例的基本事实的推论 观察思考 解:==,==,==等. 图3-3-5 平行线分线段成比例的基本事实的推论:平行于三角形一边的直线与其他两边相交,截得的对应线段　　　　.  符号语言:如图3-3-6,在△ABC中,点D,E分别在AB,AC上,DE∥BC,则=,=,=. 成比例 概括新知 图3-3-6 (教材典题)如图3-3-7,在△ABC中,E,F分别是AB和AC上的点,且EF∥BC. (1)如果AE=7,EB=5,FC=4,那么AF的长是多少? 应用二　 利用平行线分线段成比例的基本事实的推论求线段的长 例 2 解:(1)∵EF∥BC,∴=. ∵AE=7,EB=5,FC=4,∴AF===. 图3-3-7 (2)如果AB=10,AE=6,AF=5,那么FC的长是多少? 解: (2)∵EF∥BC,∴=. ∵AB=10,AE=6,AF=5, ∴AC===. ∴FC=AC-AF=-5=. 图3-3-7 【延伸拓展】 添加平行线求线段的比 如图3-3-8,在△ABC中,点D在BC上,F是AD的中点,连接CF并延长交AB于点E,已知CD∶BD=3∶2,求的值. 解:如图,过点D作DG∥CE交AB于点G. 图3-3-8 ∵DG∥CE, ∴==. 设BG=2x,则EG=3x. ∵F是AD的中点, ∴AF=FD. 图3-3-8 ∵EF∥DG,∴==1. ∴AE=EG=3x. ∴==. 图3-3-8 添加平行线求线段的比的思路 (1)构建平行关系:在三角形中通常过某一点作某一边或某一条重要线段的平行线; (2)列比例式并求解:根据平行线分线段成比例的基本事实(或推论)列出比例式,运用方程思想求解. 理 思路 课堂小结与检测 | 认知逻辑 | 1.如图3-3-9,AD∥BE∥CF,若AB=2,BC=4,EF=5,则DE的长是 (　　) A.6 B. C. D. | 课堂检测 | C 图3-3-9 2.如图3-3-10,已知AB∥CD∥EF,=,BE=15,那么CE的长为 　　　　.  图3-3-10 3.如图3-3-11,BC∥DE,AD=3,AE=4,AB=9,则CE=　　　　. 图3-3-11 4.如图3-3-12,在△ABC中,D,E,F是其边上的点,且DE∥AC,AE∥DF,=,BF=6 cm,求EF和CF的长. 解:∵AE∥DF,∴=. ∵=,BF=6 cm,∴EF=4 cm, ∴BE=BF+EF=6+4=10(cm). ∵DE∥AC,∴=,即=,∴CE=cm,∴CF=CE+EF=(cm). 图3-3-12 $