3.2 第4课时 黄金分割（导学案）-2026-2027学年北师大版数学九年级上册

该初中数学导学案聚焦“黄金分割”，引导学生理解概念、掌握黄金比计算及应用。通过观察图片提问“哪副图最有美感”导入，承接相似三角形探索，以五角星为载体引导找相等角、线段及相似三角形，搭建从相似到黄金分割的认知支架。 资料融合文化价值与实践操作，帕提侬神庙矩形、人体比例等实例感受数学审美，作图验证黄金分割点培养几何直观。习题从基础计算到实际应用，如书籍宽长、乐器弦分割，发展推理能力与模型意识，助力学生用数学思维解决问题。

第3章 图形的相似 3.2 探索三角形相似的条件 第4课时 黄金分割 【学习目标】 1.理解黄金分割的概念． 2.探索并掌握黄金比，能够进行黄金分割的有关计算． 3.感受黄金分割所蕴含的文化价值，发展学生应用意识和审美意识． 学习重点：应用黄金分割解决实际问题. 学习难点：会推导黄金比，能够运用相似三角形证明某个点是一条线段的黄金分割点． 【复习导入】 通过观察，你觉得下面那副图最有美感？ 【合作探究】 探究点：黄金分割的概念 一个五角星如下图所示. (1) 从图中找出相等的角、相等的线段. (2) 在图中找出两对相似比不同的相似三角形. 小亮认为，你同意他的看法吗？说说你的理由. 【归纳总结】 【典例精析】 例1 计算黄金比. 画一画 1.如图所示，已知线段 AB 按照如下方法作图： ①经过点 B 作 BD⊥AB，使 BD = AB. ②连接 AD，在 AD 上截取 DE = DB. ③在 AB 上截取 AC = AE. 思考：点 C 是线段 AB 的黄金分割点吗？ 尝试·思考 下图是古希腊时期的帕提侬神庙，如果把图中用虚线表示的矩形画成图中的 ABCD，以矩形 ABCD 的宽为边在其内部作正方形 AEFD，那么我们可以惊奇地发现， . 点 E 是 AB 的黄金分割点吗？矩形 ABCD 的宽与长的比是黄金比吗? [典例精析] 例2 在人体躯干与身高的比例上，肚脐是理想的黄金分割点，即比值越接近0.618越给人以美感. 小明的妈妈脚底到肚脐的长度与身高的比为 0.60，她的身高为1.60 m，她应该穿多高的高跟鞋看起来会更美？ 练一练 1.在中华经典美文阅读中，小明同学发现自己的一本书的宽与长之比为黄金比，已知这本书的长为 20 cm，则它的宽约为( ) (A) 12.36 cm (B) 13.6 cm (C) 32.36 cm (D) 7.64 cm 2.如图是一种贝壳的俯视图，点C分线段AB近似于黄金分割，已知 AB =10 cm，则 AC 的长约为_____cm.（结果精确到 0.1 cm） 3.如图所示，乐器上的一根弦 AB = 80 cm，两个端点 A、B 固定在乐器板面上，支撑点 C 是靠近点 B 的黄金分割点，支撑点 D 是靠近点 A 的黄金分割点，则 AC=______cm，DC =_______cm. 当堂反馈 1.已知线段AB＝2，点C是AB的一个黄金分割点，且AC＞BC，则AC的长是(　　) A. B.－1 C. D.3－ 2.如图①是古希腊时期的帕提侬神庙，把图中虚线表示的矩形画成图②中的矩形ABCD，以AD为边在其内部作正方形AEFD，我们发现点E是线段AB的黄金分割点(AE＞BE)，据此可求得比值为(　　) A. B. C. D. 3.已知M是线段AB的黄金分割点，MA是被分线段AB中较长的线段，且MA＝2(－1)，则原线段AB的长为　　. 4.如图，用长为40cm的细铁丝围成一个矩形ABCD(AB＞AD).若这个矩形为黄金矩形(宽与长之比等于黄金比). (1)求该矩形的长. (2)求该矩形的面积.(结果保留根号) 5.在人体躯干上，肚脐是理想的黄金分割点，即脚底到肚脐的长度与身高的比值越接近0.618，越给人以美感.张女士原来脚底到肚脐的长度与身高的比值为0.60，她的身高为1.60m，她应该选择多高的高跟鞋穿上看起来更美？(精确到十分位) 参考答案 【合作探究】 探究点：黄金分割的概念 问题： 度量、计算 易证 . ， 例1 解：由 ，得 . 设 ，，则 . ∴ ，即 . 解这个方程，得 ， （不合题意，舍去）. 所以，黄金比 . 思考： 令，则， ，； ， ， 。 点 是线段 的黄金分割点。 例2 离地面的高度 h = 3×0.618 = 1.854 m 练一练 1. A 2. 6.2 3.由黄金分割定义可知，，， 所以 。 当堂反馈 1.B　 2.　B　 3.　4　. 4. 解：(1)设AB＝xcm，则AD＝(20－x)cm. 由题意得＝，解得x＝10－10. 经检验，x＝10－10是原方程的根，即AB＝(10－10)cm. 答：矩形的长为(10－10)cm. (2)∵AB＝(10－10)cm， ∴AD＝20－(10－10)＝(30－10)(cm). ∴(10－10)×(30－10)＝(400－800)(cm2). 答：该矩形的面积为(400－800)cm2. 5. 解：根据已知条件得下半身长是160×0.6＝96(cm). 设选择的高跟鞋的高度是xcm，则根据黄金分割的定义得＝0.618，解得x≈7.5. 故她应该选择7.5cm左右的高跟鞋穿上看起来更美. 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $