精品解析：安徽池州市青阳县2025-2026学年度第二学期期末考试八年级数学试题

2025～2026学年度第二学期期末考试八年级数学试题 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】用同类二次根式的合并法则，即合并同类二次根式时，系数相加减，被开方数不变，直接计算即可． 【详解】解：∵ 与 是同类二次根式，合并时系数相减，被开方数不变， ∴ ． 2. 若是关于的一元二次方程的解，则的值为（ ） A. 4 B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】由一元二次方程解的定义，将代入方程，整理变形即可求出的值． 【详解】解：∵是一元二次方程的解， ∴将代入方程得， 即， ． 3. 若一个正多边形的每个外角是60°，则从它的一个顶点出发的对角线有（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查多边形外角和和对角线数量公式．先利用正多边形外角和为360°求出边数，再根据n边形从一个顶点出发的对角线数量公式计算结果． 【详解】解：∵正多边形的外角和为，且每个外角是， ∴该正多边形的边数， ∵从边形的一个顶点出发的对角线数量为， ∴从正六边形一个顶点出发的对角线数量为． 故选：A 4. 一元二次方程的两个实数根分别是、，则（ ） A. B. C. 7 D. 10 【答案】D 【解析】 【分析】利用一元二次方程根的定义对所求式子降次变形，再结合一元二次方程两根之和的关系计算即可得到结果． 【详解】解：∵一元二次方程的两个实数根分别是、， ∴，即， ∴， ∵， ∴． 5. 下列条件中，不能判断四边形是平行四边形的是（　　） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】根据平行四边形的判定进行判断即可． 【详解】解：，，但与不一定平行， ∴由，不能判断四边形是平行四边形，故A选项符合题意； ∵， ， ，， ， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴由，能判断四边形是平行四边形， 故B选项不符合题意； ，， ∴四边形是平行四边形， ∴由，能判断四边形是平行四边形， 故C选项不符合题意； ，，且， ∴，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴由，能判断四边形是平行四边形， 故D选项不符合题意， 故选：A． 【点睛】本题考查平行四边形的判定、平行线的判定、多边形的内角和，熟练掌握平行四边形的判定是解题的关键． 6. 某校举办的“魅力篮球”活动中，有6位同学各投篮10次，进球次数（单位：次）分别为7，8，7，5，7，8，则下列说法中不正确的是（　　） A. 这6位同学投篮进球次数的平均数是7 B. 这6位同学投篮进球次数的众数是7 C. 这6位同学投篮进球次数的中位数是6 D. 这6位同学投篮进球次数的方差是1 【答案】C 【解析】 【分析】先对数据从小到大排序，再依次计算平均数、众数、中位数、方差，判断各选项正误，找出错误说法． 【详解】解：将进球次数从小到大排序得，5，7，7，7，8，8， 计算平均数，∵数据总和为， ∴平均数为，A选项说法正确； 求众数，∵7在数据中出现次数最多，共3次， ∴众数是7，B选项说法正确； 求中位数，∵数据共6个，中位数为排序后第3个和第4个数据的平均数， ∴中位数为，C选项说法错误； 计算方差，∵平均数， ∴方差，D选项说法正确． 7. 如图，折叠长方形的一边，使点落在边上的点处，若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先由勾股定理求得，则，在中，由勾股定理求解即可． 【详解】解：在长方形中，，，， 由折叠性质得，， 在中，， ∴ 在中，由勾股定理得， ∴，解得． 8. 口袋公园是指面向公众开放、规模较小、具有一定游憩功能的公园绿化活动场地．为了满足市民对“推窗见绿、出门入园”美好生活的向往，青阳县园林部门计划将三块小绿地整合成一个如图所示的长方形口袋公园．已知正方形和正方形的面积分别为，，则该口袋公园的总面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出，，从而可得，求出矩形的面积为，即可得出结果． 【详解】解：∵正方形和正方形的面积分别为，， ∴，， ∴， ∴矩形的面积为， ∴该口袋公园的总面积为． 9. 如图，在中，点是对角线上一点，过点作分别交于点，连接、，若，则下列面积一定可以求得结果的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】证明四边形是平行四边形，即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴ 又∵ ∴四边形是平行四边形， ∵点在上， ∴， 故选：D． 10. 商家通常依据“乐观系数准则”确定商品销售价格，即根据商品的最低销售限价，最高销售限价以及实数确定实际销售价格，这里被称为乐观系数．经验表明，最佳乐观系数恰好使得，据此可得，最佳乐观系数的值等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用，根据题设条件，由，得到，整理后得到关于最佳乐观系数的方程，求解即可．解题的关键是正解理解题意并掌握一元二次方程的解法． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：或， ∵， ∴． 故选：D． 二、填空题（每题5分，共20分） 11. 若关于的一元二次方程的一个根为1，则的值为____________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程的根的定义是解题的关键． 将已知根代入方程，求解参数即可． 【详解】解：将代入方程， 得， 即， 整理得， 解得． 故答案为：2． 12. 中国结寓意团圆、美满，以独特的东方神韵体现中国人民的智慧和深厚的文化底蕴，徐明家有一个菱形中国结装饰如图，测得，则的度数为______． 【答案】##70度 【解析】 【分析】根据菱形的性质可得，再由等腰三角形的性质解答即可． 【详解】解：∵四边形是菱形，， ∴， ∵， ∴． 13. 已知实数，，满足，，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】由，知，，为方程的两实根，然后通过根的判别式即可求解． 【详解】解：∵，， ∴，为方程的的两实根， ∴， ∴，，， ∴，即，解得：， ∴， ∴． 14. （1）如图1，是等边内一点，连接、、，且，，，将绕点顺时针旋转后得到，连接，则线段的长为______； （2）如图2，是等腰直角内一点，连接、、，将绕点顺时针旋转后得到，连接．当、、满足_____条件时，． 【答案】 ①. 4 ②. 【解析】 【分析】（1）根据旋转的性质可得 ，从而 ，，结合等边三角形性质可证，进而判定  为等边三角形，得出 ； （2）同理根据旋转性质和等腰直角三角形性质可证  为等腰直角三角形，得出 ，若，则在  中利用勾股定理，代入  即可得出关系式． 【详解】（1）解： 为等边三角形，  ，  绕点  顺时针旋转后到 ，  ， ， ， ，   为等边三角形， ； 故答案为： 4； （2）解：，理由如下：  为等腰直角三角形，，  ，  绕点  顺时针旋转后得到 ，  ， ， ，  为等腰直角三角形， ， 当  时， 为直角三角形， ， ，  ． 三、解答题（第15-20题各8分，第21题10分，第22题12分，共70分） 15. 计算、解方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）先计算零指数幂、化简二次根式、化简绝对值，再加减运算即可求解； （2）利用因式分解法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：， 移项，得， 因式分解，得， 即， 或， 解得，． 16. 请阅读下列材料：已知一个关于的方程，其中、均为整数，且有一个根为，求、的值． 晨晨同学根据二次根式的性质：，联想到了如下解法：由得，则，即，．故，． 请运用上述方法解决下列问题： （1）已知关于的方程，其中、均为整数，且有一个根为，求、的值． （2）已知，求代数式的值． 【答案】（1）， （2）2028 【解析】 【分析】（1）仿照题干所给的方法计算即可得出结果； （2）求出，再将所求式子进行变形，整体代入计算即可得出结果． 【小问1详解】 解：， ， ， ，即 两边同时乘以得． ，； 【小问2详解】 解：， ， ， ， 即， ． 17. 数学兴趣小组利用所学数学知识来解决实际问题，实践报告如下： 活动课题 风筝离地面垂直高度探究 问题背景 秋高气爽，很多龙岗市民喜欢到大运公园等地方放风筝． 测量数据 抽象模型 某数学兴趣小组成员测量了相关数据，并画出了如图所示的示意图，测得水平距离的长为15米，根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为17米，牵线放风筝的手到地面的距离为米． 问题产生 经过讨论，兴趣小组得出以下问题： （1）运用所学勾股定理相关知识，根据测量所得数据，计算出风筝离地面的垂直高度． （2）如果想要风筝沿方向再上升12米，且长度不变，则他应该再放出多少米线？ 问题解决 ⋯ 该报告还没有完成，请你帮助兴趣小组解决以上问题． 【答案】（1）风筝离地面的垂直高度为米；（2）他应该再放出8米线 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先理解题意，运用勾股定理得出米，再把数值代入，即可作答． （2）先整理得出（米），再把数值代入，求出（米），故（米），即可作答． 【详解】解：（1）由题意得：，米，米，米， 在中，由勾股定理得：， （米）， （米）， 答：风筝离地面的垂直高度为米； （2）如图，当风筝沿方向再上升12米时， （米）， 在中， ， （米）， （米）， 答：他应该再放出8米线． 18. 任务型学习： 【项目主题】 探究新款迷你无人机校园营销方案 【项目实施】 阶段一：销售增长趋势分析 任务1：从线上旗舰店调研数据可知，2025年11月该款迷你无人机的销量为1125架，2026年1月份该款迷你无人机的销量为1620架，若2025年12月与2026年1月这两个月该款迷你无人机销量的月平均增长率相同，求该款迷你无人机销量的月平均增长率． 阶段二：校园促销方案设计 任务2：调查发现该旗舰店迷你无人机的进价为每架60元且售价定为每架100元时，每天能销售20架，且售价每降低1元，每天可多销售2架．若需要尽量减少库存，且使每天销售获利1200元，则每架迷你无人机的售价应降低多少元？ 【项目成果】 科技实践小组以线上旗舰店的数据为参考设计出最佳校园营销方案． （1）解决任务1． （2）解决任务2． 【答案】（1） （2）每架迷你无人机的售价应降低20元 【解析】 【分析】（1）设该款迷你无人机的月平均增长率为，根据题意列出方程，进而求解即可； （2）设每架迷你无人机降价元，则每天能销售架，根据题意列出方程，进而解方程，结合满足条件可得答案． 【小问1详解】 解：设该款迷你无人机的月平均增长率为， 由题意得， 解得，（不合题意，舍去）． 答：该款迷你无人机的月平均增长率为； 【小问2详解】 解：设每架迷你无人机降价元，则每天能销售架， 由题意得， 整理得， 解得，． ∵需要尽量减少库存， ． 答：每架迷你无人机的售价应降低20元． 19. 综合与实践 【主题】选择更适合种植的水蜜桃 【背景】鹰嘴蜜桃是中国国家地理标志产品，水蜜桃形美、味佳，且含有丰富的维生素，某学校数学兴趣小组想通过统计学相关知识调查1号、2号两种桃树的产品质量情况，因此随机选择1号、2号两种桃树各一棵并测量其中20个水蜜桃的直径（单位：）． 【实践操作】数据的收集：1号桃树水蜜桃直径数据如下：56，77，78，78，80，81，82，85，86，86，86，87，88，90，90，91，91，92，100，101； 2号桃树水蜜桃直径数据如下：62，65，74，78，78，82，83，85，85，86，87，88，88，88，89，92，94，94，100，100； 数据的分析：1号，2号水蜜桃直径的平均数、中位数、众数和方差如表所示． 种类 平均数 中位数 众数 方差 1号 85.25 b 86 85.99 2号 84.9 86.5 a 93.49 【问题解决】 （1）的值为_________，的值为_________； （2）小英根据已知信息绘制了如图所示的箱线图，请计算2号产品直径的四分位数，并画出箱线图； （3）请根据上述信息，选择更适合种植的水蜜桃种类，并说明理由． 【答案】（1）88，86 （2）下四分位数为，上四分位数为， （3）1号桃树水蜜桃在直径上整体稍大且大小相对均匀，2号桃树水蜜桃个体间直径差异较大，所以选择种植1号桃树水蜜桃更合适 【解析】 【分析】（1）根据中位数和众数的定义计算即可得出结果； （2）求出下四分位数为，上四分位数为，再作图即可； （3）根据箱线图判断即可． 【小问1详解】 解：根据1号桃树水蜜桃直径数据可知，最中间两个数字为86，86， ， 根据2号桃树水蜜桃直径数据可知，88出现次数为3次， ； 【小问2详解】 解：由2号桃树水蜜桃直径数据可知，中位数为， 下四分位数为， 上四分位数为， 图略； 【小问3详解】 略． 20. 如图，在菱形中，为坐标原点，点的坐标为，．动点从点出发，沿着射线以每秒3个单位长度的速度运动，动点从点出发，沿着射线以每秒1个单位长度的速度运动．点，同时出发，设运动时间为秒． （1）求点的坐标． （2）试探究在点，运动的过程中，是否存在某一时刻，使得以，，，四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出此时的值与点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）存在，当时，；当时， 【解析】 【分析】（1）由题意知，，，，延长交轴于，则轴，利用30度角的直角三角形的性质和勾股定理求得，即可求解； （2）根据平行四边形的性质得到，再分和两种情况，列方程求解即可． 【小问1详解】 解：由题意知，， ∵菱形， ，， 如图，延长交轴于，则轴，即， ， ， 由勾股定理得，， ； 【小问2详解】 解：， ∴当以，，，四点为顶点的四边形是平行四边形时，， 由题意知，，， 当时，；此时， 解得，， 则， ； 当时，；此时， 解得，， 则， ； 综上所述，存在，当时，，当时，． 21. 如图，在中，，是的中点，是的中点，过点作交的延长线于点． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求菱形的面积． 【答案】（1） 证明：∵是的中点， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵，是的中点， ∴， ∴四边形是菱形； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了菱形的判定和性质，平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质，掌握菱形的判定方法，证明三角形全等是解题的关键． （）可先证得，可求得，可证得四边形为平行四边形，再利用直角三角形的性质可求得，可证得结论； （）过点作于点，由勾股定理得，然后结合，求出，然后通过即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：过点作于点， ∵，， ∴， ∴， ∵， ， ∴， 由（）知：，四边形为菱形， ∴ ． 22. 【背景介绍】千百年来，人们对勾股定理的证明乐此不疲，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．下面构造了一个新的证法：把两个全等的和按如图1方式放置，其三边长分别为，，，． （1）请你利用图1证明勾股定理； （2）已知的三边为，，（为斜边），其中，满足，求的斜边的长． （3）如图2，在中，，，，且，当是钝角三角形时，猜想与之间的关系，并说明理由． 【答案】（1）证明：根据题意，由图1可知： ，，，，， ， ， ， ， ； 又 ， ， ． （2） （3），理由如下： 过点作交延长线于，设， 在中，， 在中，， ， 化简得，， ，， ， ， ． 【解析】 【分析】（1）先证明，再根据，，结合三角形的面积公式推导结论即可； （2）根据勾股定理得，结合已知得到，进而解方程求得c值即可； （3）过点作交延长线于，设，在和中，利用勾股定理得到，进而化简即可证得结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：在中，， ， ， 解得，，， ， ， （负值舍去） 的斜边的长为． 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025～2026学年度第二学期期末考试八年级数学试题 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 2. 若是关于的一元二次方程的解，则的值为（ ） A. 4 B. C. 2 D. 3. 若一个正多边形的每个外角是60°，则从它的一个顶点出发的对角线有（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 4. 一元二次方程的两个实数根分别是、，则（ ） A. B. C. 7 D. 10 5. 下列条件中，不能判断四边形是平行四边形的是（　　） A. ， B. ， C. ， D. ， 6. 某校举办的“魅力篮球”活动中，有6位同学各投篮10次，进球次数（单位：次）分别为7，8，7，5，7，8，则下列说法中不正确的是（　　） A. 这6位同学投篮进球次数的平均数是7 B. 这6位同学投篮进球次数的众数是7 C. 这6位同学投篮进球次数的中位数是6 D. 这6位同学投篮进球次数的方差是1 7. 如图，折叠长方形的一边，使点落在边上的点处，若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 8. 口袋公园是指面向公众开放、规模较小、具有一定游憩功能的公园绿化活动场地．为了满足市民对“推窗见绿、出门入园”美好生活的向往，青阳县园林部门计划将三块小绿地整合成一个如图所示的长方形口袋公园．已知正方形和正方形的面积分别为，，则该口袋公园的总面积为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，点是对角线上一点，过点作分别交于点，连接、，若，则下列面积一定可以求得结果的是（ ） A. B. C. D. 10. 商家通常依据“乐观系数准则”确定商品销售价格，即根据商品的最低销售限价，最高销售限价以及实数确定实际销售价格，这里被称为乐观系数．经验表明，最佳乐观系数恰好使得，据此可得，最佳乐观系数的值等于（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每题5分，共20分） 11. 若关于的一元二次方程的一个根为1，则的值为____________． 12. 中国结寓意团圆、美满，以独特的东方神韵体现中国人民的智慧和深厚的文化底蕴，徐明家有一个菱形中国结装饰如图，测得，则的度数为______． 13. 已知实数，，满足，，则的值为________． 14. （1）如图1，是等边内一点，连接、、，且，，，将绕点顺时针旋转后得到，连接，则线段的长为______； （2）如图2，是等腰直角内一点，连接、、，将绕点顺时针旋转后得到，连接．当、、满足_____条件时，． 三、解答题（第15-20题各8分，第21题10分，第22题12分，共70分） 15. 计算、解方程： （1）； （2）． 16. 请阅读下列材料：已知一个关于的方程，其中、均为整数，且有一个根为，求、的值． 晨晨同学根据二次根式的性质：，联想到了如下解法：由得，则，即，．故，． 请运用上述方法解决下列问题： （1）已知关于的方程，其中、均为整数，且有一个根为，求、的值． （2）已知，求代数式的值． 17. 数学兴趣小组利用所学数学知识来解决实际问题，实践报告如下： 活动课题 风筝离地面垂直高度探究 问题背景 秋高气爽，很多龙岗市民喜欢到大运公园等地方放风筝． 测量数据 抽象模型 某数学兴趣小组成员测量了相关数据，并画出了如图所示的示意图，测得水平距离的长为15米，根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为17米，牵线放风筝的手到地面的距离为米． 问题产生 经过讨论，兴趣小组得出以下问题： （1）运用所学勾股定理相关知识，根据测量所得数据，计算出风筝离地面的垂直高度． （2）如果想要风筝沿方向再上升12米，且长度不变，则他应该再放出多少米线？ 问题解决 ⋯ 该报告还没有完成，请你帮助兴趣小组解决以上问题． 18. 任务型学习： 【项目主题】 探究新款迷你无人机校园营销方案 【项目实施】 阶段一：销售增长趋势分析 任务1：从线上旗舰店调研数据可知，2025年11月该款迷你无人机的销量为1125架，2026年1月份该款迷你无人机的销量为1620架，若2025年12月与2026年1月这两个月该款迷你无人机销量的月平均增长率相同，求该款迷你无人机销量的月平均增长率． 阶段二：校园促销方案设计 任务2：调查发现该旗舰店迷你无人机的进价为每架60元且售价定为每架100元时，每天能销售20架，且售价每降低1元，每天可多销售2架．若需要尽量减少库存，且使每天销售获利1200元，则每架迷你无人机的售价应降低多少元？ 【项目成果】 科技实践小组以线上旗舰店的数据为参考设计出最佳校园营销方案． （1）解决任务1． （2）解决任务2． 19. 综合与实践 【主题】选择更适合种植的水蜜桃 【背景】鹰嘴蜜桃是中国国家地理标志产品，水蜜桃形美、味佳，且含有丰富的维生素，某学校数学兴趣小组想通过统计学相关知识调查1号、2号两种桃树的产品质量情况，因此随机选择1号、2号两种桃树各一棵并测量其中20个水蜜桃的直径（单位：）． 【实践操作】数据的收集：1号桃树水蜜桃直径数据如下：56，77，78，78，80，81，82，85，86，86，86，87，88，90，90，91，91，92，100，101； 2号桃树水蜜桃直径数据如下：62，65，74，78，78，82，83，85，85，86，87，88，88，88，89，92，94，94，100，100； 数据的分析：1号，2号水蜜桃直径的平均数、中位数、众数和方差如表所示． 种类 平均数 中位数 众数 方差 1号 85.25 b 86 85.99 2号 84.9 86.5 a 93.49 【问题解决】 （1）的值为_________，的值为_________； （2）小英根据已知信息绘制了如图所示的箱线图，请计算2号产品直径的四分位数，并画出箱线图； （3）请根据上述信息，选择更适合种植的水蜜桃种类，并说明理由． 20. 如图，在菱形中，为坐标原点，点的坐标为，．动点从点出发，沿着射线以每秒3个单位长度的速度运动，动点从点出发，沿着射线以每秒1个单位长度的速度运动．点，同时出发，设运动时间为秒． （1）求点的坐标． （2）试探究在点，运动的过程中，是否存在某一时刻，使得以，，，四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出此时的值与点的坐标；若不存在，请说明理由． 21. 如图，在中，，是的中点，是的中点，过点作交的延长线于点． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求菱形的面积． 22. 【背景介绍】千百年来，人们对勾股定理的证明乐此不疲，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．下面构造了一个新的证法：把两个全等的和按如图1方式放置，其三边长分别为，，，． （1）请你利用图1证明勾股定理； （2）已知的三边为，，（为斜边），其中，满足，求的斜边的长． （3）如图2，在中，，，，且，当是钝角三角形时，猜想与之间的关系，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $