四川省眉山市仁寿县华兴中学2024-2025学年高一下学期数学期末模拟二

高2024级高一下学期期末模拟二 一、单选题 1．已知复数（为虚数单位），则的虚部为（    ） A． B． C． D． 2．已知数据的平均数为10，方差为10，则的平均数和方差分别为（    ） A．32，90 B．32，92 C．30，90 D．30，92 3．已知向量，，若与共线，则（    ） A． B．4 C． D．或4 4．圆台的上底面面积为，下底面面积为，母线长为4，则圆台的侧面积为（    ） A． B． C． D． 5．将函数的图象平移后所得的图象对应的函数为，则进行的平移是（    ） A．向左平移个单位 B．向左平移个单位 C．向右平移个单位 D．向右平移个单位 6．求值（    ） A． B． C．1 D． 7．如图，在边长为3的正△中，，，则（    ） A． B．3 C． D．2 8．在锐角△中，内角，，的对边分别为，，，且满足．则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．有下列说法，其中正确的说法为（    ） A．若，则△是等腰三角形 B．若，则P是△的垂心 C．若，则△为钝角三角形 D．若，则存在唯一实数使得 10．函数（其中，，）的部分图象如图所示，则（    ） A． B．的图象关于点中心对称 C． D．在上的值域为 11．如图，在正方体中，，均为所在棱的中点，是正方体表面上的动点，则下列说法正确的是（    ） A．平面 B．三棱锥的体积为 C．过三点的平面截正方体所得截面的面积为 D．若，则点的轨迹长度为 三、填空题 12．已知向量，若，则在上的投影向量的坐标为 . 13．某商场为优化服务，对顾客做满意度问卷调查，满意度采用计分制（满分100）．现随机抽取了其中10个数据依次为80，87，88，89，91，92，93，95，95，96，则这组数据的下四分位数为 ． 14．如图，在边长为6的正方形中，B，C分别为、的中点，现将，，分别沿，，折起使点，，重合，重合后记为点P，得到三棱锥，则三棱锥的外接球表面积为 . 四、解答题 15．已知向量，其中，请解答下列问题： (1)若，求实数的值；(2)若向量与向量的夹角为锐角，求实数的取值范围. 16．庚子新春，“新冠”病毒肆虐，习近平总书记强调要“人民至上､生命至上，果断打响疫情防控的人民战争､总体战､阻击战”，教育部也下发了“停课不停学，停课不停教”的通知.为了彻底击败病毒，人们更加讲究卫生讲究环保.某学校开展组织学生参加线上环保知识竞赛活动，现从中抽取200名学生，记录他们的首轮竞赛成绩并作出如图所示的频率直方图，根据图形，请回答下列问题： (1)求a； (2)若从成绩不高于60分的同学中，采取样本量比例分配的分层随机抽样，抽取5人成绩，求5人中成绩不高于50分的人数； (3)以样本估计总体，利用组中值估计该校学生首轮竞赛成绩的平均数以及中位数（结果保留1位小数）. 17．函数.若两相邻对称轴之间的距离为. (1)求的单调增区间；(2)若，，求. 18．已知直三棱柱中，侧面为正方形，分别为和的中点，为棱上的动点（包括端点）．，若平面与棱交于点． (1)请补全平面与棱柱的截面，并指出点的位置；(2)求证：平面； (3)当点运动时，试判断三棱锥的体积是否为定值?若是，求出该定值及点到平面的距离；若不是，说明理由． 19．在△中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，，， (1)求A的大小： (2)点D在BC上， （Ⅰ）当，且时，求AC的长； （Ⅱ）当，且时，求△的面积． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《2025年6月11日高中数学作业》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B A D D D D C B BC AC 题号 11 答案 BCD 1．B 【分析】直接计算得到，然后根据虚部的定义即可. 【详解】，所以. 故选：B. 2．A 【分析】根据平均数、方差的性质计算可得. 【详解】因为的平均数是10，方差是10， 所以的平均数是，方差是. 故选：A. 3．D 【分析】利用向量平行的坐标表示，再解方程即可. 【详解】由两向量共线可知，即，解得或. 故选：D. 4．D 【分析】由题意可知：上、下底面的半径，结合圆台的侧面积公式运算求解. 【详解】由题意可知：上、下底面的半径分别为1和3， 所以侧面积为. 故选：D． 5．D 【分析】根据三角函数图象的平移规律解答即可. 【详解】因为，所以将函数的图象向右平移个单位所得的图象对应的函数为. 故选：. 6．D 【分析】利用诱导公式、同角三角函数基本关系、二倍角公式和辅助角公式化简即可. 【详解】因为； ； ， 所以 . 故选：D. 7．C 【分析】根据向量的线性运算得到，再由数量积的运算代入数值求解即可. 【详解】由题意知，， 则 ， 所以 . 故选：C. 8．B 【分析】化简为，结合余弦定理可求解；根据两角差的正弦公式及同角三角函数关系化简，进而结合正切函数的图象及性质求解即可． 【详解】由， 整理得，所以， 又，则,故， ， 因为为锐角三角形， 所以，即，所以， 即， 所以的取值范围为． 故选：B 9．BC 【分析】利用正弦函数性质，结合三角形判断A；利用向量数量积的运算律计算判断B；利用正弦定理、余弦定理判断C；利用零向量与共线向量的定义可判断D. 【详解】对于A，在中，由，得或， 则或，则是等腰三角形或直角三角形，A错误； 对于B，由，得， 则，同理，，即是三角形的垂心，B正确； 对于C，由，得， 由正弦定理得，则，为钝角，为钝角三角形，C正确； 对于于D，当，时，显然有，但此时不存在，D错误. 故选：BC 10．AC 【分析】A选项，先根据图象求出最小正周期，进而得到；B选项，求出，代入求出，得到函数解析式，计算出，B错误；C选项，利用诱导公式得到C正确；D选项，整体法求出函数的值域. 【详解】A选项，设的最小正周期为，则， 故， 因为，所以，A正确； B选项，由图象可知，，， 将代入解析式得， 故，故， 因为，所以， 故， ，故的图象不关于点中心对称，B错误； C选项，，C正确； D选项，，， 故，D错误. 故选：AC 11．BCD 【分析】选项A.利用中位线平行得出与点共面； 选项B. 因为面在正方体前侧面上，所以点到面的距离等于的长，利用锥体体积公式求解即可； 选项C.由选项A知截面为正六边形,进而得解； 选项D.由 知点轨迹为为球心，为半径的球与正方体表面的交线，由正方体棱长得，交线为三段半径为的四分之一圆. 【详解】选项A，如图，设点是棱中点，由均为所在棱的中点， 根据中位线易得,进而可得与点共面，所以平面，错误； 选项B，如图，因为面在正方体前侧面上，所以点到面的距离等于的长， 正方形中 ， 则三棱锥的体积为, 选项C，由选项A知过三点的平面截正方体所得截面为正六边形,边长，所以面积为， 选项D，由 知点轨迹为为球心，为半径的球与正方体表面的交线，如图， 由正方体棱长得，交线为三段半径为的四分之一圆，长度为， 故选：BCD. 【点睛】关键点点睛：利用平行线确定平面可以得出选项AC，选项B直接利用锥体体积公式计算即可，选项D关键是理解到.由 知点轨迹为为球心，为半径的球，球与正方体平面交线为圆弧，又正方体棱长为2与球半径相等，所以每个面上的圆弧为四分之一圆. 12． 【分析】根据向量垂直的坐标表示求出，然后由投影向量公式可得. 【详解】因为， 又，所以，解得， 因为，所以在上的投影向量为. 故答案为： 13．88 【分析】根据下四分位数的概念求解即可. 【详解】10个数据从小到大为80，87，88，89，91，92，93，95，95，96， 则，故这组数据的下四分位数为88. 故答案为：88. 14． 【分析】根据题意，折叠成的三棱锥的三条侧棱，，两两互相垂直，将三棱锥补形成长方体，则三棱锥的外接球即是长方体的外接球，外接球直径为体对角线长，得解. 【详解】根据题意，折叠成的三棱锥的三条侧棱，，两两互相垂直， 将三棱锥补形成长方体如图，则三棱锥的外接球即是长方体的外接球， 外接球的直径等于以,，为长、宽、高的长方体的对角线长， ，， ， 所以外接球的表面积. 故答案为：.    15．(1)或. (2) 【分析】（1）根据向量的模的值可求出的值. （2）首先将向量的坐标表示出来，然后求向量与向量的数量积，然后利用向量数量积大于0且去掉向量同向共线的情况即可. 【详解】（1）因为，所以， 所以，因为，所以或. （2）因为，所以. 所以. 因为向量与向量的夹角为锐角，所以，且去掉同向共线的情况， 则，解得， 当与共线时，则，解得， 所以实数的取值范围为. 16．(1) (2)2人 (3)平均数为分，中位数分. 【分析】（1）根据频率和为1得到方程，解出即可； （2）根据分层抽样的特点计算即可； （3）根据频率分布直方图中平均数计算公式即可得到，先确定中位数位于内，再利用中位数计算公式即可. 【详解】（1）由，得； （2）因为（人），（人）， 所以不高于50分的抽取（人）. （3）平均数分， 因为在内共有人， 在内共有人， 所以中位数位于内，则中位数为分. 17．(1) (2) 【分析】（1）由三角恒等变换得，再利用正弦型函数的图象与性质求解； （2）由三角恒等变换求解． 【详解】（1）， 由两相邻对称轴之间的距离为，得周期，即， 所以， 由，可得， 所以的单调增区间为； （2）由，可得，所以， 因为，所以， 若，则，又，所以， 所以，所以， 所以. 18．(1)答案见解析，点为的中点； (2)证明见解析； (3)是定值，到平面的距离为. 【分析】（1）取的中点，连接，依题意可得，即可得到，即可得解； （2）先证明，结合，利用线面垂直的判定定理即可得证； （3）先证明平面，又，则到平面的距离等于到平面的距离，再用等体积法求出点到面的距离. 【详解】（1）如图，点为的中点，连接，    由为中点，则，又， 所以，所以四点共面， 故平面与棱柱的截面为． （2）证明：因为在与中，， 所以，又， 所以， 所以， ，且平面， 所以平面， 即平面； （3）由（2）知平面，又平面， 所以，又， 所以， 又，且平面， 所以平面， 又，所以到平面的距离等于到平面的距离， 所以 ， 所以三棱锥的体积为定值． 中，， 所以， 由， 可得， 所以点到平面的距离为． 19．(1) (2)； 【分析】（1）利用正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得的值，结合即可求解的值； （2）（Ⅰ）根据锐角三角函数和差角公式可得正弦定理即可求解. （Ⅱ）采用面积分割的方法以及正弦定理即可解决． 【详解】（1）因为， 所以由正弦定理可得， 又， 所以， 因为为三角形内角，， 所以，可得， 因为，所以； （2）（Ⅰ）此时，， 所以， 所以，， ， 在中，由正弦定理可得 ； （Ⅱ）设，由， 可得，化简可得 有， 由于，所以， 所以， 则． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $