精品解析：福建福州黎明中学2025-2026学年高二下学期期末考试数学试卷

2025-2026学年福州黎明中学下学期期末试卷 （高二数学） 本试卷共4页.满分150分 班级：_____ 姓名：_____ 座位号：_____ 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知，．则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由，．则. 2. 已知，，（，），若，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【详解】由，得，. 3. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】化简集合，由交集的概念即可得解. 【详解】因为，且注意到， 从而. 故选：A. 4. 若，且为第四象限角，则的值等于 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】∵sina=,且a为第四象限角, ∴， 则， 故选D. 5. 函数的图像在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求得函数的导数，计算出和的值，可得出所求切线的点斜式方程，化简即可. 【详解】，，，， 因此，所求切线的方程为，即. 故选：B. 【点睛】本题考查利用导数求解函图象的切线方程，考查计算能力，属于基础题 6. 函数在单调递减，且为奇函数，若，则满足的的取值范围是． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】 是奇函数，故 ；又 是减函数，， 即 则有 ，解得 ，故选D. 7. 若，则双曲线的离心率的取值范围是 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】， ， ， ， ，则，选C. 8. 如图是一个三角垛，最顶层有1个小球，第二层有3个，第三层有6个，第四层有10个，则第30层小球的个数为（    ） A. 462 B. 465 C. 468 D. 475 【答案】B 【解析】 【分析】归纳出递推公式，再累加求通项即可. 【详解】记第层有个球，则，，，，， ，，，， 则第30层的小球个数为， . 故选：B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 下列统计量中，能度量样本的离散程度的是（ ） A. 样本的标准差 B. 样本的中位数 C. 样本的极差 D. 样本的平均数 【答案】AC 【解析】 【分析】考查所给的选项哪些是考查数据的离散程度，哪些是考查数据的集中趋势即可确定正确选项. 【详解】由标准差的定义可知，标准差考查的是数据的离散程度； 由中位数的定义可知，中位数考查的是数据的集中趋势； 由极差的定义可知，极差考查的是数据的离散程度； 由平均数的定义可知，平均数考查的是数据的集中趋势； 故选：AC. 10. 已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，AB为底面直径，，，点C在底面圆周上，且二面角为，则（ ）． A. 该圆锥的体积为 B. 该圆锥的侧面积为 C. D. 的面积为2 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据圆锥的体积、侧面积判断A、B选项的正确性；利用二面角的知识可知，进而判断C、D选项的正确性. 【详解】依题意，，，所以， A选项，圆锥的体积为，A选项正确； B选项，圆锥的侧面积为，B选项错误； C选项，设是的中点，连接， 则，所以是二面角的平面角， 则，所以， 故，则，C选项正确； D选项，，所以，D选项正确. 故选：ACD. 11. 抛物线C：的准线为l，P为C上的动点，过P作的一条切线，Q为切点，过P作l的垂线，垂足为B，则（ ） A. l与相切 B. 当P，A，B三点共线时， C. 当时， D. 满足的点有且仅有2个 【答案】ABD 【解析】 【分析】A选项，抛物线准线为，根据圆心到准线的距离来判断；B选项，三点共线时，先求出的坐标，进而得出切线长；C选项，根据先算出的坐标，然后验证是否成立；D选项，根据抛物线的定义，，于是问题转化成的点的存在性问题，此时考察的中垂线和抛物线的交点个数即可，亦可直接设点坐标进行求解. 【详解】A选项，抛物线的准线为， 的圆心到直线的距离显然是，等于圆的半径， 故准线和相切，A选项正确； B选项，三点共线时，即，则的纵坐标， 由，得到，故， 此时切线长，B选项正确； C选项，当时，，此时，故或， 当时，，，， 不满足； 当时，，，， 不满足； 于是不成立，C选项错误； D选项，方法一：利用抛物线定义转化 根据抛物线的定义，，这里， 于是时点的存在性问题转化成时点的存在性问题， ，中点，中垂线的斜率为， 于是的中垂线方程为：，与抛物线联立可得， ，即的中垂线和抛物线有两个交点， 即存在两个点，使得，D选项正确. 方法二：（设点直接求解） 设，由可得，又，又， 根据两点间的距离公式，，整理得， ，则关于的方程有两个解， 即存在两个这样的点，D选项正确. 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数的值域为______. 【答案】 【解析】 【详解】因为，所以. 即函数的值域为. 13. 已知是等比数列，，，则_____. 【答案】 【解析】 【分析】利用等比数列的性质即可求解. 【详解】由题意得：，所以， 又，所以，所以， 所以. 14. 甲、乙两人各有四张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片上分别标有数字1，3，5，7，乙的卡片上分别标有数字2，4，6，8，两人进行四轮比赛，在每轮比赛中，两人各自从自己持有的卡片中随机选一张，并比较所选卡片上数字的大小，数字大的人得1分，数字小的人得0分，然后各自弃置此轮所选的卡片（弃置的卡片在此后的轮次中不能使用）.则四轮比赛后，甲的总得分不小于2的概率为_________. 【答案】##0.5 【解析】 【分析】将每局的得分分别作为随机变量，然后分析其和随机变量即可. 【详解】设甲在四轮游戏中的得分分别为，四轮的总得分为. 对于任意一轮，甲乙两人在该轮出示每张牌的概率都均等，其中使得甲得分的出牌组合有六种，从而甲在该轮得分的概率，所以. 从而. 记. 如果甲得0分，则组合方式是唯一的：必定是甲出1，3，5，7分别对应乙出2，4，6，8，所以； 如果甲得3分，则组合方式也是唯一的：必定是甲出1，3，5，7分别对应乙出8，2，4，6，所以. 而的所有可能取值是0，1，2，3，故，. 所以，，两式相减即得，故. 所以甲的总得分不小于2的概率为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于将问题转化为随机变量问题，利用期望的可加性得到等量关系，从而避免繁琐的列举. 15. 已知的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． （1）求证：为等腰三角形； （2）若，求的面积． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由余弦定理化角为边，化简即可得证； （2）由余弦定理可求得，可求的面积. 【小问1详解】 因为，所以， 化简得，即，所以是等腰三角形. 【小问2详解】 由余弦定理可得，得， 解得，由，所以， 所以的面积为. 四、解答题：共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，. （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1）因为底面为正方形，所以， 因为平面，平面，所以平面； （2） 【解析】 【分析】（1）利用线面平行判定定理证明； （2）建立空间直角坐标系，利用向量法即可求出面面角的余弦值； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为平面，所以， 又，所以两两垂直， 所以以点为原点，分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系， 则， ， 设平面的法向量， 则，令，则，所以， 因为平面，所以为平面的一个法向量， 设平面与平面的夹角为， 则， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 17. 已知函数. （1）求函数的单调区间和极值点； （2）求出方程的解的个数. 【答案】（1）的单调递减区间为，单调递增区间为，极小值点为，无极大值点. （2）当时，方程无解；当时，方程有2个不同的解；当或时，方程有且仅有1个解. 【解析】 【分析】（1）求导，利用导函数的符号分析函数的单调性，进而求函数的极值. （2）数形结合，可根据的取值范围确定方程解的个数. 【小问1详解】 因为，所以， 由. 所以变化时，，的变化情况如下： 0 单调递减 极小值 单调递增 且. 所以的单调递减区间为，单调递增区间为，极小值点为，无极大值点. 【小问2详解】 因为函数的极小值， 当时，；当时，；当时，. 结合函数的单调性，作函数的草图如下： 所以当时，方程无解； 当时，方程有2个不同的解； 当或时，方程有且仅有1个解. 18. 某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰，机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图： 以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数． （1）求X的分布列； （2）若要求，确定n的最小值； （3）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在与之中选其一，应选用哪个？ 【答案】（1）的分布列为 16 17 18 19 20 21 22 （2）19 （3）应选 【解析】 【分析】（1）由已知得X的可能取值为16，17，18，19，20，21，22，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列；（2）由X的分布列求出P（X≤18）=，P（X≤19）=．由此能确定满足P（X≤n）≥0．5中n的最小值；（3）购买零件所用费用含两部分，一部分为购买零件的费用，另一部分为备件不足时额外购买的费用，分别求出n=19时，费用的期望和当n=20时，费用的期望，从而得到买19个更合适． 【详解】（1）由柱状图并以频率代替概率可得，一台机器在三年内需更换的易损零件数为8，9，10，11的概率分别为0．2，0．4，0．2，0．2，从而 ； ； ； ； ； ； ． 所以的分布列为 16 17 18 19 20 21 22 （2）由（1）知，，故的最小值为19． （3）购买零件所用费用含两部分，一部分为购买零件的费用，另一部分为备件不足时额外购买的费用. 当n=19时，费用的期望为：19×200+500×0.2+1000×0.08+1500×0.04=4040； 当n=20时，费用的期望为：20×200+500×0.08+1000×0.04=4080. 可知当时所需费用的期望值小于时所需费用的期望值，故应选． 考点：离散型随机变量及其分布列 19. 已知椭圆，点P为C的上顶点． （1）求椭圆C的离心率； （2）求椭圆上动点T到点P的距离的最大值； （3）设与两坐标轴均不垂直的直线l与椭圆C交于异于P的两点A和B，设直线PA、PB的斜率分别为、．当时，判断直线l是否经过定点？若是，请求出这一定点；若不是，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）过定点， 【解析】 【分析】（1）根据方程确定的值，再求离心率的值. （2）利用两点间的距离公式，结合椭圆的范围和二次函数在给定区间上值域的求法求最大值. （3）设直线，与椭圆方程联立，结合韦达定理，表示出，，根据列式，化简可得的关系，再确定直线是否过定点. 【小问1详解】 由题，，． 所以离心率． 【小问2详解】 由题可知，设， 则，． 由于， 所以当时，PT取到最大值为． 【小问3详解】 如图： 设，，． 因为直线l与椭圆C交于异于P的两点和，所以. 所以，故，则， ， 即． 故，所以或（因为，故舍去）． 当，，过定点. 因此直线过定点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年福州黎明中学下学期期末试卷 （高二数学） 本试卷共4页.满分150分 班级：_____ 姓名：_____ 座位号：_____ 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知，．则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，，（，），若，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 4. 若，且为第四象限角，则的值等于 A. B. C. D. 5. 函数的图像在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 6. 函数在单调递减，且为奇函数，若，则满足的的取值范围是． A. B. C. D. 7. 若，则双曲线的离心率的取值范围是 A. B. C. D. 8. 如图是一个三角垛，最顶层有1个小球，第二层有3个，第三层有6个，第四层有10个，则第30层小球的个数为（    ） A. 462 B. 465 C. 468 D. 475 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 下列统计量中，能度量样本的离散程度的是（ ） A. 样本的标准差 B. 样本的中位数 C. 样本的极差 D. 样本的平均数 10. 已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，AB为底面直径，，，点C在底面圆周上，且二面角为，则（ ）． A. 该圆锥的体积为 B. 该圆锥的侧面积为 C. D. 的面积为2 11. 抛物线C：的准线为l，P为C上的动点，过P作的一条切线，Q为切点，过P作l的垂线，垂足为B，则（ ） A. l与相切 B. 当P，A，B三点共线时， C. 当时， D. 满足的点有且仅有2个 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数的值域为______. 13. 已知是等比数列，，，则_____. 14. 甲、乙两人各有四张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片上分别标有数字1，3，5，7，乙的卡片上分别标有数字2，4，6，8，两人进行四轮比赛，在每轮比赛中，两人各自从自己持有的卡片中随机选一张，并比较所选卡片上数字的大小，数字大的人得1分，数字小的人得0分，然后各自弃置此轮所选的卡片（弃置的卡片在此后的轮次中不能使用）.则四轮比赛后，甲的总得分不小于2的概率为_________. 15. 已知的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． （1）求证：为等腰三角形； （2）若，求的面积． 四、解答题：共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，. （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值. 17. 已知函数. （1）求函数的单调区间和极值点； （2）求出方程的解的个数. 18. 某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰，机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图： 以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数． （1）求X的分布列； （2）若要求，确定n的最小值； （3）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在与之中选其一，应选用哪个？ 19. 已知椭圆，点P为C的上顶点． （1）求椭圆C的离心率； （2）求椭圆上动点T到点P的距离的最大值； （3）设与两坐标轴均不垂直的直线l与椭圆C交于异于P的两点A和B，设直线PA、PB的斜率分别为、．当时，判断直线l是否经过定点？若是，请求出这一定点；若不是，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $