精品解析：福建福州市山海联盟教学协作体2025-2026学年高二下学期期末适应性练习数学试卷

2025-2026学年度第二学期高中二年级数学期末适应性练习 高二年级数学科试卷 （完卷时间：120分钟 分值：150分） 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）． 1. “是等腰直角三角形”是“是等边三角形”的（ ） A. 充分条件 B. 必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】 【详解】“是等腰直角三角形”推不出“是等边三角形”，反过来也不成立， 所以“是等腰直角三角形”是“是等边三角形”的既不充分也不必要条件. 2. 若，则的最小值为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】若，，则，当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为12. 3. 如图，一环形花坛分成，，三块区域，现有4种不同的花供选种，要求在每块区域里种1种花，且相邻的2块区域种不同的花，则不同的种法总数为（　　） A. 8 B. 16 C. 24 D. 32 【答案】C 【解析】 【详解】先在区域种花，共有4种选法， 在区域种花，共有3种选法，在区域种花，共有2种选法， 由分步乘法计数原理得共有种选法. 4. 盒中装有5个产品，其中3个一等品，2个二等品．从中不放回地取出产品，每次1个，取两次．已知第1次取得一等品的条件下，第2次取得的是二等品的概率是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】第1次取得一等品后盒中还有2个一等品2个二等品， 此时从中取到二等品的概率为. 5. 已知函数的图象是下列四个图象之一，且其导函数的图象如图所示，则该函数的图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】因为导函数 的图象全部在轴下方， 所以在区间内，恒成立， 所以原函数在上是单调递减的， 而选项A，B在上是单调递增的，直接排除. 在上，的图象是下降的，说明的值越来越小， 对应原函数的切线斜率越来越小，即递减速度越来越快， 在上，的图象是上升的，说明的值越来越大， 对应原函数的切线斜率越来越大，即递减速度越来越慢， 选项C，在上递减速度越来越慢，在上递减速度越来越快， 与导函数的变化规律相反，错误. 选项D，在上递减速度越来越快，在上递减速度越来越慢， 与导函数的变化规律一致，正确. 6. 函数在区间上（　　） A. 有极值 B. 有最小值 C. 有最大值 D. 无最值 【答案】D 【解析】 【详解】因为，所以在上单调递增，所以无最值． 7. 已知随机变量的分布列如下表所示，，则等于 （　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由得， , . 8. 甲袋中有2个白球，3个红球，乙袋中有2个白球，2个红球．从甲袋中任取2球放入乙袋，再从乙袋中任取一球，则从乙袋中取到白球的概率为 （　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】设:从甲袋中取出的2个球中有个白球，:从乙袋中取到白球， 则互斥且． ，，，，，． . 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分）． 9. 下列求导运算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【详解】，A选项正确； ，B选项错误； ，C选项错误； ，D选项正确. 10. 下列不等式解集为的有（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【详解】选项 A：二次项系数，判别式， 故 解集为，A 正确； 选项 B：二次项系数，判别式， 不等式等价于 ，不等式的解集为， B 错误； 选项 C：二次项系数，判别式， 解集为，C 正确； 选项 D：二次项系数，判别式， 恒大于 0，不等式无解，D 错误. 11. 已知函数，下列说法正确的是 （ ） A. 当时，函数的定义域为 B. 当时，函数的值域为 C. 函数可能有最小值 D. 若函数在区间内单调递增，则实数 【答案】AB 【解析】 【详解】设二次函数 ，则 ， ， 选项 A： 时，，令 或 ，定义域为 ，A 正确； 选项 B： 时，，则 ， 对数函数 在 时值域为 ，故 值域为，B 正确； 选项 C： 开口向上，， 恒有两个不同实根，在定义域内取值范围是， 在 无下界，不存在最小值，C 错误； 选项 D： 举反例，当 时 ，不满足定义域，D 错误. 三、填空题（本题包括3小题，每小题5分，共15分）． 12. 已知函数的图象如图所示，则的值域是________． 【答案】 【解析】 【详解】由图知，当，，当，， 因为，所以的值域是. 13. 展开式的常数项为________． 【答案】 【解析】 【详解】由二项式展开式的通项公式是 ， 令得，所以. 14. 一批零件共有10个，其中3个不合格，7个合格，从中无放回地随机取出4个零件，将取出的4个零件中合格品的个数记为，设的所有取值构成集合；集合，则________． 参考数据：若随机变量服从正态分布，则随机变量取值位于区间，，内的概率分别约为0.6827，0.9545，0.9973． 【答案】 【解析】 【详解】由题意，的所有取值为1，2，3，4，则， 由，则， 所以，， 而，则，其中为略小于的正数， 所以，则. 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）． 15. （1）求值：； （2）解方程：． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）利用指数幂运算求解即可； （2）利用指数式与对数式的互化关系求解方程. 【详解】（1）原式 . （2）由，得， 则，即. 16. 已知函数． （1）用“五点法”画出函数在长度为一个周期的闭区间上的简图； （2）写出函数的振幅、周期、初相； （3）写出函数的对称轴方程、对称中心、单调递减区间． 【答案】（1） （2）振幅为，周期，初相为 （3）对称轴方程为，对称中心为，单调递减区间为 【解析】 【小问1详解】 由已知. 列表： 描点连线： 【小问2详解】 由(1)知. 所有振幅为，周期，初相为. 【小问3详解】 由(1)知. 由，得为，所以对称轴方程为； 由，得为，所以对称中心为； 由得， 所以单调递减区间为. 17. 如图，在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃．如果将小球从顶端放入，由于板中小木钉的形状特殊，小球在下落的过程中每次碰到小木钉后都有的可能向左落下，有的可能向右落下，最后落入底部的格子中，格子从左到右分别编号，，，作为小球的得分． （1）从顶端放入1颗小球使小球落到底部格子中，求小球得分的分布列，期望和方差； （2）如果在顶端放入100颗小球使小球都落到底部格子中，平均有多少颗小球会落到得分为2或4的格子内?请给出答案，并进行必要的说明． 【答案】（1） ， （2）由（1）知，每颗小球落到得分为2或4的格子内的概率均为 所以100颗小球落到得分为2或4的格子内的数量 所以平均有颗小球落到得分为2或4的格子内． 【解析】 【分析】（1）设小球向右掉落的次数为，得分为，求出的分布列，方法一，通过的均值和方差得到的均值和方差，方法二，由的分布列求出的均值和方差； （2）利用二项分布的均值公式求解. 【小问1详解】 解法一：设小球向右掉落的次数为，得分为，由题意知，， 的所有取值为，，，，的所有取值为，，，， ， ， ， ， 的分布列为 ，，， ，； 解法二：设得分为，由题意知的所有取值为，，，， ， ， ， ， 的分布列为 ， ； 【小问2详解】 略. 18. 已知． （1）判断的单调性，并求出的极值； （2）画出的大致图象； （3）判断方程的解的个数． 【答案】（1） 单调递减 单调递增 极小值为，无极大值 （2） （3）当或时， 方程的解有1个；当，方程的解有2个． 【解析】 【分析】（1）将函数求导，利用导函数的符号确定函数的单调区间，即可求得其极值； （2）根据（1）的推理，分析函数的图象趋势，即可作出函数的大致图象； （3）将问题转化成函数的图象与直线的交点个数，数形结合即得. 【小问1详解】 的定义域为，求导得 令，解得， 将对应的的情况列表： 单调递减 单调递增 由表可知，当时，有极小值，极小值为； 【小问2详解】 根据（1）的分析，可知函数在上单调递减，在上单调递增， 当时，取得极小值，当时，，当时，. 故可作出该函数的大致图象如下： 【小问3详解】 方程的解的个数就是函数的图象与直线的交点个数. 由（1），（2）可知，当时，方程的解有0个； 当或时， 方程的解有1个； 当时，方程的解有2个． 19. （1）举例并验证:存在函数，使得； （2）举例并验证:存在函数，使得； （3）举例并验证:存在非常数函数及函数，使得. 【答案】（1）对于函数，， ，， 存在，使得； （2）对于函数，， ，， 存在，使得； （3）对于函数，， ，， 存在非常数函数及函数使得. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第二学期高中二年级数学期末适应性练习 高二年级数学科试卷 （完卷时间：120分钟 分值：150分） 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）． 1. “是等腰直角三角形”是“是等边三角形”的（ ） A. 充分条件 B. 必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 2. 若，则的最小值为（　　） A. B. C. D. 3. 如图，一环形花坛分成，，三块区域，现有4种不同的花供选种，要求在每块区域里种1种花，且相邻的2块区域种不同的花，则不同的种法总数为（　　） A. 8 B. 16 C. 24 D. 32 4. 盒中装有5个产品，其中3个一等品，2个二等品．从中不放回地取出产品，每次1个，取两次．已知第1次取得一等品的条件下，第2次取得的是二等品的概率是（　　） A. B. C. D. 5. 已知函数的图象是下列四个图象之一，且其导函数的图象如图所示，则该函数的图象是（ ） A. B. C. D. 6. 函数在区间上（　　） A. 有极值 B. 有最小值 C. 有最大值 D. 无最值 7. 已知随机变量的分布列如下表所示，，则等于 （　　） A. B. C. D. 8. 甲袋中有2个白球，3个红球，乙袋中有2个白球，2个红球．从甲袋中任取2球放入乙袋，再从乙袋中任取一球，则从乙袋中取到白球的概率为 （　　） A. B. C. D. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分）． 9. 下列求导运算正确的是（　　） A. B. C. D. 10. 下列不等式解集为的有（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数，下列说法正确的是 （ ） A. 当时，函数的定义域为 B. 当时，函数的值域为 C. 函数可能有最小值 D. 若函数在区间内单调递增，则实数 三、填空题（本题包括3小题，每小题5分，共15分）． 12. 已知函数的图象如图所示，则的值域是________． 13. 展开式的常数项为________． 14. 一批零件共有10个，其中3个不合格，7个合格，从中无放回地随机取出4个零件，将取出的4个零件中合格品的个数记为，设的所有取值构成集合；集合，则________． 参考数据：若随机变量服从正态分布，则随机变量取值位于区间，，内的概率分别约为0.6827，0.9545，0.9973． 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）． 15. （1）求值：； （2）解方程：． 16. 已知函数． （1）用“五点法”画出函数在长度为一个周期的闭区间上的简图； （2）写出函数的振幅、周期、初相； （3）写出函数的对称轴方程、对称中心、单调递减区间． 17. 如图，在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃．如果将小球从顶端放入，由于板中小木钉的形状特殊，小球在下落的过程中每次碰到小木钉后都有的可能向左落下，有的可能向右落下，最后落入底部的格子中，格子从左到右分别编号，，，作为小球的得分． （1）从顶端放入1颗小球使小球落到底部格子中，求小球得分的分布列，期望和方差； （2）如果在顶端放入100颗小球使小球都落到底部格子中，平均有多少颗小球会落到得分为2或4的格子内?请给出答案，并进行必要的说明． 18. 已知． （1）判断的单调性，并求出的极值； （2）画出的大致图象； （3）判断方程的解的个数． 19. （1）举例并验证:存在函数，使得； （2）举例并验证:存在函数，使得； （3）举例并验证:存在非常数函数及函数，使得. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $