第12讲 幂的运算 暑假预习讲义 2026-2027学年人教版八年级数学上册

第12讲 幂的运算 （2大考点7大题型） 学习目标 1.理解幂的概念、幂运算的概念。 2.掌握幂运算的运算规则、零指数幂的结论。 3.本章重点目标，锻炼细心，打好计算基础。 考点整理 一、幂运算的定义 幂运算：幂是乘方运算的结果，表示m个a相乘，其中a叫做幂的底数，m叫做幂的指数． 二、幂运算的运算规则： （1）任何一个非零数的零次方都是1：． （2）任何一个非零数的负数次幂等于它的正数次幂的倒数：． （3）同底数的幂相乘，底数不变，指数相加：． （4）同底数的幂相除，底数不变，指数相减：． （5）幂的乘方，底数不变，指数相乘：． （6）积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘：． （7）同指数的幂相除，指数不变，底数相除：． 题型归纳 【题型1 同底数幂相乘】 1．若，是正整数，且满足，则下列和的关系正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用合并同类项和同底数幂的乘法法则化简等式，再根据同底数幂相等则指数相等推导与的关系． 【详解】解：∵， ， ∵等式左右两边同底数幂相等， ∴对应指数相等， ∴． 2．若，则a的值为（    ） A．5 B．5或6 C．6 D．1或6 【答案】D 【分析】运用同底数幂运算法则进行计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴或． 3．计算的结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加 【详解】解：． 4．若，则n的值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】根据乘法的定义和同底数幂的乘法计算得出，得出即可求解． 【详解】解：，， 故， ∴， ∴． 【题型2 同底数幂相乘的逆运用】 5．若，，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用同底数幂相乘，底数不变，指数相加的性质，变形即可求出的值． 【详解】解：根据同底数幂乘法法则，可得， ∵ ，， ∴ ， ∴ ． 6．计算的结果为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解： ． 7．已知，则的值是（   ） A．4 B．6 C．10 D．16 【答案】D 【详解】解：∵,， ∴ . 8．如果，，则（   ） A．75 B．20 C．10 D．3 【答案】A 【分析】根据同底数幂乘法法则的逆用，将所求式子变形后代入已知条件计算即可． 【详解】解：∵，， ∴． 【题型3 幂的乘方运算】 9．计算的结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】． 10．下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、，∴A错误； B、与不是同类项，不能合并，∴B错误； C、，∴C错误； D、，∴D正确． 11．若a、b是正整数，且满足（左右都是9个），则a与b的关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意得到，转化为即可得到a与b的关系． 【详解】解：∵（左右都是9个）， ∴， ∴， ∴， ∴． 12．已知，则等于（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用同底数幂乘法和幂的乘方法则，将所求式子变形后代入已知条件即可得到结果． 【详解】 ， 根据幂的运算法则变形得：， 又，， ． 【题型4 幂的乘方的逆用】 13．已知，其中m，n，k，N是正整数，则下列说法①m，k都是偶数；②是偶数；③是偶数；④是偶数．其中说法正确的是（     ） A．①② B．②③ C．③④ D．②④ 【答案】D 【分析】先将等式右边统一化为底数为3的幂，根据左边是正整数的平方，得到右边指数的奇偶性，再结合奇偶性的运算性质逐一判断说法 【详解】解：∵， ∴ ∵是正整数，是平方数， ∴指数必为偶数，故④正确； ∵一定是偶数， ∴ 是偶数， 又， 是偶数， ∴必为偶数，故②正确； 对于①，取，，满足是偶数，但都是奇数，故①错误； 对于③，若是奇数，是偶数，则 是奇数，故③错误； 因此正确的是②④ 14．已知：，则（     ） A．16 B．25 C．32 D．64 【答案】C 【分析】将所求式子化为底数相同的幂，再结合已知条件代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 15．已知，则的结果为（     ） A． B． C．0 D．8 【答案】A 【详解】解：∵， ∴． 16．若，，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查同底数幂乘法和幂的乘方的运算法则，只需将所求代数式根据幂的运算法则变形，再代入已知条件计算即可． 【详解】解：∵，且， ∴． 【题型5 积的乘方运算】 17．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查幂的相关运算法则，分别利用同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方法则计算各选项，即可判断出正确结果． 【详解】解：选项A：∵同底数幂相乘，底数不变，指数相加， ∴，，故A错误， 选项B：∵幂的乘方，底数不变，指数相乘， ∴，，故B错误， 选项C：∵积的乘方，将每个因式分别乘方再相乘， ∴，故C正确， 选项D：∵，，故D错误． 18．若，则M表示的单项式是（     ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据积的乘方的逆运算，将等式右侧整理为单项式的三次方形式，即可得到的结果． 【详解】， 对等式右侧变形得：， ， ． 19．下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据整式的加法，，，进行解答，即可． 【详解】解：A、与不是同类项，不能合并，错误，不符合题意； B、，正确，符合题意； C、，错误，不符合题意； D、，错误，不符合题意． 20．下列运算中，正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据合并同类项法则、同底数幂的乘法、幂的乘方及积的乘方运算法则逐一判断即可求解． 【详解】解：、与不是同类项，不能合并，该选项运算错误； 、，该选项运算错误； 、，该选项运算正确； 、，该选项运算错误． 【题型6 积的乘方的逆运用】 21．已知，则的值为（     ） A．8 B．6 C．5 D．3 【答案】D 【分析】根据非负数的性质求出和的值，再结合积的乘方的逆运算化简所求式子，代入计算即可得到结果． 【详解】解：∵， ∴，， 解得，． ∴， 代入，，可得， ∴原式． 22．计算的值（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用积的乘方运算的意义，简化高次幂的计算，拆分指数后再合并同指数幂运算即可得到结果． 【详解】解：原式 23．的计算结果为（     ） A．4 B． C．3 D． 【答案】A 【详解】解： ． 24．已知，那么与的关系是（    ） A．相等 B．互为相反数 C．互为倒数 D．无法确定 【答案】A 【分析】将，变化为指数相同的形式，再根据积的乘方法则计算即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴，， ∴，即， ∴． 【题型7 幂的混合运算】 25．下列计算正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查幂的相关运算与合并同类项法则，根据对应运算法则逐个计算选项即可得到正确结果． 【详解】解：， 选项A不符合题意； ， 选项B不符合题意； ， 选项C不符合题意； ， 选项D符合题意． 26．若，则的值（ ） A． B． C． D．3 【答案】D 【分析】将原式所有幂统一转化为以3为底的幂，再用幂的乘方、同底数幂的乘除法则化简，根据同底数幂相等则指数相等列方程求解． 【详解】解：∵ ，，， ∴ 原式可变形为：， 根据幂的乘方法则 化简得： ， 根据同底数幂的乘除法则计算左侧指数： ， ， ∵ 底数相同的幂相等，底数不为1，则指数相等， ∴ ，解得 ． 27．已知，，为自然数，且满足，则可取的值有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方的混合运算，熟练掌握幂的乘法的混合运算是解题的关键．先根据幂的乘法的混合运算，将化为，得到，，再根据a，b，c都是自然数，求出a，b，c的可能值即可． 【详解】解：， ， ， ， ①，②， ，b，c都是自然数， 由②可知，或或， 当时，代入①得， ； 当时，代入①得， ； 当时，代入①得， ； 综上所述，可取的值有3个． 故选：B． 28．下列运算正确的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了幂的混合运算，合并同类项，熟练掌握幂的运算法则及合并同类项法则是解题的关键．根据幂的混合运算法则及合并同类项法则计算，即可判断答案． 【详解】A、因为与不是同类项，不能合并同类项，所以选项A错误，不符合题意； B、因为，所以选项B错误，不符合题意； C、因为，所以选项C错误，不符合题意； D、因为，所以选项D正确，符合题意． 故选：D． 29．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了幂的混合和运算及合并同类项．根据幂的运算法则，合并同类项法则逐一计算，即可得出答案． 【详解】解：A、，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算错误，不符合题意； C、，原式计算错误，不符合题意； D、，原式计算正确，符合题意； 故选：D． 30．定义：如果（，为正数），那么我们把叫做的D数，记作．例如：因为，所以；因为，所以，D数有如下运算性质： ，其中．下列说法错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了幂的运算性质，本题是新定义型，正确理解新定义的规定并熟练运用是解题的关键．利用新定义的规定对每个选项进行逐一判断即可得出结论． 【详解】解：， ． 选项的结论正确，不符合题意； 若， ， ， ， 选项的结论正确，不符合题意； ， 选项的结论不正确，符合题意； ，， 则， 选项的结论正确，不符合题意． 故选：B 学科网（北京）股份有限公司 $ 第12讲 幂的运算 （2大考点7大题型） 学习目标 1.理解幂的概念、幂运算的概念。 2.掌握幂运算的运算规则、零指数幂的结论。 3.本章重点目标，锻炼细心，打好计算基础。 考点整理 一、幂运算的定义 幂运算：幂是乘方运算的结果，表示m个a相乘，其中a叫做幂的底数，m叫做幂的指数． 二、幂运算的运算规则： （1）任何一个非零数的零次方都是1：． （2）任何一个非零数的负数次幂等于它的正数次幂的倒数：． （3）同底数的幂相乘，底数不变，指数相加：． （4）同底数的幂相除，底数不变，指数相减：． （5）幂的乘方，底数不变，指数相乘：． （6）积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘：． （7）同指数的幂相除，指数不变，底数相除：． 题型归纳 【题型1 同底数幂相乘】 1．若，是正整数，且满足，则下列和的关系正确的是（     ） A． B． C． D． 2．若，则a的值为（    ） A．5 B．5或6 C．6 D．1或6 3．计算的结果是（     ） A． B． C． D． 4．若，则n的值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【题型2 同底数幂相乘的逆运用】 5．若，，则的值为（     ） A． B． C． D． 6．计算的结果为（     ） A． B． C． D． 7．已知，则的值是（   ） A．4 B．6 C．10 D．16 8．如果，，则（   ） A．75 B．20 C．10 D．3 【题型3 幂的乘方运算】 9．计算的结果是（     ） A． B． C． D． 10．下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 11．若a、b是正整数，且满足（左右都是9个），则a与b的关系正确的是（    ） A． B． C． D． 12．已知，则等于（     ） A． B． C． D． 【题型4 幂的乘方的逆用】 13．已知，其中m，n，k，N是正整数，则下列说法①m，k都是偶数；②是偶数；③是偶数；④是偶数．其中说法正确的是（     ） A．①② B．②③ C．③④ D．②④ 14．已知：，则（     ） A．16 B．25 C．32 D．64 15．已知，则的结果为（     ） A． B． C．0 D．8 16．若，，则的值是（   ） A． B． C． D． 【题型5 积的乘方运算】 17．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 18．若，则M表示的单项式是（     ）． A． B． C． D． 19．下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 20．下列运算中，正确的是（     ） A． B． C． D． 【题型6 积的乘方的逆运用】 21．已知，则的值为（     ） A．8 B．6 C．5 D．3 22．计算的值（     ） A． B． C． D． 23．的计算结果为（     ） A．4 B． C．3 D． 24．已知，那么与的关系是（    ） A．相等 B．互为相反数 C．互为倒数 D．无法确定 【题型7 幂的混合运算】 25．下列计算正确的是（  ） A． B． C． D． 26．若，则的值（ ） A． B． C． D．3 27．已知，，为自然数，且满足，则可取的值有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 28．下列运算正确的是（   ）． A． B． C． D． 29．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 30．定义：如果（，为正数），那么我们把叫做的D数，记作．例如：因为，所以；因为，所以，D数有如下运算性质： ，其中．下列说法错误的是（    ） A． B． C． D． 学科网（北京）股份有限公司 $