第13讲 整式的乘法（暑假预习）2026-2027学年人教版八年级数学上册

第13讲 整式的乘法 （2大考点18大题型） 学习目标 1.掌握整式的乘法及运算规律，包括单项式乘以单项式、单项式乘以多项式、多项式乘以多项式。(重点） 2.掌握整式的除法及运算规律，包括单项式乘以单项式、单项式乘以多项式、多项式乘以多项式。(重点） 3.掌握整式的乘法在规律题、几何图形题中的运用.(难点） 考点整理 一、整式的乘法 单项式×单项式：系数相乘，字母相乘． 单项式×多项式：乘法分配律． 多项式×多项式：乘法分配律． 二、整式的除法 单项式÷单项式：系数相除，字母相除． 多项式÷单项式：除法性质． 多项式÷多项式：大除法． 题型归纳 【题型1 计算单项式乘以单项式】 1．下列各式计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据幂运算的对应法则计算每个选项即可判断正误. 【详解】解：对于选项，，，A计算正确. 对于选项，计算错误. 对于选项，计算错误. 对于选项，计算错误. 2．计算：（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据积的乘方运算法则计算乘方，再算单项式乘法． 【详解】解：． 3．化简：_____________． 【答案】 【分析】先计算积的乘方运算，再计算单项式乘以单项式，最后合并同类项即可． 【详解】解： ． 4．计算：__________． 【答案】 【分析】根据单项式乘以单项式的法则求解即可． 【详解】解：． 【题型2利用单项式乘法求字母或代数式的值】 5．若，则________． 【答案】 【分析】计算出的结果，可确定a、b的值，再代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 6．，求的值_______． 【答案】3 【分析】首先根据单项式乘以单项式法则得到，然后比较指数得到，，求出，，然后代入求解． 【详解】解：∵ ∴ ∴， ∴， ∴． 7．若单项式与单项式相乘的结果是一个十次单项式，则的值为_______． 【答案】3 【分析】先根据单项式乘单项式法则计算两个单项式的乘积，再根据单项式次数的定义列方程求解即可． 【详解】解：， ∵单项式与单项式相乘的结果是一个十次单项式， ∴是一个十次单项式， ∴， ∴． 8．若单项式和的积为，则的值为________． 【答案】625 【分析】首先根据得到，，然后将化简为后代入求解即可． 【详解】解：∵单项式和的积为， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴． 【题型3 计算单项式乘以多项式及求值】 9．若，则的值是________． 【答案】 【分析】先根据单项式乘以多项式法则将式子变形为含的形式，最后整体代入已知条件求值即可． 【详解】解：∵， ∴ ． 10．计算：__________________． 【答案】 【详解】解：． 11．化简______  ______． 【答案】 【详解】解：，． 12．已知，则代数式的值为______． 【答案】4 【分析】本题考查了计算单项式乘多项式及求值，已知式子的值，求代数式的值，掌握整体代入法是解题的关键．将已知式子变形为，然后将待求式子变形后整体代入求值计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ． 【题型4 单项式乘以多项式的应用】 13．计算： _________________． 【答案】 【详解】解： ． 14．已知，，．若的值与的取值无关，则________． 【答案】 【分析】先计算的结果，再根据多项式的值与的取值无关，可知所有含项的系数均为，求出，的值，最后计算即可． 【详解】解：∵，，， ∴ ， ∵的值与的取值无关， ∴， ∴， ∴． 15．为响应儿童友好空间建设的号召，某市政公园规划出一片长为，宽为的长方形区域，用来打造儿童活动区域．如图，该区域划分为三个功能区，分别是游戏娱乐区、文化体验区、绿化休息区，其中、游戏娱乐区和文化体验区均为长方形，绿化休息区为边长为的正方形． (1)分别求出游戏娱乐区、文化体验区、绿化休息区这三个区域的面积（用含的式子表示）． (2)该公园计划对这片儿童活动区域的地面进行处理，为游戏娱乐区和文化体验区铺设塑胶地面，造价为每平方米元；为绿化休息区铺设草坪，造价为每平方米元．求处理这片儿童活动区域的地面所需的费用（用含的式子表示）． 【答案】(1)游戏娱乐区的面积；文化体验区的面积；绿化休息区的面积 (2)元 【分析】（1）根据题干中的图形列式计算即可； （2）结合（1）中所求结果列式计算即可． 【详解】（1）解：游戏娱乐区的面积 ． 文化体验区的面积 ． 绿化休息区的面积． （2）解：处理这片儿童活动区域的地面所需的费用 元． 16．分别准备几张如图所示的长方形和正方形卡片． (1)用这些卡片拼一些新的长方形，并计算新长方形的面积； (2)从这些卡片中选取几张，用它们拼成一个面积为的长方形． 【答案】(1)如图， 长方形的面积为； 如图， 长方形的面积为；（答案不唯一） (2)如图， 【分析】（1）根据多项式乘多项式法则画图，然后计算面积即可； （2）首先得到选择2张卡片，3张卡片，然后画图即可． 【详解】（1）解：如图，标记卡片为、、三种， 用3张卡片、1张卡片、2张卡片，它们拼出一个长为，宽为的新长方形，如图所示； ∵，故符合题意； ∴长方形的面积为； 用4张卡片、3张卡片、1张卡片，它们拼出一个长为，宽为的新长方形，如图所示； ∵，故符合题意； ∴长方形的面积为；（答案不唯一） （2）解：∵ ∴选择2张卡片，3张卡片，拼成长为，宽为a的长方形，图略． 【题型5 利用单项式乘以多项式求字母的值】 17．若m，n互为倒数，且满足，则n的值为（   ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】根据倒数的性质得到，展开已知等式后代入求出的值，再根据倒数定义即可得到的值． 【详解】解：∵互为倒数， ∴， ∵， 展开等式得， 把代入得， ∴， 又∵互为倒数， ∴ ． 18．若，则（    ） A．6 B． C．8 D． 【答案】C 【分析】本题考查单项式乘多项式，正确计算是解题的关键． 利用单项式乘多项式法则展开左边表达式，比较同类项系数求即可. 【详解】解：∵ ， 又∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ . 故选：C. 19．已知等式成立，求的值． 【答案】2 【分析】先将等式转化为，则问题转化为恒成立，即且且，即可解得、、，进而可得答案． 【详解】解：， ∵恒成立， ∴恒成立， 即：恒成立， ∴，，， 解得：，，， ∴ ． 20．【知识回顾】有这样一类题：代数式的值与x的取值无关，求的值；通常的解题方法；把x，y看作字母，看作系数，合并同类项，因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0，即原式，所以，即． 【理解应用】的值与无关，求的值； 【能力提升】如图1，小长方形纸片的长为、宽为，有7张图1中的纸片按照图2方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中有两个部分（图中阴影部分）未被覆盖，设右上角的面积为，左下角的面积为，当的长变化时，的值始终保持不变，求与的数量关系． 【答案】理解应用：；能力提升： 【分析】本题考查了多项式乘以多项式中的无关型问题、单项式乘以多项式与图形面积，熟练掌握运算法则是解题关键． 理解应用：先计算多项式乘以多项式、单项式乘以多项式，再计算整式的加减，然后根据含项的系数为0建立方程，解方程即可得； 能力提升：设，则，，先计算，再根据含项的系数为0求解即可得． 【详解】解：理解应用： ， ∵的值与无关， ∴， ∴． 能力提升：设，则，， ∴ ， ∵当的长变化时，的值始终保持不变， ∴的值与无关， ∴， ∴． 【题型6 计算多项式乘以多项式】 21．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 22．在计算 时，小泉同学看错了的值，计算结果为；小张同学看错了的值，计算结果为． (1)求的值； (2)计算 的正确结果． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）先根据多项式乘多项式求出，再对小泉和小张看错值而得到的结果进行比较即可求解； （2）将（1）求出的值代入即可求解． 【详解】（1）解： ∵小泉看错了值，二次项系数与无关，即二次项系数正确， ∵结果为， ∴，解得：， ∵小张看错了值，常数项与无关，即常数项正确 ∵结果为， ∴； （2）∵由（1）得，， ∴ ． 23．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：； （2）解：． 24．计算：． 【答案】 【分析】根据多项式乘多项式法则和单项式乘多项式法则进行计算即可． 【详解】解： ． 【题型7 （X+P）（X+Q）型多项式乘法】 25．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： 26．化简：． 【答案】 【详解】解： ． 27．先化简，再求值：，其中． 【答案】化简结果为，值为0 【分析】本题考查整式的乘法运算及化简求值，核心是掌握多项式乘多项式、单项式乘多项式的运算法则及合并同类项的方法．先依据整式乘法法则展开原式的各项，再通过去括号、合并同类项将整式化简为最简形式，最后代入的值计算结果． 【详解】解： ， 当时，原式． 28．试说明对于任何正整数n，式子的值都能被3整除． 【答案】见解析 【分析】先将原式展开并合并同类项进行化简，若化简结果为与某个整数的乘积，则可说明原式的值能被整除 【详解】证明：原式 又是正整数 是正整数 是的倍数 即对于任何正整数，式子的值都能被整除 【题型8 已知多项式不含某项求字母的值】 29．若关于的多项式与的乘积中不含项，则的值为（     ） A．0 B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据多项式乘多项式的法则计算两个多项式的乘积，合并同类项后，由乘积不含项可知项的系数为，据此列方程求解的值 【详解】解： 又∵ 乘积中不含项， ∴ 项的系数为，即 解得 30．已知，，，均为常数，，均为非零常数，有两个整式，，下列结论中，正确的个数为（     ） ①当与的乘积不含项时，； ②； ③当能被整除时，； A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】根据整式乘除与多项式整除的性质，对三个结论逐一计算验证即可． 【详解】①由题意， ， ， ∵乘积不含项，∴，解得，故①错误． ②已知， 令，得：左边，右边， ∴，整理得 ， 令，左边，右边， ∴，代入得，故②正确． ③若多项式能被整除， 根据多项式整除性质，时．代入得， 整理得，故③正确． 综上，正确的结论共2个． 31．已知代数式的展开式中不含的一次项，则______． 【答案】 【分析】先计算多项式乘多项式，再使的一次项系数为求解即可． 【详解】解： ， ∵代数式的展开式中不含的一次项， ∴， 解得． 32．在江西文化节的数学创意活动中，同学们定义了一个新运算：整式A乘以整式B，得到整式C，如果整式C的项数正好比整式A的项数多1，就称整式B是整式A的“文脉增项式”． (1)如果，，判断B是否为A的“文脉增项式”，并说明理由； (2)已知，都是关于的整式，且a，b均为不等于0的有理数，当时，且B是A的“文脉增项式”，求b的值． 【答案】(1)解：B是整式A的“文脉增项式”，理由如下： ∵， ， ∴， ∵的项数为，的项数为，，符合“文脉增项式”的定义， ∴是整式的“文脉增项式”； (2)或 【分析】（1）计算乘积后对比项数即可判断； （2）先根据时求出的值，再计算乘积合并同类项后，根据定义要求分类得到系数为的情况，结合的条件求出的值． 【详解】（1）略 （2）解：将，代入，得， 解得，满足 ∴， ∴， ∵的项数为，根据定义，的项数应为，该式共有项，其中的系数为，常数项为，均不为， ∴分两种情况： ①当时，解得，符合的要求， ②当时，解得，符合的要求， ∴的值为或． 【题型9多项式乘以多项式---化简求值】 33．若实数， 满足，则代数式的值为________． 【答案】 【分析】根据多项式乘多项式的法则把原式展开，把已知条件代入计算即可． 【详解】解：， 将，代入得， ． 34．已知，，则____________________． 【答案】 【分析】先将所求多项式展开整理，变形为含有和的式子，再整体代入已知条件求值即可. 【详解】解：∵，， ∴ . 35．我们在学习代数式求值时，遇到这样一类题：代数式的值与x的取值无关，求a的值．通常的解题思路是把x看作字母，a看作系数，合并同类项．因为代数式的值与x的取值无关，所以含x的项的系数为0． 具体解题过程：原式 因为代数式的值与x的取值无关． 所以，解得． 【理解应用】 (1)若关于x的代数式的值与x的取值无关，则m的值为 ； (2)已知，，且的值与x的取值无关，求的值； 【能力提升】 (3)7张如图1的小长方形，长为a，宽为b，按照图2方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中未被覆盖的两个部分都是长方形．设右上角的面积为，左下角的面积为，当的长度变化时，的值始终保持不变，求a与b的等量关系． 【答案】(1) (2)3 (3) 【分析】本题主要考查了整式加减中的无关型问题： （1）先化简多项式，再根据多项式的值与x的取值无关，可得，即可求解； （2）先化简求出，再由的值与x的取值无关，得到，即可求解； （3）设，观察图形得：，可得，再由当的长变化时，的值始终保持不变，即可求解． 【详解】（1）解： ∵关于x的多项式的值与x的取值无关， ∴， ∴； （2）∵，， ∴ ∵的值与x的取值无关， ∴， ∴， ∴； （3）设， 观察图形得：， ∴ ， ∵当的长变化时，的值始终保持不变， ∴， ∴． 36．先化简，再求值：，其中x与y满足． 【答案】 ， 【分析】先计算多项式乘以多项式，再计算整式的加减，然后根据偶次方和绝对值的非负性可得，的值，代入计算即可． 【详解】解：原式 ， ∵，且， ∴， ∴， ∴原式． 【题型10 多项式乘以多项式和图形面积】 37．如图，小明制作了A类，B类，C类卡片各20张，其中A，B两类卡片都是正方形，C类卡片是长方形，要拼出一个长为，宽为的大长方形，则他准备的C类卡片（     ）    A．够用，剩余2张 B．不够用，还缺2张 C．够用，剩余3张 D．不够用，还缺3张 【答案】C 【分析】先根据长方形面积公式，计算长为、宽为的大长方形的总面积，使用多项式乘多项式法则展开．结合卡片的形状，确定A类、B类、C类卡片对应的面积分别为、、，因为拼成的大长方形面积等于所有卡片面积之和，所以展开后的总式中项的系数就是所需C类卡片的数量．将所需C类卡片数量和已准备的20张对比，判断是否够用并计算差值． 【详解】解：∵ A类正方形面积为，B类正方形面积为，C类长方形面积为． 大长方形长为，宽为， 面积为：． ∴展开式中的系数就是需要C类卡片的数量，即需要17张C类卡片． 小明准备了20张C类卡片，（张）， ∴够用，剩余3张． 38．如图，将三张大小一样的正方形纸片放入一个大长方形中，其中两个正方形重叠部分．若已知小长方形①、②的面积差，则可求出下列哪个图形的面积？（     ） A．四边形 B．四边形 C．四边形 D．四边形 【答案】B 【分析】设三个正方形的边长为，，长方形的长为，则宽为，表示出相关线段的长度，得出，即可得出结论． 【详解】解：设三个正方形的边长为，，长方形的长为，则宽为，小长方形①和小长方形②的面积分别为， ∴小长方形①的长为，宽为， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴可求出四边形的面积． 39．如图，某校开心农场内有一块正方形菜地，边长为米，菜地内预留一块长米，宽米的长方形空地搭建蓄水池，余下阴影区域全部栽种蔬菜． (1)请用含，的代数式表示种菜（阴影）部分的面积，并化简． (2)当米，米时，计算菜地种菜（阴影）部分的面积． 【答案】(1)平方米 (2)平方米 【分析】（1）种菜面积正方形面积长方形蓄水池面积； （2）将米，米代入（1）中化简的式子，计算即可得出结果． 【详解】（1）解：由题意可得： 种菜（阴影）部分的面积 （平方米）； （2）解：当米，米时， 种菜（阴影）部分的面积为 （平方米）． 40．按要求完成下列各题 (1)如图1，由两个等宽的长方形和拼接而成的大长方形，在计算大长方形的面积时，小明采用了两种不同的方法： 方法一：大长方形的面积等于其长乘以宽，即________； 方法二：大长方形的面积等于两个小长方形的面积和，即________； 因为大长方形的面积相同，可得等量关系为________； (2)请你运用小明的思路方法，探究图2中包含的等量关系． 【答案】(1)，， (2) 【分析】（1）分别用整体长×宽、两个小长方形面积相加两种方式表示总面积，面积相等得到单项式乘多项式的等式； （2）同理，先用整体长宽乘积表示大长方形面积，再拆成四个长方形面积相加整理化简，两种面积表达式相等，得到多项式乘多项式展开恒等式． 【详解】（1）方法一：大长方形长为，宽为，面积； 方法二：长方形面积，长方形面积，总面积 ； ∴等量关系： （2）由图可知，大长方形由四部分组成，设其面积为，则 ， 又大长方形的长为，宽为，则， 由此可得等量关系为：． 【题型11 多项式乘法中的规律问题】 41．我国南宋数学家杨辉于1261年编撰《详解九章算法》，书中记载了二项式（为非负整数）展开式的各项系数分布规律，如图所示，其中“三乘”对应的展开式为：．若，则的值为（     ） A．10 B．40 C． D． 【答案】D 【分析】根据题意可得的展开式，令，则可得到的展开式，结合题意可得答案． 【详解】解：由题意得，， 令， 则 ， 又∵， ∴ 42．观察下列各式：   ；   ；   ； …… 根据上面的规律计算：的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据已知算式总结多项式乘法的规律，再将所求式子变形，代入规律计算得到结果． 【详解】解：由已知算式可得规律：， 设所求式子为，可变形为， 将代入规律得：， ，两边同除以得：，故选项A符合题意． 43．我国宋代数学家杨辉发现了展开式系数的规律： 展开式系数和为 展开式系数和为 展开式系数和为 展开式系数和为 展开式系数和为 以上系数三角表称为“杨辉三角”，根据上述规律，展开式的系数和是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】通过归纳已知式子的系数和，得到通用规律，再代入计算即可. 【详解】解：由题意得 当时，展开式系数和为. 当时，展开式系数和为. 当时，展开式系数和为. 当时，展开式系数和为. …… 归纳可得，展开式的系数和为. 当时，系数和为． 44．已知，，，通过观察我们发现它们各项的系数符合杨辉三角的结构，指数也按一定规律排列，若，则的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】令，根据规律得出，对比系数即可得出的值． 【详解】解：根据规律可得： 令， ∴ ∴ 【题型12 整式乘法混合运算】 45．若，，则与的大小关系为（   ） A． B． C． D．与的大小由的取值而定 【答案】A 【分析】计算，根据差的正负即可判断大小关系． 【详解】解：∵，， ∴ ， ∴． 46．若关于x的多项式含有因式，则实数的值为（   ） A．3 B． C．1 D． 【答案】C 【分析】设另一个多项式为，再利用整式的乘法进行整理得得到对应各项系数，然后求得的值． 【详解】解：设多项式的另一个因式是，则，∴，， ∴，． 47．先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【详解】解：， ， ， 原式． 48．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查整式的混合运算，解题思路为利用幂的运算法则、整式乘法法则分别计算各项，再合并同类项得到最终结果． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【题型13 同底数幂的除法运算】 49．若实数，满足，则______． 【答案】 【分析】先将原式中底数统一化为，再根据幂的乘方逆用，同底数幂除法的运算法则变形后整体代入已知条件计算即可． 【详解】解：， ， 根据幂的乘方法则，可得， 根据同底数幂的除法法则，可得， 将代入，得原式． 50．计算： ______． 【答案】 【详解】解： ． 51．已知二元一次方程，则________． 【答案】8 【详解】解：∵， ∴， ∴ ． 52．我们规定两数a、b之间的一种运算，记作：如果，那么；例如，记作． (1)根据以上规定求出：________；________； (2)小明发现也成立，并证明如下： 设，， ，， ， ， ． 根据以上证明，请计算． (3)猜想，并说明理由． 【答案】(1)； (2) (3) 解：猜想，理由： 设，， ∴，，， ∵，则， ∴． 【分析】（1）根据题中运算方法，结合有理数的乘方求解即可； （2）类比题中例题解法步骤结合同底数幂的乘法运算求解即可； （3）类比题中例题解法步骤结合同底数幂的除法运算求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴； ∵， ∴． （2）解：设，， ∴，，， ∵，则， ∴． （3）略 【题型14 同底数幂的除法逆运用】 53．某数学学习小组在学习完幂的相关运算后，遇到下面几个问题，请你尝试帮助他们解决： (1)已知，，求的值； (2)已知，求的值； (3)已知，，，试将用含、、的代数式表示出来． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据计算求解即可； （2）根据题意可得，进一步可变形为，则，进而得到，求出的值即可得到答案； （3）根据推出，据此可得答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵，，， ∴ ． 54．根据已知条件求值． (1)已知，，求的值； (2)已知，求的值． 【答案】(1) (2)6 【分析】（1）根据同底数幂除法逆运算求值即可； （2）根据同底数幂乘法公式化简可得，则，再解方程即可． 【详解】（1）解：； （2）解：， ， 解得． 55．对于整数a、b定义运算：（其中m、n为常数），如 (1)填空：当，时， ； (2)若，，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题干中的新定义法则求解； （2）首先根据新定义法则得到，，然后求出，，然后将原式变形后代入求解即可． 【详解】（1）解：当，时，； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 56．已知 ． (1)求 的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：∵． ∴； （2）解：∵， ∴， ∵，且，即， ∴， ∴． 【题型15 零指数幂】 57．计算：． 【答案】 【详解】解： ． 58．计算： (1)； (2)； 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 59．计算： 【答案】 【分析】本题考查实数的运算，根据绝对值的性质，平方根和立方根的性质，，，任何非零数的零次幂等于1进行计算即可． 【详解】解：原式：， ， ， ． 60．计算：． 【答案】 【分析】根据算术平方根、立方根、绝对值、零指数幂等知识进行化简计算即可． 【详解】解：原式 ． 【题型16 计算单项式除以单项式】 61．计算：． 【答案】 【分析】先分别计算单项式乘单项式、多项式除以单项式，再合并同类项． 【详解】解：原式 ． 62．计算：． 【答案】 【分析】根据幂的乘方运算法则，同时注意负号的处理． 【详解】解： ． 63．计算：． 【答案】 【详解】解：原式 64．__________． 【答案】 【分析】先根据幂的乘方和同底数幂的乘法进行计算，再根据同底数幂的除法进行计算，最后合并同类项即可． 【详解】解：原式 ． 【题型17 用科学计数法表示数的除法】 65．2026年4月，我国自主研发的（级）超高强度碳纤维发布，这是全世界第一款量产的级碳纤维产品．超高强度碳纤维拉伸强度突破兆帕，普通钢材的拉伸强度约为兆帕．数据“”是“”的（     ） A．2倍 B．5倍 C．8倍 D．10倍 【答案】D 【详解】解：由题意得． 66．词元（Token）是大模型处理信息的最小信息单元，具有智能时代可计量、可定价、可交易的特征．2026年3月，中国日均词元调用量已突破Token.已知每消耗一度电大约可产出Token．由此估计，产出Token所消耗的电量用科学记数法表示为（   ） A．度 B．度 C．度 D．度 【答案】C 【详解】解：度． 67．已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据幂的乘方与积的乘方的性质计算，然后根据用科学记数法表示的数的计算法则计算即可． 【详解】解：， ， 故选：D． 【点睛】本题考查了幂的乘方与积的乘方、用科学记数法表示的数的计算，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 68．2022年我国粮食总产量大约为．如果按我国人口人计算，那么人均粮食产量大约是__________． 【答案】 【分析】本题主要考查了单项式除以单项式．根据单项式除以单项式法则计算即可． 【详解】解：人均粮食产量为： ． 故答案为． 【题型18 多项式除以单项式】 69．为举办山西文旅演艺晚会，工作人员在剧场设计一块长方形主舞台，已知舞台面积为，其中一条边长为，则这块长方形舞台的另一条边长为__________． 【答案】 【分析】根据长方形面积公式，可得另一条边长为，根据多项式除以单项式的运算法则计算即可． 【详解】解：由题意可得，另一条边长为， ， ． 70．计算的结果是__________． 【答案】/ 【详解】解：． 71．计算：． 【答案】 【详解】解： ． 72．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式． 【题型19 整式四则混合运算】 73．中国北宋数学家沈括在《梦溪笔谈》中提出“垛积术”，专门研究物品堆积的计数问题，有以下规律： “三角垛数” （表示层总数量） “长方垛数” （表示层总数量） “垛积和数” （表示层总数量） ， ， ， ， ， ， ， 如图所示： 将，与组成“垛积三元数”，部分三元数如下表： 第一组 第二组 第三组 第四组 第五组 三角垛数 1 3 6 长方垛数 3 8 15 垛积和数 4 11 21 (1)请补全上表中的垛积三元数，，； (2)观察表中数据，发现“垛积和数”同时满足两个规律：①；②．请用含正整数的代数式分别表示，，并证明这两个规律是等价的（即从其中一个规律可推导得到另一个规律）． 【答案】(1) (2)三角垛数，长方垛数， 由①推②：将代入得： ， ， ∴； 由②推①：将，代入得： ， ， ∴． 【分析】（1）发现规律并进行计算即可； （2）表示三角垛数，长方垛数，代入①②计算即可证明． 【详解】（1）解：由规律发现：， ， ； （2）解：略． 74．对于任意四个有理数a、b、c、d，定义一种新运算：． (1)______； (2)如图，四边形是正方形，边长，P在正方形内部，过点P分别作、的垂线与、、、相交于点E、F、G、H，连接、，，，且．求图中阴影部分的面积是多少？    【答案】(1)11 (2)3 【分析】（1）利用新定义的运算法则计算即可求解； （2）利用新定义的运算法则化简，得到，利用正方形面积公式和三角形面积公式计算得到图中阴影部分的面积为，整体代入求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 图中阴影部分的面积 ， ∵， ∴原式． 75．定义新运算：． (1)试说明． (2)设整式C满足，求整式C． 【答案】(1)证明：根据定义， 得， 即． (2) 【分析】(1)根据定义新运算，将等式左边进行代入转化，并化简合并即可； (2)根据定义新运算，将等式左边进行代入，然后，再根据等式的性质，去括号、移项、合并同类项，转化为用含有x的代数式表示C的形式即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， ， ， ． 76．“杨辉三角”是我国古代数学的杰出成就．南宋数学家杨辉借助三角数表，阐释了二项和（，2，3，4，…）展开式的系数规律，这一数表也因此得名．如下图，该三角形图表两条斜边上的数都是1，其余每个数为它的上方（左右）两数之和． 例如，此三角形中第3行的3个数1，2，1，恰好对应着展开式中的各项的系数；第4行的4个数1，3，3，1，恰好对应着展开式中各项的系数．利用上面的规律，完成以下问题： (1)请写出的展开式为 ； (2)的展开式中共有 项，从左往右第三项的系数是 ； (3)代数推理：已知x为整数，求证：能被24整除． 【答案】(1) (2)8，21 (3)证明：根据二项和（，2，3，4，…）展开式的系数规律，可得 ， ∵x为整数， ∴是整数， ∴是24的倍数，即能被24整除． 【分析】(1)根据二项和（，2，3，4，…）展开式中的系数规律先确定展开式中各项的系数，再确定每一项中对应的次数即可得到展开式； (2)根据二项和（，2，3，4，…）展开式中的项数规律得到展开式的项数比n大1，即项数为，可得的展开式中的项数，再根据展开式中的系数规律得到从左到右各项的系数即可得出答案； (3)根据二项和（，2，3，4，…）展开式中的项数及系数的规律将代数式展开并化简，再提取公因数即可证得结论． 【详解】（1）解：根据二项和（，2，3，4，…）展开式中的系数规律可知，的展开式中从左到右各项的系数为1，5，10，10，5，1，每一项中a的次数按降幂排列从5降到0，b的次数按升幂排列从0升到5， ∴； （2）解：根据二项和（，2，3，4，…）展开式中的项数规律可知，展开式的项数比n大1，即项数为， ∴的展开式中共有(项)； 根据二项和（，2，3，4，…）展开式中的系数规律可知，的展开式中从左到右各项的系数为1，7，21，35，35，21，7，1， ∴的展开式中从左到右第三项的系数是21； （3）略 77．按如图所示的程序进行运算． (1)计算输出整式N的最简结果； (2)嘉嘉说：无论为何值，整式的值一定不超过．你认为嘉嘉的说法正确吗？请说明你的理由． 【答案】(1) (2)同意嘉嘉的说法，理由如下： 无论为何值，总有， ，即输出的结果总不超过， ∴我同意嘉嘉的说法 【分析】（1）根据整式的混合运算法则计算； （2）根据（1）中的计算结果，结合完全平方数的非负性分析可得答案． 【详解】（1）解： ； （2）略 78．学习完整式的乘法运算之后，小辉同学对多项式除以多项式产生好奇，数学学习中有一种重要的思想方法：类比思维，是通过比较两个具有相同或相似特征的事物，从已知属性推测另一事物对应特征的思维活动．于是他类比小学数学中多位数的除法运算，进行了自主探究，做出如下归纳： ∴， ； 【及时应用】 (1)多项式除以多项式，所得的商式为 ，余式为 ． 【数形结合】 (2)已知体积为的长方体的高为，则该长方体的底面积为 ；   ． 【拓展提升】 (3)如图，有6张甲卡片，21张乙卡片，15张丙卡片，能否将这42张卡片拼成一个与原来总面积相等且一边长为的长方形？ ①小辉同学认为不能，请你说明理由； ②小雅同学认为只要减少 张 卡片（选填“甲”、“乙”或者“丙”）就可以拼成； ③小光同学认为也可以只增加 张 卡片（选填“甲”、“乙”或者“丙”）就可以拼成． 【答案】(1)， (2) (3)①由题意，这42张卡片拼成图形的总面积为， ， ∴除不尽， 不能将这42张卡片拼成一个与原来总面积相等且一边长为的长方形； ② 2，乙；③ 3，丙 【分析】（1）仿照例题用竖式除法计算即可； （2）仿照例题用竖式除法计算即可； （3）①根据题意列出代数式，然后用竖式除法计算进行判断即可； ②结合①中除不尽的情况，分析减少2张乙卡片，然后用竖式除法验证即可； ③结合①中除不尽的情况，分析增加3张丙卡片，然后用竖式除法验证即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：由题意知能除尽， ，， 解得， ； （3）解：①略； ②如果减少2张乙卡片，则卡片拼成图形的总面积为， ，， 减少2张乙卡片，能除尽， 减少2张乙卡片就可以拼成， ③如果增加3张丙卡片，则卡片拼成图形的总面积为， ，， 增加3张丙卡片，能除尽， 增加3张丙卡片就可以拼成． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第13讲 整式的乘法 （2大考点18大题型） 学习目标 1.掌握整式的乘法及运算规律，包括单项式乘以单项式、单项式乘以多项式、多项式乘以多项式。(重点） 2.掌握整式的除法及运算规律，包括单项式乘以单项式、单项式乘以多项式、多项式乘以多项式。(重点） 3.掌握整式的乘法在规律题、几何图形题中的运用.(难点） 考点整理 一、整式的乘法 单项式×单项式：系数相乘，字母相乘． 单项式×多项式：乘法分配律． 多项式×多项式：乘法分配律． 二、整式的除法 单项式÷单项式：系数相除，字母相除． 多项式÷单项式：除法性质． 多项式÷多项式：大除法． 题型归纳 【题型1 计算单项式乘以单项式】 1．下列各式计算正确的是（     ） A． B． C． D． 2．计算：（   ） A． B． C． D． 3．化简：_____________． 4．计算：__________． 【题型2利用单项式乘法求字母或代数式的值】 5．若，则________． 6．，求的值_______． 7．若单项式与单项式相乘的结果是一个十次单项式，则的值为_______． 8．若单项式和的积为，则的值为________． 【题型3 计算单项式乘以多项式及求值】 9．若，则的值是________． 10．计算：__________________． 11．化简______  ______． 12．已知，则代数式的值为______． 【题型4 单项式乘以多项式的应用】 13．计算： _________________． 14．已知，，．若的值与的取值无关，则________． 15．为响应儿童友好空间建设的号召，某市政公园规划出一片长为，宽为的长方形区域，用来打造儿童活动区域．如图，该区域划分为三个功能区，分别是游戏娱乐区、文化体验区、绿化休息区，其中、游戏娱乐区和文化体验区均为长方形，绿化休息区为边长为的正方形． (1)分别求出游戏娱乐区、文化体验区、绿化休息区这三个区域的面积（用含的式子表示）． (2)该公园计划对这片儿童活动区域的地面进行处理，为游戏娱乐区和文化体验区铺设塑胶地面，造价为每平方米元；为绿化休息区铺设草坪，造价为每平方米元．求处理这片儿童活动区域的地面所需的费用（用含的式子表示）． 16．分别准备几张如图所示的长方形和正方形卡片． (1)用这些卡片拼一些新的长方形，并计算新长方形的面积； (2)从这些卡片中选取几张，用它们拼成一个面积为的长方形． 【题型5 利用单项式乘以多项式求字母的值】 17．若m，n互为倒数，且满足，则n的值为（   ） A． B． C． D．2 18．若，则（    ） A．6 B． C．8 D． 19．已知等式成立，求的值． 20．【知识回顾】有这样一类题：代数式的值与x的取值无关，求的值；通常的解题方法；把x，y看作字母，看作系数，合并同类项，因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0，即原式，所以，即． 【理解应用】的值与无关，求的值； 【能力提升】如图1，小长方形纸片的长为、宽为，有7张图1中的纸片按照图2方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中有两个部分（图中阴影部分）未被覆盖，设右上角的面积为，左下角的面积为，当的长变化时，的值始终保持不变，求与的数量关系． 【题型6 计算多项式乘以多项式】 21．计算： (1)； (2)． 22．在计算 时，小泉同学看错了的值，计算结果为；小张同学看错了的值，计算结果为． (1)求的值； (2)计算 的正确结果． 23．计算： (1)； (2)． 24．计算：． 【题型7 （X+P）（X+Q）型多项式乘法】 25．计算： (1)； (2)． 26．化简：． 27．先化简，再求值：，其中． 28．试说明对于任何正整数n，式子的值都能被3整除． 【题型8 已知多项式不含某项求字母的值】 29．若关于的多项式与的乘积中不含项，则的值为（     ） A．0 B． C． D． 30．已知，，，均为常数，，均为非零常数，有两个整式，，下列结论中，正确的个数为（     ） ①当与的乘积不含项时，； ②； ③当能被整除时，； A．个 B．个 C．个 D．个 31．已知代数式的展开式中不含的一次项，则______． 32．在江西文化节的数学创意活动中，同学们定义了一个新运算：整式A乘以整式B，得到整式C，如果整式C的项数正好比整式A的项数多1，就称整式B是整式A的“文脉增项式”． (1)如果，，判断B是否为A的“文脉增项式”，并说明理由； (2)已知，都是关于的整式，且a，b均为不等于0的有理数，当时，且B是A的“文脉增项式”，求b的值． 【题型9多项式乘以多项式---化简求值】 33．若实数， 满足，则代数式的值为________． 34．已知，，则____________________． 35．我们在学习代数式求值时，遇到这样一类题：代数式的值与x的取值无关，求a的值．通常的解题思路是把x看作字母，a看作系数，合并同类项．因为代数式的值与x的取值无关，所以含x的项的系数为0． 具体解题过程：原式 因为代数式的值与x的取值无关． 所以，解得． 【理解应用】 (1)若关于x的代数式的值与x的取值无关，则m的值为 ； (2)已知，，且的值与x的取值无关，求的值； 【能力提升】 (3)7张如图1的小长方形，长为a，宽为b，按照图2方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中未被覆盖的两个部分都是长方形．设右上角的面积为，左下角的面积为，当的长度变化时，的值始终保持不变，求a与b的等量关系． 36．先化简，再求值：，其中x与y满足． 【题型10 多项式乘以多项式和图形面积】 37．如图，小明制作了A类，B类，C类卡片各20张，其中A，B两类卡片都是正方形，C类卡片是长方形，要拼出一个长为，宽为的大长方形，则他准备的C类卡片（     ）    A．够用，剩余2张 B．不够用，还缺2张 C．够用，剩余3张 D．不够用，还缺3张 38．如图，将三张大小一样的正方形纸片放入一个大长方形中，其中两个正方形重叠部分．若已知小长方形①、②的面积差，则可求出下列哪个图形的面积？（     ） A．四边形 B．四边形 C．四边形 D．四边形 39．如图，某校开心农场内有一块正方形菜地，边长为米，菜地内预留一块长米，宽米的长方形空地搭建蓄水池，余下阴影区域全部栽种蔬菜． (1)请用含，的代数式表示种菜（阴影）部分的面积，并化简． (2)当米，米时，计算菜地种菜（阴影）部分的面积． 40．按要求完成下列各题 (1)如图1，由两个等宽的长方形和拼接而成的大长方形，在计算大长方形的面积时，小明采用了两种不同的方法： 方法一：大长方形的面积等于其长乘以宽，即________； 方法二：大长方形的面积等于两个小长方形的面积和，即________； 因为大长方形的面积相同，可得等量关系为________； (2)请你运用小明的思路方法，探究图2中包含的等量关系． 【题型11 多项式乘法中的规律问题】 41．我国南宋数学家杨辉于1261年编撰《详解九章算法》，书中记载了二项式（为非负整数）展开式的各项系数分布规律，如图所示，其中“三乘”对应的展开式为：．若，则的值为（     ） A．10 B．40 C． D． 42．观察下列各式：   ；   ；   ； …… 根据上面的规律计算：的值是（     ） A． B． C． D． 43．我国宋代数学家杨辉发现了展开式系数的规律： 展开式系数和为 展开式系数和为 展开式系数和为 展开式系数和为 展开式系数和为 以上系数三角表称为“杨辉三角”，根据上述规律，展开式的系数和是（     ） A． B． C． D． 44．已知，，，通过观察我们发现它们各项的系数符合杨辉三角的结构，指数也按一定规律排列，若，则的值是（     ） A． B． C． D． 【题型12 整式乘法混合运算】 45．若，，则与的大小关系为（   ） A． B． C． D．与的大小由的取值而定 46．若关于x的多项式含有因式，则实数的值为（   ） A．3 B． C．1 D． 47．先化简，再求值：，其中． 48．计算： (1)； (2)． 【题型13 同底数幂的除法运算】 49．若实数，满足，则______． 50．计算： ______． 51．已知二元一次方程，则________． 52．我们规定两数a、b之间的一种运算，记作：如果，那么；例如，记作． (1)根据以上规定求出：________；________； (2)小明发现也成立，并证明如下： 设，， ，， ， ， ． 根据以上证明，请计算． (3)猜想，并说明理由． 【题型14 同底数幂的除法逆运用】 53．某数学学习小组在学习完幂的相关运算后，遇到下面几个问题，请你尝试帮助他们解决： (1)已知，，求的值； (2)已知，求的值； (3)已知，，，试将用含、、的代数式表示出来． 54．根据已知条件求值． (1)已知，，求的值； (2)已知，求的值． 55．对于整数a、b定义运算：（其中m、n为常数），如 (1)填空：当，时， ； (2)若，，求的值． 56．已知 ． (1)求 的值； (2)求的值． 【题型15 零指数幂】 57．计算：． 58．计算： (1)； (2)； 59．计算： 60．计算：． 【题型16 计算单项式除以单项式】 61．计算：． 62．计算：． 63．计算：． 64．__________． 【题型17 用科学计数法表示数的除法】 65．2026年4月，我国自主研发的（级）超高强度碳纤维发布，这是全世界第一款量产的级碳纤维产品．超高强度碳纤维拉伸强度突破兆帕，普通钢材的拉伸强度约为兆帕．数据“”是“”的（     ） A．2倍 B．5倍 C．8倍 D．10倍 66．词元（Token）是大模型处理信息的最小信息单元，具有智能时代可计量、可定价、可交易的特征．2026年3月，中国日均词元调用量已突破Token.已知每消耗一度电大约可产出Token．由此估计，产出Token所消耗的电量用科学记数法表示为（   ） A．度 B．度 C．度 D．度 67．已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 68．2022年我国粮食总产量大约为．如果按我国人口人计算，那么人均粮食产量大约是__________． 【题型18 多项式除以单项式】 69．为举办山西文旅演艺晚会，工作人员在剧场设计一块长方形主舞台，已知舞台面积为，其中一条边长为，则这块长方形舞台的另一条边长为__________． 70．计算的结果是__________． 71．计算：． 72．计算： (1)； (2)． 【题型19 整式四则混合运算】 73．中国北宋数学家沈括在《梦溪笔谈》中提出“垛积术”，专门研究物品堆积的计数问题，有以下规律： “三角垛数” （表示层总数量） “长方垛数” （表示层总数量） “垛积和数” （表示层总数量） ， ， ， ， ， ， ， 如图所示： 将，与组成“垛积三元数”，部分三元数如下表： 第一组 第二组 第三组 第四组 第五组 三角垛数 1 3 6 长方垛数 3 8 15 垛积和数 4 11 21 (1)请补全上表中的垛积三元数，，； (2)观察表中数据，发现“垛积和数”同时满足两个规律：①；②．请用含正整数的代数式分别表示，，并证明这两个规律是等价的（即从其中一个规律可推导得到另一个规律）． 74．对于任意四个有理数a、b、c、d，定义一种新运算：． (1)______； (2)如图，四边形是正方形，边长，P在正方形内部，过点P分别作、的垂线与、、、相交于点E、F、G、H，连接、，，，且．求图中阴影部分的面积是多少？    75．定义新运算：． (1)试说明． (2)设整式C满足，求整式C． 76．“杨辉三角”是我国古代数学的杰出成就．南宋数学家杨辉借助三角数表，阐释了二项和（，2，3，4，…）展开式的系数规律，这一数表也因此得名．如下图，该三角形图表两条斜边上的数都是1，其余每个数为它的上方（左右）两数之和． 例如，此三角形中第3行的3个数1，2，1，恰好对应着展开式中的各项的系数；第4行的4个数1，3，3，1，恰好对应着展开式中各项的系数．利用上面的规律，完成以下问题： (1)请写出的展开式为 ； (2)的展开式中共有 项，从左往右第三项的系数是 ； (3)代数推理：已知x为整数，求证：能被24整除． 77．按如图所示的程序进行运算． (1)计算输出整式N的最简结果； (2)嘉嘉说：无论为何值，整式的值一定不超过．你认为嘉嘉的说法正确吗？请说明你的理由． 78．学习完整式的乘法运算之后，小辉同学对多项式除以多项式产生好奇，数学学习中有一种重要的思想方法：类比思维，是通过比较两个具有相同或相似特征的事物，从已知属性推测另一事物对应特征的思维活动．于是他类比小学数学中多位数的除法运算，进行了自主探究，做出如下归纳： ∴， ； 【及时应用】 (1)多项式除以多项式，所得的商式为 ，余式为 ． 【数形结合】 (2)已知体积为的长方体的高为，则该长方体的底面积为 ；   ． 【拓展提升】 (3)如图，有6张甲卡片，21张乙卡片，15张丙卡片，能否将这42张卡片拼成一个与原来总面积相等且一边长为的长方形？ ①小辉同学认为不能，请你说明理由； ②小雅同学认为只要减少 张 卡片（选填“甲”、“乙”或者“丙”）就可以拼成； ③小光同学认为也可以只增加 张 卡片（选填“甲”、“乙”或者“丙”）就可以拼成． 学科网（北京）股份有限公司 $