第二十六讲：分式的加法与减法（暑期预习衔接讲义）（知识总结梳理+4大考点典例精讲+变式训练+高频精炼）-2025-2026学年八年级数学上册（人教版2024）

【暑期预习衔接讲义】2025-2026学年人教版八年级数学上册 第二十六讲：分式的加法与减法 （知识总结梳理+4大考点典例精讲+变式训练+高频精炼） 知识点01：同分母分式的加减法 法则: 同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减 式子表示: ±＝ 知识点02：异分母分式的加减法 法则: 异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减 式子表示:±＝±＝ 一般步骤: (1)通分：将异分母分式转化为同分母分式； (2)加减：按照同分母分式加减运算的一般步骤进行计算. 注意异分母分式加减运算的关键是通分 知识点03：分式的混合运算 1. 分式的混合运算顺序：分式与分数的混合运算有相同的运算顺序，即先算乘方，再算乘除，然后算加减. 有括号时，先做括号内的运算，按照小括号、中括号、大括号的顺序进行，对于同级运算，按从左到右的顺序进行. 2. 进行分式混合运算的方法 (1)进行分式混合运算时，可以根据需要合理地运用运算律来简化运算，此时先将分式的乘除法统一成乘法，分式的加减法统一成加法，才能使用乘法运算律、加法运算律简化运算. (2)运算过程中及时约分化简，有时可使解题过程简单. (3)运算结果是最简分式或整式. 考点1：同分母分式的加减法 【典型例题】 化简的结果是（   ） A． B． C． D． 【变式训练1】 计算的结果是（   ） A． B． C．1 D．2 【变式训练2】 计算的结果是（    ） A．3 B．x C． D． 考点2：异分母分式的加减法 【典型例题】 计算的结果等于（   ） A．3 B．x C． D． 【变式训练1】 计算的结果等于（    ） A． B． C． D． 【变式训练2】 计算的结果等于（   ） A． B． C． D．1 考点3：分式加减混合运算 【典型例题】 化简的结果是（     ） A． B． C． D． 【变式训练1】 若，则（    ）中的数是（    ） A． B．1 C． D．任意实数 【变式训练2】 计算得（  ） A． B． C． D．2 考点4：分式式的化简求值 【典型例题】 如果，那么的值为（   ） A．1 B．1.5 C．2 D．3 【变式训练1】 已知，则 的值等于（       ） A．1 B．0 C． D． 【变式训练2】 已知，则的值为（    ） A．4 B．2 C． D． 一、单选题 1．计算的结果是（    ） A．3 B．x C． D． 2．化简的结果为（   ） A． B． C． D． 3．化简的结果是（   ） A． B． C． D． 4．已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 5．计算的结果是（   ） A． B．4 C．2 D． 6．如果，那么的值为（   ） A． B． C． D．1 7．已知，则的值是（    ） A． B． C． D． 8．化简的结果是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 9．计算： ． 10．计算：的结果是 ． 11．计算的结果是 12．计算的结果是 ． 13．已知，则分式的值为： ． 14．计算： ． 15．已知，则 ． 16．已知等式“”被墨迹覆盖了一部分，则被覆盖的部分是 ． 三、解答题 17．化简： (1) (2) 18．先化简，再求值：，其中． 19．以下是某同学化简分式：的部分运算过程： 解：原式① ② ③ 解： (1)上面的运算过程中第________步出现了错误； (2)请你写出完整的解答过程，并在“，0，2”中选择一个合适的数代入求值． 20．已知． (1)化简； (2)若是9的平方根，求此时的值． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【暑期预习衔接讲义】2025-2026学年人教版八年级数学上册 第二十六讲：分式的加法与减法 （知识总结梳理+4大考点典例精讲+变式训练+高频精炼） 知识点01：同分母分式的加减法 法则: 同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减 式子表示: ±＝ 知识点02：异分母分式的加减法 法则: 异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减 式子表示:±＝±＝ 一般步骤: (1)通分：将异分母分式转化为同分母分式； (2)加减：按照同分母分式加减运算的一般步骤进行计算. 注意异分母分式加减运算的关键是通分 知识点03：分式的混合运算 1. 分式的混合运算顺序：分式与分数的混合运算有相同的运算顺序，即先算乘方，再算乘除，然后算加减. 有括号时，先做括号内的运算，按照小括号、中括号、大括号的顺序进行，对于同级运算，按从左到右的顺序进行. 2. 进行分式混合运算的方法 (1)进行分式混合运算时，可以根据需要合理地运用运算律来简化运算，此时先将分式的乘除法统一成乘法，分式的加减法统一成加法，才能使用乘法运算律、加法运算律简化运算. (2)运算过程中及时约分化简，有时可使解题过程简单. (3)运算结果是最简分式或整式. 考点1：同分母分式的加减法 【典型例题】 化简的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查分式的加减运算．原式两个分式分母相同，直接合并后分子为，利用平方差公式分解后约分即可． 【详解】解：． 故选：D． 【变式训练1】 计算的结果是（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【分析】根据同分母分式的加法计算即可． 本题考查同分母分式的加法运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得， 故选：C． 【变式训练2】 计算的结果是（    ） A．3 B．x C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了分式的减法计算，同分母分式相减，分母不变，分子相减，然后对分子进行化简并约分即可得到答案． 【详解】解：， 故选A． 考点2：异分母分式的加减法 【典型例题】 计算的结果等于（   ） A．3 B．x C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式的加减运算，解题的关键是掌握运算法则进行解题．通过通分将两个分式合并，再化简得到结果． 【详解】解：原式 ． 故选：A． 【变式训练1】 计算的结果等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了异分母分式的减法，关键是通分化为同分母分式的减法，最后约分化简即可；把两个分母通分化为同分母分式，再把分子相减即可． 【详解】解：， 故选：D． 【变式训练2】 计算的结果等于（   ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】本题考查分式的加法运算，先通分化为同分母，再进行计算，最后约分化简即可． 【详解】解：原式 ； 故选A． 考点3：分式加减混合运算 【典型例题】 化简的结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据分式的运算法则即可求出答案． 【详解】解： ， 故选：B． 【点睛】本题考查了分式的运算，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型． 【变式训练1】 若，则（    ）中的数是（    ） A． B．1 C． D．任意实数 【答案】A 【分析】将看成差，将看成减数，用差加上减数即可求出被减数的值． 【详解】解： ＝ ＝ ＝ ＝． 故选：A． 【点睛】本题主要考查分式的加减，熟练掌握分式的加减的运算法则是解题的关键． 【变式训练2】 计算得（  ） A． B． C． D．2 【答案】D 【详解】试题分析： ＝ ＝ ＝ ＝ ＝2． 故选D． 点睛：本题考查了分式的加减运算，解决此题的关键是把4b－a转化为－(a－4b)． 考点4：分式式的化简求值 【典型例题】 如果，那么的值为（   ） A．1 B．1.5 C．2 D．3 【答案】D 【分析】本题考查了分式求值，根据题意得出代入分式进行计算即可求解． 【详解】解：∵ ∴，即 ∴ 故选：D． 【变式训练1】 已知，则 的值等于（       ） A．1 B．0 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查分式的化简求值，非负数的性质，把所给等式整理为2个完全平方式的和为0的形式是解决本题的突破点；用到的知识点为：2个完全平方式的和为0，这2个完全平方式的底数为0． 把所给等式整理为2个完全平方式的和为0的形式，得到，的值，代入求值即可． 【详解】解：由，得 ， 则，， ． 故选：C． 【变式训练2】 已知，则的值为（    ） A．4 B．2 C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了分式化简求值．已知等式左边通分并利用同分母分式的加法法则计算，得出关系式，所求式子变形后代入计算即可求出值． 【详解】解：∵，即， 则 ． 故选：C． 一、单选题 1．计算的结果是（    ） A．3 B．x C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式的减法运算．由于两个分式分母相同，可直接将分子相减，再约分即可． 【详解】解： ． 故选：A． 2．化简的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式的加减运算，解题的关键是异分母分式相加减时必须先通分，把异分母化为同分母分式然后再相加减．还要注意去括号法则，括号前面是负号，去掉括号和负号，括号里面各项都变号． 将两个分式通分后合并，利用平方差公式分解分子并化简． 【详解】解：原式 ， 故选：C． 3．化简的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式的加减乘除混合运算．括号内先通分，再利用同分母分式的减法法则计算，再将分式除法运算转化为乘法，通过约分和因式分解化简表达式． 【详解】解； ． 故选：A． 4．已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查分式的求值．解题关键是将比例式转化为与的关系，再代入分式中化简． 设，将和用表示，从而代入简化计算． 【详解】根据比例式，设，代入分式： ， 答：A． 5．计算的结果是（   ） A． B．4 C．2 D． 【答案】D 【分析】本题考查分式的加法，根据同分母分式的加法运算，然后化简解答即可． 【详解】解：， 故选：D． 6．如果，那么的值为（   ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】本题主要考查了分式的加减，解题关键是熟练掌握分式的通分与约分．先把已知条件中的等式中的分式进行通分，把用表示出来，再利用完全平方公式把所求分式的分子和分母展开，写成含有的形式，再把换成，进行约分即可． 【详解】解：， ， ， ， ， 故选：A． 7．已知，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了解分式化简求值，解决本题的关键是根据等式的性质把进行变形，得到：，再把等式的两边同时除以即可得到结果． 【详解】解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 等式两边同时除以可得：． 8．化简的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式的减法，掌握异分母分式加减法的运算法则是解题关键．先将分母变为相同，再进行减法，然后利用平方差公式约分化简即可． 【详解】解： ， 故选：A． 二、填空题 9．计算： ． 【答案】1 【分析】本题考查了异分母分式的加减法． 先根据完全平方公式和平方差公式变形后约分，再计算分式的加法即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 10．计算：的结果是 ． 【答案】1 【分析】本题考查了分式的减法，熟练掌握分式的减法法则是解题关键．直接根据分式的减法法则计算即可得． 【详解】解：原式 ， 故答案为：1． 11．计算的结果是 【答案】2 【分析】本题考查了同分母分式的加减．直接利用同分母分式的加减的运算法则计算即可． 【详解】解： ， 故答案为：2． 12．计算的结果是 ． 【答案】 【分析】本题考查了异分母分式的加减运算；根据加减运算法则计算化简即可． 【详解】解： 故答案为： 13．已知，则分式的值为： ． 【答案】7 【分析】本题主要考查了异分母分式加减法，和分式的化简，以及利用整体代入法求值．熟练掌握分式的通分和约分是解题的关键． 由得，然后利用整体代入法代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴ ． 故答案为：7 14．计算： ． 【答案】1 【分析】本题考查分式的加减，根据同分母的分式减法法则计算即可． 【详解】解：， 故答案为：1． 15．已知，则 ． 【答案】/ 【分析】本题考查分式的化简，设，，代入化简即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴． 故答案为：． 16．已知等式“”被墨迹覆盖了一部分，则被覆盖的部分是 ． 【答案】 【分析】本题考查分式的减法运算，用被减数减去差，求出减数即可． 【详解】解：； 故答案为：． 三、解答题 17．化简： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式的加减运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据同分母的分式相减法则进行计算，即可作答． （2）先通分，再根据同分母的分式相加法则进行计算，即可作答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 18．先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【分析】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解题的关键． 先进行括号内分式的减法计算，再将除法化为乘法计算，直至化为最简分式，最后代入求值即可． 【详解】解： 当时，． 19．以下是某同学化简分式：的部分运算过程： 解：原式① ② ③ 解： (1)上面的运算过程中第________步出现了错误； (2)请你写出完整的解答过程，并在“，0，2”中选择一个合适的数代入求值． 【答案】(1)③； (2)过程见解析，． 【分析】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式的混合运算法则是解题的关键． （1）根据分式的加减法法则即可判断； （2）先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将分式有意义的值代入计算即可． 【详解】（1）解：上面的运算过程中第③步出现了错误；错误的原因是没有给添括号， 故答案为：③； （2）解： ， ， 当时，原式． 20．已知． (1)化简； (2)若是9的平方根，求此时的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查分式的化简求值，平方根的定义，掌握乘法公式，分式的性质，分式的混合混合法则是解题的关键． （1）根据乘法公式，分式的性质，分式的混合运算即可求解； （2）根据平方根的定义求出，结合分式有意义的条件得到，再代入化简后的计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：∵是9的平方根， ∴， ∵且， ∴且， ∴， 此时，． 学科网（北京）股份有限公司 $$