精品解析：云南昭通一中教研联盟2025-2026学年高二下学期期末考试数学（B卷）

昭通一中教研联盟2026年春季学期高二年级期末考试 数学（B卷） 命题单位：昭通市第一中学高一数学备课组 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.第Ⅰ卷第1页至第3页，第Ⅱ卷第3页至第4页.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟. 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 注意事项： 1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚. 2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效. 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 复数的共轭复数为（ ） A. B. C. D. 3. 已知双曲线的一个焦点坐标为，则（ ） A. 3 B. 6 C. D. 9 4. 为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有点的（ ） A. 纵坐标变为原来的倍（横坐标不变） B. 横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变） C. 横坐标变为原来的倍（纵坐标不变） D. 纵坐标变为原来的2倍（横坐标不变） 5. 某学校为培养学生创新精神和实践能力，组织了一次“科技小发明”竞赛活动，并对100位参赛学生的综合表现进行评分，评分的频率分布直方图如图，这组数据的平均数和中位数的大小关系为（ ） A. 平均数=中位数 B. 平均数<中位数 C. 平均数>中位数 D. 无法确定 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数的定义域为，且，，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 8. 记为数列的前项和，设甲：为等差数列；乙：为等差数列，则（ ） A. 甲是乙的充分条件但不是必要条件 B. 甲是乙的必要条件但不是充分条件 C. 甲是乙的充要条件 D. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列结论正确的是（ ） A. 随机变量X服从二项分布，则 B. 相关系数r的绝对值越小，两个变量之间的线性相关性越弱 C. 在线性回归分析中，若的值越大，则模型的拟合效果越好 D. 随机变量X服从正态分布，且，则 10. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，，，则（ ） A. B. 为钝角三角形 C. 的面积为 D. 外接圆的面积为 11. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，点P在C上，且，的最大值为3，则下列结论正确的是（ ） A. 椭圆C的离心率为 B. 的周长为 C. 当P为椭圆短轴端点时，的面积最大 D. 的最大值为 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 注意事项： 第Ⅱ卷用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 若直线是圆的一条对称轴，则______________． 13. 已知向量，满足，，则______________． 14. 棱台上下底面均为有一个内角是的菱形，且上下底面边长分别为4和6，高为，则该棱台的体积为______________． 四、解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 如图，在直三棱柱中，，，D，E分别为，的中点． （1）证明：平面； （2）设，求直线到平面的距离． 16. 为研究某疾病与超声波检查结果的关系，从做过超声波检查的人群中随机调查了100人，得到如下列联表： 超声波检查结果 组别 正常 不正常 合计 患该疾病 2 18 20 未患该疾病 78 2 80 合计 80 20 100 （1）记超声波检查结果不正常者患该疾病的概率为p，求p的估计值； （2）根据小概率值的独立性检验，分析超声波检查结果是否与患该疾病有关． 附， 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 17. 在数列中，，，． （1）证明数列为等比数列，并求的通项公式； （2）求的前n项和． 18. 已知函数． （1）讨论函数的单调性； （2）若与有两个交点，求实数a的取值范围． 19. 已知坐标平面内一动点P到定点的距离等于到定直线的距离． （1）求动点P的轨迹E的方程； （2）设O为坐标原点，过点的直线m交E于A，B两点，求证：是直角三角形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 昭通一中教研联盟2026年春季学期高二年级期末考试 数学（B卷） 命题单位：昭通市第一中学高一数学备课组 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.第Ⅰ卷第1页至第3页，第Ⅱ卷第3页至第4页.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟. 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 注意事项： 1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚. 2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效. 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由交集的运算即可求解. 【详解】由题意得. 2. 复数的共轭复数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由复数的除法运算结合共轭复数的概念即可求解. 【详解】因为， 所以. 3. 已知双曲线的一个焦点坐标为，则（ ） A. 3 B. 6 C. D. 9 【答案】D 【解析】 【详解】双曲线的标准方程为其中 设双曲线的焦距参数为 ，则 已知一个焦点坐标为 ，所以 因此 4. 为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有点的（ ） A. 纵坐标变为原来的倍（横坐标不变） B. 横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变） C. 横坐标变为原来的倍（纵坐标不变） D. 纵坐标变为原来的2倍（横坐标不变） 【答案】C 【解析】 【分析】由指数的运算法则结合函数的图像变换即可求解. 【详解】因为，所以将函数的图象上所有点的横坐标变成原来的倍，纵坐标不变，即可得到函数的图象. 5. 某学校为培养学生创新精神和实践能力，组织了一次“科技小发明”竞赛活动，并对100位参赛学生的综合表现进行评分，评分的频率分布直方图如图，这组数据的平均数和中位数的大小关系为（ ） A. 平均数=中位数 B. 平均数<中位数 C. 平均数>中位数 D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】法一：根据给定的频率分布计算中位数，平均数，再根据它们的大小关系判断数据的分布形态；法二：通过偏态性质判断. 【详解】法一：组距为，先计算累计频率： 频率：， 频率：，累计， 频率：，累计， 频率：，累计， 频率：，累计， 此中位数在内，计算得：中位数， 根据平均数公式可得： ， ，即平均数中位数， 法二：通过偏态性质判断，该直方图长尾在左侧（左偏/负偏分布）， 左偏分布满足平均数中位数众数，则平均数小于中位数. 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由题意得因为所以即 由两角和的正切公式得 代入，得 7. 已知函数的定义域为，且，，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】对于抽象函数使用赋值法先求出，再次赋值后即可求得的值. 【详解】令可得，所以， 令可得，所以. 8. 记为数列的前项和，设甲：为等差数列；乙：为等差数列，则（ ） A. 甲是乙的充分条件但不是必要条件 B. 甲是乙的必要条件但不是充分条件 C. 甲是乙的充要条件 D. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】利用充分条件、必要条件的定义及等差数列的定义，再结合数列前n项和与第n项的关系推理判断作答.， 【详解】方法1，甲：为等差数列，设其首项为，公差为， 则， 因此为等差数列，则甲是乙的充分条件； 反之，乙：为等差数列，即为常数，设为， 即，则，有， 两式相减得：，即，对也成立， 因此为等差数列，则甲是乙的必要条件， 所以甲是乙的充要条件，C正确. 方法2，甲：为等差数列，设数列的首项，公差为，即， 则，因此为等差数列，即甲是乙的充分条件； 反之，乙：为等差数列，即， 即，， 当时，上两式相减得：，当时，上式成立， 于是，又为常数， 因此为等差数列，则甲是乙的必要条件， 所以甲是乙的充要条件. 故选：C 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列结论正确的是（ ） A. 随机变量X服从二项分布，则 B. 相关系数r的绝对值越小，两个变量之间的线性相关性越弱 C. 在线性回归分析中，若的值越大，则模型的拟合效果越好 D. 随机变量X服从正态分布，且，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用二项分布的方差公式计算可判断A；利用相关系数的性质可判断B；利用决定系数的性质可判断C；根据正态密度曲线的对称性可判断D. 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，相关系数r的绝对值越小，两个变量之间的线性相关性越弱，故B正确； 对于C，在线性回归分析中，若的值越大，则模型的拟合效果越好，故C正确； 对于D，正态曲线关于直线对称，且，则，故D正确． 10. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，，，则（ ） A. B. 为钝角三角形 C. 的面积为 D. 外接圆的面积为 【答案】AB 【解析】 【分析】基于已知的三边长，综合运用余弦定理、正弦定理以及三角形面积公式，逐一计算并验证各选项即可. 【详解】对于A，由余弦定理知，因为，所以，A正确； 对于B，因为，所以B最大，由余弦定理知， 所以，故为钝角三角形，B正确； 对于C，的面积，C错误； 对于D，因为，所以外接圆的半径， 所以外接圆的面积为，D错误. 11. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，点P在C上，且，的最大值为3，则下列结论正确的是（ ） A. 椭圆C的离心率为 B. 的周长为 C. 当P为椭圆短轴端点时，的面积最大 D. 的最大值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】由题设列式求出、、根据椭圆的离心率公式计算可判断A；结合椭圆的定义求出的周长即可判断B；设由可判断C；利用余弦定理以及椭圆的定义，结合基本不等式可判断D. 【详解】由题可知，得；因为的最大值为，所以，得，故 对于A选项,离心率，A选项正确； 对于B选项,由椭圆的定义可得的周长，B选项错误； 对于C选项,设，因为，所以当P为椭圆短轴端点时，的面积最大，故C选项正确； 对于D选项，设，由余弦定理可得 ，当且仅当时，即当点P位于短轴端点时，等号成立， 又因为余弦函数在上为减函数，且，故， 即当P为椭圆短轴端点时，取得最大值，故D选项正确． 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 注意事项： 第Ⅱ卷用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 若直线是圆的一条对称轴，则______________． 【答案】2 【解析】 【详解】由题可知圆心为，因为直线是圆的对称轴，所以圆心在直线上， 即，解得． 13. 已知向量，满足，，则______________． 【答案】0 【解析】 【分析】由向量数量积的运算律结合条件即可求解. 【详解】由题意得，则， 整理得， 即. 14. 棱台上下底面均为有一个内角是的菱形，且上下底面边长分别为4和6，高为，则该棱台的体积为______________． 【答案】 【解析】 【分析】分别求出棱台的上底面面积和下底面面积，再根据棱台的体积公式求得该棱台的体积. 【详解】上底面面积为， 下底面面积为， 由棱台体积公式可得：． 四、解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 如图，在直三棱柱中，，，D，E分别为，的中点． （1）证明：平面； （2）设，求直线到平面的距离． 【答案】（1）如图1，连接， 图1 在中，分别为,中点， ∴． ∵平面，平面， ∴平面． （2）1 【解析】 【分析】（1）利用三角形的中位线证得线线平行，进而根据线面平行的判定定理得出线面平行 （2）利用第一问的线面平行性质将“线面距离”转化为“点面距离”，再通过作辅助线构建垂直关系，找出并计算出垂线段DF的长度. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ， 在中，，， 过点作，如图2，则有，且为的中点， 图2 则点为中点，，， 因为是直三棱柱，所以平面， 因为平面，所以， 平面， 所以平面， 由上知平面， 所以到面的距离即为． 16. 为研究某疾病与超声波检查结果的关系，从做过超声波检查的人群中随机调查了100人，得到如下列联表： 超声波检查结果 组别 正常 不正常 合计 患该疾病 2 18 20 未患该疾病 78 2 80 合计 80 20 100 （1）记超声波检查结果不正常者患该疾病的概率为p，求p的估计值； （2）根据小概率值的独立性检验，分析超声波检查结果是否与患该疾病有关． 附， 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 【答案】（1） （2）超声波检查结果与患该病有关 【解析】 【分析】（1）从列联表中得到“检查不正常”的样本总数以及其中的“患病”人数，通过计算两者比值来得出概率的估计值. （2）建立“检查结果与患病无关”的零假设，代入公式计算卡方值，并与给定的临界值比较大小即可求解. 【小问1详解】 根据表格可知，检查结果不正常的人中有人患病， 所以的估计值为． 【小问2详解】 零假设为：超声波检查结果与患病无关， 根据表中数据可得，， 根据小概率值的独立性检验，推断不成立， 即认为超声波检查结果与患该病有关，该推断犯错误的概率不超过. 17. 在数列中，，，． （1）证明数列为等比数列，并求的通项公式； （2）求的前n项和． 【答案】（1）由题意得，即，因此数列是以为首项，为公比的等比数列． . （2） 【解析】 【分析】（1）由递推关系构造等比数列即可证明，结合等比数列的通项公式即可求得的通项公式. （2）使用分组求和分别求出等比数列的前项和与常数的前项和，将其相加即可. 【小问1详解】 即，所以. 【小问2详解】 由上知， 则 . 18. 已知函数． （1）讨论函数的单调性； （2）若与有两个交点，求实数a的取值范围． 【答案】（1）当时，的单调递增区间为，当时，的单调递增区间为，单调递减区间为． （2） 【解析】 【分析】（1）先求导并明确函数的定义域，再以a的取值进行分类讨论，通过判断导函数的符号来确定函数的单调区间. （2）结合第一问的单调性结论排除一直单调递增的情况，利用零点存在性定理，将“函数有两个交点”的条件转化为“函数极小值严格小于零且区间端点趋于正无穷”的不等式问题进行求解. 【小问1详解】 函数的定义域为，， 当时，恒成立， 当时，令，得；令，得， 综上， 当时，的单调递增区间为， 当时，的单调递增区间为，单调递减区间为． 【小问2详解】 由（1）可知当时，在单调递增，不可能存在2个零点，不满足题意； 当时，在单调递增，在单调递减， 当时，，时，， 要有两个交点，则的最小值，解得， 所以． 19. 已知坐标平面内一动点P到定点的距离等于到定直线的距离． （1）求动点P的轨迹E的方程； （2）设O为坐标原点，过点的直线m交E于A，B两点，求证：是直角三角形． 【答案】（1） （2）设，分两类情况： 第一种：直线垂直于轴，其方程为， 联立，解得， 此时， 所以，是直角三角形； 第二种：直线不垂直于轴， 设直线，联立得， ， 由韦达定理得， ， 即， 因为， 所以，所以为直角三角形． 【解析】 【分析】（1）利用抛物线的定义，将动点到定点与定直线距离相等的关系直接转化为抛物线的轨迹方程. （2）分类讨论直线的斜率，通过联立直线与抛物线方程并借助韦达定理得到向量数量积为零，以此证明即可. 【小问1详解】 由抛物线定义可知，点轨迹是以为焦点，以为准线的抛物线， 设的方程为：，则，即， 所以动点的轨迹的方程为. 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $