3.1.1函数的概念（分层作业·练知识）高一数学人教A版必修第一册

**基本信息** 高中数学“函数的表示”同步练，采用A/B/C组+高考拓展四层设计，以单一知识点巩固为基础，逐步过渡到综合应用与高考衔接，培养数学抽象、运算推理及应用意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A组|11个单一知识点（函数关系判断、定义域、值域等）|选择填空为主，聚焦概念理解与基础运算，如函数关系判断结合图像辨析| |B组|跨知识点综合应用|含多选与解答题，如定义域与值域综合问题，培养推理能力| |C组|复杂问题与创新题型|涉及高斯函数等情境，提升数学抽象与问题解决能力| |拓展|高考真题|对接高考考点，如定义域、函数性质题，强化应用意识|

分层作业 3.1.1函数的概念 目 录 A组 巩固过关 知识点01 函数关系的判断 知识点02 求函数值和已知函数值求参 知识点03 具体函数的定义域 知识点04 抽象函数的定义域 知识点05 复合函数中的定义域 知识点06 判断两个函数是否相等 知识点07 常见（一次、二次、反比例函数等）的函数值域 知识点08 分式型函数 知识点09 换元法 知识点10 判别式法 知识点11 已知函数值域求参 B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接高考 ( 知识点0 1 )函数关系的判断 1．（25-26高一上·安徽铜陵·期末）已知集合，下列对应关系不能视作函数的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数的定义，逐一分析各个选项，即可得答案. 【详解】由函数的定义得，设A，B为非空数集，如果A中任意一个元素x，按照某种对应关系，在B中都有唯一确定的元素y与之对应，则能视作函数. 选项A：，当时，， 当时，， 当时，，满足函数定义，不符合题意； 选项B：，当时，， 当时，， 当时，，满足函数定义，不符合题意； 选项C：，当时，， 当时，， 当时，，满足函数定义，不符合题意； 选项D：，当时，无意义，不满足函数定义，符合题意. 故选：D 2．（24-25高一上·贵州遵义·阶段检测）下列图形可作为函数图象的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数的定义即可判断. 【详解】对于C，满足函数的定义，所以可以作为函数的图象， 对于A、B、D均存在使得一个对应两个及两个以上的值，不符合函数的定义，所以不能作为函数的图象. 故选：C. 3．（25-26高一上·贵州·期末）下列四个图形中，不是以为自变量的函数的图象是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由函数定义知，定义域内的每一个都有唯一函数值与之对应，逐个判断即可. 【详解】由函数定义知，定义域内的每一个都有唯一函数值与之对应， ABD选项中的图象都符合；C项中对于大于零的而言，有两个不同的值与之对应，不符合函数定义. 故选：C. 4．（25-26高一上·江西抚州·期中）设集合，，那么下面的个图形中，能表示集合到集合的函数关系的有（ ） A．①②③④ B．①②③ C．②③ D．② 【答案】C 【分析】由函数的定义逐项判断即可. 【详解】由题意知，函数的定义域为，值域为， 对于①中，函数的定义域不是集合，所以①不正确； 对于②中，函数的定义域为集合，值域为集合，能表示集合到集合且以集合为值域的函数关系，所以②正确； 对于③中，集合的每个元素在集合N中都有唯一函数值对应，所以③正确； 对于④中，集合中的元素在集合中对应两个函数值，不符合函数的定义，所以④不正确. 故选：C. ( 知识点0 2 )求函数值和已知函数值求参 1．（24-25高一上·辽宁辽阳·期中）已知函数，且，则（ ） A． B．3 C． D．17 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用赋值法代入计算得解. 【详解】函数，令，则，而， 所以. 故选：B 2．（25-26高一上·新疆伊犁·期末）已知，则__________． 【答案】13 【分析】根据给定函数关系，赋值计算得解. 【详解】函数，由，得， 所以. 故答案为：13 3．（25-26高一上·广西贵港·阶段检测）已知函数，若，则________． 【答案】 【分析】由解析式展开求解即可. 【详解】依题意得， 即，解得． 故答案为： 4．（25-26高一上·甘肃兰州·阶段检测）若对任意x，恒成立，且，则____________. 【答案】 【分析】利用赋值法进行求解即可. 【详解】在中，令， 则， 因为， 所以. 故答案为： ( 知识点0 3 )具体函数的定义域 1．（25-26高一上·山西晋城·期末）函数的定义域为（ ） A． B．或 C． D．或或 【答案】D 【分析】根据函数要有意义列出不等式组解出即可. 【详解】由题意函数要有意义则：，解得， 即函数的定义域为或或， 故选：D． 2．（25-26高一上·广西钦州·期末）函数的定义域为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数解析式有意义可得出关于的不等式组，即可解得函数的定义域. 【详解】对于函数，有，解得且， 故函数的定义域为. 故选：B. 3．（25-26高一上·四川凉山·期末）函数的定义域是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由定义域的概念可得联立不等式组，计算可得结果. 【详解】由题意知，解得且，所以定义域为. 故选：D. 4．（25-26高一上·江苏扬州·期中）函数的定义域为__________. 【答案】 【分析】根据使函数有意义得到，即可求出函数的定义域. 【详解】对于函数，可得，解得且， 所以函数的定义域为. 故答案为：. ( 知识点0 4 )抽象函数的定义域 1．（25-26高一上·广东深圳·阶段检测）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求解出的取值范围，然后根据括号内的整体范围相同可求的定义域. 【详解】因为的定义域为，所以中， 所以， 在中令，解得， 所以的定义域为. 故选：B. 2．（25-26高一上·陕西渭南·阶段检测）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据定义域的定义，即可由不等式求解. 【详解】由于的定义域为，故，则， 因此，解得， 所以的定义域为 故选：A 3．（25-26高一上·湖南长沙·期末）已知函数的定义域为，则函数的定义域为__________. 【答案】 【分析】由已知先求出的定义域，即可求出的定义域. 【详解】因为的定义域为， 则，即得，所以的定义域为， 由可得，解得，所以的定义域为. 故答案为：. 4．（25-26高一上·安徽阜阳·期末）已知函数的定义域为，则函数的定义域为_________. 【答案】 【分析】由的定义域为，得到的定义域为，进而得到的定义域为. 【详解】因为的定义域为，所以，所以 则的定义域为，故对于，令解得. 故的定义域为. 故答案为：. ( 知识点0 5 )复合函数中的定义域 1．（25-26高一上·江西赣州·期末）若函数的定义域是，则函数的定义域是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意可得出关于的不等式组，由此可解得函数的定义域. 【详解】由题可得：,解得：， 所以函数的定义域是, 故选：B 2．（25-26高一上·山西朔州·期末）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由函数的定义域求解的定义域，再结合函数求解定义域. 【详解】因为函数的定义域为，即，所以， 所以的定义域为，又，则， 所以，因此函数的定义域为， 故选：C． 3．（25-26高一下·河北保定·阶段检测）若函数的定义域为，则函数的定义域为__________. 【答案】 【详解】在中，，则， 所以函数中，解得. 4．（25-26高一上·四川广安·期末）已知函数的定义域为，则函数的定义域为_____________． 【答案】 【分析】根据函数定义域的求法求得正确答案. 【详解】依题意，函数的定义域为， 所以对于函数，有， 解得，所以函数的定义域为. 故答案为： ( 知识点0 6 )判断两个函数是否相等 1．（25-26高一上·广西河池·期末）下列表示为同一个函数的是（ ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】利用相同函数的定义逐项判断得解. 【详解】对于A，函数的定义域为R，函数的定义域为，A不是； 对于B，函数与的定义域都为R，且对应法则相同，B是； 对于C，函数的值域为，函数的值域为R，C不是； 对于D，函数的定义域为R，函数的定义域为，D不是. 故选：B 2．（25-26高一上·贵州铜仁·期末）下列函数中，与函数是同一个函数的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据同一函数定义域，值域，解析式相同分别判断各个选项即可. 【详解】函数的定义域为，值域为， 对于A，，定义域为，值域为， 即与函数是同一个函数，故A正确； 对于B，，值域为，值域不同，故B错误； 对于C，，定义域为，定义域不同，故C错误； 对于D，，定义域为，定义域不同，故D错误． 故选：A． 3．（25-26高一上·广西北海·期末）下列各组中的两个函数是同一个函数的是（ ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】根据函数的三要素判断即可. 【详解】对于A，函数的定义域为，函数的定义域为，所以两个函数不是同个一函数，所以A错误； 对于B，根据绝对值的含义，，所以与是同一个函数，所以B正确； 对于C，函数，其定义域为，函数的定义域为，所以两个函数不是同一个函数，所以C错误； 对于D，函数与的对应关系不同，所以不是同一个函数，所以D错误. 故选：B. 4．（25-26高一上·广东肇庆·期末）下列四组函数中，表示同一个函数的一组是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据同一函数的定义，分别逐一求解、验证定义域和对应法则是否相同，即可得到结论． 【详解】对于A中，函数的定义域为，函数的定义域为，定义域不相同，所以不是同一个函数； 对于B中，函数和的定义域都是，对应法则相同，所以是同一个函数； 对于C中，函数的定义域为，函数的定义域为，定义域不相同，所以不是同一个函数； 对于D中，函数的定义域为，的定义域为，定义域不相同，所以不是同一个函数. 故选：B ( 知识点0 7 )常见（一次、二次、反比例函数等）的函数值域 1．（25-26高一上·浙江台州·期末）若函数的定义域为，则此函数的值域为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据定义域求出的范围，即可求解. 【详解】函数的定义域为，则,或, 当时，， 当时，, 综上，函数的值域为 故选：D 2．（22-23高一下·贵州黔西南·期末）函数在上的最小值是（ ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用均值不等式直接计算作答. 【详解】因为，所以，当且仅当，即时取等号， 所以函数在上的最小值是3. 故选：D 3．（24-25高一下·贵州黔南·期末）函数的函数值表示不超过x的最大整数，例如，，则函数的值域为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据取整函数的定义求函数的值域. 【详解】设，其中，为的小数部分，则， 则， 所以函数的值域为：. 故选：A 4．（22-23高三上·辽宁辽阳·期末）已知函数的值域是，则_________． 【答案】 【分析】配方后，结合二次函数的值域，列出方程，求出答案. 【详解】， 故，解得． 故答案为： ( 知识点0 8 )分式型函数 1．（24-25高一上·河北石家庄·期中）函数的值域是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分离常数可得函数单调性，进而可得值域. 【详解】由已知函数定义域为， 且， 则， 即， 故选：C. 2．（25-26高一上·河南·期中）函数在区间上的值域为______. 【答案】 【分析】采用分离常数的方法，结合反比例函数的值域可求得结果. 【详解】，因为，所以， 所以，所以， 所以，即， 所以的值域为. 故答案为：. 3．（24-25高二下·广西南宁·期末）若，则函数的值域为__________． 【答案】 【分析】化简函数解析式为，结合基本不等式可求得函数的值域. 【详解】因为，则， 所以 ， 当且仅当时，即当时，等号成立， 因此，的值域为. 故答案为：. 4．（24-25高二下·吉林长春·期末）函数在上的值域为___________. 【答案】 【分析】根据给定条件，按分类，结合基本不等式求出值域. 【详解】当时，； 当时，令，，则， ，当且仅当，即时取等号，此时， 所以所求值域为. 故答案为： ( 知识点09 )换元法 1．（24-25高一上·江苏扬州·期中）函数的值域为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用换元法并根据二次函数性质计算可得结果. 【详解】令，则可得，即， 可得， 当时，取得最大值2，即； 所以其值域为. 故选：A 2．（25-26高一上·四川达州·期中）函数的值域为________. 【答案】 【分析】令，转换成二次函数即可求解. 【详解】令，则， 的图像开口向下，对称轴， ∴在上是减函数， ， 所以的值域为. 故答案为： 3．（25-26高一上·天津·期中）函数的值域为_____. 【答案】 【分析】利用换元法，转化为二次函数在给定区间上求值域即可. 【详解】令，则， 所以，， 所以，即函数的值域为. 故答案为：. 4．（25-26高一上·江苏盐城·期中）函数的值域为______． 【答案】 【分析】令，转换成二次函数值域问题求解. 【详解】令，则，， 因为，开口向上且对称轴为， 所以在上是增函数，所以， 所以的值域为. 故答案为： ( 知识点10 )判别式法 1．（23-24高一上·四川宜宾·期中）函数的值域是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】对函数分离常数，借助基本不等式，分三种情况讨论即可. 【详解】结合题意：， 当时，； 当时，，当且仅当， 即，原式取得最小值； 另一方面，因为，所以，即; 当时，， 当且仅当，即，原式取得最大值; 另一方面因为， 令，则，所以，所以 所以，即; 综上所述：函数的值域是. 故选：A. 2．（25-26高一上·上海徐汇·期末）函数的值域为______． 【答案】 【分析】函数的定义域为，令，将问题转化为，再分，，三种情况，结合基本不等式求解即可. 【详解】因为，所以函数的定义域为 ， 令，则，代入解析式得：， 当时，， 当时， 当时，，当且仅当，即时等号成立，故，； 当时,,则，当且仅当，即时等号成立，故，； 综上，的值域为，即函数的值域为 故答案为： 3．（2024高三·全国·专题练习）求函数的最大值为__________；最小值为_________________. 【答案】最大值为，最小值为 【分析】将函数式化成关于的方程，且方程有解，用根的判别式求出的取值范围，即得函数的最大值和最小值． 【详解】设恒成立，所以定义域为R， 则， 当时，； 当时，视其为关于x的一元二次方程，且方程有根， 则判别式，解得且， 所以函数的最大值为，最小值为. 4．（25-26高三·全国·一轮复习）求下列函数的值域： (1)； (2). 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将函数化为，利用基本不等式即可求解； （2）将函数化为，先求出的范围即可求出函数的值域. 【详解】（1）因为，所以，所以，当且仅当时取等号，所以函数的值域为. （2）由，得， 由，得， 所以， 所以函数的值域为. ( 知识点11 )已知函数值域求参 1．（25-26高一上·湖北武汉·期中）已知函数的值域为，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数的值域为可得有解，从而有，即可得实数的取值范围. 【详解】函数的值域为， 则有解，所以，解得或， 故实数的取值范围为. 故选：B. 2．（25-26高一上·福建福州·期中）函数的值域为，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】讨论二次项系数，要使值域为，可得，解不等式组即可求解. 【详解】当时，，则恒成立，显然不符合题意； 要使函数的值域为， 需使，解得. 故的取值范围是. 故选：D 3．（23-24高一上·福建福州·阶段检测）已知函数的定义域是，值域为，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合二次函数知识及题意画出图形，数形结合可得答案． 【详解】结合题意：函数 所以图象是开口向上的抛物线,其对称轴方程为， 所以，易知：， 由图可知,要使函数的定义域是，值域为， 则的取值范围是， 故选：B. 4．（23-24高一上·山东济南·期中）已知函数的定义域与值域均为，则实数的取值为（ ） A．-4 B．-2 C．1 D．-1 【答案】A 【分析】依题意知的值域为，则方程的两根为或，可得，，从而确定当时，取得最大值为，进而解得. 【详解】依题意，的值域为，且的解集为， 故函数的开口向下，， 则方程的两根为或， 则，，即， 则， 当时，取得最大值为， 即，解得：. 故选：A. 5．（22-23高一上·江苏苏州·期中）已知函数，.若存在，，使得，则实数a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出与值域，由题意可知，由此即可求解 【详解】时单调递增函数， 的值域是， 的对称轴是，在上，函数单调递减， 的值域是， 因为存在，，使得， 所以, 若，则或， 解得或， 所以当时，， 故选：A 一、单选题 1．（25-26高一上·内蒙古呼和浩特·期中）已知集合，集合，则下列图象能表示以为定义域，为值域的函数是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，利用函数的定义，结合选项，逐项分析判断，即可求解. 【详解】对于A，由函数的定义，选项A可以表示定义域为，值域为的函数，所以A符合题意； 对于B，由函数的定义，选项B表示定义域为，值域为的函数，所以B不符合题意； 对于C，选项C中存在，有两个与之对应，不符合函数的定义，所以选项C不能表示函数，所以C不符合题意； 对于D，选项D中，当时，，所以选项D不能表示函数，所以D不符合题意. 故选：A. 2．（2026·山西忻州·模拟预测）已知函数，.若，则（ ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【详解】由条件可知，，即，，得， 解得：. 3．（24-25高一上·福建漳州·阶段检测）函数的定义域为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由解析式有意义列出不等式，解得函数定义域． 【详解】由题可知且， 所以函数的定义域为. 故选：D． 4．（25-26高一上·河北雄安·期末）下列各组函数不是同一个函数的是（ ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【分析】利用相等函数的定义从函数三要素角度分析即可. 【详解】对于A，当为奇数时，， 所以，与对应关系和定义域相同，故是同一个函数； 对于B，为偶数时，，所以， 与对应关系和定义域相同，故是同一个函数； 对于C，与都可化为， 且定义域均为，故是同一个函数； 对于D，与的定义域都是， 是关于的二次函数，而是关于的函数， 当时为一次函数，当时为常数函数， 两函数对应关系不相同，故不是同一个函数. 故选：D. 5．（25-26高一下·云南昆明·期中）若函数定义域为，则函数的定义域为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由复合函数、分式函数和根式函数定义域的求法求解即可. 【详解】由题意可得，解得， 所以函数的定义域为. 6．（25-26高一上·江西上饶·阶段检测）取整函数（也叫高斯函数）的函数值表示不超过实数x的最大整数，例如，，，，，则函数，其中的值域为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题可知，从而得到函数的值域为. 【详解】根据取整函数的定义，对任意实数，有，可得； 故函数的值域为. 故选：A 二、多选题 7．（25-26高一上·安徽合肥·期末）下列函数定义域和值域相同的是（ ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】逐一求出各选项函数的定义域及值域即可判断. 【详解】对于A，函数的定义域为R，值域为，A不是； 对于B，函数的定义域为R，当时，， 当时，，因此的值域为R，B是； 对于C，函数的定义域为，值域为，C不是； 对于D，函数的定义域、值域均为R，D是. 故选：BD 8．（24-25高一上·江西吉安·阶段检测）下列选项正确的是（ ） A．的定义域为，则的定义域为 B．函数的值域为 C．函数在的值域为 D．函数的值域为 【答案】ABC 【分析】求出抽象函数定义域判断A；配方并利用二次函数求出值域判断B；利用二次函数单调性求出值域判断C；利用分式函数值域判断D. 【详解】对于A，的定义域为，则在中，， 解得，即的定义域为，A正确； 对于B，函数， 当且仅当时取等号，则函数的值域为，B正确； 对于C，在上递减，， 则函数在的值域为，C正确； 对于D，函数，函数的值域为，D错误. 三、填空题 10．（22-23高一上·上海徐汇·期末）函数的值域为______． 【答案】 【分析】利用常数分离的方法得到，然后利用变量的取值范围进行求解即可． 【详解】由， 又，则，则，所以， 故函数的值域为． 故答案为：． 11．（22-23高一上·内蒙古包头·阶段检测）函数的值域为__________． 【答案】 【分析】设，可知，将问题转化为关于的二次函数值域的求解问题，根据二次函数性质可求得结果. 【详解】函数，， 令，则，且， 得，， 当时，函数有最大值， 当时，函数有最小值 所以值域为. 故答案为： 四、解答题 12．（25-26高一上·吉林辽源·期中）已知函数. (1)当时，求的值； (2)求的解集； (3)若，求实数的值. 【答案】(1)；(2)；(3)或 【分析】（1）代值计算可得的值； （2）利用分式不等式的解法可得出原不等式的解集； （3）解方程可得出的值. 【详解】（1）因为，所以. （2）不等式等价于，解得或， 故不等式的解集为. （3）由可得，即，解得或，合乎题意. 13．（2025高一·全国·专题练习）求解下列问题： (1)函数在上的最大值； (2)的值域； (3)的最小值； (4)的值域． 【答案】(1)；(2)；(3)；(4) 【分析】（1）先分离常数，再由反比例函数图像平移即可； （2）利用基本不等式配凑，注意取等条件； （3）利用基本不等式求最值，注意添加负号调节； （4）先分离常数，再换元分母通过配方求得分母范围，结合反比例函数求得结果. 【详解】（1）． 其图象可由反比例函数的图象先向左平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度得到，如图所示． 当时，当时，所以在上的最大值是． （2）因为，所以，所以 ， 当且仅当，即时，等号成立， 故函数的值域为． （3）因为，所以， 令，则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以，则，故函数在上的最小值为. （4）， 设，则， 即，故所求函数的值域为． 1．（25-26高一上·山东临沂·期中）下列函数中，值域不正确的是（ ） A．当时，函数的值域为 B．函数的值域为 C．函数的值域为 D．函数的值域为 【答案】C 【分析】由可判断A，由可判断B，由换元法可判断C，由单调性可判断D. 【详解】对于A，， 当时，取得最小值，当时，， 所以当时，函数的值域为，故A正确； 对于B，，定义域为， 所以值域为，故B正确； 对于C，，， 令，得， 所以， 所以函数的值域为，故C错误； 对于D，，定义域为，观察可知函数为增函数， 当时，取得最小值，当时，， 所以值域为，故D正确. 故选：C. 2．（25-26高一上·江苏苏州·期中）设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：，，已知函数，则函数的值域是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将化简变形为，由分式的性质求函数的值域，再由函数新定义确定的值域. 【详解】由， 由，则，故. 故选：D 3．（23-24高一上·浙江宁波·期中）函数的值域为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由已知得，平方化简得，则，解不等式组可求得结果. 【详解】由，得或，则函数定义域为， 由，得， 所以，得， 显然，所以， 所以， 由，得， 所以，所以， ，解得或， 由，得，，解得， 由，得，，解得， 综上，或， 所以函数的值域为， 故选：D 4．（23-24高三上·山西吕梁·阶段检测）函数的最大值为（ ） A．4 B．2 C． D． 【答案】C 【分析】令（），通过求出的范围，则配方后即可求得最大值. 【详解】由解析式易知的定义域为， 令（）， 所以，则， 由，可知， ，所以，则， 所以（）， 则， 所以的最大值为. 故选：C. 5．（23-24高一上·湖南张家界·期中）（多选）下列四个命题是真命题的有（ ） A．若函数的定义域为，则函数的定义域为 B．函数的值域为 C．若函数的两个零点都在区间内，则实数的取值范围为 D．已知，在上的值域为 【答案】ACD 【分析】对于A，利用抽象函数的定义域求法计算即得；对于B，通过换元将函数化成一元二次函数，利用其性质即可求得函数值域；对于C，根据二次函数的零点分布问题求参数可得；对于D，利用分段函数的值域求法计算即得. 【详解】对于A：函数的定义域为，则对于函数，需使， 解得，即得函数的定义域为，故A正确； 对于B：设，得，则， 其图象对称轴为，则函数在上单调递增，故，故B错误； 对于C：若函数的两个零点都在区间内，则 ，得，故C正确； 对于D，当时，；当时，，故该函数的值域为，故D正确. 故选：ACD 6．（26-27高一·全国·暑假作业）函数的值域是______. 【答案】 【分析】将函数分母配方后，利用换元，整理成关于的方程，由求函数的值域转化为根据方程有实根求参问题，借助于判别式，求解不等式即得函数的值域. 【详解】因的定义域为， 令，所以，整理得 所以关于的方程有实数解， 当时，原式为，解得，满足； 当时，所以，整理得， 解得， 此时，且， ∴综上，函数的值域为， 7．（25-26高一上·江苏苏州·期中）已知二次函数，满足当时，取得最大值5，且. (1)求二次函数的表达式： (2)若，求函数的最大值； (3)已知函数的值域为，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】(1)利用二次函数的顶点式，结合待定系数法即可求解； (2)利用分三段区间讨论，来求二次函数在闭区间上的最大值即可； (3)利用二次函数值域能取遍，则满足，即可求解. 【详解】（1）由二次函数，满足当时，取得最大值5， 可设二次函数，又因为，所以， 即二次函数； （2）当，有，此时的最大值， 当时，则，此时在上单调递增， 即的最大值， 当时，则，此时在上单调递减， 即的最大值， 综上可得：； （3）函数， 由的值域为， 则满足或， 即实数的取值范围或 1．（2017·全国·高考真题）函数的定义域为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数有意义求解即可. 【详解】由，得， 所以函数的定义域为. 故选：C. 2．（2015·山东·高考真题）函数的定义域为（ ） A．且 B． C．且 D． 【答案】A 【分析】根据函数解析式有意义的要求列不等式求函数定义域. 【详解】由函数解析式有意义可得 且 所以函数的定义域是且， 故选：A. 3．（2004·重庆·高考真题）设，则等于（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用函数求值，即求得比值. 【详解】因为，所以，，故. 故选：B. 【点睛】本题考查了函数值的计算，属于基础题. 4．（2008·陕西·高考真题）定义在上的函数满足则等于（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】令，得，得， 令，得，得， ，选A 5．（2012·安徽·高考真题）下列函数中，不满足：的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】试题分析：A中，B中，C中，D中 考点：函数关系判断 6．（2013·大纲版·高考真题）已知的定义域为，则函数的定义域为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】试题分析：因为函数的定义域为，故函数有意义只需即可，解得，选B． 考点：1、函数的定义域的概念；2、复合函数求定义域． 7．（2008·江西·高考真题）若函数的定义域为，则函数的定义域是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】根据已知可得函数的定义域需满足：, 解得， 即函数定义域为，故选B. 考点：求函数定义域 8．（2008·江西·高考真题）若函数的值域是，则函数的值域是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】试题分析：设=t,则,从而的值域就是函数的值域，由“勾函数”的图象可知，，故选B． 考点：函数的值域． 9．（2008·重庆·高考真题）已知函数＋的最大值为M，最小值为m，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题设可得，，即，也即，所以，则，应选C. 点睛：本题的求解过程体现了转化与化归的数学思想的巧妙运用.解答时，先运用两边平方这一变形手段，将问题转化为求二次函数的最大值和最小值的问题，最后再解不等式，求得，从而使得问题获解. 10．（2013·陕西·高考真题）设表示不大于的最大整数,则对任意实数，有（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】取，则，所以A项错误；，所以B项错误；再取，则，所以C项错误. 【考点定位】本题考查取整函数(即高斯函数)，分段函数思想.属于难题. 11．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知函数的定义域为R，，且当时，则下列结论中一定正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】代入得到，再利用函数性质和不等式的性质，逐渐递推即可判断. 【详解】因为当时，所以， 又因为， 则， ， ， ， ，则依次下去可知，则B正确； 且无证据表明ACD一定正确. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用，再利用题目所给的函数性质，代入函数值再结合不等式同向可加性，不断递推即可. 12．（2014·浙江·高考真题）已知函数，且，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由得，，解得，所以，由，得，即，故选Ｃ 考点：求函数解析式,解不等式. 13．（2022·北京·高考真题）函数的定义域是_________． 【答案】 【分析】根据偶次方根的被开方数非负、分母不为零得到方程组，解得即可； 【详解】解：因为，所以，解得且， 故函数的定义域为； 故答案为： 14．（2002·江苏·高考真题）已知，则___________. 【答案】 【分析】由已知得，又，则将所求分组为，即可求解. 【详解】因为， 所以，又， 所以 . 故答案为：. 15．（2007·北京·高考真题）已知函数，分别由下表给出 1 2 3 1 3 1 1 2 3 3 2 1 则的值为________________；满足的的值是______________． 【答案】1，2 【详解】=； 当x=1时，，不满足条件， 当x=2时，，满足条件， 当x=3时，，不满足条件， ∴只有x=2时，符合条件． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 3.1.1函数的概念 目 录 A组 巩固过关 知识点01 函数关系的判断 知识点02 求函数值和已知函数值求参 知识点03 具体函数的定义域 知识点04 抽象函数的定义域 知识点05 复合函数中的定义域 知识点06 判断两个函数是否相等 知识点07 常见（一次、二次、反比例函数等）的函数值域 知识点08 分式型函数 知识点09 换元法 知识点10 判别式法 知识点11 已知函数值域求参 B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接高考 ( 知识点0 1 )函数关系的判断 1．（25-26高一上·安徽铜陵·期末）已知集合，下列对应关系不能视作函数的是（ ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·贵州遵义·阶段检测）下列图形可作为函数图象的是（ ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·贵州·期末）下列四个图形中，不是以为自变量的函数的图象是（ ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·江西抚州·期中）设集合，，那么下面的个图形中，能表示集合到集合的函数关系的有（ ） A．①②③④ B．①②③ C．②③ D．② ( 知识点0 2 )求函数值和已知函数值求参 1．（24-25高一上·辽宁辽阳·期中）已知函数，且，则（ ） A． B．3 C． D．17 2．（25-26高一上·新疆伊犁·期末）已知，则__________． 3．（25-26高一上·广西贵港·阶段检测）已知函数，若，则________． 4．（25-26高一上·甘肃兰州·阶段检测）若对任意x，恒成立，且，则____________. ( 知识点0 3 )具体函数的定义域 1．（25-26高一上·山西晋城·期末）函数的定义域为（ ） A． B．或 C． D．或或 2．（25-26高一上·广西钦州·期末）函数的定义域为（ ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·四川凉山·期末）函数的定义域是（ ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·江苏扬州·期中）函数的定义域为__________. ( 知识点0 4 )抽象函数的定义域 1．（25-26高一上·广东深圳·阶段检测）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·陕西渭南·阶段检测）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·湖南长沙·期末）已知函数的定义域为，则函数的定义域为__________. 4．（25-26高一上·安徽阜阳·期末）已知函数的定义域为，则函数的定义域为_________. ( 知识点0 5 )复合函数中的定义域 1．（25-26高一上·江西赣州·期末）若函数的定义域是，则函数的定义域是（ ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·山西朔州·期末）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ） A． B． C． D． 3．（25-26高一下·河北保定·阶段检测）若函数的定义域为，则函数的定义域为__________. 4．（25-26高一上·四川广安·期末）已知函数的定义域为，则函数的定义域为_____________． ( 知识点0 6 )判断两个函数是否相等 1．（25-26高一上·广西河池·期末）下列表示为同一个函数的是（ ） A．， B．， C．， D．， 2．（25-26高一上·贵州铜仁·期末）下列函数中，与函数是同一个函数的是（ ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·广西北海·期末）下列各组中的两个函数是同一个函数的是（ ） A．， B．， C．， D．， 4．（25-26高一上·广东肇庆·期末）下列四组函数中，表示同一个函数的一组是（ ） A． B． C． D． ( 知识点0 7 )常见（一次、二次、反比例函数等）的函数值域 1．（25-26高一上·浙江台州·期末）若函数的定义域为，则此函数的值域为（ ） A． B． C． D． 2．（22-23高一下·贵州黔西南·期末）函数在上的最小值是（ ） A． B．1 C．2 D．3 3．（24-25高一下·贵州黔南·期末）函数的函数值表示不超过x的最大整数，例如，，则函数的值域为（ ） A． B． C． D． 4．（22-23高三上·辽宁辽阳·期末）已知函数的值域是，则_________． ( 知识点0 8 )分式型函数 1．（24-25高一上·河北石家庄·期中）函数的值域是（ ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·河南·期中）函数在区间上的值域为______. 3．（24-25高二下·广西南宁·期末）若，则函数的值域为__________． 4．（24-25高二下·吉林长春·期末）函数在上的值域为___________. ( 知识点09 )换元法 1．（24-25高一上·江苏扬州·期中）函数的值域为（ ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·四川达州·期中）函数的值域为________. 3．（25-26高一上·天津·期中）函数的值域为_____. 4．（25-26高一上·江苏盐城·期中）函数的值域为______． ( 知识点10 )判别式法 1．（23-24高一上·四川宜宾·期中）函数的值域是（ ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·上海徐汇·期末）函数的值域为______． 3．（2024高三·全国·专题练习）求函数的最大值为__________；最小值为_________________. 4．（25-26高三·全国·一轮复习）求下列函数的值域： (1)； (2). ( 知识点11 )已知函数值域求参 1．（25-26高一上·湖北武汉·期中）已知函数的值域为，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·福建福州·期中）函数的值域为，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·福建福州·阶段检测）已知函数的定义域是，值域为，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 4．（23-24高一上·山东济南·期中）已知函数的定义域与值域均为，则实数的取值为（ ） A．-4 B．-2 C．1 D．-1 5．（22-23高一上·江苏苏州·期中）已知函数，.若存在，，使得，则实数a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 一、单选题 1．（25-26高一上·内蒙古呼和浩特·期中）已知集合，集合，则下列图象能表示以为定义域，为值域的函数是（ ） A． B． C． D． 2．（2026·山西忻州·模拟预测）已知函数，.若，则（ ） A． B． C．1 D． 3．（24-25高一上·福建漳州·阶段检测）函数的定义域为（ ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·河北雄安·期末）下列各组函数不是同一个函数的是（ ） A．与 B．与 C．与 D．与 5．（25-26高一下·云南昆明·期中）若函数定义域为，则函数的定义域为（ ） A． B． C． D． 6．（25-26高一上·江西上饶·阶段检测）取整函数（也叫高斯函数）的函数值表示不超过实数x的最大整数，例如，，，，，则函数，其中的值域为（ ） A． B． C． D． 二、多选题 7．（25-26高一上·安徽合肥·期末）下列函数定义域和值域相同的是（ ） A． B． C． D． 8．（24-25高一上·江西吉安·阶段检测）下列选项正确的是（ ） A．的定义域为，则的定义域为 B．函数的值域为 C．函数在的值域为 D．函数的值域为 三、填空题 10．（22-23高一上·上海徐汇·期末）函数的值域为______． 11．（22-23高一上·内蒙古包头·阶段检测）函数的值域为__________． 四、解答题 12．（25-26高一上·吉林辽源·期中）已知函数. (1)当时，求的值； (2)求的解集； (3)若，求实数的值. 13．（2025高一·全国·专题练习）求解下列问题： (1)函数在上的最大值； (2)的值域； (3)的最小值； (4)的值域． 1．（25-26高一上·山东临沂·期中）下列函数中，值域不正确的是（ ） A．当时，函数的值域为 B．函数的值域为 C．函数的值域为 D．函数的值域为 2．（25-26高一上·江苏苏州·期中）设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：，，已知函数，则函数的值域是（ ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·浙江宁波·期中）函数的值域为（ ） A． B． C． D． 4．（23-24高三上·山西吕梁·阶段检测）函数的最大值为（ ） A．4 B．2 C． D． 5．（23-24高一上·湖南张家界·期中）（多选）下列四个命题是真命题的有（ ） A．若函数的定义域为，则函数的定义域为 B．函数的值域为 C．若函数的两个零点都在区间内，则实数的取值范围为 D．已知，在上的值域为 6．（26-27高一·全国·暑假作业）函数的值域是______. 7．（25-26高一上·江苏苏州·期中）已知二次函数，满足当时，取得最大值5，且. (1)求二次函数的表达式： (2)若，求函数的最大值； (3)已知函数的值域为，求实数的取值范围. 1．（2017·全国·高考真题）函数的定义域为（ ） A． B． C． D． 2．（2015·山东·高考真题）函数的定义域为（ ） A．且 B． C．且 D． 3．（2004·重庆·高考真题）设，则等于（ ） A． B． C． D． 4．（2008·陕西·高考真题）定义在上的函数满足则等于（ ） A． B． C． D． 5．（2012·安徽·高考真题）下列函数中，不满足：的是（ ） A． B． C． D． 6．（2013·大纲版·高考真题）已知的定义域为，则函数的定义域为（ ） A． B． C． D． 7．（2008·江西·高考真题）若函数的定义域为，则函数的定义域是（ ） A． B． C． D． 8．（2008·江西·高考真题）若函数的值域是，则函数的值域是（ ） A． B． C． D． 9．（2008·重庆·高考真题）已知函数＋的最大值为M，最小值为m，则的值为（ ） A． B． C． D． 10．（2013·陕西·高考真题）设表示不大于的最大整数,则对任意实数，有（ ） A． B． C． D． 11．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知函数的定义域为R，，且当时，则下列结论中一定正确的是（ ） A． B． C． D． 12．（2014·浙江·高考真题）已知函数，且，则（ ） A． B． C． D． 13．（2022·北京·高考真题）函数的定义域是_________． 14．（2002·江苏·高考真题）已知，则___________. 15．（2007·北京·高考真题）已知函数，分别由下表给出 1 2 3 1 3 1 1 2 3 3 2 1 则的值为________________；满足的的值是______________． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 分层作业 3.1.1函数的概念 参考答案 A组 巩固过关 知识占01 函数关系的判断 1.D;2.C:3.C;4.C 知识占02 求函数值和已知函数值求参 1.B;2.13:3.-1:4.1 知识占03 具体函数的定义域 1.D;2.B:3.D:4. 知识占04 抽象函数的定义域 1B;2.A3.(0,1):4.(0,4) 知识占05 复合函数中的定义域 1.B:2.c:3.（-1,2]:4.(←5，-3 1/5 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 知识占06 判断两个函数是否相等 1.B 2.A 3.B 4.B 如识占07 常见（一次、二次、反比例函数等）的函数值域 1.D;2.D:3.A:4.t2 知识占0R 分式型函数 11 1C:2.3:3.+w)4.[0, 知识占09 换元法 1A2(,43.(e2:4[7+） 知识占10 判别式法 1.A:2. 13 22:3,最大值为4最小值为-9 4【答发】1因为r所以-1>0所以y-生-49-K-少9+525+5=1n, x-1 x-1 当且仅当x=4时取等号，所以函数的值域为1山，+∞) 2/5 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3x2-3x+4 1 (2)由y= 2-x+1,得y=3+ x2-x+1' 。1 所以y=3+ 所以数的为号】 知识占11 已知函数值域求参 1.B:2.D:3.B:4.A:5.A B组 能力进阶 一、单选题 1.A:2.B:3.D:4.D:5.C;6.A 二、多选题 7.BD:8.ABC 三、填空题 10.021. 四、解答题 12. 【管案1①国为)子所以)-4 2不等式f(-名>0等价于x+2x-1)>0,解得x<-2或x>1 x-11 故不等式f(x)>0的解集为(-o,-2)U(1,+∞)】 3/5 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 （8白7回)-产号=2加g得26-a-2-0即a+0-2》=0,解得0=成g-2合早题意 a-1 13.【答案（)y=22+2-5-2- x+2x+2 x+2 反比例函数y的图象先向左平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度得到 当x=5时号当10时y吕所以y=有 9 19 x+2在x∈[5,10]上的最大值是12： (2)因为x>2,所以x-2>0,所以 y=-2-2x+4_x-29+20x-2)+4 2 -2 x-2 x-2 x-2+22x-2k4+2=6. =(x-2)+ x-2 当且仅当x-2=4 -2,即x=4时，等号成立， 故函数的值域为[6，+∞)」 2x (3)因为 x<0 =r,则s8, 当且仅当-x=-4 :即x=-2时，等号成立， 所以-1s0,则-2≤子<0，故函数在xe(,0)上的最小值为2 t (4y=2+2x+5_22+x+1)+3 3 =2+ x2+x+1 x2+x+1 x2+x+1 即e@,4,2+c2可.故所求函数的值域为2， 4/5 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 C组 思维拔高 3-2V33+2W3 1.C:2.D:3.D;4.C:5.ACD: 3,3 7.【答案】(1)由二次函数f(),满足当x=3时，∫(x)取得最大值5， 可设二次函数f(c)=a(x-3+5,又因为f(0)=4,所以9a+5=-4三a=-1, 即二次函数f(x)=-(x-3)}2+5: (2)当t∈[-1,3)]，有3∈[，t+4],此时f(x)的最大值h()=5, 当∈(-o,-1)时，则[，t+4]=(-o,3],此时f(x)在[，t+4]上单调递增， 即f(x)的最大值()=f(t+4)=-(+)2+5, 当te(3,+o)时，则[，t+4]=B,+∞），此时f(x)在，t+4]上单调递减， 即f(x)的最大值h()=f)=-(t-3}+5, -(t+12+5,t∈(-o,-) 综上可得：h()=5,t∈[-l,3] -(u-3)}2+5,1e(3,+w) (3)函数8(x)=V+2+(x-3}2-5=√2+(k-6)x+6, 由g(x)=Vx2+(k-6)x+6的值域为[0，+∞)， 则满足△=(k-6)-24≥0→k≤6-2√6或k≥6+2V6, 即实数k的取值范围化k≤6-2W6或k≥6+2V6) ● 拓展 链接高考 1.C:2.A:3.B;4.A:5.C:6.B:7.B:8.B:9.C:10.D:11.B:12.C 13.（-0,0U(0,1:14.2:15.1,2 5/5