第2章 §2 2.1 第2课时 函数概念(二)(Word练习)-【精讲精练】2025-2026学年高中数学必修第一册(北师大版)

[必备知识·基础巩固] 1．(多选)下列各组函数是同一函数的是(　　) A．f(x)＝x2－2x－1与g(s)＝s2－2s－1 B．f(x)＝与g(x)＝x C．f(x)＝与g(x)＝ D．f(x)＝x与g(x)＝ 解析　选项A，两个函数的定义域相同，并且对应关系完全相同，因此函数是同一函数；选项B，定义域相同，但是f(x)的值域是非负实数集，g(x)的值域为非正实数集，所以不是同一函数；选项C，两个函数的定义域为不等于0的实数集，对应关系一样，故两个函数是同一函数；选项D，定义域都是实数集，但两个函数的对应关系不一样，所以这两个函数不是同一函数． 答案　AC 2．函数y＝(x≥0)的值域为(　　) A．[－1,1)　　　　　 B．[－1,1] C．[－1，＋∞) D．[0，＋∞) 解析　y＝＝1－. ∵x≥0，∴x＋1≥1. ∴0<≤2，∴－2≤<0. ∴－1≤1－<1. 答案　A 3．已知函数f(x)的定义域为(－1,1)，则函数g(x)＝f＋f(x－2)的定义域为(　　) A．(0,2) B．(1,2) C．(2,3) D．(－1,1) 解析　f(x)的定义域为(－1,1)，要使g(x)有意义，则 解得1<x<2. 答案　B 4．(多选)在下列函数中，值域是(0，＋∞)的是(　　) A．y＝2x＋1 B．y＝x2 C．y＝ D．y＝ 解析　对于A：x>－，则2x＋1>0. 对于B：y＝x2≥0. 对于C：x2－1>0，∴y>0. 对于D：x≠0，∴y≠0. 答案　AC 5．已知函数f(x＋1)的定义域是[－2,2]，则函数f(x)的定义域是________． 解析　∵x∈[－2,2]， ∴x＋1∈[－1,3]． 答案　[－1,3] 6．下列各对函数中是同一函数的是______(填序号)． ①f(x)＝2x－1与g(x)＝2x－x0； ②f(x)＝与g(x)＝|2x＋1|； ③f(n)＝2n＋2(n∈Z)与g(n)＝2n(n∈Z)； ④f(x)＝3x＋2与g(t)＝3t＋2. 解析　由同一函数定义可知②、④符合题意． 答案　②④ 7．试写出一个与函数y＝x2定义域和值域都相同的函数________． 解析　函数y＝x2与y＝(x＋1)2的定义域和值域都相同． 答案　y＝(x＋1)2(答案不唯一) 8．求下列函数的值域． (1)y＝； (2)y＝x－. 解析　(1)∵y＝＝＝5＋，又≠0，知y≠5. ∴函数的值域是{y|y∈R且y≠5}． (2)令t＝(t≥0)， ∴x＝－t2＋， ∴y＝－t2－t＋＝－(t＋1)2＋1. 当t≥0时，y≤， ∴函数的值域为. [关键能力·综合提升] 9．下列各组函数中是同一个函数的是(　　) A．y＝x＋1与y＝ B．y＝x2＋1与s＝t2＋1 C．y＝2x与y＝2x(x≥0) D．y＝(x＋1)2与y＝x2 解析　对于A、C两函数定义域不同，对于D对应关系不同． 答案　B 10．(多选)下列函数中，值域为[0,4]的是(　　) A．f(x)＝x－1，x∈[1,5] B．f(x)＝－x2＋4 C．f(x)＝ D．f(x)＝x＋－2(x>0) 解析　A中，当1≤x≤5时，0≤x－1≤4，f(x)＝x－1的值域为[0,4]．B中，易知f(x)＝－x2＋4≤4，值域为(－∞，4]．C中，易知0≤16－x2≤16.∴f(x)＝的值域为[0,4]．D中，f(x)＝x＋－2＝2≥0，值域为[0，＋∞)． 答案　AC 11．设函数y＝f(x)对任意正实数x，y都有f(x·y)＝f(x)＋f(y)，已知f(8)＝3，则f()＝________. 解析　因为f(x·y)＝f(x)＋f(y)， 所以令x＝y＝，得f(2)＝f()＋f()， 令x＝y＝2，得f(4)＝f(2)＋f(2)， 令x＝2，y＝4得f(8)＝f(2)＋f(4)， 所以f(8)＝3f(2)＝6f()，又f(8)＝3， 所以f()＝. 答案　 12．在实数的原有运算中，我们定义新运算“⊕”如下：当a≥b时，a⊕b＝a；当a<b时，a⊕b＝b2.设函数f(x)＝(1⊕x)－(2⊕x)，x∈[－2,2]，则函数f(x)的值域为________． 解析　由题意知，当x∈[－2,1]时，f(x)＝－1； 当x∈(1,2]时，f(x)＝x2－2∈(－1,2]． 所以当x∈[－2,2]时，f(x)∈[－1,2]． 答案　[－1,2] 13．已知函数f(x)＝x2－x＋，是否存在实数m，使得函数的定义域和值域都是[1，m](m>1)？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由． 解析　存在．理由如下： f(x)＝x2－x＋＝(x－1)2＋1的对称轴为x＝1，顶点(1,1)，且开口向上． ∵m>1，∴当x∈[1，m]时，y随x的增大而增大， ∴要使f(x)的定义域和值域都是[1，m]，则有∴m2－m＋＝m， 即m2－4m＋3＝0，∴m＝3或m＝1(舍)， ∴存在实数m＝3满足条件． [核心价值·探索创新] 14．若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“孪生函数”．函数解析式为y＝2x2－1，值域为{1,7}的“孪生函数”共有(　　) A．10个 B．9个 C．8个 D．4个 解析　由2x2－1＝1，得x1＝1，x2＝－1；由2x2－1＝7，得x3＝－2，x4＝2，所以定义域为2个元素的集合有4个，定义域为3个元素的集合有4个，定义域为4个元素的集合有1个，因此共有9个“孪生函数”． 答案　B 15．(多选)函数D(x)＝被称为狄利克雷函数，则下列结论成立的是(　　) A．函数D(x)的值域为[0,1] B．若D(x0)＝1，则D(x0＋1)＝1 C．若D(x1)－D(x2)＝0，则x1－x2∈Q D．∃x∈R，D(x＋)＝1 解析　A错误，函数D(x)的值域为{0,1}． B正确，若D(x0)＝1，则x0∈Q，x0＋1∈Q， 则D(x0＋1)＝1. C错误，D(2π)－D(π)＝0－0＝0， 但2π－π＝π∉Q. D正确，当x＝－时，D(x＋)＝D(－＋)＝D(0)＝1.则∃x∈R，D(x＋)＝1. 答案　BD 学科网（北京）股份有限公司 $$