2027届高考数学一轮复习----数列解答题训练

**基本信息** 聚焦数列核心题型，覆盖等差等比定义、通项公式、求和及综合证明，强化知识逻辑与推理运算能力 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |等差等比基本量运算|4题|已知Sn、项的关系求通项，涉及a1/d/q计算|从定义出发，通过方程思想建立基本量关系，推导通项公式| |递推关系与数列证明|5题|证明等差/等比数列，构造新数列（如取倒数）|基于定义分析递推式，构建新数列转化为等差/等比模型| |数列求和及综合应用|3题|错位相减、裂项相消求和，结合不等式证明|从通项公式特征选择求和方法，体现运算能力与推理意识|

数列解答题训练1 1.已知各项都为整数的等差数列{an}的前n项和为Sn,若S5=35,且a2,a3+1,a6成等比数列. (1)求{an}的通项公式： 2设h,一受且激列6，的前m项和为，求还：工，子 2.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,a3n=3an-2,且S5-S3=4a2. (1)求数列an}的通项公式； 2收数列宁的前项和为，运明：工.星 3.已知等比数列an的公比q>0,Sn是an的前n项和，a1=2,S2是a2和a3的等差中项. (1)求an的通项公式： 第1页，共4项 (2)设数列bn满足bn=anlog2an+1,求bn的前n项和Tm,若Tn<256,求n的最大值， 4.已知{an}是等差数列，{bn}是等比数列，且b2=3,b3=9,a1=b1,Q14=b4. (1)求{an}的通项公式： (2)设Cn=an+bn,求数列{cn}的前n项和. 1=2+1 5.己知非零数列a,}满足a=1,ana, 1 (1)证明：数列。+1为等比数列，并求{a}的通项公式： an (2求数列 n an 的前n项和Sn. 第2页，共4页 2+1=2 6.记S,为数列a,}的前n项和，b,为数列Sn}的前n项积，已知Sn+b, (1)证明：数列bn}是等差数列； (2)求{an}的通项公式. 7.已知数列an}的前n项和为Sn,且a1=2,Sn=an+n-n. (I)求an: .5a 一，求数列bn}的前n项和Tn. 第3页，共4项 8、在①三-0，②01Q,=5,③+号-5，这三个条件中任选一个，补充在下面的间题中，并解答该的 题 已知正项数列an}的前n项和为Sm,a1=2满足一· (1)求a: (2若6，=014，求数列b,的前n项和7 9.在数列an中，a1=4,nan*1-(n+1)an=2n2+2nn∈N). (1)求证：数列 n 是等差数列： 1 (2求数列 }的前n项和Sn. an 第4页，共4页 10.已知数列an满足a1=1,an+1=2an+1(n∈N·) (1)求证：数列{an+1}是等比数列： (2)求{an的通项公式. 11.已知数列{an}是公差不为0的等差数列，a1=2且a2,a3,a4+1成等比数列. (1)求数列{an}的通项公式： 2 (2)设b,na,+2,求数列b,的前n项和S. 第5页，共4项 12.在数列an中，a1=1,an+1=an-2anQn+1. (1)求an的通项公式； 2考b,,求数列b,的前n项和S、 第6页，共4页 数列解答题训练1 1. 已知各项都为整数的等差数列的前项和为，若，且，，成等比数列． 求的通项公式； 设，且数列的前项和为，求证：． 【答案】解：设等差数列的公差为， ，，成等比数列， ， ， ，解得， 又为整数， 解得，， ． 证明：， ， ， 两式相减可得 ， 化简可得， ． 【解析】本题主要考查了“错位相减法”、等差数列与等比数列的前项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出； 利用“错位相减法”与等比数列的前项和公式可得，即可证明． 2. 已知等差数列的前项和为，，且． 求数列的通项公式； 设数列的前项和为，证明：． 【答案】解：等差数列的公差为， 由题设可得：， 即， 解得：， ； 证明：由可得：， ， ． 【解析】本题主要考查等差数列基本量的计算及裂项相消法在数列求和及不等式证明中的应用，属于中档题． 设等差数列的公差为，由题设求得与首项，即可求得其通项公式； 先由求得，进而求得，再利用裂项相消法求得其前项和，即可证明结论． 3. 已知等比数列的公比，是的前项和，，是和的等差中项． 求的通项公式； 设数列满足，求的前项和，若，求的最大值． 【答案】解：是和的等差中项， ， 即， 化简得， 解得或， ，， ，  由题得， ， ，  ， 得 ， ， 可知数列是递增数列， ，， 若成立，则，， 即的最大值为． 【解析】本题考查等比数列的通项公式与求和公式，等差中项的性质，错位相减法求和，属于中档题． 利用等差中项的性质和等比数列的通项公式求出公比，即可求解； 利用错位相减法求和得到，根据数列的单调性求解即可． 4. 已知是等差数列，是等比数列，且，，，． 求的通项公式；    设，求数列的前项和． 【答案】解：设等比数列的公比为，则， 所以，， 所以， 设等差数列的公差为， 因为，， 所以，即． 所以 由知， 从而数列的前项和 ． 【解析】本题考查数列的通项公式的求法，数列求和，考查计算能力，属于中档题． 设等比数列的公比为，则，求出，设等差数列的公差为利用已知条件求出，然后求解即可． 求出，利用分组求和求解即可． 5. 已知非零数列满足，； 证明：数列为等比数列，并求的通项公式； 求数列的前项和． 【答案】解：依题意：，， 所以， 即数列为公比的等比数列， 所以， 得， 所以； 由可知， 令， 则， 所以， 即， 所以． 【解析】本题考查等比数列的判定和通项公式的运用，以及数列的求和方法：错位相减法，考查化简整理的运算能力，属于基础题． 先证得为公比的等比数列，所以，进而得的通项公式； 由可知，令，利用错位相减法即可求出，从而求出． 6. 记为数列的前项和，为数列的前项积，已知． 证明：数列是等差数列； 求的通项公式． 【答案】解：证明：当时，， 由，解得， 当时，，代入， 消去，可得，所以， 所以是以为首项，为公差的等差数列． 由题意，得， 由，可得， 由，可得， 当时，，显然不满足该式， 所以． 【解析】由题意当时，，代入已知等式可得的值，当时，将，代入，可得，进一步得到数列是等差数列； 由，可得，代入已知等式可得，当时，，进一步得到数列的通项公式． 本题考查了等差数列的概念，性质和通项公式，考查了方程思想，是基础题． 7. 已知数列的前项和为，且，． Ⅰ求； Ⅱ设，求数列的前项和． 【答案】解：Ⅰ，． 时，， 可得，即有， 对也成立，可得数列的通项公式为，； Ⅱ， 可得数列的前项和 ． 【解析】Ⅰ由数列的递推式：时，，化简可得所求通项公式； Ⅱ求得，再由数列的裂项相消求和，化简可得所求和． 本题考查数列的递推式的运用，考查数列的裂项相消求和，化简运算能力，属于基础题． 8. 在，，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答该问题． 已知正项数列的前项和为，，满足____． 求； 若，求数列的前项和． 【答案】解：若选，则， 当时，，得， 当时，，又， 两式相减可得， 即， ， ， 又，所以； 若选，， 当时，，得； 当时，， 得， 由，得， 又， 是公差为，首项为的等差数列，是公差为，首项为的等差数列， ， 若选，， 当时，， 两式相减得：， 即， 由，得， 是公差为，首项为的等差数列， ； 即， ， ， 两式相减得： ， 故． 【解析】本题考查数列的递推式和等差数列和等比数列的通项公式、求和公式的运用，以及数列的错位相减法求和，考查方程思想和转化思想、运算能力，属于中档题． 分别选，由数列的递推式和等差数列的定义、通项公式，可得所求； 求得，由数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，计算可得所求和． 9. 在数列中，， 求证：数列是等差数列； 求数列的前项和． 【答案】证明：， 两边同除以，得，又， 所以数列是首项为，公差为的等差数列． 解：由得，即， ， 故， 所以 ． 【解析】本题考查等差数列的证明以及利用裂项相消法求和，属于基础题． 利用公式的两边同除以，可证得数列是等差数列； 求得，再利用裂项相消法求和即可． 10. 已知数列满足 求证：数列是等比数列； 求的通项公式． 【答案】证明：数列满足，， ， 又， 数列是首项为，公比为的等比数列； 解：由可得：， 可得，． 【解析】本题考查了等比数列的证明、等比数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 由题可得，即可证明； 由等比数列的通项公式求解． 11. 已知数列是公差不为的等差数列，且，，成等比数列． 求数列的通项公式； 设，求数列的前项和． 【答案】解：设数列的公差为， 由且，，成等比数列，得 ， 解得或． 当时，，这与，，成等比数列矛盾，舍去． 所以，所以， 即数列的通项公式为， 由得 ， 所以n ． 【解析】本题考查等差数列的通项公式和等比数列中项的性质，考查数列的求和方法：裂项相消求和，考查化简整理的运算能力，属于中档题． 设数列的公差为，运用等比数列的中项的性质和等差数列的通项公式，解方程可得公差，即可得到所求通项； 由得，运用数列的求和方法：裂项相消求和，化简即可得到所求和． 12. 在数列中，，． 求的通项公式 若，求数列的前项和． 【答案】解：， ， ， 又，所以， 所以数列是以为首项，为公差的等差数列， 所以， 即 由知， 所以， 两边同乘以，得 ， 两式相减，得 所以． 【解析】本题考查等差数列的判定及通项公式，同时考查错位相减法求和，属于中档题． 将已知式子变形得数列是以为首项，为公差的等差数列，然后利用等差数列的通项公式求解即可 由得出，再结合错位相减法求和即可． 第2页，共2页 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $