第42讲 等比数列及其前n项和·分类练习-2027年高考数学一轮复习（全国I卷地区通用）

**基本信息** 以“考点-考法”架构系统整合等比数列核心内容，通过25种考法实现从基本运算到综合应用的层级突破，强化数学抽象与逻辑推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基本运算|4考法|通项公式/前n项和公式/构造法|从定义出发，通过方程思想解决基本量问题| |判定证明|3考法|定义法/Sn与an关系/构造新数列|衔接概念与性质，培养逻辑推理能力| |性质应用|3考法|中项性质/下标和/单调性分析|深化性质理解，提升知识迁移能力| |综合应用|5考法|等差等比综合/范围最值/实际应用|整合多模块知识，强化数学建模与运算能力|

第42讲 等比数列及其前n项和 · 分类练习（解析卷） 考点一：等比数列的基本运算 1 考法1：利用通项公式与基本量方程求项或公比 1 考法2：结合等差或等比中项性质求基本量 2 考法3：利用前n项和公式解基本量方程 3 考法4：构造等比数列求基本量 3 考点二：等比数列的判定与证明 4 考法5：利用定义或充要条件判定等比数列 4 考法6：利用Sn与an关系证明等比数列 4 考法7：构造新数列证明等比数列 5 考点三：等比数列项的性质应用 6 考法8：利用等比中项及下标和性质求特定项或乘积 6 考法9：等比数列性质与韦达定理或函数结合求值 6 考法10：利用等比数列性质判断单调性及命题真假 6 考点四：等比数列前n项和的性质 7 考法11：利用连续k项和（片段和）的性质求和或比值 7 考法12：等比数列前n项和性质的综合判断 8 考点五：数列通项与求和综合 9 考法13：利用Sn与an关系求通项公式 9 考法14：构造等比数列求通项公式 9 考法15：数列求和的综合应用 9 考法16：奇偶项交替递推数列求通项与求和 10 考法17：分段数列（奇偶项）分组求和 11 考点六：等差数列与等比数列的综合应用 11 考法18：等差数列与等比数列基本量的综合计算 11 考法19：等差与等比数列性质的综合判断与应用 12 考法20：等差与等比数列的综合求和 12 考法21：等差与等比数列的综合证明 13 考点七：等比数列的范围与最值问题 14 考法22：利用基本不等式或函数求等比数列的最值 14 考法23：结合通项变号与单调性判断最值与命题真假 14 考法24：解不等式求等比数列的参数范围 15 考点八：等比数列的实际应用 15 考法25：等比数列在几何分形与数表规律中的应用 15 答案速查表 1 2 3 4 5 D A C A 6 7 8 9 10 B A A 见解析 见解析 11 12 13 14 15 ABC AC B 16 17 18 19 20 B ABD C （1）或 （2）当时，；当时， 21 22 23 24 25 （1） （2） （1） （2） C 或 BD 26 27 28 29 30 （1） （2） 见解析 B D 31 考点一：等比数列的基本运算 考法1：利用通项公式与基本量方程求项或公比 1.（2026·广东华南师大附中·检测）记为正项等比数列的前项和，已知，则该数列的公比为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】设公比为. 若，则由，可得，解得，不符合题意，所以； 由，则，显然， 所以，即， 即，解得（负值已舍去）.故选：D. 【点拨】本题考查等比数列基本量的计算，利用前项和公式与通项公式转化为关于公比的方程是解题关键. 2.（2026·湖北武汉·检测）已知数列为公比为的等比数列，且，则＿＿＿＿＿＿ 【答案】 【解析】由题意，数列是首项为，公比为的等比数列，所以，即，所以. 【点拨】本题考查等比数列的通项公式，先求出新数列的通项，再还原出原数列的项即可. 考法2：结合等差或等比中项性质求基本量 3.（2026·浙江台州·二模）已知为等比数列，，，则（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】由等比中项的性质知， 若该数列的公比为，则，显然， 所以. 【点拨】本题考查等比中项的性质及等比数列项的符号特征，注意偶数次幂的非负性对项的符号的限制. 4.（2025·广东·联考）已知正项等比数列的前项和为，满足，记表示不超过的最大整数，设，则数列的前项和为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】由得，解得. 由得，解得. 所以. 所以. 当时，；当时，. 所以. 【点拨】本题考查等比数列基本量的求解以及取整函数的求和，准确求出通项公式并对取整函数进行分类讨论是解题关键. 考法3：利用前n项和公式解基本量方程 5.（2026·山东枣庄·一模）记正项等比数列的前项和为，且，则（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】设的公比为，由得，解得或（舍去），所以.故选 A. 【点拨】本题考查等比数列前项和公式的应用，根据条件列出关于公比的方程即可求解. 考法4：构造等比数列求基本量 6.（2026·安徽淮南·二模）平面螺旋是以一个固定点开始，向外圈逐渐旋绕而形成的图案.其画法是：取第一个正方形各边的四等分点，，，作第二个正方形，再取正方形各边的四等分点，，，作第三个正方形，以此方法一直循环下去，就可得到阴影部分图案，如图所示.设正方形边长为，后续各正方形边长依次为.若，则等于（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】由题意可知，，易知，所以. 又，所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以，故. 【点拨】本题考查等比数列在几何图形中的应用，利用勾股定理找到相邻正方形边长的递推关系是解题关键. 考点二：等比数列的判定与证明 考法5：利用定义或充要条件判定等比数列 7.（2026·河南周口一高·一模）设数列是等比数列，数列是等比数列，则是的（　　） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】令等比数列的公比为，则， 因此，数列是等比数列，即； 令，，，即数列是等比数列， 令，则，显然，数列不是等比数列， 所以是的充分不必要条件. 【点拨】本题考查等比数列的判定及充分必要条件的判断，通过举反例说明必要性不成立是常用技巧. 8.（2025·福建九市·三模）已知数列是首项和公比均大于的无穷等比数列，设甲：为递增数列；乙：存在正整数，当时，，则（　　） A. 甲是乙的充分条件但不是必要条件 B. 甲是乙的必要条件但不是充分条件 C. 甲是乙的充要条件 D. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 【答案】A 【解析】若为递增数列，则，则公比，为指数型递增数列，易得存在正整数，当时，.充分性成立；不妨设，此时不是递增数列，所以甲是乙的充分条件但不是必要条件，故选A. 【点拨】本题考查等比数列的单调性与极限思想的结合，构造反例判断必要性是解题关键. 考法6：利用Sn与an关系证明等比数列 9.已知数列满足，，其中为的前项和.证明： （1）是等比数列. （2）. 【答案】见解析 【解析】（1） ，， 两式相减得：，即. . 当时，，即 又，是以为首项，为公比的等比数列. （2） 由（1）得，所以 令， 则. 不等式左边的前项和. 又，原不等式得证. 【点拨】本题考查由递推关系证明等比数列，以及数列求和的不等式放缩，采用并项放缩法是解题关键. 考法7：构造新数列证明等比数列 10.甲、乙两个容器中分别盛有浓度为，的某种溶液，同时从甲、乙两个容器中取出溶液，将其倒入对方的容器并搅匀，这称为一次调和.记，，经次调和后，甲、乙两个容器的溶液浓度分别为，. （1）试用，表示，. （2）证明：数列是等比数列，并求出，的通项. 【答案】见解析 【解析】（1） 由题意，经次调和后甲、乙两个容器中的溶液浓度分别为， 所以，. （2） 由（1）知，，， 可得， 所以数列是等比数列， 因为，所以①， 又因为②. 联立①②得，. 【点拨】本题考查等比数列在实际问题中的应用，根据题意列出递推关系并构造新数列是解题关键. 考点三：等比数列项的性质应用 考法8：利用等比中项及下标和性质求特定项或乘积 11.（2026·浙江湖衢丽·二模）（多选）已知等比数列的公比为，.若，，则下列说法正确的有（　　） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】由已知，，C正确； 则，B正确； 又，则，A正确； 则，D错误. 【点拨】本题考查等比数列的性质及前项积的计算，灵活运用等比中项性质是解题关键. 考法9：等比数列性质与韦达定理或函数结合求值 12.若，是函数的两个不同零点，且，，这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则＿＿＿＿＿＿ 【答案】 【解析】由题可得， 则成等比数列，得. 又不妨设，则成等差数列，得. 结合，可得，解得或（舍去），即. 【点拨】本题考查等差、等比中项性质与一元二次方程根与系数关系的综合，确定三个数的排列顺序是解题关键. 考法10：利用等比数列性质判断单调性及命题真假 13.（2025·广东深圳高级中学·检测）（多选）已知为等差数列，为等比数列，的公差为，的公比为，，下列结论正确的是（　　） A. 若，则为递增数列 B. 若，则为递减数列 C. 若，则为递增数列 D. 若，则为递增数列 【答案】AC 【解析】对于A，若，则，所以为递增数列，故A正确. 对于B，若，则为摆动数列，故B错误. 对于C，若，则，，且和均为递增数列，所以为递增数列，故C正确. 对于D，若，，当充分大时，该式符号不确定，例如，，不是递增数列，故D错误. 【点拨】本题考查等差、等比数列的单调性判断，利用作差法或举反例是判断数列单调性的常用方法. 考点四：等比数列前n项和的性质 考法11：利用连续k项和（片段和）的性质求和或比值 14.（2026·湖北黄冈·模拟）记为等比数列的前项和.若，则（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】由等比数列的性质，，，依然构成等比数列， 由等比数列的中项可得：， 代入得：，解得：. 【点拨】本题考查等比数列前项和的性质，利用连续项和成等比数列的性质可快速求解. 15.（2026·江西G20联盟·模拟）设等比数列的前项和为，公比为.若，，则＿＿＿＿＿＿ 【答案】 【解析】等比数列中，，，，仍成等比数列，公比为， ，，则， 所以，， 所以， ， 所以. 【点拨】本题考查等比数列前项和的性质，熟练运用片段和成等比数列的性质是解题关键. 考法12：等比数列前n项和性质的综合判断 16.（2026·浙江杭州二中·检测）为等比数列的前项和，，对，甲：；乙：；则（　　） A. 甲是乙的充分不必要条件 B. 甲是乙的必要不充分条件 C. 甲是乙的充要条件 D. 甲是乙的既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】充分性：由可得； 因此可知等比数列的各项均为正数，所以公比， 当时，满足，当时，满足，因此充分性不成立； 必要性：因为，若，可得等比数列为递增数列，且各项均为正数， 所以，因此，即必要性成立. 即可得甲是乙的必要不充分条件. 【点拨】本题考查等比数列前项和的单调性与通项单调性的关系，利用等比数列的通项公式进行分类讨论是解题关键. 17.（2026·山东菏泽·二模）（多选）等比数列满足，公比为，其前项和为，数列满足，则下列说法正确的是（　　） A. 时，为等差数列 B. 时，中任意两项的差均不为 C. 不存在，使得为常数列 D. 不存在，使得为等比数列 【答案】ABD 【解析】对于A，当时，，，，，所以为等差数列，故A正确； 对于B，当时，，，，因为为单调递减函数，所以中任意两项的差均不为0，故B正确； 对于C，若为常数列，则，当时，不为常数列；当时，，，，若，则，解得，此时，一般地，当时，，所以存在，使得为常数列，故C错误； 对于D，若为等比数列，则，当时，，若它为等比数列，则为常数，当时，，不满足等比数列各项不为0的定义，当时，，不是等比数列，所以不存在，使得为等比数列，故D正确.故选：ABD. 【点拨】本题考查等比数列前项和与通项的关系，通过对公比分类讨论并代入验证是解题关键. 考点五：数列通项与求和综合 考法13：利用Sn与an关系求通项公式 18.（2025·河北邢台协作体·一模）已知为等比数列，为数列的前项和，，则（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】由题设得，作差可得，即， 又为等比数列，故其公比为3，且，即， 所以. 【点拨】本题考查利用与的关系求通项公式，采用作差法得到相邻项的递推关系是解题关键. 考法14：构造等比数列求通项公式 19.已知数列和满足，，，.则数列的通项＿＿＿＿＿＿ 【答案】 【解析】，， 又， 所以数列是以3为首项，2为公比的等比数列 【点拨】本题考查构造等比数列求通项公式，通过两式相加构造出新数列的递推关系是解题关键. 考法15：数列求和的综合应用 20.已知等比数列的前项和为，，. （1）求的通项公式； （2）设数列的前项和为，求. 【答案】（1）或 （2）当时，；当时， 【解析】（1） 设公比为，，或，或. （2） ①当时，，此时，； ②当时，，①，②，①-②，，. 【点拨】本题考查等比数列基本量的计算以及错位相减法求和，熟练掌握错位相减法的步骤是解题关键. 考法16：奇偶项交替递推数列求通项与求和 21.已知数列满足，且 （1）设，求数列的通项公式； （2）设数列的前项和为，求使得不等式成立的的最小值. 【答案】（1） （2） 【解析】（1）因为所以，，，所以.又因为，所以，所以.因为，所以，又因为，所以，所以，所以，即，所以，又因为，所以，所以，所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列，所以，即. （2）由（1）可知，所以，所以，又因为，所以，即，所以，所以，因为，，所以是一个增数列，因为，，所以满足题意的的最小值是20. 【点拨】本题考查奇偶项交替递推数列的通项与求和，利用分组求和法将奇偶项合并是解题关键. 考法17：分段数列（奇偶项）分组求和 22.记为等差数列的前项和，已知，且. （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】（1）由，得 所以数列为等差数列.所以，得. 所以公差.所以. （2）当为奇数时，.当为偶数时. 所以. 【点拨】本题考查等差数列的通项公式及分段数列求和，利用分组求和法将奇数项和偶数项分别求和是解题关键. 考点六：等差数列与等比数列的综合应用 考法18：等差数列与等比数列基本量的综合计算 23.（2026·山东东营·二模）已知是等差数列，是等比数列，且，则（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】设公比为，则，.所以，.设公差为，则，解得.所以. 【点拨】本题考查等差数列与等比数列基本量的综合计算，分别求出两数列的基本量是解题关键. 24.（2026·浙江稽阳联谊·联考）已知等比数列的首项为，若成等差数列，则的前项和为＿＿＿＿＿＿ 【答案】或 【解析】为等差数列，，即，，得到或，则或. 【点拨】本题考查等差中项与等比数列的综合应用，转化为公比的方程求解是解题关键. 考法19：等差与等比数列性质的综合判断与应用 25.（2026·湖南师大附中·模拟）（多选）已知数列的前项和为，下列说法正确的是（　　） A. 若，则等比数列 B. 若数列为等差数列，则数列为等比数列 C. 若，则数列为等比数列 D. 各项均为正数的数列满足，且，，则 【答案】BD 【解析】对于A，当时，，此时不成等比数列，故A错误； 对于B，若数列为等差数列，设其公差为，则此时有，所以数列为等比数列，故B正确； 对于C，若，则不满足，所以数列不是等比数列，故C错误； 对于D，因为，由等差中项的定义可知，数列是首项，公差的等差数列，所以，由此可知，又因为，所以，D正确. 【点拨】本题考查等差与等比数列性质的综合判断，注意等比数列中项不能为0的隐含条件. 考法20：等差与等比数列的综合求和 26.在等差数列中，. （1）求等差数列的通项公式； （2）设数列是首项为，公比为的等比数列，求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】（1） 设等差数列的公差为， 由题知，则，解得 . （2） 设数列的通项公式为， 则， ， 则 . 【点拨】本题考查等差与等比数列的综合求和，利用分组求和法分别对等差和等比部分求和是解题关键. 考法21：等差与等比数列的综合证明 27.已知数列为等差数列，，，前项和为，数列满足，求证： （1）数列为等差数列； （2）数列中任意三项均不能构成等比数列. 【答案】见解析 【解析】（1）因为数列为等差数列，，， 所以数列的公差为，， 则，又， ，故数列为等差数列. （2）证明：假设数列中存在不同三项构成等比数列， 不妨设、、、、均不相等)成等比数列，即， 由数列的通项公式可得， 将此式展开可得， 所以有，即， 所以，，所以，， 化简整理得，，与假设矛盾， 故数列中任意三项均不能构成等比数列. 【点拨】本题考查等差与等比数列的综合证明，利用反证法证明不存在成等比数列的三项是解题关键. 考点七：等比数列的范围与最值问题 考法22：利用基本不等式或函数求等比数列的最值 28.（2026·安徽安庆·二模）已知等比数列，其公比，则的最小值为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】由题意知等比数列，其公比， 则， 当且仅当，即时取等号， 故的最小值为. 【点拨】本题考查等比数列与基本不等式的综合应用，将所求式子转化为关于公比的函数并利用基本不等式求最值是解题关键. 考法23：结合通项变号与单调性判断最值与命题真假 29.已知数列为等比数列，首项，公比，则下列叙述不正确的是（　　） A. 数列的最大项为 B. 数列的最小项为 C. 数列为严格递增数列 D. 数列为严格递增数列 【答案】D 【解析】对于A，由题意知：当为偶数时，； 当为奇数时，，，最大； 综上所述：数列的最大项为，A正确； 对于B，当为偶数时，，，最小； 当为奇数时，； 综上所述：数列的最小项为，B正确； 对于C，，， ， ，，， 数列为递增数列，C正确； 对于D，，， ； ，，，又， ，数列为递减数列，D错误. 故选：D. 【点拨】本题考查等比数列的单调性与最值问题，根据公比的范围分类讨论奇偶项的单调性是解题关键. 考法24：解不等式求等比数列的参数范围 30.已知等比数列的各项均为正数，公比为，前项和，若对于任意正整数有，则的范围为＿＿＿＿＿＿ 【答案】 【解析】对于任意正整数有， 当时，，符合要求， 当时，， ，且，， ， ， 综上可得，. 【点拨】本题考查等比数列前项和公式的应用及解不等式，分和讨论是解题关键. 考点八：等比数列的实际应用 考法25：等比数列在几何分形与数表规律中的应用 31.如图，已知在扇形中，半径，，圆内切于扇形（圆和，，弧均相切），作圆与圆，，相切，再作圆与圆，，相切，以此类推.设圆，圆的面积依次为，那么＿＿＿＿＿＿ 【答案】 【解析】如图，设圆与弧相切于点， 圆，圆与分别切于点，，则，. 设圆，圆，圆，，圆的半径分别为，，，，. 因为，所以.在中，， 则，即，解得. 在中，， 则，即，解得. 同理可得，， 所以是以为首项，以为公比的等比数列. 又圆的面积为， 所以面积，，，，构成一个以为首项，以为公比的等比数列， 则. 故答案为：. 【点拨】本题考查等比数列在几何图形中的应用，利用直角三角形的性质找出相邻两圆半径的递推关系是解题关键. 第 2 页，共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第42讲 等比数列及其前n项和 · 分类练习 考点一：等比数列的基本运算 1 考法1：利用通项公式与基本量方程求项或公比 1 考法2：结合等差或等比中项性质求基本量 1 考法3：利用前n项和公式解基本量方程 1 考法4：构造等比数列求基本量 1 考点二：等比数列的判定与证明 2 考法5：利用定义或充要条件判定等比数列 2 考法6：利用Sn与an关系证明等比数列 2 考法7：构造新数列证明等比数列 3 考点三：等比数列项的性质应用 3 考法8：利用等比中项及下标和性质求特定项或乘积 3 考法9：等比数列性质与韦达定理或函数结合求值 3 考法10：利用等比数列性质判断单调性及命题真假 3 考点四：等比数列前n项和的性质 3 考法11：利用连续k项和（片段和）的性质求和或比值 3 考法12：等比数列前n项和性质的综合判断 4 考点五：数列通项与求和综合 4 考法13：利用Sn与an关系求通项公式 4 考法14：构造等比数列求通项公式 4 考法15：数列求和的综合应用 4 考法16：奇偶项交替递推数列求通项与求和 5 考法17：分段数列（奇偶项）分组求和 5 考点六：等差数列与等比数列的综合应用 5 考法18：等差数列与等比数列基本量的综合计算 5 考法19：等差与等比数列性质的综合判断与应用 6 考法20：等差与等比数列的综合求和 6 考法21：等差与等比数列的综合证明 6 考点七：等比数列的范围与最值问题 6 考法22：利用基本不等式或函数求等比数列的最值 6 考法23：结合通项变号与单调性判断最值与命题真假 7 考法24：解不等式求等比数列的参数范围 7 考点八：等比数列的实际应用 7 考法25：等比数列在几何分形与数表规律中的应用 7 考点一：等比数列的基本运算 考法1：利用通项公式与基本量方程求项或公比 1.（2026·广东华南师大附中·检测）记为正项等比数列的前项和，已知，则该数列的公比为（　　） A. B. C. D. 2.（2026·湖北武汉·检测）已知数列为公比为的等比数列，且，则＿＿＿＿＿＿ 考法2：结合等差或等比中项性质求基本量 3.（2026·浙江台州·二模）已知为等比数列，，，则（　　） A. B. C. D. 4.（2025·广东·联考）已知正项等比数列的前项和为，满足，记表示不超过的最大整数，设，则数列的前项和为（　　） A. B. C. D. 考法3：利用前n项和公式解基本量方程 5.（2026·山东枣庄·一模）记正项等比数列的前项和为，且，则（　　） A. B. C. D. 考法4：构造等比数列求基本量 6.（2026·安徽淮南·二模）平面螺旋是以一个固定点开始，向外圈逐渐旋绕而形成的图案.其画法是：取第一个正方形各边的四等分点，，，作第二个正方形，再取正方形各边的四等分点，，，作第三个正方形，以此方法一直循环下去，就可得到阴影部分图案，如图所示.设正方形边长为，后续各正方形边长依次为.若，则等于（　　） A. B. C. D. 考点二：等比数列的判定与证明 考法5：利用定义或充要条件判定等比数列 7.（2026·河南周口一高·一模）设数列是等比数列，数列是等比数列，则是的（　　） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 8.（2025·福建九市·三模）已知数列是首项和公比均大于的无穷等比数列，设甲：为递增数列；乙：存在正整数，当时，，则（　　） A. 甲是乙的充分条件但不是必要条件 B. 甲是乙的必要条件但不是充分条件 C. 甲是乙的充要条件 D. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 考法6：利用Sn与an关系证明等比数列 9.已知数列满足，，其中为的前项和.证明： （1）是等比数列. （2）. 考法7：构造新数列证明等比数列 10.甲、乙两个容器中分别盛有浓度为，的某种溶液，同时从甲、乙两个容器中取出溶液，将其倒入对方的容器并搅匀，这称为一次调和.记，，经次调和后，甲、乙两个容器的溶液浓度分别为，. （1）试用，表示，. （2）证明：数列是等比数列，并求出，的通项. 考点三：等比数列项的性质应用 考法8：利用等比中项及下标和性质求特定项或乘积 11.（2026·浙江湖衢丽·二模）（多选）已知等比数列的公比为，.若，，则下列说法正确的有（　　） A. B. C. D. 考法9：等比数列性质与韦达定理或函数结合求值 12.若，是函数的两个不同零点，且，，这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则＿＿＿＿＿＿ 考法10：利用等比数列性质判断单调性及命题真假 13.（2025·广东深圳高级中学·检测）（多选）已知为等差数列，为等比数列，的公差为，的公比为，，下列结论正确的是（　　） A. 若，则为递增数列 B. 若，则为递减数列 C. 若，则为递增数列 D. 若，则为递增数列 考点四：等比数列前n项和的性质 考法11：利用连续k项和（片段和）的性质求和或比值 14.（2026·湖北黄冈·模拟）记为等比数列的前项和.若，则（　　） A. B. C. D. 15.（2026·江西G20联盟·模拟）设等比数列的前项和为，公比为.若，，则＿＿＿＿＿＿ 考法12：等比数列前n项和性质的综合判断 16.（2026·浙江杭州二中·检测）为等比数列的前项和，，对，甲：；乙：；则（　　） A. 甲是乙的充分不必要条件 B. 甲是乙的必要不充分条件 C. 甲是乙的充要条件 D. 甲是乙的既不充分也不必要条件 17.（2026·山东菏泽·二模）（多选）等比数列满足，公比为，其前项和为，数列满足，则下列说法正确的是（　　） A. 时，为等差数列 B. 时，中任意两项的差均不为 C. 不存在，使得为常数列 D. 不存在，使得为等比数列 考点五：数列通项与求和综合 考法13：利用Sn与an关系求通项公式 18.（2025·河北邢台协作体·一模）已知为等比数列，为数列的前项和，，则（　　） A. B. C. D. 考法14：构造等比数列求通项公式 19.已知数列和满足，，，.则数列的通项＿＿＿＿＿＿ 考法15：数列求和的综合应用 20.已知等比数列的前项和为，，. （1）求的通项公式； （2）设数列的前项和为，求. 考法16：奇偶项交替递推数列求通项与求和 21.已知数列满足，且 （1）设，求数列的通项公式； （2）设数列的前项和为，求使得不等式成立的的最小值. 考法17：分段数列（奇偶项）分组求和 22.记为等差数列的前项和，已知，且. （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前项和. 考点六：等差数列与等比数列的综合应用 考法18：等差数列与等比数列基本量的综合计算 23.（2026·山东东营·二模）已知是等差数列，是等比数列，且，则（　　） A. B. C. D. 24.（2026·浙江稽阳联谊·联考）已知等比数列的首项为，若成等差数列，则的前项和为＿＿＿＿＿＿ 考法19：等差与等比数列性质的综合判断与应用 25.（2026·湖南师大附中·模拟）（多选）已知数列的前项和为，下列说法正确的是（　　） A. 若，则等比数列 B. 若数列为等差数列，则数列为等比数列 C. 若，则数列为等比数列 D. 各项均为正数的数列满足，且，，则 考法20：等差与等比数列的综合求和 26.在等差数列中，. （1）求等差数列的通项公式； （2）设数列是首项为，公比为的等比数列，求数列的前项和. 考法21：等差与等比数列的综合证明 27.已知数列为等差数列，，，前项和为，数列满足，求证： （1）数列为等差数列； （2）数列中任意三项均不能构成等比数列. 考点七：等比数列的范围与最值问题 考法22：利用基本不等式或函数求等比数列的最值 28.（2026·安徽安庆·二模）已知等比数列，其公比，则的最小值为（　　） A. B. C. D. 考法23：结合通项变号与单调性判断最值与命题真假 29.已知数列为等比数列，首项，公比，则下列叙述不正确的是（　　） A. 数列的最大项为 B. 数列的最小项为 C. 数列为严格递增数列 D. 数列为严格递增数列 考法24：解不等式求等比数列的参数范围 30.已知等比数列的各项均为正数，公比为，前项和，若对于任意正整数有，则的范围为＿＿＿＿＿＿ 考点八：等比数列的实际应用 考法25：等比数列在几何分形与数表规律中的应用 31.如图，已知在扇形中，半径，，圆内切于扇形（圆和，，弧均相切），作圆与圆，，相切，再作圆与圆，，相切，以此类推.设圆，圆的面积依次为，那么＿＿＿＿＿＿ 第 2 页，共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 $