第41讲 等差数列及其前n项和·综合测试-2027年高考数学一轮复习（全国I卷地区通用）

**基本信息** 聚焦等差数列专题，整合湖北、山东等地2025-2026年联考真题，通过选择、多选、填空、解答题（8+3+3+5题，150分）梯度设计，强化定义、前n项和及综合应用，适配一轮复习基础巩固与能力提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/40|定义、前n项和公式、单调性|结合充分必要条件（第3题）考查逻辑推理，体现数学思维| |多选题|3/18|公差、前n项和性质|多选项设计（第9题）深化对数列关系的理解，培养数学眼光| |填空题|3/15|基本量计算、递推关系|第14题结合新数列定义，考查抽象能力，落实数学语言| |解答题|5/77|通项公式、求和、证明|第17题证不等式，融合等比数列知识，体现综合应用，贴近高考真题趋势|

第41讲 等差数列及其前n项和 · 综合测试（解析卷） 答案速查表 1 2 3 4 5 A A D C C 6 7 8 9 10 A B B ABD ACD 11 12 13 14 15 ACD 42 2026 2或50 （1） （2）47 16 17 18 19 （1） （2） （1） （2）证明见解析 （1）证明见解析 （2） （1） （2）8960 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.（2026·湖北·联考）已知数列的前项和，若，为正整数，则 A. 4052 B. 2026 C. D. 【答案】A 【解析】易知数列为等差数列，，，，. 【点拨】本题考查等差数列的前项和与通项公式的关系，利用通项公式求差即可. 2.（2026·山东青岛·一模）设公差不为的等差数列的前项和为，，若，，成等比数列，则 A. 16 B. 8 C. 4 D. 2 【答案】A 【解析】设出公差，借助等差数列及其前项和的基本量与等比中项的性质计算即可得.设等差数列的公差为，则有，即，由，，成等比数列，则，即，化简得，由，则，即有，解得，故. 【点拨】本题考查等差数列的基本量运算，利用前项和公式与等比中项的性质列方程组求解即可. 3.（2026·山东烟台·检测）已知是等差数列，其公差为，前项和为，则“”是“数列是递增数列”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】若，取等差数列，此时.但，，有，此时数列不是递增数列，故充分性不成立.若数列为递增数列，则对任意恒成立，即对任意，都有.对于等差数列，若，则当足够大时必有，与条件矛盾，故必有.当且时（例如常数列），其前项和，此时是严格递增数列，但并不满足，故必要性不成立.综上所述，“”是“数列是递增数列”的既不充分也不必要条件. 【点拨】判断数列前项和的单调性，本质上是判断数列通项的符号（）.在判断等差数列公差符号的必要性时，千万不要遗漏（常数列）这一特殊情况，这是命题人常设的陷阱. 4.（2026·江苏南京·一模）若等差数列的前项和为，且，则 A. B. C. D. 2 【答案】C 【解析】利用等差数列前项和公式，代入得：，代入已知条件：，化简得：，展开并整理：，解得，即：，因此：，故. 【点拨】本题考查等差数列前项和的性质，设是简化运算的有效方法. 5.（2026·湖南邵阳·联考）已知是等差数列的前项和，. 若，则正整数的最大值为 A. 2026 B. 2027 C. 4052 D. 4053 【答案】C 【解析】由得.由得.因为，所以，数列的公差，所以数列是递增数列.又，，所以满足的正整数的最大值为4052. 【点拨】本题考查等差数列前项和的性质，利用的单调性与项的符号关系是解题关键. 6.（2026·安徽皖南八校·检测）已知公差为的等差数列的前项和为，，是中的唯一最大项，则的取值范围为 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】因为是中的唯一最大项，所以且，即且，又，解得，即的取值范围为. 【点拨】本题考查等差数列前项和的最值问题，利用等差数列的项的符号变化规律列不等式组即可求得公差的取值范围. 7.（2025·江西上进联考·检测）记为等差数列的前项和，且，则满足的的最大值为 A. 40 B. 41 C. 42 D. 43 【答案】B 【解析】由得，所以公差.所以.由得，即.因为，.所以满足条件的最大正整数为41. 【点拨】本题考查等差数列的通项公式与前项和公式，先求出首项和公差，再解不等式即可. 8.（2026·广东佛山·检测）设等差数列的前项和为. 若，则 A. 12 B. 15 C. 18 D. 21 【答案】B 【解析】解：设等差数列的公差为，首项为，因为，所以，即，解得，所以. 【点拨】本题考查等差数列的基本量运算，利用前项和公式列方程组求出首项和公差是解题关键. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.（2025·河北沧州·二模）已知公差为的等差数列中，前项和为，且，，则 A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】在等差数列中，，解得，而，则，B正确；于是得公差，A正确；，则，C不正确；，D正确. 【点拨】本题考查等差数列的基本性质与前项和公式，利用等差中项性质求出基本量即可逐项判断. 10.（2026·浙江绍兴·检测）记为数列的前项和，，则下列结论可能成立的是 A. B. C. 是公差为的等差数列 D. 是公比为的等比数列 【答案】ACD 【解析】由，当时，，解得或.所以A可能成立.当时，.整理得，即.因式分解得，即.所以对任意，有或.若，取，则对所有成立.此时是公差为0的等差数列.若，取，则是首项为1，公差为1的等差数列，此时，.所以C可能成立.若，取，则是首项为1，公比为的等比数列，此时.所以D可能成立.若要，可能的情况是：若，，；若，，；若，，；若，，；若，，.综上，不可能为4，B不成立.故选ACD. 【点拨】本题考查数列递推关系，利用得到相邻两项的关系，再分类讨论即可. 11.（2026·河南豫东名校·二模）已知为等差数列的前项和，，，，则 A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】A选项，因为是等差数列，且，，所以，，所以，所以A选项正确；B选项，由A选项解析得：，，则，所以B选项错误；C选项，，所以，，则，所以C选项正确；D选项，因为，所以是以首项为，公比为4的等比数列，所以，所以D选项正确.故选：ACD. 【点拨】本题考查等差数列与等比数列的综合应用，先求出等差数列的通项公式与前项和，再判断各选项即可. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.（2025·浙江宁波·模拟）在等差数列中，为其前项和，若，则＿＿＿＿＿＿ 【答案】42 【解析】设等差数列的首项为，公差为.由得，即.由得，即.两式相减得，代入得.所以. 【点拨】本题考查等差数列的基本量运算，利用前项和公式列方程组求出首项和公差即可. 13.（2026·福建泉州·一模）已知数列、满足，，其中是等差数列，且，则＿＿＿＿＿＿ 【答案】2026 【解析】由得.因为，所以，即.所以.因为是等差数列，所以.所以. 【点拨】本题考查等差数列的性质与求和，利用对数的运算性质转化为等差数列的项的和，再利用等差数列的性质求解即可. 14.（2026·湖北随州·三模）已知正项等差数列的公差为（），为的前项和，若是首项为3的等差数列，则＿＿＿＿＿＿ 【答案】2或50 【解析】由数列的首项为3，得，解得，则，由数列是首项为3的等差数列，得，则，即，两边平方并整理得，变形得，解得或，经检验得或，当时，，，数列是等差数列；当时，，，数列是等差数列，所以得或. 【点拨】本题考查等差数列的综合应用，根据前三项成等差数列列出关于公差的方程，求出公差后需验证一般情况. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.（2026·江西萍乡·二模）已知等差数列的前项和为，且，. （1）求的通项公式； （2）若，求的最小值. 【答案】（1） （2）47 【解析】（1）设等差数列的公差为. 由得，即，解得. 3 分 又，所以，解得. 所以. 6 分 （2）由（1）知，，. 9 分 所以. 由得，即. 11 分 令，其对称轴为，在上单调递增. 因为， ， . 所以满足条件的的最小值为47. 13 分 【点拨】本题考查等差数列的基本量运算与前项和公式，利用基本量法求出通项公式，再解二次不等式即可. 16.（2026·山东枣庄·检测）已知等差数列的前项和为，且. （1）求的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】（1）设等差数列的公差为. 由题意得，即. 4 分 解得，. 所以. 7 分 （2）由（1）知，所以，. 所以. 11 分 所以 . 15 分 【点拨】本题考查等差数列的基本量运算以及裂项相消法求和，熟练掌握等差数列的通项公式与前项和公式是解题基础. 17.（2026·浙江名校协作体·联考）已知公差不为零的等差数列的前5项和为35，且，，成等比数列. （1）求数列的通项公式； （2）数列满足，求证：. 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】（1）设等差数列的公差为. 由得，即. 由成等比数列得，即. 展开得，即. 因为，所以. 4 分 代入得，解得，所以. 所以. 7 分 （2）由（1）知，所以. 11 分 所以. 因为，所以， 所以， 即. 15 分 【点拨】本题考查等差数列的基本量运算与等比中项的性质，以及裂项相消法求和与不等式证明，掌握裂项相消的技巧是解题关键. 18.已知数列的前项和为，数列的前项积为，且满足. （1）求证：为等差数列； （2）记，求数列的前2024项的和. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】（1） 因为 ， 当 时，，解得 或 ， 又 ，所以 ，故 ， 由 ，可得 ，所以 ， 3 分 当 时，． 所以 ，即 ， 6 分 所以 ，所以 所以 是以 为首项，1 为公差的等差数列. 8 分 （2） 所以 ，则 ， 11 分 因为 ， 14 分 故 ． 17 分 【点拨】本题考查数列递推关系的化简与等差数列的证明，以及裂项相消法求和，利用与的关系转化为的递推式是解题关键. 19.记为等差数列的前项和，，. （1）求数列的通项公式； （2）求的值. 【答案】（1） （2）8960 【解析】（1） 设等差数列 的首项和公差分别为 、， 由题意可知 ， 化简得 ，解得 ， 4 分 所以 ． 7 分 （2） 由 （1） 知：当 时，；当 时，， 11 分 所以 ． 17 分 【点拨】本题考查等差数列的基本量运算与含绝对值的数列求和，先判断数列各项的符号，再分段求和是解题关键. 第 2 页，共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第41讲 等差数列及其前n项和 · 综合测试 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.（2026·湖北·联考）已知数列的前项和，若，为正整数，则（　　） A. 4052 B. 2026 C. D. 2.（2026·山东青岛·一模）设公差不为的等差数列的前项和为，，若，，成等比数列，则（　　） A. 16 B. 8 C. 4 D. 2 3.（2026·山东烟台·检测）已知是等差数列，其公差为，前项和为，则“”是“数列是递增数列”的（　　） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4.（2026·江苏南京·一模）若等差数列的前项和为，且，则（　　） A. B. C. D. 2 5.（2026·湖南邵阳·联考）已知是等差数列的前项和，. 若，则正整数的最大值为（　　） A. 2026 B. 2027 C. 4052 D. 4053 6.（2026·安徽皖南八校·检测）已知公差为的等差数列的前项和为，，是中的唯一最大项，则的取值范围为（　　） A. B. C. D. 7.（2025·江西上进联考·检测）记为等差数列的前项和，且，则满足的的最大值为（　　） A. 40 B. 41 C. 42 D. 43 8.（2026·广东佛山·检测）设等差数列的前项和为. 若，则（　　） A. 12 B. 15 C. 18 D. 21 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.（2025·河北沧州·二模）已知公差为的等差数列中，前项和为，且，，则（　　） A. B. C. D. 10.（2026·浙江绍兴·检测）记为数列的前项和，，则下列结论可能成立的是（　　） A. B. C. 是公差为的等差数列 D. 是公比为的等比数列 11.（2026·河南豫东名校·二模）已知为等差数列的前项和，，，，则（　　） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.（2025·浙江宁波·模拟）在等差数列中，为其前项和，若，则＿＿＿＿＿＿ 13.（2026·福建泉州·一模）已知数列、满足，，其中是等差数列，且，则＿＿＿＿＿＿ 14.（2026·湖北随州·三模）已知正项等差数列的公差为（），为的前项和，若是首项为3的等差数列，则＿＿＿＿＿＿ 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.（2026·江西萍乡·二模）已知等差数列的前项和为，且，.（13分） （1）求的通项公式； （2）若，求的最小值. 16.（2026·山东枣庄·检测）已知等差数列的前项和为，且.（15分） （1）求的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 17.（2026·浙江名校协作体·联考）已知公差不为零的等差数列的前5项和为35，且，，成等比数列.（15分） （1）求数列的通项公式； （2）数列满足，求证：. 18.已知数列的前项和为，数列的前项积为，且满足.（17分） （1）求证：为等差数列； （2）记，求数列的前2024项的和. 19.记为等差数列的前项和，，.（17分） （1）求数列的通项公式； （2）求的值. 第 2 页，共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 $