精品解析：重庆市西南大学附属中学校2026届高三上学期1月月考数学试卷

西南大学附属中学高2026届1月月考 数学试题 注意事项: 1、答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2、回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3、试卷由圈"整理排版.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复数的虚部为（ ） A. 1 B. i C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的乘方和除法运算即可得到答案. 详解】， 则其虚部为1. 故选：A. 2. 已知向量，，，且，则实数为（ ） A. -4 B. -3 C. 4 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量垂直列方程，化简求得的值. 【详解】， 由于， 所以. 故选：A 3. 函数的最大值为（ ） A. B. C. D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】利用三角恒等变换可得，结合正弦函数最值分析求解. 【详解】因为， 当，即时，函数取到最大值 故选：B. 4. 如图，已知正四棱锥的所有棱长均相等，为棱中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】取为空间向量基底，用空间向量求异面直线的夹角的余弦. 【详解】以为空间向量基底，不妨设， 则，. 又，， ，， 所以 ， 所以， 所以异面直线与所成角的余弦为. 故选：B 5. 甲､乙､丙､丁4名志愿者被派往三个足球场参加志愿服务，每名志愿者都必须分配，每个足球场至少分配1名志愿者，但甲､乙不能安排在同一个足球场，则不同的分配方案共有（ ） A. 30种 B. 36种 C. 42种 D. 56种 【答案】A 【解析】 【分析】先计算出所有可能得选派方法，在计算出甲乙在同一足球场的情况，可求出不在同一足球场的分配方案数. 【详解】总分配方案种数为，甲､乙在同一足球场的分配方案种数为，则甲､乙不在同一个足球场的分配方案种数为， 故选:A. 6. 记等比数列的前n项和为，数列的前n项和为，且满足 若，则公比q=（ ） A. 2023 B. 2024 C. 2025 D. 2026 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用等比数列前n项和公式列式计算得解. 【详解】等比数列中，，则， 因，故数列是首项为，公比为的等比数列， 显然，否则；且，否则， 则，由，得， 所以. 故选：C 7. 已知，，且，则下列不等式不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据基本不等式逐项判断ABD，消元，化简，结合不等式性质判断C. 【详解】因为，，且， 由基本不等式可得（当且仅当时取等号），A正确； 由基本不等式知，则， 即（当且仅当时取等号），B正确； 由题得， 由已知，故，所以， 故，C正确； 由基本不等式可得， 即（当且仅当时取等号），D错误. 故选：D. 8. 已知函数 若 ，且，若 ，则满足条件的点在平面直角坐标系中构成的图象为（ ） A. 圆 B. 双曲线 C. 一个点 D. 不存在 【答案】C 【解析】 【分析】先确定函数的解析式，再分析函数的对称性，根据函数性质确定的关系，可得问题答案. 【详解】因为， 所以. 又，所以. 所以. 因为. 又， 所以. 所以点在平面直角坐标系中构成的图象为1个点. 故选：C 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若事件A与事件B相互独立，， 则 B. 若样本数据的方差为10， 则数据的方差为90 C. 一个盒子中有3个黑球，2个白球，1个红球，不放回地抽取两次，每次抽一个球，则事件“至少有一个红球”与事件“两个球颜色相同”互斥 D. 这2026个数的上四分位数是507 【答案】BC 【解析】 【分析】根据概率公式，结合独立事件的概率乘法公式可判断A；根据方差的性质可判断B；根据互斥事件的概念可判断C；根据百分位数的定义直接计算可判断D. 【详解】对A，因为事件A与事件B相互独立，， 所以， 则，A错误； 对B，因为样本数据的方差为10， 所以数据的方差为，B正确； 对C，因为不放回地抽取两次最多有一个红球， 所以事件“至少有一个红球”发生时，取到的球必然有两种颜色（红黑或红白）， 此时事件“两个球颜色相同”不可能发生，故两事件互斥，C正确； 对D，因为，所以上四分位数是该组数据的第个数，即，D错误. 故选：BC 10. 如图，在正四棱柱中，，点P为线段上一动点，则下列说法正确的是（ ） A. 直线平面 B. 三棱锥的体积为定值 C. 若Q为线段中点，则与垂直 D. 三棱锥外接球的体积为 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A，连接，先证明平面平面，进而判断即可；对于B，先证明平面，而，可得到平面的距离等于到平面的距离，进而根据棱锥的体积公式求解判断即可；对于C，先证明，，即可得到平面，进而得到即可判断；对于D，三棱锥的外接球半径等于正四棱柱的外接球半径，进而求出外接球半径，再根据球的体积公式求解判断即可. 【详解】A，连接， 在正四棱柱中，，， 因为平面，平面，所以平面， 因为平面，平面，所以平面， 因为，、平面，所以平面平面， 又因为平面，所以平面，故A正确； B，由于，平面，平面， 所以平面，而， 则到平面的距离等于到平面的距离， 而平面，所以到平面的距离为， 则三棱锥的体积为，故B错误； C，因为Q为线段中点，所以，而， 则，即，则， 而，所以，可得， 而平面，平面，所以， 因为，平面，所以平面， 又平面，所以，故C正确； D，三棱锥的外接球半径等于正四棱柱的外接球半径， 设三棱锥的外接球半径为，则， 因此三棱锥外接球的体积为，故D错误. 故选：AC 11. 已知抛物线C：的焦点为F，经过点F的直线交抛物线C于A，B两点，则下列说法中正确的有（ ） A. 点F 的坐标为 B. 若点A在第一象限， 且， 则直线AB 的斜率为 C. D. 过点作抛物线C的两条切线，切点分别为M，N，若点T为C的曲线段上任意一点，则面积的最大值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】求出焦点坐标判断A；设出直线方程，与抛物线方程联立，利用，结合抛物线定义及数量积的坐标表示求解判断BC；求出直线的方程，并求出点到直线的最大距离即可判断D. 【详解】对于A，抛物线C：的焦点，A正确； 直线不垂直于轴，设其方程为，由消去得， 设，则，，， 对于B，由，得，即，则， 因此，解得，由，得，而， 则，，因此直线的斜率，B正确； 对于C，，C错误； 对于D，设点，抛物线在点处的切线方程为， 由消去得，即，则， 因此抛物线在点处的切线方程为，同理抛物线在点处的切线方程为， 而这两条切线的交点为，则，即点的坐标均满足方程， 由消去得，解得，， 依题意，抛物线在点处的切线与直线平行， 设抛物线在点处的切线方程为，由消去得， 则，解得，此时，，即点， 点到直线距离的最大值为， 因此面积的最大值为，D正确. 故选：ABD 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 的展开式中x的系数为_________(用数字作答). 【答案】 【解析】 【分析】根据二项展开式的通项公式，令展开式中的指数为1，即可求出的系数. 【详解】在的展开式中， 通项公式为， 令，解得， 所以展开式中的系数为： . 故答案为：. 13. 已知圆，点P 为直线上一动点，过点 P 向圆C引两条切线 PA、PB，点A、B为切点，则直线AB经过定点_________. 【答案】 【解析】 【分析】设出点坐标，得到以为直径的圆的方程，与已知圆的方程联立，可得直线的方程，再由直线系方程求解． 【详解】圆的圆心为， 设， 则以为直径的圆的方程为， 即， 又圆，相减可得， 即， 令，解得， 所以直线经过定点． 故答案为：. 14. 在正项数列{an}中， ，记 整数m满足 则数列的前m项和为_________. 【答案】 【解析】 【分析】先根据已知条件判断出是以首项为1公差为1的等差数列，然后求出的通项公式，进而将的表达式列出来并化简，根据对数函数的性质求出整数，最后根据裂项相消法求出结果即可. 【详解】因为，所以是以首项为1公差为1的等差数列. 得到，因为为正项数列，所以. 所以 . 因为整数满足， 而. 所以.所以数列的前m项和为 . 故答案为：. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图是函数，一个周期内的图象，把的图象上所有点的横坐标伸长到原来的3倍，纵坐标不变；再将所得的图像向右平移个单位长度，得到函数的图象. （1）求函数解析式; （2）在△ABC中， 若， AB=2， BC=3， 求AC. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由图像得到函数 的，，所以，再由得到，所以，由图像变换得到. （2）由，得到，再利用余弦定理得到. 【小问1详解】 由图象可知，周期 ，因此; ，即， 所以 ,所以 因为，所以， 所以， 将的图象上所有点的横坐标伸长到原来的3倍，纵坐标不变得到 ， 将图像向右平移个单位长度得到. 所以. 【小问2详解】 因为，所以,所以， 因,所以 ,所以，所以. 由余弦定理，， 即， 所以. 16. 近期甲型H3N2流感来袭，医学研究表明，如果每天温差太大，人们受风寒刺激极易受凉感冒，自身抵抗力就会变弱，易受流感病毒侵袭，特别是对于学生及老年人群体更需保暖和多加防范.我校数学建模社团成员共同研究了一天昼夜温差的大小与我校患流感就诊人数多少之间的关系，他们记录了某周周一至周六的温差，并到校医室查阅了这六天中每天学生新增流感就诊的人数，得到数据如下： 日期 周一 周二 周三 周四 周五 周六 昼夜温差t(℃) 4 7 8 9 14 12 新增流感就诊人数y(位) y₁ y₂ y₃ y₄ y₅ y₆ 参考数据：， （1）已知第一天新增流感就诊的学生中有3位男生，从第一天新增的流感就诊学生中随机抽取2位，其中男生人数记为X，若抽取的2人中至少一位女生的概率为 求X的分布列和数学期望； （2）已知两个变量t与y之间的样本相关系数 ，请用最小二乘法求出y关于t的经验回归方程 ，据此估计昼夜温差为13℃时，我校新增流感就诊的学生人数. 参考公式：， 【答案】（1）分布列见解析，数学期望为. （2）经验回归方程为；当昼夜温差13℃时，我校新增流感就诊的学生人数为人. 【解析】 【分析】（1）先根据已知条件求出第一天新增流感就诊的学生总数，然后求出的可能取值为0，1，2以及对应的概率值，列出分布列，根据期望公式求出数学期望即可. （2）根据条件中给的公式和相关系数先求出，然后得到，然后根据公式求出，进而得到，从而求得经验回归方程和昼夜温差为13℃时的函数值. 【小问1详解】 因为抽取的2人中至少一位女生的概率为，所以抽取的2人中全是男生的概率为. 设第一天新增流感就诊的学生共人，则，化简得. 解得（舍去）或. 所以由题意可知的可能取值为0，1，2， . 所以的分布列为 0 1 2 所以数学期望为. 【小问2详解】 由题意可知，， 所以. 所以. 因为，所以， 解得.而，所以 所以y关于t的经验回归方程为. 当昼夜温差时，我校新增流感就诊的学生人数为人. 17. 在平面直角坐标系 中，已知动点到点的距离和E到直线 的距离之比是常数 . （1）求动点的轨迹的方程； （2）过点的动直线(斜率存在)与曲线C交于，两点，在x轴上存在点 ，使得,试问 是否为定值，若是，求出的值；若不是，请说明理由. 【答案】（1） （2）是，. 【解析】 【分析】（1）利用距离公式化简即可得到动点E的轨迹C的方程是. （2）法一：因为结合角平分线逆定理得到轴为的角平分线，所以，设直线方程为,,联立方程，利用韦达定理求解即可得到；法二：设直线方程为，联立椭圆方程得到韦达定理式，代入化简即可. 【小问1详解】 因为动点到点的距离和E到直线的距离之比是常数， 所以， 两边平方得到； 化简得到动点E的轨迹C的方程是. 【小问2详解】 法一：设过点的直线方程为， 联立方程，整理得到， 设，则； 因为，所以由角平分线逆定理得到，轴为角平分线， 所以，即， 化简得到，即； 将代入上式得； 化简得到 即 因为，所以. 即； 整理得到； 即，解得. 因此是定值4. 法二：因为， 所以，即，所以． 显然过点的动直线不与轴重合，故设直线方程为， 设， 联立，可得， ，即时， 由韦达定理得， 因为，所以， 即， 整理得， 所以， 化简得， 即。 18. 如图， 四棱锥中，底面为矩形，，侧面为正三角形，且平面平面，E为棱PA上一点，，平面BCE交棱PD于点F. （1）求证：； （2）当时，点P关于平面BCE的对称点为Q，求Q点到平面PCD的距离. （3）求直线CD与平面BED所成角的正弦值的最大值. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先证明平面，再根据线面平行的性质求解即可； （2）建立空间直角坐标系，设，利用空间向量列方程可求得，进而利用点到平面的距离公式求解即可； （3）利用空间向量表示出直线CD与平面BED所成角的正弦值，进而求解即可. 【小问1详解】 在矩形中，， 因为平面，平面，所以平面， 又平面平面，平面， 所以. 【小问2详解】 设的中点为，连接， 因为为正三角形，所以， 又平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 以为原点，以所在直线为轴，以过点垂直于的直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，当时，，设， 则， ， 设平面BCE的一个法向量为， 则，取，得， 因为点P关于平面BCE的对称点为Q， 所以，且点P到平面BCE的距离与点Q到平面BCE的距离相等， 则，且， 即，且， 解得或（舍去），，即，则， 设平面PCD的一个法向量为， 则，取，得， 则Q点到平面PCD的距离为. 【小问3详解】 由（2）知，， 则， 即， 设平面BED的一个法向量为， 则， 取，得， 设直线CD与平面BED所成角为， 则，令， 则， 令，则， 由于函数开口向上，对称轴为， 则时，取得最小值， 则的最大值为，即直线CD与平面BED所成角的正弦值的最大值为. 19. 已知函数. （1）若，求函数在区间上的单调区间； （2）若，函数在区间的零点从小到大依次构成数列； （i）证明: 函数在区间有唯一零点，且； （ii）令，判断并证明数列的单调性. 【答案】（1）单调递减区间为，单调递增区间为， （2）（i）证明见解析；（ii）数列是递减数列，证明见解析 【解析】 【分析】（1）求导，利用导数的正负求解即可； （2）（i）首先利用导数说明函数每一个零点所在区间，再结合诱导公式，以及函数的单调性，比较大小后，即可证明； （ii）首先设，利用分析法转化证明，根据条件得到，并通过作差构造函数，，利用导数分析单调性后即可证明. 【小问1详解】 当时，，， 则， 令，得或， 令，得， 所以函数在上的单调递减区间为， 单调递增区间为，. 【小问2详解】 （i）当时，，， 则， 所以对于任意在区间上单调递增， 又，当时，， 所以在区间内有唯一零点，则， 所以和都在区间内， 又，所以． （ⅱ）数列是递减数列，证明如下： 要证明数列是递减数列，即证当时，， 即证当时，，即证， 记，则，所以只需证明当时，． 由（ⅰ）知，所以，且． 所以，则，， 所以， 设函数，， 则， 因为在区间上单调递增， 所以当，即时，，即， 所以在时单调递增， 又，则， 即，所以． 又因为在上单调递增，且，所以， 综上所述，数列是递减数列． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 西南大学附属中学高2026届1月月考 数学试题 注意事项: 1、答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2、回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3、试卷由圈"整理排版.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复数的虚部为（ ） A. 1 B. i C. D. 2. 已知向量，，，且，则实数为（ ） A. -4 B. -3 C. 4 D. 3 3. 函数的最大值为（ ） A. B. C. D. 3 4. 如图，已知正四棱锥的所有棱长均相等，为棱中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 5. 甲､乙､丙､丁4名志愿者被派往三个足球场参加志愿服务，每名志愿者都必须分配，每个足球场至少分配1名志愿者，但甲､乙不能安排在同一个足球场，则不同的分配方案共有（ ） A. 30种 B. 36种 C. 42种 D. 56种 6. 记等比数列的前n项和为，数列的前n项和为，且满足 若，则公比q=（ ） A. 2023 B. 2024 C. 2025 D. 2026 7. 已知，，且，则下列不等式不正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数 若 ，且，若 ，则满足条件的点在平面直角坐标系中构成的图象为（ ） A. 圆 B. 双曲线 C. 一个点 D. 不存在 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若事件A与事件B相互独立，， 则 B. 若样本数据的方差为10， 则数据的方差为90 C. 一个盒子中有3个黑球，2个白球，1个红球，不放回地抽取两次，每次抽一个球，则事件“至少有一个红球”与事件“两个球颜色相同”互斥 D. 这2026个数的上四分位数是507 10. 如图，在正四棱柱中，，点P为线段上一动点，则下列说法正确是（ ） A. 直线平面 B. 三棱锥的体积为定值 C. 若Q为线段中点，则与垂直 D. 三棱锥外接球的体积为 11. 已知抛物线C：的焦点为F，经过点F的直线交抛物线C于A，B两点，则下列说法中正确的有（ ） A. 点F 的坐标为 B. 若点A在第一象限， 且， 则直线AB 的斜率为 C. D. 过点作抛物线C两条切线，切点分别为M，N，若点T为C的曲线段上任意一点，则面积的最大值为 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 的展开式中x的系数为_________(用数字作答). 13. 已知圆，点P 为直线上一动点，过点 P 向圆C引两条切线 PA、PB，点A、B为切点，则直线AB经过定点_________. 14. 在正项数列{an}中， ，记 整数m满足 则数列的前m项和为_________. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图是函数，一个周期内的图象，把的图象上所有点的横坐标伸长到原来的3倍，纵坐标不变；再将所得的图像向右平移个单位长度，得到函数的图象. （1）求函数的解析式; （2）在△ABC中， 若， AB=2， BC=3， 求AC. 16. 近期甲型H3N2流感来袭，医学研究表明，如果每天温差太大，人们受风寒刺激极易受凉感冒，自身抵抗力就会变弱，易受流感病毒侵袭，特别是对于学生及老年人群体更需保暖和多加防范.我校数学建模社团成员共同研究了一天昼夜温差的大小与我校患流感就诊人数多少之间的关系，他们记录了某周周一至周六的温差，并到校医室查阅了这六天中每天学生新增流感就诊的人数，得到数据如下： 日期 周一 周二 周三 周四 周五 周六 昼夜温差t(℃) 4 7 8 9 14 12 新增流感就诊人数y(位) y₁ y₂ y₃ y₄ y₅ y₆ 参考数据：， （1）已知第一天新增流感就诊的学生中有3位男生，从第一天新增的流感就诊学生中随机抽取2位，其中男生人数记为X，若抽取的2人中至少一位女生的概率为 求X的分布列和数学期望； （2）已知两个变量t与y之间的样本相关系数 ，请用最小二乘法求出y关于t的经验回归方程 ，据此估计昼夜温差为13℃时，我校新增流感就诊的学生人数. 参考公式：， 17. 在平面直角坐标系 中，已知动点到点的距离和E到直线 的距离之比是常数 . （1）求动点轨迹的方程； （2）过点的动直线(斜率存在)与曲线C交于，两点，在x轴上存在点 ，使得,试问 是否为定值，若是，求出的值；若不是，请说明理由. 18. 如图， 四棱锥中，底面矩形，，侧面为正三角形，且平面平面，E为棱PA上一点，，平面BCE交棱PD于点F. （1）求证：； （2）当时，点P关于平面BCE的对称点为Q，求Q点到平面PCD的距离. （3）求直线CD与平面BED所成角正弦值的最大值. 19. 已知函数. （1）若，求函数在区间上的单调区间； （2）若，函数在区间的零点从小到大依次构成数列； （i）证明: 函数在区间有唯一零点，且； （ii）令，判断并证明数列的单调性. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $