·2026-2027学年北师大版九年级数学上册预习手册19《第5章二次函数第2节二次函数的图像（二）y=ax²+c的图像和性质》预习讲义

本讲义聚焦二次函数y=ax²+c的图像和性质，前承y=ax²的图像基础，通过描点法对比探究c对图像上下平移的影响，系统梳理其开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性及最值等性质，构建二次函数图像平移与性质的知识支架。 该资料以问题驱动探究，通过列表描点画图对比y=2x²与y=2x²±1的图像联系，培养几何直观和抽象能力。经典例题选用区域期末真题，分层次练习题覆盖选择、填空、解答，强化推理意识与应用意识，课中辅助教师突破重难点，课后助力学生查漏补缺，巩固知识应用。

数学臻选·2026-2027学年北师大版九年级数学上预习手册19 《第5章二次函数第2节二次函数的图像（二）y=ax²+c的图像和性质》预习讲义 一．学习目标 ( 1.能利用描点法画出二次函数y=ax 2 +c的图像，对比y=ax 2 的图像，认识两者之间的联系。 2.掌握二次函数y=ax 2 +c的开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性、最值。 3.理解c值对二次函数图像上下平移的影响，掌握平移规律。 4.会运用y=ax 2 +c的性质解决简单的求值、比较函数值大小问题。 ) 二．重点难点 ( 1. 重点：y=ax 2 +c的图像与性质；图像上下平移规律。 2. 难点：理解常数c如何改变顶点位置；利用增减性比较函数值；平移规律逆向运用（由平移前后函数式反求参数）。 ) 三．知识梳理 （一）用描点法画二次函数y=ax2+c的图像 在同一直角坐标系中，画出y=2x2+1 ，y=2x2-1的图象. （1）列表 x … -2 -1.5 -1 0 1 1.5 2 … y=2x2+1 … 9 5.5 3 1 3 5.5 9 … y=2x2-1 … 7 3.5 1 -1 1 3.5 7 … （2）描点 （3）连线 【讨论】 1.二次函数y=2x2+1 ，y=2x2-1的图象与二次函数y=2x2的图象有什么关系？ 【解析】二次函数 y=2x2+1、y=2x2-1 与 y=2x2 的图像关系：抛物线 y=2x2+1 是由抛物线y=2x2 向上平移1个单位得到；抛物线 y=2x2-1 是由抛物线y=2x2 向下平移1个单位得到。 三条抛物线形状、宽窄完全一样（a 值相同），只是顶点位置不同。 2.二次函数y=2x2+1 ，y=2x2-1的图象与二次函数y=2x2的的开口方向、对称轴、顶点坐标、最值、增减性分别是什么呢？ 【解析】分别分析三条抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标、最值、增减性 （1）y=2x2 ：开口方向：a=2>0，开口向上；对称轴：直线 x=0（y轴）；顶点坐标：(0,0)； 最值：当 x=0 时，y最小=0，无最大值；增减性：x<0 时，y 随x增大而减小；x>0 时，y 随x增大而增大。 （2）y=2x2+1：开口方向：a=2>0，开口向上；对称轴：直线x=0（y轴）；顶点坐标：(0,1)； 最值：当 x=0 时，y最小=1，无最大值；增减性：x<0 时，y 随x增大而减小；x>0 时，y 随x增大而增大。 （3）y=2x2-1：开口方向：a=2>0，开口向上；对称轴：直线x=0（y轴）；顶点坐标：(0,-1)； 最值：当 x=0 时，y最小=-1，无最大值；增减性：x<0 时，y 随x增大而减小；x>0 时，y 随x增大而增大。 【规律总结】： y=ax2 与y=ax2+c，a不变，抛物线形状不变；c控制图像上下平移；对称轴始终为y轴，顶点(0,c)。 （二）y=ax²+c的图像和性质 的符号 图象 开口方向 向上 向下 对称轴 轴 轴 顶点坐标 （0.c） （0.c） 增减性 当时，随的增大而减小﹔ 当时随的增大而增大 当时随的增大而增大， 当时随的增大而减小 最值 当时，有最小值y最小=c 当时，有最大值y最大=c （三）二次函数y=ax2+c与 y=ax2的联系 1.二次函数y=ax2与y=ax2+c的图象的关系： 二次函数y = ax2+c的图象可以由y = ax2的图象平移得到： 当c > 0时,向上平移c个单位长度得到. 当c < 0时,向下平移 -c个单位长度得到. 2.上下平移规律： 平方项不变，常数项上加下减. 四．经典例题 例1.（2024-2025云岩区期末）抛物线y=3x2-2的顶点坐标为（ ） A.(0,-2) B.(-2,0) C.(0,2) D.(2,0) 【答案】：A 【解析】：y=ax2+c顶点坐标固定为(0,c)，本题c=-2，所以顶点(0,-2)。 例2.（2026南明区一模）将抛物线y=-2x2向上平移3个单位，得到新抛物线解析式为（） A.y=-2x2+3 B.y=-2x2-3 C.y=-2(x+3)2 D.y=-2(x-3)2 【答案】：A 【解析】平移口诀“上加下减”，仅改变常数项，向上平移3，c加3，解析式为y=-2x2+3。 例3.（2025花溪区期末·第8题）对于二次函数y=-x2+4，下列说法正确的是（） A.开口向上 B.当x>0时，y随x增大而增大 C.顶点(0,4) D.有最小值4 【答案】：C 【解析】：a=-1<0，开口向下；x>0时，y随x增大而减小；顶点(0,4)；函数有最大值4。只有C正确。 例4．在平面直角坐标系中，二次函数（，）的图象可能是下图中的（ ）． A． B． C． D． 【答案】A 【解析】二次函数（，）的顶点坐标为，选项C、D错误 对称轴为y轴，它的开口方向向下，选项B错误．故选：A． 例5.（2024-2025清镇市期末）抛物线y=-5x2+11的对称轴是________。 【答案】：直线x=0（y轴） 【解析】：y=ax2+c形式的二次函数，对称轴固定为y轴，即直线x=0。 例6.（2026乌当区一模）抛物线y=4x2+c经过点(0,-5)，则c=________。 【答案】：-5 【解析】：把x=0,y=-5代入解析式，-5=4×0+c，解得c=-5。 例7.（2025修文县期末）将抛物线y=x2向下平移6个单位后解析式为________。 【答案】：y=x2-6 【解析】：“上加下减”，向下平移6，常数项减去6。 例8.（2026开阳县二模）二次函数y=-3x2+7，当x=_______时，y取得最大值____。 【答案】：0；7 【解析】：a=-3<0，开口向下，在对称轴x=0处取得最大值，最大值为c=7。 例9.（2024-2025南明区期末·改编）已知二次函数y=-2x2+8。 (1)写出抛物线开口方向、顶点坐标、对称轴； (2)求抛物线与x轴的交点坐标。 解：(1)a=-2<0，开口向下；顶点(0,8)；对称轴为直线x=0（y轴）。 (2)令y=0，-2x2+8=0，x2=4，解得x1=2，x2=-2；∴与x轴交点坐标为(2,0)、(-2,0) 【解析】：(1)直接利用y=ax2+c性质解题。(2)求与x轴交点，令y=0，解方程即可。 例10.（2026花溪区三模·改编）抛物线y=ax2-3经过点(-2,5)。 (1)求a的值； (2)写出该抛物线的增减性； (3)若点M(m,7)在此抛物线上，求m的值。 解：(1)将(-2,5)代入解析式：5=a·(-2)2-3，4a-3=5，解得a=2。 (2)抛物线解析式为y=2x2-3，a=2>0，对称轴为y轴；当x<0时，y随x增大而减小；当x>0时，y随x增大而增大。 (3)把y=7代入y=2x2-3，7=2m2-3，2m2=10，m2=5，m=±。 【解析】(1)函数图像上的点坐标满足解析式，代入列方程。(2)根据开口方向、对称轴判断增减性。(3)已知纵坐标，代入解析式求横坐标。 五．夯实基础 （一）选择题 1.（2024-2025观山湖区期末）抛物线y=-4x2-1的开口方向是（ ） A.向上 B.向下 C.向左 D.向右 【答案】：B 【解析】：a=-4<0，二次函数开口向下。 2.（2026云岩区一模）抛物线y=5x^2-7是由y=5x2如何平移得到（ ） A.向上平移7个单位 B.向下平移7个单位 C.向左平移7个单位 D.向右平移7个单位 【答案】：B 【解析】：y=5x2变为y=5x2-7，常数项减7，向下平移7个单位。 3.（2025花溪区期末）二次函数y=x2+9的最小值是（ ） A.0 B.9 C.-9 D.不存在 【答案】：B 【解析】：a=1>0，开口向上，在顶点x=0处取得最小值，最小值=9。 4.（2026清镇市二模）已知C(-3,y1)，D(2,y2)在抛物线y=-x2+2上，则（ ） A.y1>y2 B.y1<y2 C.y1=y2 D.不能确定 【答案】：B 【解析】：对称轴为y轴，开口向下；C到对称轴距离3，D距离2；开口向下时，离对称轴越远，函数值越小，故y1<y2。 5.（2025乌当区期末）抛物线y=2x2+c与y轴交于(0,-4)，则c=（ ） A.2 B.-2 C.4 D.-4 【答案】：D 【解析】：把(0,-4)代入解析式，c=-4。 6.（2026息烽县一模）下列关于y=-2x2+5的结论错误的是（ ） A.对称轴是y轴 B.顶点(0,5) C.当x>0时，y随x增大而增大 D.最大值为5 【答案】：C 【解析】：a=-2<0，开口向下；x>0时，y随x增大而减小，C选项错误。 7．二次函数的图象经过的象限是（    ） A．第一、二象限 B．第一、三象限 C．第二、四象限 D．第三、四象限 【答案】A 【详解】解：∵，对称轴为轴，顶点坐标为， ∴抛物线过第一、二象限．故选：A． 8．若正比例函数，随的增大而增大，则它和二次函数的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】∵正比例函数，随的增大而增大，∴，∴二次函数的图象开口向上，与轴交于正半轴，故A、C不符合题意；联立得， 则，故正比例函数与二次函数图象没有交点，故D符合题意； 故选：D． （二）填空题 9.（2024-2025南明区期末）抛物线y=-x2-8顶点坐标：________。 【答案】：(0,-8) 【解析】：y=ax2+c顶点(0,c)，c=-8。 10.（2026修文县一模）抛物线y=-3x2向上平移10个单位后的解析式：________。 【答案】：y=-3x2+10 【解析】：上加下减，向上平移，常数项加10。 11.（2025开阳县期末）二次函数y=7x2-12，当x________时，y随x增大而减小。 【答案】：<0 【解析】：开口向上，对称轴为y轴；对称轴左侧（x<0），y随x增大而减小。 12.（2026云岩区二模）抛物线y=ax2+4，若它经过点(1,1)，则a=________。 【答案】：-3 【解析】：代入(1,1)，1=a+4，解得a=-3。 13.（2025花溪区期末）抛物线y=x2-2与x轴交点坐标为________。 【答案】：(,0),(-,0) 【解析】：令y=0，x2-2=0，x=±。 14.（2026观山湖区三模）已知二次函数y=-6x2+c有最大值‑1，则c=________。 【答案】：-1 【解析】：a<0，函数最大值就是c，所以c=-1。 15．将抛物线向下平移5个单位长度后，得到抛物线，则 ， ． 【答案】 5 【解析】∵抛物线向下平移5个单位长度后为，且得到抛物线，∴．∴．故答案为：；5． 16．如果抛物线与抛物线关于x轴对称，那么 ， ． 【答案】 4 【解析】∵抛物线与抛物线关于x轴对称，抛物线的顶点为，∴两抛物线开口大小不变，方向相反，顶点关于x轴对称，坐标为，∴，，故答案为：，． （三）解答题 17.．【探究】如图，已知抛物线． (1)在坐标系中画出此抛物线的大致图象（不要求列表）： (2)该抛物线可由抛物线向______平移______个单位得到； (3)当时，的取值范围是______． 解：（1），该抛物线的顶点坐标为，开口向下，令，则，即该抛物线经过点，，令，则，即该抛物线经过点，， 所以此抛物线的大致图象如下图即为所求： （2）由上加下减的原则可得，向上平移4个单位可得出．故答案为：上，4． （3）当时，，解得，当时，，解得， 结合（1）中图象可知，当时，的取值范围为：或． 故答案为：或． 18．已知二次函数的图象经过点． (1)求二次函数的解析式； (2)写出此函数的开口方向、对称轴． 解：（1）把点代入得：，解得：，∴二次函数的解析式为， （2）由（1）得：二次函数的解析式为，∵，∴此函数的开口向上，对称轴为y轴 19．已知抛物线与抛物线的形状相同，开口方向相反，且图象上离轴最近的点与轴的距离为3． (1)求的值； (2)写出抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标． 解：（1）∵抛物线与抛物线的形状相同，开口方向相反，∴， 则抛物线为，∴对称轴为直线，即对称轴为轴，开口方向向上∵图象上离轴最近的点与轴的距离为3，且∴； （2）由（1）得，，对称轴为轴，开口方向向上，解析式为 把代入，得即顶点坐标． 20．已知，如图，直线AB经过点，点，与抛物线在第一象限内相交于点P，又知的面积为6． （1）求a的值； （2）若将抛物线沿y轴向下平移，则平移多少个单位才能使得平移后的抛物线经过点A． 解：设点，直线的解析式为，将、分别代入， 得，，故，的面积，再把代入，得，所以，把代入到中得：； （2）设向下平移个单位才能使得平移后的抛物线经过点，则平移后的抛物线为，把代入得，向下平移6个单位才能使得平移后的抛物线经过点． 六．巩固训练 （一）选择题 1.（2026花溪区二模）对于抛物线y=-6x2+9，下列说法正确的是（ ） A.开口向上 B.对称轴为直线x=9 C.顶点(0,9) D.有最小值9 【答案】：C 【解析】：a=-6<0，开口向下；对称轴为y轴；顶点(0,9)；函数有最大值9，C正确。 2.（2024-2025云岩区期末）抛物线y=x2-4由y=x2如何平移得到（ ） A.向上平移4个单位 B.向下平移4个单位 C.向左平移4个单位 D.向右平移4个单位 【答案】：B 【解析】：常数项减4，图像向下平移4个单位。 3.（2026观山湖区一模）已知点P(-4,y1)，Q(-1,y2)在抛物线y=3x2-2上，则（ ） A.y1>y2 B.y1<y2 C.y1=y2 D.无法比较 【答案】：A 【解析】：对称轴y轴，开口向上；P距离对称轴4，Q距离对称轴1；离对称轴越远函数值越大，y1>y2。 4.（2025清镇市期末）抛物线y=-2x2+c与y轴交于(0,-6)，则该抛物线解析式为（ ） A.y=-2x2-6 B.y=-2x2+6 C.y=-2x2-2 D.y=-2x2+2 【答案】：A 【解析】：(0,-6)代入解析式，c=-6，解析式为y=-2x2-6。 5.（2026开阳县一模）二次函数y=4x2+7，当x<0时，y随x增大而（ ） A.增大 B.减小 C.不变 D.先增后减 【答案】：B 【解析】：开口向上，对称轴y轴；x<0在对称轴左侧，y随x增大而减小。 6.（2025乌当区期末）抛物线y=-x2+16与x轴两交点之间的距离为（ ） A.4 B.8 C.16 D.32 【答案】：B 【解析】：令y=0，-x2+16=0，x=±4；两点(4,0)、(-4,0)，距离=4-(-4)=8。 7．下列函数中，的值随值的增大而减小的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】A、，当时，的值随值的增大而增大；当时，的值随值的增大而减小；故原选项不符合题意；B、，当时，的值随值的增大而减小；当时，的值随值的增大而增大；故原选项不符合题意；C、，的值随值的增大而增大，原选项不符合题意；D、，的值随值的增大而减小，符合题意；故选：D ． 8．抛物线一定不经过第一、二象限，那么下列说法正确的是（   ） A．且 B．且 C．且 D．且 【答案】B 【解析】∵抛物线一定不经过第一、二象限，∴抛物线的开口方向下，抛物线在第三、四象限，∴，可排除选项，；∴抛物线与的交点在负半轴，或过原点，∴，可排除，故选：B ． 9．若二次函数的图像经过点、，则、的大小关系（   ） A． B． C． D．不能确定 【答案】C 【解析】二次函数的开口向下，对称轴为轴（即），则点到对称轴的距离为3，点到对称轴的距离为4，则开口向下，越靠近对称轴的自变量所对应的函数值越大，∵∴，故选：C． 10．函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】函数的对称轴为y轴，A、抛物线开口向上，则，与y轴交于正半轴，则，即，二者不一致，不符合题意；B、抛物线开口向上，则，与y轴交于负半轴，则，即，但是对称轴不是y轴，不符合题意；C、抛物线开口向下，则，与y轴交于负半轴，则，即，二者不一致，不符合题意；D、抛物线开口向下，则，与y轴交于正半轴，则，即，二者一致，且对称轴是y轴，符合题意；故选：D （二）填空题 11.（2024-2025花溪区期末）抛物线y=-7x2-13的顶点坐标为________。 【答案】：(0,-13) 【解析】：y=ax2+c顶点坐标(0,c)。 12.（2026云岩区三模）抛物线y=4x2+c有最小值‑3，则c=________。 【答案】：-3 【解析】：a>0，最小值为c，故c=-3。 13.（2025观山湖区期末）抛物线y=2x2-9与y轴交点坐标为________。 【答案】：(0,-9) 【解析】：令x=0，y=-9，交点(0,-9)。 14.（2026息烽县二模）将抛物线y=x2向下平移8个单位，解析式为________。 【答案】：y=x2-8 【解】：向下平移，常数项减去8。 15.（析2025清镇市期末）已知A(2,m)在抛物线y=-x2+5上，则m=________。 【答案】：1 【解析】：代入x=2，m=-4+5=1。 16.（2026乌当区三模）二次函数y=-5x+210，当x________时，y随x增大而增大。 【答案】：<0 【解析】：开口向下，对称轴y轴；x<0时，y随x增大而增大。 17.（2025开阳县期末）抛物线y=ax2-1经过(3,17)，则a=________。 【答案】：2 【解析】：代入(3,17)，17=9a-1，9a=18，a=2。 18.（2026南明区一模）当y≥-2时，对于抛物线y=x2-2，x的取值范围是________。 【答案】：全体实数 【解析】：y=x2-2最小值为‑2，所以y≥-2对所有x都成立。 19．如图，点，和点，分别在和的图像上．若点，的横坐标均为，点，的横坐标均为4，则线段，与两条抛物线围成的阴影部分的面积是 ． 【答案】24 【解析】如图，分别连接、．∵若点A，C的横坐标均为，点B，D的横坐标均为4，∴轴．又∵上面的抛物线为向下平移可得4个单位可得下面的抛物线，∴．∴四边形为平行四边形．又由平移可得，∴阴影部分的面积为平行四边形的面积．故答案为：24． 20．定义：对于函数图象上的两点，将的值称为该函数图象在段的“攀登值”，记作．已知二次函数的图象上有两点，若对于任意的均满足当时，该函数图象在段的“攀登值”始终有，则a的取值范围是 ． 【答案】 【解析】由题意可得：，，∴，∵，∴， ∴，∵，∴，而，∴；故答案为： （三）解答题 21．分别在同一直角坐标系内，描点画出y= x2+3与y= x2的二次函数的图象，并写出它们的对称轴与顶点坐标． 解：抛物线y= x2+3的开口方向向上，顶点坐标是（0，3），对称轴是y轴，且经过点（3，6）和（﹣3，6）抛物线y= x2的开口方向向上，顶点坐标是（0，0），对称轴是y轴，且经过点（3，3）和（﹣3，3）则它们的图象如图所示： 22．二次函数的图像经过点． (1)求这个二次函数的表达式； (2)二次函数图像开口向________，顶点坐标________，对称轴为________； (3)通过计算判断点是否在函数的图像上． 解：（1）∵二次函数的图像经过点，∴， 解得：，∴； （2）∵，∴，∴开口向上，对称轴为y轴，顶点为， 故答案为：上；；y轴； （3）当时，，∴点不在函数的图像上； 23．将二次函数的图象向下平移个单位长度可以得到一个新的抛物线． (1)请你写出这个新抛物线的函数表达式； (2)判断点是否在这个新抛物线上． 解：（1）根据二次函数的平移规律可得：的图象向下平移个单位长度后得到的新抛物线解析式为； （2）将代入新抛物线解析式可得， 即点在抛物线上． 24．已知，如图，直线AB经过点B（0，6），点A（4，0），与抛物线y=ax2+2在第一象限内相交于点P，又知△AOP的面积为6． （1）求a的值； （2）若将抛物线y=ax2+2沿y轴向下平移，则平移多少个单位才能使得平移后的抛物线经过点A． 解：（1）设点P（x，y），直线AB的解析式为y=kx+b， 将A（4，0）、B（0，6）分别代入y=kx+b，得k=-，b=6，故y=﹣x+6，∵△AOP的面积=×4×y=6∴y=3，再把y=3代入y=﹣x+6，得x=2，所以P（2，3），把P（2，3）代入到y=ax2+2中得：a= （2）设向下平移m个单位才能使得平移后的抛物线经过点A， 则平移后的抛物线为y= x2+2﹣m，把A（4，0）代入y= x2+2﹣m得m=6，∴向下平移6个单位才能使得平移后的抛物线经过点A 25．二次函数的图像经过点． (1)求这个二次函数的表达式； (2)二次函数图像开口向________，顶点坐标________，对称轴为________； (3)通过计算判断点是否在函数的图像上． 解：（1∵二次函数的图像经过点，∴，解得：， ∴； （2）∵，∴，∴开口向上，对称轴为y轴，顶点为，故答案为：上；；y轴； （3）当时，，∴点不在函数的图像上； 26.如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2＋与y轴相交于点A，点B与点O关于点A对称． (1)点B的坐标为____________． (2)过点B的直线y＝kx＋b(k＜0)与x轴相交于点C，过点C作直线l平行于y轴，P是直线l上一点，且PB＝PC，求线段PB的长(用含k的式子表示)，并判断点P是否在抛物线上． (3)在(2)的条件下，若点C关于直线BP的对称点C′恰好落在该抛物线的对称轴上，求此时点P的坐标． 解:(1)∵抛物线y＝x2＋与y轴相交于点A，∴点A（0，）.∵点B与点O关于点A对称，∴BA＝OA＝，∴OB＝，即点B的坐标为（0，）. （2）∵点B的坐标为（0，），∴直线的函数表达式为y＝kx＋.令y＝0，得kx＋＝0，解得x＝－，∴OC＝－.∵PB＝PC，∴点P只能在x轴上方．如解图①，过点B作BD⊥l于点D，设PB＝PC＝m，则BD＝OC＝－，CD＝OB＝.∴PD＝PC－CD＝m－.在Rt△PBD中，由勾股定理，得PB2＝PD2＋BD2, 即m2＝（m-）＋（-），解得m＝＋∴PC＝＋，∴点P的坐标为（-，＋）.把x＝－代入y＝x2＋，得y＝＋，∴点P在抛物线上． （3）如解图②，连结CC′.∵l∥y轴，∴∠OBC＝∠PCB.又∵PB＝PC，∴∠PCB＝∠PBC，∴∠PBC＝∠OBC.∵点C，C′关于BP对称，且点C′在抛物线的对称轴上，即在y轴上，∴∠PBC＝∠PBC′，∴∠OBC＝∠PBC＝∠PBC′＝60°.∴∠BCO＝30°，△BCP是等边三角形．∵OB＝，∴PC＝BC＝1，∴OC＝，∴点P的坐标为（，1）. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学臻选·2026-2027学年北师大版九年级数学上预习手册19 《第5章二次函数第2节二次函数的图像（二）y=ax²+c的图像和性质》预习讲义 一．学习目标 ( 1.能利用描点法画出二次函数y=ax 2 +c的图像，对比y=ax 2 的图像，认识两者之间的联系。 2.掌握二次函数y=ax 2 +c的开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性、最值。 3.理解c值对二次函数图像上下平移的影响，掌握平移规律。 4.会运用y=ax 2 +c的性质解决简单的求值、比较函数值大小问题。 ) 二．重点难点 ( 1. 重点：y=ax 2 +c的图像与性质；图像上下平移规律。 2. 难点：理解常数c如何改变顶点位置；利用增减性比较函数值；平移规律逆向运用（由平移前后函数式反求参数）。 ) 三．知识梳理 （一）用描点法画二次函数y=ax2+c的图像 在同一直角坐标系中，画出y=2x2+1 ，y=2x2-1的图象. （1）列表 x … -2 -1.5 -1 0 1 1.5 2 … y=2x2+1 … 9 5.5 3 1 3 5.5 9 … y=2x2-1 … 7 3.5 1 -1 1 3.5 7 … （2）描点 （3）连线 【讨论】 1.二次函数y=2x2+1 ，y=2x2-1的图象与二次函数y=2x2的图象有什么关系？ 2.二次函数y=2x2+1 ，y=2x2-1的图象与二次函数y=2x2的的开口方向、对称轴、顶点坐标、最值、增减性分别是什么呢？ 【规律总结】： y=ax2 与y=ax2+c，a不变，抛物线形状不变；c控制图像上下平移；对称轴始终为y轴，顶点(0,c)。 （二）y=ax²+c的图像和性质 的符号 图象 开口方向 向上 向下 对称轴 轴 轴 顶点坐标 （0.c） （0.c） 增减性 当时，随的增大而减小﹔ 当时随的增大而增大 当时随的增大而增大， 当时随的增大而减小 最值 当时，有最小值y最小=c 当时，有最大值y最大=c （三）二次函数y=ax2+c与 y=ax2的联系 1.二次函数y=ax2与y=ax2+c的图象的关系： 二次函数y = ax2+c的图象可以由y = ax2的图象平移得到： 当c > 0时,向上平移c个单位长度得到. 当c < 0时,向下平移 -c个单位长度得到. 2.上下平移规律： 平方项不变，常数项上加下减. 四．经典例题 例1.（2024-2025云岩区期末）抛物线y=3x2-2的顶点坐标为（ ） A.(0,-2) B.(-2,0) C.(0,2) D.(2,0) 例2.（2026南明区一模）将抛物线y=-2x2向上平移3个单位，得到新抛物线解析式为（ ） A.y=-2x2+3 B.y=-2x2-3 C.y=-2(x+3)2 D.y=-2(x-3)2 例3.（2025花溪区期末·第8题）对于二次函数y=-x2+4，下列说法正确的是（ ） A.开口向上 B.当x>0时，y随x增大而增大 C.顶点(0,4) D.有最小值4 例4．在平面直角坐标系中，二次函数（，）的图象可能是下图中的（ ）． A． B． C． D． 例5.（2024-2025清镇市期末）抛物线y=-5x2+11的对称轴是________。 例6.（2026乌当区一模）抛物线y=4x2+c经过点(0,-5)，则c=________。 例7.（2025修文县期末）将抛物线y=x2向下平移6个单位后解析式为________。 例8.（2026开阳县二模）二次函数y=-3x2+7，当x=_______时，y取得最大值____。 例9.（2024-2025南明区期末·改编）已知二次函数y=-2x2+8。 (1)写出抛物线开口方向、顶点坐标、对称轴； (2)求抛物线与x轴的交点坐标。 例10.（2026花溪区三模·改编）抛物线y=ax2-3经过点(-2,5)。 (1)求a的值； (2)写出该抛物线的增减性； (3)若点M(m,7)在此抛物线上，求m的值。 五．夯实基础 （一）选择题 1.（2024-2025观山湖区期末）抛物线y=-4x2-1的开口方向是（ ） A.向上 B.向下 C.向左 D.向右 2.（2026云岩区一模）抛物线y=5x^2-7是由y=5x2如何平移得到（ ） A.向上平移7个单位 B.向下平移7个单位 C.向左平移7个单位 D.向右平移7个单位 3.（2025花溪区期末）二次函数y=x2+9的最小值是（ ） A.0 B.9 C.-9 D.不存在 4.（2026清镇市二模）已知C(-3,y1)，D(2,y2)在抛物线y=-x2+2上，则（ ） A.y1>y2 B.y1<y2 C.y1=y2 D.不能确定 5.（2025乌当区期末）抛物线y=2x2+c与y轴交于(0,-4)，则c=（ ） A.2 B.-2 C.4 D.-4 6.（2026息烽县一模）下列关于y=-2x2+5的结论错误的是（ ） A.对称轴是y轴 B.顶点(0,5) C.当x>0时，y随x增大而增大 D.最大值为5 7．二次函数的图象经过的象限是（    ） A．第一、二象限 B．第一、三象限 C．第二、四象限 D．第三、四象限 8．若正比例函数，随的增大而增大，则它和二次函数的图象大致是（   ） A． B． C． D． （二）填空题 9.（2024-2025南明区期末）抛物线y=-x2-8顶点坐标：________。 10.（2026修文县一模）抛物线y=-3x2向上平移10个单位后的解析式：________。 11.（2025开阳县期末）二次函数y=7x2-12，当x________时，y随x增大而减小。 12.（2026云岩区二模）抛物线y=ax2+4，若它经过点(1,1)，则a=________。 13.（2025花溪区期末）抛物线y=x2-2与x轴交点坐标为________。 14.（2026观山湖区三模）已知二次函数y=-6x2+c有最大值‑1，则c=________。 15．将抛物线向下平移5个单位长度后，得到抛物线，则 ， ． 16．如果抛物线与抛物线关于x轴对称，那么 ， ． （三）解答题 17.．【探究】如图，已知抛物线． (1)在坐标系中画出此抛物线的大致图象（不要求列表）： (2)该抛物线可由抛物线向______平移______个单位得到； (3)当时，的取值范围是______． 18．已知二次函数的图象经过点． (1)求二次函数的解析式； (2)写出此函数的开口方向、对称轴． 19．已知抛物线与抛物线的形状相同，开口方向相反，且图象上离轴最近的点与轴的距离为3． (1)求的值； (2)写出抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标． 20．已知，如图，直线AB经过点，点，与抛物线在第一象限内相交于点P，又知的面积为6． （1）求a的值； （2）若将抛物线沿y轴向下平移，则平移多少个单位才能使得平移后的抛物线经过点A． 六．巩固训练 （一）选择题 1.（2026花溪区二模）对于抛物线y=-6x2+9，下列说法正确的是（ ） A.开口向上 B.对称轴为直线x=9 C.顶点(0,9) D.有最小值9 2.（2024-2025云岩区期末）抛物线y=x2-4由y=x2如何平移得到（ ） A.向上平移4个单位 B.向下平移4个单位 C.向左平移4个单位 D.向右平移4个单位 3.（2026观山湖区一模）已知点P(-4,y1)，Q(-1,y2)在抛物线y=3x2-2上，则（ ） A.y1>y2 B.y1<y2 C.y1=y2 D.无法比较 4.（2025清镇市期末）抛物线y=-2x2+c与y轴交于(0,-6)，则该抛物线解析式为（ ） A.y=-2x2-6 B.y=-2x2+6 C.y=-2x2-2 D.y=-2x2+2 5.（2026开阳县一模）二次函数y=4x2+7，当x<0时，y随x增大而（ ） A.增大 B.减小 C.不变 D.先增后减 6.（2025乌当区期末）抛物线y=-x2+16与x轴两交点之间的距离为（ ） A.4 B.8 C.16 D.32 【答案】：B 【解析】：令y=0，-x2+16=0，x=±4；两点(4,0)、(-4,0)，距离=4-(-4)=8。 7．下列函数中，的值随值的增大而减小的是（   ） A． B． C． D． 8．抛物线一定不经过第一、二象限，那么下列说法正确的是（   ） A．且 B．且 C．且 D．且 9．若二次函数的图像经过点、，则、的大小关系（   ） A． B． C． D．不能确定 10．函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． （二）填空题 11.（2024-2025花溪区期末）抛物线y=-7x2-13的顶点坐标为________。 12.（2026云岩区三模）抛物线y=4x2+c有最小值‑3，则c=________。 13.（2025观山湖区期末）抛物线y=2x2-9与y轴交点坐标为________。 14.（2026息烽县二模）将抛物线y=x2向下平移8个单位，解析式为________。 15.（2025清镇市期末）已知A(2,m)在抛物线y=-x2+5上，则m=________。 16.（2026乌当区三模）二次函数y=-5x+210，当x________时，y随x增大而增大。 17.（2025开阳县期末）抛物线y=ax2-1经过(3,17)，则a=________。 18.（2026南明区一模）当y≥-2时，对于抛物线y=x2-2，x的取值范围是________。 19．如图，点，和点，分别在和的图像上．若点，的横坐标均为，点，的横坐标均为4，则线段，与两条抛物线围成的阴影部分的面积是 ． 20．定义：对于函数图象上的两点，将的值称为该函数图象在段的“攀登值”，记作．已知二次函数的图象上有两点，若对于任意的均满足当时，该函数图象在段的“攀登值”始终有，则a的取值范围是 ． （三）解答题 21．分别在同一直角坐标系内，描点画出y= x2+3与y= x2的二次函数的图象，并写出它们的对称轴与顶点坐标． 22．二次函数的图像经过点． (1)求这个二次函数的表达式； (2)二次函数图像开口向________，顶点坐标________，对称轴为________； (3)通过计算判断点是否在函数的图像上． 23．将二次函数的图象向下平移个单位长度可以得到一个新的抛物线． (1)请你写出这个新抛物线的函数表达式； (2)判断点是否在这个新抛物线上． 24．已知，如图，直线AB经过点B（0，6），点A（4，0），与抛物线y=ax2+2在第一象限内相交于点P，又知△AOP的面积为6． （1）求a的值； （2）若将抛物线y=ax2+2沿y轴向下平移，则平移多少个单位才能使得平移后的抛物线经过点A． 25．二次函数的图像经过点． (1)求这个二次函数的表达式； (2)二次函数图像开口向________，顶点坐标________，对称轴为________； (3)通过计算判断点是否在函数的图像上． 26.如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2＋与y轴相交于点A，点B与点O关于点A对称． (1)点B的坐标为____________． (2)过点B的直线y＝kx＋b(k＜0)与x轴相交于点C，过点C作直线l平行于y轴，P是直线l上一点，且PB＝PC，求线段PB的长(用含k的式子表示)，并判断点P是否在抛物线上． (3)在(2)的条件下，若点C关于直线BP的对称点C′恰好落在该抛物线的对称轴上，求此时点P的坐标． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $