2026-2027学年北师大版九年级数学上册预习手册10《第3章图形的相似第2节探索三角形相似的条件（一）》预习讲义

本讲义聚焦《图形的相似》中“探索三角形相似的条件（一）”，系统梳理成比例线段定义、比例基本性质及平行线分线段成比例基本事实，通过三角形推论（A字型、8字型）构建从线段比到相似判定的知识支架。 资料以“对应”思想为核心，通过经典例题渗透推理意识，分层练习结合中考真题培养应用意识，帮助学生用数学眼光抽象图形关系，课中辅助教学逻辑构建，课后助力查漏补缺与知识巩固。

数学臻选·2026-2027学年北师大版九年级数学上预习手册10 《第3章图形的相似第2节探索三角形相似的条件（一）》预习讲义 一．学习目标 ( 1.理解线段的比、成比例线段的定义，掌握比例的基本性质；熟记平行线分线段成比例基本事实及其三角形推论，明确定理适用条件。 2.能准确判断四条线段是否成比例，熟练写出规范比例式；能利用平行线分线段成比例定理进行简单线段计算、比例变形。 3.建立几何 “ 对应 ” 思想，初步认识相似图形的线段比例特征，为后续三角形相似判定奠定理论基础。 ) 二．重点难点 ( （一） 重点 1.成比例线段的定义与比例基本性质的运用。 2.平行线分线段成比例基本事实及三角形推论的理解与简单应用。 （二） 难点 1.准确识别图形中的对应线段，避免比例式写反、写错。 2.理解平行线分线段成比例推论的两种图形（A字型、8字型）结构，区分延长线相交的特殊情况。 ) 三．知识梳理 （一）成比例线段 1.线段的比 在同一长度单位下，两条线段长度的比叫做这两条线段的比。若线段 a、b 的长度分别为 m、n，则两条线段的比记作：a:b=m:n。 注意：线段的比是正数，无单位，与所选长度单位无关。 2.成比例线段定义 四条线段 a、b、c、d 中，如果 a:b=c:d，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。a、d 叫做比例外项；b、c 叫做比例内项；a:b=b:c，则 b 叫做 a、c 的比例中项。 3.比例的基本性质 （1）若=，则 ad=bc（交叉相乘相等，最常用）； （2）若=，可变形（预习了解）： ①合比/分比性质： 例： 解： 同理分比性质： 例：求 解： ②等比性质：若，则 例：=8，求 解：设比值为k:a=2k,y=3k,z=4k， =8 【做题固定套路】 （1）看到连等分式，优先设比值等于 k； （2）想分子加减分母，就用合比、分比； （3）分子分母一起加减，用合分比； （4）好几个分式相等，用等比性质。 （二）平行线分线段成比例 如图，任意画两条直线l1，l2，再画三条与l1，l2，都相交的平行线l3，l4，l5．分别度量在l1上截得的两条线段AB，BC和在l2上截得的两条线段DE，EF的长度． （1）计算的值，它们相等吗？ （2）任意平移l5，根据上述操作，度量AB，BC，DE，EF， 同（1）中计算，它们还相等吗？ 如图，直线a∥b∥c，由平行线分线段成比例的基本事实，我们可以得出图中对应成比例的线段，把直线 n 向左或向右任意平移，这些线段依然成比例． 【归纳】 平行线分线段成比例（基本事实） 一般地，我们有平行线分线段成比例的基本事实： 两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例． 符号语言：若l3∥l4∥l5，则，，，．．． 注意：（1）核心关键：位置对应！位置对应！ （2）只有平行截得的对应线段才成比例，不对应的线段、不平行的直线，不成比例。 （三）平行线分线段成比例推论（三角形专用·必考） 如图，在△ABC中，D为AB上任意一点，过点D作BC的平行线DE，交AC于点E． 问题1 △ADE与△ABC的三个内角分别相等吗？ 问题2分别度量△ADE与△ABC的边长，它们的边长是否对应成比例？ 问题3 你认为△ADE与△ABC之间有什么关系？平行移动DE的位置，你的结论还成立吗？ 【归纳】 平行线分线段成比例定理的推论 （1）平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例． （2）相似三角形的引理 平行于三角形一边的直线与其他两边相交， 所构成的三角形与原三角形相似． 三角形相似的两种常见类型： “A ”型 “X ”型 四．经典例题 1.（24-25九上·乌当区期中）下列各组线段，不成比例的是（ ） A. 1,2,2,4 B. 3,4,6,8 C. 2,3,4,5 D. ,,1, 2.（24-25九上·花溪区期末）若=，则=（ ） A. - B. C. - D. 3.如图，已知AB∥CD∥EF，那么下列结论正确的是( ) A．＝ B．＝ C．＝ D．＝ 4．如图，已知点D是AB上一点，如果DE∥BC，DF∥AC，点E，F分别在AC，BC上，那么下列比例式中正确的是( ) A．＝ B．＝ C．＝ D．＝ 5.（24-25九上·贵阳市南明区期末）若=，则=________。 6.（2026·贵阳市云岩区二模）已知四条线段2,3,4,x成比例，则正数x=________。 7．如图，a∥b∥c，直线m，n与a，b，c分别相交于点A，B，C和点D，E，F. (1)若AB＝3，BC＝5，DE＝4，求EF的长； (2)若AB∶BC＝2∶5，DF＝10，求EF的长． 8．如图，延长正方形ABCD的一边CB至E，ED与AB相交于点F，过F作FG∥BE交AE于点G，求证：GF＝FB. 五．夯实基础 （一）选择题 1.下列线段中,能成比例的是(　　)　 A.3 cm、6 cm、8 cm、9 cm　　B.3 cm、5 cm、6 cm、9 cm C.3 cm、6 cm、7 cm、9 cm　　D.3 cm、6 cm、9 cm、18 cm 2．如果＝，那么下列各式一定成立的是(　　) A.＝ B.＝ C.＝ D.＝ 3．设a，b，c是三个互不相同的正数，如果＝＝，那么( ) A．3b＝2c B．3a＝2b C．2b＝c D．2a＝b 4．已知＝＝＝2(b＋d＋f≠0)，且a＋c＋e＝16，则b＋d＋f等于( ) A．4 B．8 C．32 D．2 5.（2026·清镇市一模）在△ABC中，DE‖BC，若AD:AB=2:5，则AE:EC=（ ） A. 2:3 B. 3:2 C. 2:5 D. 5:2 6．如图，直线a，b，c被直线l1，l2所截，交点分别为点A，C，E和点B，D，F.已知a∥b∥c，且AC＝3，CE＝4，则的值是( ) A．　　　B．　　　C．　　　D． 7．已知△ABC中，DE∥BC，AD＝5，DB＝7，AE＝4，则AC的值是( ) A．7.6 B．9.6 C．8.5 D．5.6 8．如图，AB与CD相交于点E，点F在线段BC上，且AC∥EF∥DB.若BE＝5，BF＝3，AE＝BC，则的值为( ) A． B． C． D． （二）填空题 9．已知：，则＝_____． 10．已知＝＝，且a＋b－2c＝6，则a的值为____． 11．如图，AB∥CD∥EF.若＝，BD＝5，则DF＝ _____． 12．如图，在△ABC中，点D，E在边AB上，点F，G在边AC上，且DF∥EG∥BC， 若AD∶DE∶EB＝2∶3∶4，FG＝6，则AC＝_________． （三）解答题 13．求下列各式中x的值： (1)3∶x＝6∶12; (2)x∶(x＋1)＝(1－x)∶3. 14.已知＝≠1，求证：＝. 15．已知三个数1，2，，请你再添一个数(只添一个)，使它们能构成一个比例式，试求这个数． 17.若＝＝＝，求： (1)； (2)； (3)比较(1)，(2)的结论，你能发现什么规律？ 18．如图，在△ABC中，AM是BC边上的中线，直线DN∥AM，交AB于点D，交CA的延长线于点E，交BC于点N，求证：＝. 19．如图，DE∥AF∥BC，且AD＝2cm，AB＝6cm. (1)求的值； (2)若FD＝1.5cm，AE＝1.2cm，分别求出DC和EC的值． 20．如图，已知点F在AB上，且AF：BF＝1：2，点D是BC延长线上一点，BC：CD＝2：1，连接FD与AC交于点N，求FN：ND的值． 21．在四边形ABCD中，AC、BD是四边形ABCD的两条对角线，点E、F、G、H分别是在四边形ABCD的四边上的动点，但E、F、G、H不与A、B、C、D重合，且EF∥BD∥GH，FG∥AC∥HE． （1）若对角线AC＝BD＝a（定值），求证：四边形EFGH的周长是定值； （2）若AC＝m，BD＝n，m、n为定值，但m≠n，则四边形EFGH的周长是定值吗？请指出，并说明理由． 六．巩固训练 （一）选择题 1.下列选项中，a，b，c，d不能成比例的是(　　) A．a＝3，b＝6，c＝2，d＝4 B．a＝1，b＝，c＝，d＝ C．a＝4，b＝6，c＝5，d＝10 D．a＝2，b＝，c＝，d＝2 2．已知2x=3y，则下列比例式成立的是（  ） A． B． C． D． 3．已知＝＝＝，且b＋2d－f≠0，则的值为( ) A. B. C. D. 4．如图，在△APM的边AP上任取两点B，C，过B作AM的平行线交PM于N，过N作MC的平行线交AP于D．若＝，则的值为（　　） A． B． C．2 D．3 5．如图，已知直线AB∥CD∥EF，BD＝2，DF＝4，则的值为（　　） A． B． C． D．1 6．如图，菱形ABCD中，E点在BC上，F点在CD上，G点、H点在AD上，且AE∥HC∥GF．若AH＝8，HG＝5，GD＝4，则下列选项中的线段，何者长度最长？（　　） A．CF B．FD C．BE D．EC 7．如图所示，l1∥l2∥l3，直线a、b与l1、l2、l3分别相交于点A、B、C和点D、E、F．若AB＝3，DE＝2，BC＝6，则EF的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 8．如图，AG：GD＝3：1，BD：DC＝2：3，则AE：EC的值是（　　） A．8：7 B．8：5 C．3：2 D．6：5 9．如图，已知直线a∥b∥c，若AB＝9，BC＝6，DF＝10，则DE的长为（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 10．如图AB∥CD∥EF，AF与BE相交于点G，且AG＝2，GD＝1，DF＝5，那么的值等于（　　） A． B． C． D． （二）填空题 11．若，则_______． 12．若＝，则＝__5__，＝__－__． 13．已知x∶y∶z＝3∶5∶6，且2x－y＋3z＝38，则3x＋y－2z＝____． 14．若＝＝＝k，则k＝____． 15．若，则＝______． 16．如图是一架梯子的示意图，其中AA1∥BB1∥CC1∥DD1，且AB＝BC＝CD．为使其更稳固，在A，D1间加绑一条安全绳（线段AD1）量得AE＝0.4m，则AD1＝　 　m． 17．如图，点D、E分别在△ABC的边AB，AC上，DE∥BC，点G在边BC上，AG交DE于点H，点O是线段AG的中点，若AD：DB＝3：1，则AO：OH＝　 　． 18．如图，一组平行线l1、l2、l3相交于直线l4、l5，则＝　 ． 19．如图，△ABC的两条中线AD和BE相交于点G，过点E作EF∥BC交AD于点F，那么＝　 ． 20．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝4，点D，E分别在边AB，AC上，且DB＝2AD，AE＝3EC，连接BE，CD，相交于点O，则△ABO面积最大值为　 ． （三）解答题 21．已知＝，求的值． 22.已知a，b，c是△ABC的三边长，且满足＝＝，且a＋b＋c＝12，请你探索△ABC的形状． 23．已知a，b，c是非零实数，且满足＝＝，且x＝，求x的值． 24．如图，已知DE∥BC，FE∥CD，AF＝3，AD＝5，AE＝4． （1）求CE的长； （2）求AB的长． 25．如图，直线l1、l2、l3分别交直线l4于点A、B、C，交直线l5于点D、E、F，且l1∥l2∥l3，已知EF：DF＝5：8，AC＝24． （1）求AB的长； （2）当AD＝4，BE＝1时，求CF的长． 26．已知：如图，AB⊥BD，CD⊥BD，垂足分别为B、D，AD和BC相交于点E，EF⊥BD，垂足为F，我们可以证明成立（不要求考生证明）． 若将图中的垂线改为斜交，如图，AB∥CD，AD，BC相交于点E，过点E作EF∥AB交BD于点F，则： （1）还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由； （2）请找出S△ABD，S△BED和S△BDC间的关系式，并给出证明． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学臻选·2026-2027学年北师大版九年级数学上预习手册10 《第3章图形的相似第2节探索三角形相似的条件（一）》预习讲义 一．学习目标 ( 1.理解线段的比、成比例线段的定义，掌握比例的基本性质；熟记平行线分线段成比例基本事实及其三角形推论，明确定理适用条件。 2.能准确判断四条线段是否成比例，熟练写出规范比例式；能利用平行线分线段成比例定理进行简单线段计算、比例变形。 3.建立几何 “ 对应 ” 思想，初步认识相似图形的线段比例特征，为后续三角形相似判定奠定理论基础。 ) 二．重点难点 ( （一） 重点 1.成比例线段的定义与比例基本性质的运用。 2.平行线分线段成比例基本事实及三角形推论的理解与简单应用。 （二） 难点 1.准确识别图形中的对应线段，避免比例式写反、写错。 2.理解平行线分线段成比例推论的两种图形（A字型、8字型）结构，区分延长线相交的特殊情况。 ) 三．知识梳理 （一）成比例线段 1.线段的比 在同一长度单位下，两条线段长度的比叫做这两条线段的比。若线段 a、b 的长度分别为 m、n，则两条线段的比记作：a:b=m:n。 注意：线段的比是正数，无单位，与所选长度单位无关。 2.成比例线段定义 四条线段 a、b、c、d 中，如果 a:b=c:d，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。a、d 叫做比例外项；b、c 叫做比例内项；a:b=b:c，则 b 叫做 a、c 的比例中项。 3.比例的基本性质 （1）若=，则 ad=bc（交叉相乘相等，最常用）； （2）若=，可变形（预习了解）： ①合比/分比性质： 例： 解： 同理分比性质： 例：求 解： ②等比性质：若，则 例：=8，求 解：设比值为k:a=2k,y=3k,z=4k， =8 【做题固定套路】 （1）看到连等分式，优先设比值等于 k； （2）想分子加减分母，就用合比、分比； （3）分子分母一起加减，用合分比； （4）好几个分式相等，用等比性质。 （二）平行线分线段成比例 如图，任意画两条直线l1，l2，再画三条与l1，l2，都相交的平行线l3，l4，l5．分别度量在l1上截得的两条线段AB，BC和在l2上截得的两条线段DE，EF的长度． （1）计算的值，它们相等吗？ （2）任意平移l5，根据上述操作，度量AB，BC，DE，EF， 同（1）中计算，它们还相等吗？ 【解析】（1）用尺子实际度量线段长度，算出的值和的值是相等的。原理：因为 l3‖l4‖l5，这组平行线去截 l1、l2 两条直线，截出来的对应线段比值相等。 （2）把 l5 任意平移之后，三条直线依旧互相平行，再次度量计算的值和的值，仍然相等。只要这三条线保持平行，不管位置怎么平移，对应线段的比例关系不会改变。 如图，直线a∥b∥c，由平行线分线段成比例的基本事实，我们可以得出图中对应成比例的线段，把直线 n 向左或向右任意平移，这些线段依然成比例． 【归纳】 平行线分线段成比例（基本事实） 一般地，我们有平行线分线段成比例的基本事实： 两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例． 符号语言：若l3∥l4∥l5，则，，，．．． 注意：（1）核心关键：位置对应！位置对应！ （2）只有平行截得的对应线段才成比例，不对应的线段、不平行的直线，不成比例。 （三）平行线分线段成比例推论（三角形专用·必考） 如图，在△ABC中，D为AB上任意一点，过点D作BC的平行线DE，交AC于点E． 问题1 △ADE与△ABC的三个内角分别相等吗？ 【解析】三个内角分别相等。因为 DE‖BC，根据两直线平行，同位角相等：∠ADE=∠B，∠AED=∠C，∠ A 是两个三角形的公共角，所以三个角全部对应相等。 问题2分别度量△ADE与△ABC的边长，它们的边长是否对应成比例？ 【解析】边长是对应成比例的。用尺子测量可以得到：三条对应边的比值一样 问题3 你认为△ADE与△ABC之间有什么关系？平行移动DE的位置，你的结论还成立吗？ 【解析】△ADE∽△ABC。平行移动 DE 的位置，只要 DE 始终平行于 BC，上面的结论依然成立，三角形依旧相似。 【归纳】 平行线分线段成比例定理的推论 （1）平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例． （2）相似三角形的引理 平行于三角形一边的直线与其他两边相交， 所构成的三角形与原三角形相似． 三角形相似的两种常见类型： “A ”型 “X ”型 四．经典例题 1.（24-25九上·乌当区期中）下列各组线段，不成比例的是（ ） A. 1,2,2,4 B. 3,4,6,8 C. 2,3,4,5 D. ,,1, 【答案】C 【解析】C项任意两数之积都不相等，不能构成比例线段。 2.（24-25九上·花溪区期末）若=，则=（ ） A. - B. C. - D. 【答案】A 【解析】=-1=-1=-。 3.如图，已知AB∥CD∥EF，那么下列结论正确的是( ) A．＝ B．＝ C．＝ D．＝ 【答案】A 【解析】根据平行线分线段成比例定理：已知 AB‖CD‖EF，截两条斜线，对应线段成比例： ＝,对照选项，A 正确，B、C、D 的线段对应关系错误。 4．如图，已知点D是AB上一点，如果DE∥BC，DF∥AC，点E，F分别在AC，BC上，那么下列比例式中正确的是( ) A．＝ B．＝ C．＝ D．＝ 【答案】B 【解析】已知 DE‖BC,DF‖AC，四边形 DFCE是平行四边形，DE=FC,DF=EC。由 DE‖BC： =,由 DF‖AC：=,联立可得：＝,所以B 选项正确。 5.（24-25九上·贵阳市南明区期末）若=，则=________。 【答案】 【解析】设x=3k,y=4k，== 6.（2026·贵阳市云岩区二模）已知四条线段2,3,4,x成比例，则正数x=________。 【答案】6 【解析】2:3=4:x，解得2x=12,x=6。 7．如图，a∥b∥c，直线m，n与a，b，c分别相交于点A，B，C和点D，E，F. (1)若AB＝3，BC＝5，DE＝4，求EF的长； (2)若AB∶BC＝2∶5，DF＝10，求EF的长． 解:(1)∵a∥b∥c，∴＝，即＝，解得EF＝； (2)∵a∥b∥c，∴＝＝，∴＝，解得EF＝. 8．如图，延长正方形ABCD的一边CB至E，ED与AB相交于点F，过F作FG∥BE交AE于点G，求证：GF＝FB. 证明:∵四边形ABCD为正方形，∴BF∥CD，BC∥AD，AD＝CD，∴＝，∵FG∥BE，∴GF∥AD，∴＝，∴＝，且AD＝CD，∴GF＝BF 五．夯实基础 （一）选择题 1.下列线段中,能成比例的是(　　)　 A.3 cm、6 cm、8 cm、9 cm　　B.3 cm、5 cm、6 cm、9 cm C.3 cm、6 cm、7 cm、9 cm　　D.3 cm、6 cm、9 cm、18 cm 【答案】D 【解析】判断四条线段成比例：把四条线段从小到大排列，看前两项的比是否等于后两项的比。 D选项：3、6、9、18,3:6=9:18=1:2，满足比例关系。答案：D 2．如果＝，那么下列各式一定成立的是(　　) A.＝ B.＝ C.＝ D.＝ 【答案】D 【解析】已知＝ ，利用合比性质：+2＝ +2，通分后就是＝. A、B、C都可以举反例证明不成立。答案：D 3．设a，b，c是三个互不相同的正数，如果＝＝，那么( ) A．3b＝2c B．3a＝2b C．2b＝c D．2a＝b 【答案】A 【解析】设＝＝=k，则b=ak，c=k(a+b)=ak(1+k),代入=k，化简计算可得：3b=2c。答案：A 4．已知＝＝＝2(b＋d＋f≠0)，且a＋c＋e＝16，则b＋d＋f等于( ) A．4 B．8 C．32 D．2 【答案】B 【解析】由＝＝=2，得：a=2b,c=2d,e=2f,a+c+e=2(b+d+f)=16,b+d+f=8,答案：B 5.（2026·清镇市一模）在△ABC中，DE‖BC，若AD:AB=2:5，则AE:EC=（ ） A. 2:3 B. 3:2 C. 2:5 D. 5:2 【答案】A 【解析】AD:DB=2:3，由平行线分线段成比例，AE:EC=2:3。 6．如图，直线a，b，c被直线l1，l2所截，交点分别为点A，C，E和点B，D，F.已知a∥b∥c，且AC＝3，CE＝4，则的值是( ) A．　　　B．　　　C．　　　D． 【答案】C 【解析】已知 a‖b‖c，根据平行线分线段成比例：==,设 BD=3k,\ DF=4k，则 BF=BD+DF=7k,==，答案：C 7．已知△ABC中，DE∥BC，AD＝5，DB＝7，AE＝4，则AC的值是( ) A．7.6 B．9.6 C．8.5 D．5.6 【答案】B 【解析】DE‖BC，=代入 AD=5,DB=7,AE=4：CE==5.6,AC=AE+CE=4+5.6=9.6 答案：B 8．如图，AB与CD相交于点E，点F在线段BC上，且AC∥EF∥DB.若BE＝5，BF＝3，AE＝BC，则的值为( ) A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由 AC‖EF‖BD,在△ABC 中：=,在△BCD 中：= BF=3，BE=5，可得 =,答案：A （二）填空题 9．已知：，则＝_____． 【答案】 【解析】根据求得；然后再代入计算即可．∵， ∴，∴，即．故答案是：． 10．已知＝＝，且a＋b－2c＝6，则a的值为____． 【答案】12 【解析】 设＝＝＝k，则a＝6k，b＝5k，c＝4k， ∵a＋b－2c＝6，∴6k＋5k－8k＝6，3k＝6，解得k＝2，∴a＝6k＝12. 11．如图，AB∥CD∥EF.若＝，BD＝5，则DF＝ _____． 【答案】10 【解析】根据平行线分线段成比例定理：AB‖CD‖EF，AC：CE=BD：DF=1：2，已知 BD=5，代入得：5：DF=1：2，解得 DF=10 12．如图，在△ABC中，点D，E在边AB上，点F，G在边AC上，且DF∥EG∥BC， 若AD∶DE∶EB＝2∶3∶4，FG＝6，则AC＝_________． 【答案】 【解析】已知 AD:DE:EB=2:3:4，所以 AD:AE:AB=2:(2+3):(2+3+4)=2:5:9，DF‖EG‖BC， △ADF∽△AEG∽△ABC，AE：AB=AG：AC=5：9，AD：AB=AF：AC=2：9，FG=AG-AF=AC-AC=AC=AC，又 FG=6，所以 AC=6，得 AC=18 （三）解答题 13．求下列各式中x的值： (1)3∶x＝6∶12; (2)x∶(x＋1)＝(1－x)∶3. 解：(1)由比例的基本性质可知6x＝3×12，∴x＝6. (2)由比例的基本性质可知(x＋1)(1－x)＝3x，∴x2＋3x－1＝0， ∴x1＝，x2＝. 14.已知＝≠1，求证：＝. 证明：∵＝，∴1＋＝1＋，∴＝.① ∵＝，∴1－＝1－，∴＝.② 由①②可得＝. 15．已知三个数1，2，，请你再添一个数(只添一个)，使它们能构成一个比例式，试求这个数． 解：设这个数为x，分三种情形讨论：①当x与1是两内项时，x＝2；②当x与2是两内项时，x＝；③当x与是两内项时，x＝.综上所述，这个数为2或或. 17.若＝＝＝，求： (1)； (2)； (3)比较(1)，(2)的结论，你能发现什么规律？ 解：(1)令a＝b，c＝d，则＝＝； (2)令a＝b，c＝d，e＝f，则＝ ＝＝； (3)若＝＝＝k，则＝k. 18．如图，在△ABC中，AM是BC边上的中线，直线DN∥AM，交AB于点D，交CA的延长线于点E，交BC于点N，求证：＝. 证明：∵DN∥AM，∴＝，＝. 在△ABC中，∵AM是BC边上的中线，∴MB＝MC，∴＝ 19．如图，DE∥AF∥BC，且AD＝2cm，AB＝6cm. (1)求的值； (2)若FD＝1.5cm，AE＝1.2cm，分别求出DC和EC的值． 解：(1) ＝ (2) ∵AF∥BC，∴＝＝，∴DC＝2FD＝3cm，又∵DE∥BC，∴＝＝，∴EC＝2AE＝2.4cm 20．如图，已知点F在AB上，且AF：BF＝1：2，点D是BC延长线上一点，BC：CD＝2：1，连接FD与AC交于点N，求FN：ND的值． 解：过点F作FE∥BD，交AC于点E，∴＝，∵AF：BF＝1：2，∴＝，∴＝，即FE＝BC，∵BC：CD＝2：1，∴CD＝BC，∵FE∥BD，∴＝＝＝．即FN：ND＝2：3． 证法二、连接CF、AD，∵AF：BF＝1：2，BC：CD＝2：1，∴＝＝，∵∠B＝∠B， ∴＝＝，∠BCF＝∠BDA，∴FC∥AD，∴＝＝． 21．在四边形ABCD中，AC、BD是四边形ABCD的两条对角线，点E、F、G、H分别是在四边形ABCD的四边上的动点，但E、F、G、H不与A、B、C、D重合，且EF∥BD∥GH，FG∥AC∥HE． （1）若对角线AC＝BD＝a（定值），求证：四边形EFGH的周长是定值； （2）若AC＝m，BD＝n，m、n为定值，但m≠n，则四边形EFGH的周长是定值吗？请指出，并说明理由． 解：（1）∵EF∥BD∥GH，FG∥AC∥HE∴四边形EFGH是平行四边形，设GH为x，GF为y，AH＝p，BH＝q∵GH∥BD，BD＝a∴，即，∵HE∥AC，AC＝a∴， 即，∴，故四边形EFGH的周长＝2（x+y）＝2a； （2）∵AC＝m，BD＝n，则有，，∴x+y＝＝，∵m、n为确定的值，H是AB上的动点，是变量，而x+y随的变化而变化，∴x+y不能确定，即四边形EFGH的周长不是定值． 六．巩固训练 （一）选择题 1.下列选项中，a，b，c，d不能成比例的是(　　) A．a＝3，b＝6，c＝2，d＝4 B．a＝1，b＝，c＝，d＝ C．a＝4，b＝6，c＝5，d＝10 D．a＝2，b＝，c＝，d＝2 【答案】C 【解析】判断四个数能否成比例，用交叉相乘看积是否相等：A：3×4=6×2=12，可以成比例；B：1×=×，可以成比例；C：4×10=40，6×5=30，乘积不相等，不能成比例； D：2×=×2，可以成比例。答案：C 2．已知2x=3y，则下列比例式成立的是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】已知 2x=3y，变形：两边同时除以 6，得,对照选项，选 \boldsymbol{C}。 3．已知＝＝＝，且b＋2d－f≠0，则的值为( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】根据等比性质：＝＝＝,所以 =。答案C 4．如图，在△APM的边AP上任取两点B，C，过B作AM的平行线交PM于N，过N作MC的平行线交AP于D．若＝，则的值为（　　） A． B． C．2 D．3 【答案】B 【解析】∵BN∥AM，＝，∴＝，∵DN∥CM，∴＝＝，故选：B． 5．如图，已知直线AB∥CD∥EF，BD＝2，DF＝4，则的值为（　　） A． B． C． D．1 【答案】A 【解析】∵AB∥CD∥EF，BD＝2，DF＝4，∴＝＝＝，故选：A． 6．如图，菱形ABCD中，E点在BC上，F点在CD上，G点、H点在AD上，且AE∥HC∥GF．若AH＝8，HG＝5，GD＝4，则下列选项中的线段，何者长度最长？（　　） A．CF B．FD C．BE D．EC 【答案】A 【解析】∵AH＝8，HG＝5，GD＝4，∴AD＝8+5+4＝17，∵四边形ABCD为菱形，∴BC＝CD＝AD＝17，∵AE∥HC，AD∥BC，∴四边形AECH为平行四边形，∴CE＝AH＝8， ∴BE＝BC﹣CE＝17﹣8＝9，∵HC∥GF，∴＝，即＝，解得：DF＝， ∴FC＝17﹣＝，∵＞9＞8＞，∴CF长度最长，故选：A． 7．如图所示，l1∥l2∥l3，直线a、b与l1、l2、l3分别相交于点A、B、C和点D、E、F．若AB＝3，DE＝2，BC＝6，则EF的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【解析】∵l1∥l2∥l3，∴＝，即＝，解得，EF＝4，故选：D． 8．如图，AG：GD＝3：1，BD：DC＝2：3，则AE：EC的值是（　　） A．8：7 B．8：5 C．3：2 D．6：5 【答案】D 【解析】过点D作DF∥BE交AC于点F，则＝＝，＝＝3， ∴AE：EC＝6：5，故选：D． 9．如图，已知直线a∥b∥c，若AB＝9，BC＝6，DF＝10，则DE的长为（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【解析】∵a∥b∥c，∴＝，即＝，解得，DE＝6，故选：C． 10．如图AB∥CD∥EF，AF与BE相交于点G，且AG＝2，GD＝1，DF＝5，那么的值等于（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】∵AG＝2，GD＝1，DF＝5，∴AD＝AG+GD＝3，GF＝GD+DF＝6，∵AB∥CD∥EF， ∴＝＝＝，故选：A． （二）填空题 11．若，则_______． 【答案】 【解析】根据题意，可设a=3k，b=7k，k≠0，代入可得=. 故答案为. 12．若＝，则＝__5__，＝__－__． 【答案】5，－ 【解析】 ∵＝，∴5a＋5b＝6b，∴5a＝b，∴＝5，＝＝－. 13．已知x∶y∶z＝3∶5∶6，且2x－y＋3z＝38，则3x＋y－2z＝____． 【答案】4 【解析】 ∵x∶y∶z＝3∶5∶6，∴可设＝＝＝k，则x＝3k，y＝5k，z＝6k.又∵2x－y＋3z＝6k－5k＋18k＝38，即k＝2，∴3x＋y－2z＝9k＋5k－12k＝2k＝4. 14．若＝＝＝k，则k＝____． 【答案】2或－1 【解析】 根据已知条件，得出a＋b＝ck① b＋c＝ak② c＋a＝bk.③①＋②＋③，得2(a＋b＋c)＝k(a＋b＋c)． (1)当a＋b＋c≠0，则k＝2；(2)当a＋b＋c＝0，则a＋b＝－c，b＋c＝－a，a＋c＝－b，∴k＝－1.综上所述，k的值是2或－1. 15．若，则＝______． 【答案】 【解析】根据可得，把a，c，e代入所求代数式中，约分后即可求得结果．∵∴ ∴ 16．如图是一架梯子的示意图，其中AA1∥BB1∥CC1∥DD1，且AB＝BC＝CD．为使其更稳固，在A，D1间加绑一条安全绳（线段AD1）量得AE＝0.4m，则AD1＝　 　m． 【答案】1.2 【解析】∵BB1∥CC1，∴＝，∵AB＝BC，∴AE＝EF，同理可得：AE＝EF＝FD1， ∵AE＝0.4m，∴AD1＝0.4×3＝1.2（m），故答案为：1.2． 17．如图，点D、E分别在△ABC的边AB，AC上，DE∥BC，点G在边BC上，AG交DE于点H，点O是线段AG的中点，若AD：DB＝3：1，则AO：OH＝　 　． 【答案】2：1 【解析】∵点O是线段AG的中点，∴OA＝OG＝AG，∵DE∥BC，AD：DB＝3：1， ∴＝＝＝，＝＝，∴OH＝OG﹣HG＝AG﹣AG＝AG， ∴AO：OH＝（AG）：（AG）＝2：1，故答案为：2：1． 18．如图，一组平行线l1、l2、l3相交于直线l4、l5，则＝　 ． 【答案】 【解析】∵l1∥l2，∴＝①，∵l2∥l3，∴＝②，①×②，得＝， 故答案为：． 19．如图，△ABC的两条中线AD和BE相交于点G，过点E作EF∥BC交AD于点F，那么＝　 ． 【答案】 【解析】∵线段AD、BE是△ABC的中线，∴＝，＝，∵EF∥BC，＝， ∴＝．故答案为：． 20．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝4，点D，E分别在边AB，AC上，且DB＝2AD，AE＝3EC，连接BE，CD，相交于点O，则△ABO面积最大值为　 ． 【答案】 【解析】如图，过点D作DF∥AE，则＝＝，∵＝，∴DF＝2EC，∴DO＝2OC， ∴DO＝DC，∴S△ADO＝S△ADC，S△BDO＝S△BDC，∴S△ABO＝S△ABC，∵∠ACB＝90°，∴C在以AB为直径的圆上，设圆心为G，当CG⊥AB时，△ABC的面积最大为：4×2＝4，此时△ABO的面积最大为：×4＝．故答案为：． （三）解答题 21．已知＝，求的值． 解：由＝，可设x＝3k，y＝5k(k≠0)， 则原式＝＝. 22．已知a，b，c是△ABC的三边长，且满足＝＝，且a＋b＋c＝12，请你探索△ABC的形状． 解：由等比性质，得＝＝＝＝3， ∴a＝5，b＝3，c＝4.∴b2＋c2＝32＋42＝a2＝25.∴△ABC是直角三角形． 23．已知a，b，c是非零实数，且满足＝＝，且x＝，求x的值． 解：①当a＋b＋c≠0时，由等比性质，得＝＝＝＝1，∴a＋b＝2c，a＋c＝2b，b＋c＝2a.∴x＝＝8. ②当a＋b＋c＝0时，得a＋b＝－c，b＋c＝－a，c＋a＝－b，∴x＝＝－1. 综上所述，x的值为－1或8. 24．如图，已知DE∥BC，FE∥CD，AF＝3，AD＝5，AE＝4． （1）求CE的长； （2）求AB的长． 解：（1）∵FE∥CD，∴＝，即＝，解得，AC＝， 则CE＝AC﹣AE＝﹣4＝； （2）∵DE∥BC，∴＝，即＝，解得，AB＝． 25．如图，直线l1、l2、l3分别交直线l4于点A、B、C，交直线l5于点D、E、F，且l1∥l2∥l3，已知EF：DF＝5：8，AC＝24． （1）求AB的长； （2）当AD＝4，BE＝1时，求CF的长． 解：（1）∵l1∥l2∥l3，EF：DF＝5：8，AC＝24，∴＝＝，∴＝， ∴BC＝15，∴AB＝AC﹣BC＝24﹣15＝9． （2）∵l1∥l2∥l3∴＝＝，∴＝，∴OB＝3，∴OC＝BC﹣OB＝15﹣3＝12， ∴＝＝，∴＝，∴CF＝4． 26．已知：如图，AB⊥BD，CD⊥BD，垂足分别为B、D，AD和BC相交于点E，EF⊥BD，垂足为F，我们可以证明成立（不要求考生证明）． 若将图中的垂线改为斜交，如图，AB∥CD，AD，BC相交于点E，过点E作EF∥AB交BD于点F，则： （1）还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由； （2）请找出S△ABD，S△BED和S△BDC间的关系式，并给出证明． 解：（1）成立．证明：∵AB∥EF∴∵CD∥EF∴ ∴＝∴； （2）关系式为：，证明如下：分别过A作AM⊥BD于M，过E作EN⊥BD于N，过C作CK⊥BD交BD的延长线于K由题设可得： ∴＝即＝ 又∵•BD•AM＝S△ABD，＝S△BCD∴BD•EN＝S△BED∴． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $