精品解析：河南省南阳市南召县2025-2026学年八年级下学期6月期末数学试题

2026年春期八年级期终巩固练习 数学 一、选择题（每小题的四个选项中，只有一项正确，每小题3分，共30分） 1. 若分式的值等于，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据分式值为时分子为且分母不为，即可求出的值． 【详解】解：∵分式的值等于 ， ∴需满足分子为，且分母不为 ，即 ， 由，得， 当时，，满足条件 ， ∴． 2. 为了调查某校同学的体质健康状况，随机抽查了14名同学的每天锻炼时间如下表： 每天锻炼时间（分钟） 50 60 80 90 100 学生人数 2 5 4 2 1 则这些同学每天锻炼时间的众数和中位数分别是（ ） A. 60，70 B. 60，80 C. 80，60 D. 70，60 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查众数和中位数的定义；先根据众数定义找出出现次数最多的数得到众数，再根据中位数的定义计算得到中位数即可． 【详解】解：∵总数据个数为， ∵众数是一组数据中出现次数最多的数，60对应的学生人数为5，次数最多， ∴众数为， ∵数据总个数14是偶数， ∴中位数是将所有数据从小到大排列后第7个和第8个数据的平均数， 由排列可知：第1~2个数据为50，第3~7个数据为60，第8~11个数据为80， ∴第7个数据为60，第8个数据为80， ∴中位数为， 综上所述：众数为60，中位数为70． 故选：A． 3. 若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将各点横坐标代入反比例函数解析式，求出对应y值后直接比较大小，即可得出结果． 【详解】解：∵点，，都在反比例函数的图象上， ∴将各点横坐标代入解析式，得，，， ∵， ∴． 4. 下列说法中正确的是（　　） A. 对角线互相垂直的四边形是菱形 B. 一组对边平行，一组对边相等的四边形是平行四边形 C. 对角线相等的平行四边形是矩形 D. 对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了菱形，矩形，正方形，平行四边形的判定，根据特殊四边形的判定定理逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：A. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故该选项不正确，不符合题意； B. 一组对边平行，一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，故该选项不正确，不符合题意； C. 对角线相等的平行四边形是矩形，故该选项正确，符合题意； D. 对角线互相垂直、平分且相等的四边形是正方形，故该选项不正确，不符合题意； 故选：C． 5. 阻力会对物体的运动产生影响，是物理学中的重要概念．如图，兴趣小组通过实验研究发现，一辆静止的小车从斜坡滑下后，在水平木板上的运动速度与运动时间之间满足我们学过的某种函数关系．下表是一组实验数据，根据表中数据，与之间的函数关系式为（ ） 运动时间 1 2 3 4 … 运动速度 11 10 9 8 … A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据一组数据中自变量每增加，对应因变量的值减小，可得与之间存在一次函数关系，再进一步利用待定系数法求解解析式即可. 【详解】解：由题表中数据可知，运动时间每增加，运动速度减小，满足一次函数关系， 设与之间的函数关系式为，代入，， 得， 解得， 与之间的函数关系式为． 6. 如图，在四边形中，，对角线和交于点，要使四边形成为平行四边形，则应添加的条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行四边形的判定定理逐项分析，即可得出答案． 【详解】A、若添加， 根据，无法证明四边形成为平行四边形，故A选项不符合题意； B、若添加， 根据，无法证明四边形成为平行四边形，故B选项不符合题意； C、若添加， ∵，， ∴四边形成为平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形），故C选项符合题意； D、若添加， 满足对角线相等、一组对边平行的四边形也可能是等腰梯形，故D选项不符合题意． 7. 如图所示，矩形的对角线相交于点．若，则四边形的周长是（ ） A. 12 B. 10 C. 18 D. 24 【答案】A 【解析】 【分析】由已知条件先证明四边形是平行四边形，再由矩形的性质得出，即四边形是菱形，即可求出四边形的周长． 【详解】解：，， 四边形是平行四边形， 四边形是矩形， ，，， ， 四边形是菱形， ， 四边形的周长． 故选：A． 【点睛】本题考查了矩形的性质、菱形的判定与性质；熟练掌握矩形的性质，证明四边形是菱形是解决问题的关键． 8. □ABCD中，AC、BD是两条对角线，如果添加一个条件，可推出□ABCD是菱形，那么这个条件可以是（　 　） A. AB=CD B. AC=BD C. AC⊥BD D. AB⊥BD 【答案】C 【解析】 【分析】根据菱形的定义和判定定理逐项作出判断即可． 【详解】解：A. AB=CD，无法判断四边形ABCD是菱形，不合题意； B. AC=BD，根据对角线相等的平行四边形是矩形可以判断□ABCD是矩形，不合题意； C. AC⊥BD，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形可以判断□ABCD是菱形，符合题意； D. AB⊥BD，可以得到∠B=90°，根据有一个角是直角的平行四边形叫矩形可以判断□ABCD是矩形，不合题意． 故选：C 【点睛】本题考查了菱形的判定，熟知菱形的定义和判定定理是解题的关键． 9. 某校举办了传统文化知识竞赛．已知一班和二班人数相等，在这次竞赛中两班成绩的箱线图如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. 两班成绩的下四分位数一样，上四分位数也一样 B. 一班成绩比二班成绩集中 C. 一班成绩的中位数比二班成绩的中位数大 D. 一班成绩的最低分高于二班成绩的最低分 【答案】A 【解析】 【详解】解：选项A：从图中可见，一班和二班箱体的下边界（下四分位数）在同一高度，上边界（上四分位数）也在同一高度，因此两班的下四分位数、上四分位数都相同，A正确． 选项B：一班成绩范围约为到之间，二班成绩范围约为到之间，一班成绩的极差更大，说明一班成绩更分散，二班更集中，B错误． 选项C：一班中位数（箱体中间线）约为85分，二班中位数约为95分，一班成绩的中位数比二班小，C错误． 选项D：一班最低分约为50分，二班最低分约为70分，一班最低分低于二班最低分，D错误． 10. 如图，平行四边形的周长为40，点E为的中点，若对角线于点O，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先证明平行四边形是菱形，得到，再根据三角形中位线定理作答即可． 【详解】解：∵平行四边形中，对角线 ∴平行四边形是菱形，是的中点， ∵菱形四条边相等，周长为， ∴边长， ∵点E为的中点， ∴． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 请写出一个函数随增大而增大的函数________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】只需构造出满足随增大而增大的函数即可，可选取一次函数构造符合要求的结果. 【详解】解：对于一次函数，当 时，随的增大而增大. 令，，可得满足条件的函数为 . 12. “纳米机器人”是机器人工程学的一种新兴科技，我国首创的一款溶栓纳米机器人的体积极小，长度约为，将数据用科学记数法表示为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了用科学记数法表示较小的数，用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为整数． 【详解】解：． 故答案为：． 13. 一组数据3，2，4，2，6，5，a（其中a为常数）的平均数为4，方差为．若再填一个数据4，得到一组新数据．记这组新数据的方差为，则________（填“”，“”或“”）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平均数，方差的计算方法，掌握方差的计算方法是解题的关键．先利用平均数求出的值，求出添加一个数据后的平均数，再根据方差公式，求出，，比较即可解答． 【详解】解：∵一组数据3，2，4，2，6，5，a（其中a为常数）的平均数为4， ∴， ∴ ， 添加一个数据后的平均数为， ∴ ， ∵，即， 故答案为：． 14. 如图，菱形的边长为a，对角线、相交于点O，若．菱形的面积为______________．（用含a、b的式子表示） 【答案】 【解析】 【分析】设，，根据菱形的性质得到，，是直角三角形，根据勾股定理得到，根据完全平方公式求出，根据菱形的面积公式计算即可． 【详解】解：设，， ∴， ∵菱形的边长为a， ∴， ∵菱形对角线互相垂直平分， ∴，，是直角三角形， ∴， 即， 整理得， ∵， ∴， 即， ∵菱形面积等于对角线乘积的一半， ∴． 15. 如图，顺次连接矩形四边的中点得到四边形，再顺次连接四边形四边的中点得四边形，…，按此规律得到四边形，若矩形的面积为15，那么四边形的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】设四边形的面积为，矩形的长为x，宽为y，根据题意，， ，，确定规律为，代入计算即可，本题考查了矩形的性质，菱形的性质，规律探索，熟练掌握规律探索，菱形的性质是解题的关键． 【详解】设四边形的面积为，矩形的长为x，宽为y，根据题意，得，， ， 故， 故答案为：． 三、解答题（10+9+9+9+9+9+10+10=75分） 16. 计算、化简 （1）计算：． （2）化简： 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 17. 下面是小明设计的“利用已知矩形作一个内角为角的平行四边形”的尺规作图过程． 已知：矩形． 求作：，使． 作法：如图， ①作的垂直平分线； ②以点A为圆心，以长为半径作弧，交直线于点G，连接； ③以点G为圆心，以长为半径作弧，交直线于点H，连接． 则四边形即为所求作的平行四边形． 根据小明设计的尺规作图过程，填空： （1）的大小为______； （2）判定四边形是平行四边形的依据是____________； （3）平行四边形的面积为m，矩形的面积为n，用等式表示m，n的数量关系为____________． 【答案】（1） （2）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 （3） 【解析】 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，等边三角形的判定与性质，平行四边形的判定等知识．熟练掌握垂直平分线的性质，等边三角形的判定与性质，平行四边形的判定是解题的关键． （1）如图，连接，由是的垂直平分线，可得，则是等边三角形，进而可求的度数； （2）由题意知，由，可证四边形是平行四边形，然后作答即可； （3）由题意知，，，进而可得． 【小问1详解】 解：如图，连接， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 解：∵， ∴四边形是平行四边形， ∴判定依据为一组对边平行且相等的四边形是平行四边形， 故答案为：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形； 【小问3详解】 解：由题意知，， ∵， ∴，即， 故答案为：． 18. 密闭容器内有一定质量的二氧化碳，当容器的体积V（单位：）变化时，气体的密度（单位：）随之变化．已知密度与体积V是反比例函数关系，它的图象如图所示，当时，． （1）求密度关于体积V的函数解析式； （2）若，求二氧化碳密度的变化范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）用待定系数法即可完成； （2）把V=3和V=9代入（1）所求得的解析式中，即可求得密度的变化范围． 【小问1详解】 解：∵密度与体积V是反比例函数关系， ∴设， ∵当时，， ∴， ∴， ∴密度关于体积V的函数解析式为：； 【小问2详解】 解：观察函数图象可知，随V的增大而减小， 当时，， 当时，， ∴当时， 即二氧化碳密度的变化范围是． 【点睛】本题考查反比例函数的实际应用，掌握反比例函数图象的性质是解题的关键． 19. 为了增强全民国家安全意识，我国将每年4月15日确定为全民国家安全教育日．某校为调查学生对国家安全知识的了解情况，组织甲、乙两组学生进行相关知识竞赛，对竞赛成绩（百分制）进行整理和分析，给出了如下信息． 【信息1】甲、乙两组学生竞赛成绩（单位：分） 甲：91，96，70，89，60，70，100，80，92，98 乙：92，93，70，88，82，75，96，80，92，95 【信息2】甲、乙两组学生竞赛成绩的平均数，众数，中位数，方差 统计量 平均数/分 众数/分 中位数/分 方差/分 甲 84.6 70 171.44 乙 86.3 90 73.41 【信息3】甲、乙两组学生竞赛成绩的箱线图（单位：分） 根据以上信息，回答下列问题： （1）________，________； （2）求甲组学生竞赛成绩的下四分位数________，上四分位数________，并补全甲组竞赛成绩的箱线图； （3）根据【信息2】和【信息3】，你认为哪个组竞赛成绩较好？请简述理由． 【答案】（1）90；92 （2）70；96；补图见解析 （3）乙组竞赛成绩较好．理由：平均分更高，成绩更稳定．（答案不唯一） 【解析】 【分析】（）根据众数，中位数的定义即可求解． （）根据数值计算前后各个数的中位数即可求出上四分为数和下四分位数即可． （）根据表格给出的数值，根据平均数，方差进行比较即可． 【小问1详解】 解：甲组个数，排序后第五和第六位分别是89 和91， ∴中位数 ， 众数是出现次数最多的，乙组排序后最多， ∴众数． 【小问2详解】 解：前半部分为前个数（, , , , ），中位数是第个为，则下四分位数为，后半部分数据为（, , , , ），中位数是第个为，则上四分位数为， 所以，箱线图为： 【小问3详解】 解：乙组竞赛成绩较好． 理由：∵乙组的平均数大于甲组平均数，乙组的方差小于甲组的方差， ∴乙组平均分更高，成绩更稳定， ∴乙组竞赛成绩较好． 20. 如图，在中，点，在对角线上，连接，，，，．求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【解析】 【分析】先利用平行四边形的性质以及已知条件证明可得，进而得到，即；再结合即可证明结论． 【详解】证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形． 21. 2026马年央视春晚中；宇树科技的机器人《武》展示了单腿连续后空翻、托马斯全旋等高难度动作；是本届春晚科技与文化融合的巅峰之作．随着人工智能与物联网等技术的快速发展，人形机器人的应用场景不断拓展，某快递企业为提高工作效率，拟购买A、B两种型号智能机器人进行快递分拣．若买1台A型机器人比买1台B型机器人多花20万元，用400万元买A型机器人与用300万元买B型机器人的数量恰好一样． （1）求A、B两种型号智能机器人的单价； （2）该企业现计划采购A型和B型机器人共15台，且B型机器人数量不超过A型机器人数量的4倍；当购买A型机器人多少台时采购总费用最少？最少采购总费用是多少？ 【答案】（1）A型智能机器人的单价为80万元，B型智能机器人的单价为60万元 （2）采购A型机器人3台时，采购费用最低，最低采购费用为960万元 【解析】 【分析】（1）设A型智能机器人的单价为x万元，B型智能机器人的单价为万元，根据“用400万元买A型机器人与用300万元买B型机器人的数量恰好一样”列分式方程求解即可； （2）设购买A型机器人m台，总采购费用为w万元，根据“B型机器人数量不超过A型机器人数量的4倍”求出m的取值范围，根据（1）中结论得到w的函数解析式，根据一次函数的性质作答即可． 【小问1详解】 解：设A型智能机器人的单价为x万元，B型智能机器人的单价为万元， 根据题意可得：， 解得：， 经检验：是原方程的解且符合题意， ， 答：A型智能机器人的单价为80万元，B型智能机器人的单价为60万元； 【小问2详解】 解：设购买A型机器人m台，总采购费用为w万元， 根据题意得， 解得：， 根据题意可得， ，w随m的增大而增大， 当时，w取最小值， 此时万元， 答：采购A型机器人3台时，采购费用最低，最低采购费用为960万元． 22. 八年级数学社团在实践活动中，研究了一元一次不等式、一元一次方程和一次函数的关系这一课题．在研究过程中，他们将函数确定为研究对象，通过作图，观察图象，归纳性质等探究过程，进一步理解了一元一次不等式与函数的关系．请你根据以下探究过程，回答问题． （1）作出函数的图象． 列表： … … … … 其中，表格中的值为_________； 在直角坐标系中画出该函数图象． （2）观察函数的图象，探索函数性质： ①当_________时，函数有最大值，最大值为_________； ②以下是关于该函数图象的一些性质，其中正确的为_________（只填写序号）． A．函数图象关于直线对称； B．当时，随的增大而减小； C．当时，； D．函数没有最小值． 【答案】（1），在直角坐标系中画出该函数图象如下： （2）①，；② 【解析】 【分析】（1）根据函数表达式，得出当时，，即，在图中描出对应的点，并把对应点连线画出函数图象，根据，得到当时，是最高点； （2）①根据函数图象中的最高点，即可得结果；②根据图象和函数的性质，逐项判断即可． 【小问1详解】 解：当时，； 故答案为：； 【小问2详解】 解：①由函数图象可知，当时，函数有最大值，最大值为； 故答案为：，； ②由①可知，当时，函数有最大值为， ∴当时，函数，为一次函数，一次项系数，随的增大而增大， 当时，函数，为一次函数，一次项系数，随的增大而减小， ∴逐一分析各选项： 选项：由函数图象可知，函数图象关于直线对称，选项正确，符合题意； 选项：当时，随的增大而减小，选项正确，符合题意； 选项：当时，或，有两种情况，故选项错误，不符合题意； 选项：由函数图象可知，函数没有最小值，故选项正确，符合题意． 故答案为：． 23. 如图，在△ABC中，点O是边AC上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交△BCA的外角平分线于点F． （1）探究OE与OF的数量关系并加以证明； （2）四边形BCFE会是菱形吗？若是，请加以证明；若不是，则说明理由； （3）当点O运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？请说明理由； （4）在（3）问的基础上，△ABC满足什么条件时，四边形AECF是正方形？为什么？ 【答案】（1）OE=OF，证明见解析；（2）不是，理由见解析；（3）点O运动到AC的中点，理由见解析；（4）∠ACB为直角，理由见解析 【解析】 【分析】（1）由已知MN∥BC，CE、CF分别平分∠BCO和∠GCO，可推出∠OEC=∠OCE，∠OFC=∠OCF，所以得EO=CO=FO． （2）菱形的判定问题，若使菱形，则必有四条边相等，对角线互相垂直． （3）由（1）得出的EO=CO=FO，点O运动到AC的中点时，则由EO=CO=FO=AO，所以这时四边形AECF是矩形． （4）由已知和（3）得到的结论，点O运动到AC的中点时，且△ABC满足∠ACB为直角的直角三角形时，则推出四边形AECF是矩形且对角线垂直，所以四边形AECF是正方形． 【详解】解：（1）OE=OF， 理由：∵MN∥BC， ∴∠OEC=∠BCE，∠OFC=∠DCF， 又∵CE平分∠BCO，CF平分∠DCO， ∴∠OCE=∠BCE，∠OCF=∠DCF， ∴∠OCE=∠OEC，∠OCF=∠OFC， ∴EO=CO，FO=CO， ∴OE=OF； （2）不可能． 如图所示，连接BF， ∵CE平分∠ACB，CF平分∠ACD， ∴∠ECF=∠ACB+∠ACD=（∠ACB+∠ACD）=90°， 若四边形BCFE是菱形，则BF⊥EC， 但在△GFC中，不可能存在两个角为90°，所以不存在其为菱形． （3）当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形． 理由如下： ∵当点O运动到AC的中点时，AO=CO， 又∵EO=FO， ∴四边形AECF是平行四边形， ∵FO=CO， ∴AO=CO=EO=FO， ∴AO+CO=EO+FO，即AC=EF， ∴四边形AECF是矩形； （4）当点O运动到AC的中点时，且△ABC满足∠ACB为直角的直角三角形时，四边形AECF是正方形． ∵由（3）知，当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形， 已知MN∥BC，当∠ACB=90°， 则∠AOF=∠COE=∠COF=∠AOE=90°， ∴AC⊥EF， ∴四边形AECF是正方形． 【点睛】此题考查的是正方形和矩形的判定，角平分线的定义，平行线的性质，等腰三角形的判定等知识．解题的关键是由已知得出EO=FO，然后根据（1）的结论确定（3）（4）的条件． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年春期八年级期终巩固练习 数学 一、选择题（每小题的四个选项中，只有一项正确，每小题3分，共30分） 1. 若分式的值等于，则的值为（ ） A. B. C. D. 2. 为了调查某校同学的体质健康状况，随机抽查了14名同学的每天锻炼时间如下表： 每天锻炼时间（分钟） 50 60 80 90 100 学生人数 2 5 4 2 1 则这些同学每天锻炼时间的众数和中位数分别是（ ） A. 60，70 B. 60，80 C. 80，60 D. 70，60 3. 若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 4. 下列说法中正确的是（　　） A. 对角线互相垂直的四边形是菱形 B. 一组对边平行，一组对边相等的四边形是平行四边形 C. 对角线相等的平行四边形是矩形 D. 对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 5. 阻力会对物体的运动产生影响，是物理学中的重要概念．如图，兴趣小组通过实验研究发现，一辆静止的小车从斜坡滑下后，在水平木板上的运动速度与运动时间之间满足我们学过的某种函数关系．下表是一组实验数据，根据表中数据，与之间的函数关系式为（ ） 运动时间 1 2 3 4 … 运动速度 11 10 9 8 … A. B. C. D. 6. 如图，在四边形中，，对角线和交于点，要使四边形成为平行四边形，则应添加的条件是（ ） A. B. C. D. 7. 如图所示，矩形的对角线相交于点．若，则四边形的周长是（ ） A. 12 B. 10 C. 18 D. 24 8. □ABCD中，AC、BD是两条对角线，如果添加一个条件，可推出□ABCD是菱形，那么这个条件可以是（　 　） A. AB=CD B. AC=BD C. AC⊥BD D. AB⊥BD 9. 某校举办了传统文化知识竞赛．已知一班和二班人数相等，在这次竞赛中两班成绩的箱线图如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. 两班成绩的下四分位数一样，上四分位数也一样 B. 一班成绩比二班成绩集中 C. 一班成绩的中位数比二班成绩的中位数大 D. 一班成绩的最低分高于二班成绩的最低分 10. 如图，平行四边形的周长为40，点E为的中点，若对角线于点O，则的长为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 请写出一个函数随增大而增大的函数________． 12. “纳米机器人”是机器人工程学的一种新兴科技，我国首创的一款溶栓纳米机器人的体积极小，长度约为，将数据用科学记数法表示为________． 13. 一组数据3，2，4，2，6，5，a（其中a为常数）的平均数为4，方差为．若再填一个数据4，得到一组新数据．记这组新数据的方差为，则________（填“”，“”或“”）． 14. 如图，菱形的边长为a，对角线、相交于点O，若．菱形的面积为______________．（用含a、b的式子表示） 15. 如图，顺次连接矩形四边的中点得到四边形，再顺次连接四边形四边的中点得四边形，…，按此规律得到四边形，若矩形的面积为15，那么四边形的面积为______． 三、解答题（10+9+9+9+9+9+10+10=75分） 16. 计算、化简 （1）计算：． （2）化简： 17. 下面是小明设计的“利用已知矩形作一个内角为角的平行四边形”的尺规作图过程． 已知：矩形． 求作：，使． 作法：如图， ①作的垂直平分线； ②以点A为圆心，以长为半径作弧，交直线于点G，连接； ③以点G为圆心，以长为半径作弧，交直线于点H，连接． 则四边形即为所求作的平行四边形． 根据小明设计的尺规作图过程，填空： （1）的大小为______； （2）判定四边形是平行四边形的依据是____________； （3）平行四边形的面积为m，矩形的面积为n，用等式表示m，n的数量关系为____________． 18. 密闭容器内有一定质量的二氧化碳，当容器的体积V（单位：）变化时，气体的密度（单位：）随之变化．已知密度与体积V是反比例函数关系，它的图象如图所示，当时，． （1）求密度关于体积V的函数解析式； （2）若，求二氧化碳密度的变化范围． 19. 为了增强全民国家安全意识，我国将每年4月15日确定为全民国家安全教育日．某校为调查学生对国家安全知识的了解情况，组织甲、乙两组学生进行相关知识竞赛，对竞赛成绩（百分制）进行整理和分析，给出了如下信息． 【信息1】甲、乙两组学生竞赛成绩（单位：分） 甲：91，96，70，89，60，70，100，80，92，98 乙：92，93，70，88，82，75，96，80，92，95 【信息2】甲、乙两组学生竞赛成绩的平均数，众数，中位数，方差 统计量 平均数/分 众数/分 中位数/分 方差/分 甲 84.6 70 171.44 乙 86.3 90 73.41 【信息3】甲、乙两组学生竞赛成绩的箱线图（单位：分） 根据以上信息，回答下列问题： （1）________，________； （2）求甲组学生竞赛成绩的下四分位数________，上四分位数________，并补全甲组竞赛成绩的箱线图； （3）根据【信息2】和【信息3】，你认为哪个组竞赛成绩较好？请简述理由． 20. 如图，在中，点，在对角线上，连接，，，，．求证：四边形是平行四边形． 21. 2026马年央视春晚中；宇树科技的机器人《武》展示了单腿连续后空翻、托马斯全旋等高难度动作；是本届春晚科技与文化融合的巅峰之作．随着人工智能与物联网等技术的快速发展，人形机器人的应用场景不断拓展，某快递企业为提高工作效率，拟购买A、B两种型号智能机器人进行快递分拣．若买1台A型机器人比买1台B型机器人多花20万元，用400万元买A型机器人与用300万元买B型机器人的数量恰好一样． （1）求A、B两种型号智能机器人的单价； （2）该企业现计划采购A型和B型机器人共15台，且B型机器人数量不超过A型机器人数量的4倍；当购买A型机器人多少台时采购总费用最少？最少采购总费用是多少？ 22. 八年级数学社团在实践活动中，研究了一元一次不等式、一元一次方程和一次函数的关系这一课题．在研究过程中，他们将函数确定为研究对象，通过作图，观察图象，归纳性质等探究过程，进一步理解了一元一次不等式与函数的关系．请你根据以下探究过程，回答问题． （1）作出函数的图象． 列表： … … … … 其中，表格中的值为_________； 在直角坐标系中画出该函数图象． （2）观察函数的图象，探索函数性质： ①当_________时，函数有最大值，最大值为_________； ②以下是关于该函数图象的一些性质，其中正确的为_________（只填写序号）． A．函数图象关于直线对称； B．当时，随的增大而减小； C．当时，； D．函数没有最小值． 23. 如图，在△ABC中，点O是边AC上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交△BCA的外角平分线于点F． （1）探究OE与OF的数量关系并加以证明； （2）四边形BCFE会是菱形吗？若是，请加以证明；若不是，则说明理由； （3）当点O运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？请说明理由； （4）在（3）问的基础上，△ABC满足什么条件时，四边形AECF是正方形？为什么？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $