第21章《四边形》暑假复习巩固综合练习 2025-2026学年人教版数学八年级下册

**基本信息** 聚焦四边形全章知识，以基础概念辨析、性质应用及动态探究为脉络，覆盖多边形、特殊四边形及综合变换，强化逻辑推理与几何直观。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础概念|单选1-2题|多边形内角和计算、特殊四边形判定辨析|从多边形内角和公式推导到特殊四边形定义生成| |性质应用|填空11-14题|中位线计算、菱形面积、矩形折叠|特殊四边形性质（对角线、中点）与几何直观结合| |综合探究|解答19-25题|动态菱形旋转、正方形动点问题|从静态性质证明到动态变换推理，构建“概念-性质-应用”逻辑链|

人教版八年级上册暑假综合练习 第21章 四边形 一、 单选题（本题共计 10 小题 ，每题 3 分 ，共计30分 ）   1.如果一个多边形的内角和是外角和的5倍，那么这个多边形的边数为（       ） A.8 B.10 C.12 D.14 2.下列说法一定正确的是（ ） A.平行四边形的对角线互相垂直 B.对角线互相垂直的四边形是菱形 C.矩形的对角线相等 D.对角线互相垂直平分的四边形是正方形 3.如图，小明借助直尺和三角尺，先作，再作，进而得到，四边形是平行四边形的依据是（        ）     A. B.， C.， D.， 4.如图，在中，点D，E，F分别是，，的中点，若的周长是12，则的周长是（       ） A.3 B.6 C.12 D.24 5.如图，在中，为的中点，恰好平分，若，则的周长为（        ） A.4 B.8 C.10 D.12 6.两个矩形的位置如图所示，若，则（        ） A. B. C. D. 7.中国结象征着中华民族的历史文化与精神．小乐家有一中国结挂饰，他想求两对边的距离，于是利用所学知识抽象出如图所示的菱形，测得，直线过点且与垂直，分别交于，则的长为（       ） A. B. C. D. 8.如图，在正方形中，对角线与相交于点，、分别为、上一点，，，则的长度是（        ） A. B. C. D. 9.如图，在四边形中，点分别是各边的中点．甲说：若四边形是矩形，则四边形是菱形；乙说：若四边形是菱形，则四边形是矩形．下列判断正确的是（     ） A.甲、乙都正确 B.甲正确，乙错误 C.甲错误，乙正确 D.甲、乙都错误 10.如图，正方形中，点E、F、H分别是的中点，交于G，连接．下列结论：①；②；③；④．其中错误的有（     ） A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 二、 填空题（本题共计 6 小题 ，每题 3 分 ，共计18分 ）   11.如果一个多边形的内角和是它的外角和的2倍，那么这个多边形的边数为______． 12.如图，在平行四边形中，，，的平分线交于点，则的长是_______． 13.如图，A，B两地被房子隔开，小明通过下面方法估测A，B间的距离：先在外选一点C，然后步测出，的中点M，N并步测出的长约为40米，由此可知，A，B间的距离约为_______米． 14.在菱形中，对角线，相交于点，交于点，已知，，则菱形的面积为_______． 15.如图，在矩形中，，点E和点G分别在边和上，将沿翻折，点D恰好落在对角线上的点F处，再将沿翻折，点B恰好落在的延长线上的点H处，折痕和与对角线分别交于点P，点Q，则的面积为________． 16.如图，正方形边长为1，为对角线上的一个动点，过作的垂线并截取，连接，周长的最小值为_______． 三、 解答题（本题共计 9 小题 ，共计72分 ）   17.(6分) 已知一个多边形的边数为n． （1）若，求这个多边形的内角和； （2）若这个多边形的内角和是外角和的2倍，求n的值． 18.（5分）如图，四边形是平行四边形，请用无刻度直尺和圆规在边上找一点，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 19.（6分）如图，已知四边形的对角线交于点．下列三个条件：①，②，③，请从中选择两个，证明四边形是平行四边形． 20.（7分）如图，在中，，，点为的中点，为线段上任意一点，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，过点作，交直线与点，请问与的数量关系是怎样的？请说明理由． 21.(8分) 如图，在中，分别是的中点，延长到点，使．连接． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，求的长． 22.(9分) 如图，在中，的平分线交于点，过点作的垂线交的延长线于点，连接，若． （1）求证：； （2）若，，求线段的长． 23.(9分) 如图，四边形是矩形，延长到点，使，连接，，过点作，交的延长线于点，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求四边形的面积． 24.(10分) 如图，正方形中，点为边上一点（与点，不重合），连接，过点作交的延长线于点，连接，过点作于点，连接． （1）依题意补全图形，并证明； （2）用等式表示线段与之间的数量关系，并证明． 25.(12分) 在菱形中，，点在对角线上运动（点不与点，点重合），，以点为顶点作菱形，且菱形与菱形的形状、大小完全相同，即，在菱形绕点旋转的过程中，与边交于点与边交于点． 特例感知】 （1）如图1，当，时，则，，之间满足的数量关系是_____； 【类比探究】 （2）如图2，菱形的边长为8，，求的值（用含的代数式表示）； 【拓展应用】 （3）在（2）的条件下，连接，求的长度． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 人教版八年级上册暑假综合练习 第21章 四边形 一、 单选题（本题共计 10 小题 ，每题 3 分 ，共计30分 ）   1.如果一个多边形的内角和是外角和的5倍，那么这个多边形的边数为（       ） A.8 B.10 C.12 D.14 【答案】 C 【解析】 本题主要考查了多边形内角和和外角和综合，设这个多边形的边数是n，则这个多边形的内角和为，再根据多边形外角和为，结合题意列出方程求解即可. 【解答】 解：设这个多边形的边数为n， 根据题意，得， 解得n=12， 故选：C. 2.下列说法一定正确的是（ ） A.平行四边形的对角线互相垂直 B.对角线互相垂直的四边形是菱形 C.矩形的对角线相等 D.对角线互相垂直平分的四边形是正方形 【答案】 C 【解析】 本题主要考查了平行四边形、矩形的性质和菱形、正方形的判定定理判定，理解相关知识是解答关键根据平行四边形、矩形的性质和菱形、正方形的判定定理来进行判定求解. 【解答】 解：A. 平行四边形的对角线互相平分，故原说法错误，此项不符合题意； B. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故原说法错误，此项不符合题意； C. 矩形的对角线相等，故原说法正确，此项符合题意； D. 对角线互相垂直平分的四边形是菱形，故原说法错误，此项不符合题意. 故选：C. 3.如图，小明借助直尺和三角尺，先作，再作，进而得到，四边形是平行四边形的依据是（        ）     A. B.， C.， D.， 【答案】 A 【解析】 利用平行线的判定及平行四边形的判断可解。 【解答】 解： 四边形ABCD是平行四边形.  故选：A. 4.如图，在中，点D，E，F分别是，，的中点，若的周长是12，则的周长是（       ） A.3 B.6 C.12 D.24 【答案】 B 【解析】 根据三角形的中位线定理进行求解即可. 【解答】 解：在 中，点D，E，F分别是AB，BC，AC的中点， 的周长 ， 的周长  故选：B. 5.如图，在中，为的中点，恰好平分，若，则的周长为（        ） A.4 B.8 C.10 D.12 【答案】 D 【解析】 根据平行四边形的性质（对边平行）、平行线的性质（内错角相等）、角平分线的定义、等腰三角形的判定（等角对等边）和线段中点的性质，求出AB和BC的长，进而计算周长. 【解答】 解：四边形ABCD是平行四边形， ， . 平分， ， ， . 为BC的中点， ， ，， 的周长为 .  故选：D. 6.两个矩形的位置如图所示，若，则（        ） A. B. C. D. 【答案】 D 【解析】 根据邻补角定义求出 ，根据矩形的性质得出 ，由直角三角形的两个锐角互余，结合同角的余角相等，即可求解. 【解答】 解：如图所示： 由题意知 故选：D.  7.中国结象征着中华民族的历史文化与精神．小乐家有一中国结挂饰，他想求两对边的距离，于是利用所学知识抽象出如图所示的菱形，测得，直线过点且与垂直，分别交于，则的长为（       ） A. B. C. D. 【答案】 A 【解析】 根据菱形的性质，得出 ， ， ，推出 是等边三角形， ，根据勾股定理求出 ，则 ，最后根据 ，即可求解. 【解答】 解： 四边形 是菱形， ， ， ， ， 是等边三角形， ， 根据勾股定理可得： ， ， ， ， 解得： ， 故选：A. 8.如图，在正方形中，对角线与相交于点，、分别为、上一点，，，则的长度是（        ） A. B. C. D. 【答案】 C 【解析】 利用正方形对角线性质求出边长AD，通过平行线证出内错角相等，结合对顶角相等、OA=OC证得三角形全等，得AF=CE，再用DF=AD-AF算出长度. 【解答】 解：∵ 四边形ABCD是正方形，AC与BD相交于点O， ∴ AC⊥BD，OA=OC=OD， ∴ OA=OD=10， ∴ AD==10， ∵ AD∥BC， ∴ ∠FAO=∠ECO， ∴ 在△OFA和△OEC中， ∴ ΔOFA≌ΔOEC(ASA), ∴ AF=CE=3， ∴ DF=DA-AF=10-3=7. 故选：C.  9.如图，在四边形中，点分别是各边的中点．甲说：若四边形是矩形，则四边形是菱形；乙说：若四边形是菱形，则四边形是矩形．下列判断正确的是（     ） A.甲、乙都正确 B.甲正确，乙错误 C.甲错误，乙正确 D.甲、乙都错误 【答案】 B 【解析】 连接AC，BD，根据矩形的性质可得 ，再根据三角形中位线的性质可得 ，即可判断甲；四边形EFGH是菱形，只能判断AC=BD，无法得到四边形ABCD是矩形. 【解答】 解：如图，连接AC，BD， 若四边形ABCD是矩形，则AC=BD， 点E，F，G，H分别是各边的中点， 四边形EFGH是菱形，故甲说法正确； 若四边形EFGH是菱形，则EH=FG=EF=HG， 无法证明四边形ABCD是矩形，故乙说法错误. 故选：B.  10.如图，正方形中，点E、F、H分别是的中点，交于G，连接．下列结论：①；②；③；④．其中错误的有（     ） A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 【答案】 A 【解析】 通过证明 可得 ；通过证明 可得 ，进而证得 垂直平分 ，推出 ；利用直角三角形斜边中线性质及外角性质可证 及 ；最后统计错误结论的个数。 【解答】 解： 四边形 是正方形， ，， 分别是 的中点， ，， ， 在 和 中， (SAS) ， ， ， ，即 ，故①正确； 同理可证 ， ，， ， ， 在 中，， 是 的中点， ， ， 垂直平分 ， ， ， ，故②正确； 垂直平分 ， ， ， ， ， ， ， ，故③正确； ，， ，故④正确； 综上所述，正确的结论有4个，错误的结论有0个。 故选：A. 二、 填空题（本题共计 6 小题 ，每题 3 分 ，共计18分 ）   11.如果一个多边形的内角和是它的外角和的2倍，那么这个多边形的边数为___6_____． 【答案】 6 【解析】 本题考查多边形的内角和与外角和定理，掌握多边形内角和公式与外角和的性质是解题的关键，设多边形的边数为 ，根据内角和是外角和的2倍建立方程求解即可. 【解答】 解：设这个多边形的边数为 ， ， 解得 故答案为：6. 12.如图，在平行四边形中，，，的平分线交于点，则的长是___3_____． 【答案】 3 【解析】 根据平行四边形的性质可得 ， ， ，由平行线的性质可得 ，结合角平分线的定义可得 ，从而推出 ，根据等角对等边可得 ，最后利用线段的和差关系即可求解. 【解答】 解： 四边形 是平行四边形 ， ， 平分 . 故答案为：3.  13.如图，A，B两地被房子隔开，小明通过下面方法估测A，B间的距离：先在外选一点C，然后步测出，的中点M，N并步测出的长约为40米，由此可知，A，B间的距离约为___80_____米． 【答案】 80 【解析】 根据三角形中位线的性质，进行求解即可. 【解答】 解：分别为的中点， ， 米， 米.  故答案为：80. 14.在菱形中，对角线，相交于点，交于点，已知，，则菱形的面积为____30____． 【答案】 30 【解析】 根据斜边上的中线结合菱形的性质，进行求解即可. 【解答】 解：菱形ABCD，OC=5 , AC=2OC=10, ， , , , 菱形ABCD的面积为.  故答案为：30. 15.如图，在矩形中，，点E和点G分别在边和上，将沿翻折，点D恰好落在对角线上的点F处，再将沿翻折，点B恰好落在的延长线上的点H处，折痕和与对角线分别交于点P，点Q，则的面积为________． 【答案】 【解析】 根据折叠求得 ，再利用角度的转换得到 ，解直角三角形得到 ，再利用勾股定理求得 ，即可解答. 【解答】 解：在矩形 中， ，由翻折可得 ， ， ， ， ， ， ， ， 设 ，则 ， 根据勾股定理可得 ， 解得 （负数舍去）， ， 的面积为 . 故答案为：.  16.如图，正方形边长为1，为对角线上的一个动点，过作的垂线并截取，连接，周长的最小值为________． 【答案】 【解析】 过F作FG AC交AD于G，连结EG、CG，证四边形ECFG为矩形，得GC=EF，据此知 ，再求出AC ，当CG AD时，CG取得最小值，此时 CG=CD=1，从而得出答案. 【解答】 解：过F作FG AC交AD于G，连结EG、CG，如图所示： 四边形ECFG为平行四边形， 四边形ECFG为矩形， 在Rt 中，AB=BC=1，则由勾股定理可得 当CG 时，CG取得最小值此时 CG=CD=1, 周长的最小值 故答案为： 三、 解答题（本题共计 9 小题 ，共计72分 ）   17.(6分) 已知一个多边形的边数为n． （1）若，求这个多边形的内角和； （2）若这个多边形的内角和是外角和的2倍，求n的值． 【答案】 6 【解析】 （1）运用多边形的内角和公式，列式 ，即可作答. （2）因为这个多边形的内角和是外角和的2倍，得这个多边形的内角和是 ，再结合多边形的内角和公式，列式 ，解出 ，即可作答. 【解答】 （1）解： 则这个多边形的内角和为 （2）解： 这个多边形的内角和是外角和的2倍， 这个多边形的内角和是 故 解得 18.（5分）如图，四边形是平行四边形，请用无刻度直尺和圆规在边上找一点，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】 如图，点P即为所求. 【解析】 根据平行四边形的性质和线段垂直平分线的性质可知 ， ，故只需作AB的垂直平分线交BC于P，则有 ，故点P即为所求. 【解答】 如图，点P即为所求.   19.（6分）如图，已知四边形的对角线交于点．下列三个条件：①，②，③，请从中选择两个，证明四边形是平行四边形． 【答案】 证明见解析； 【解析】 本题主要考查了平行四边形的判定，通过选定组合②③$，利用三角形全等，即可得到平行四边形判定的条件，有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形. 【解答】 证明如下：选择②③$ 且满足， 在 和 中 （ASA）， 四边形 是平行四边形. 20.（7分）如图，在中，，，点为的中点，为线段上任意一点，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，过点作，交直线与点，请问与的数量关系是怎样的？请说明理由． 【答案】 ，理由见解析 【解析】 本题主要考查了三角形中位线的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识点，灵活运用相关运算法则成为解题的关键．延长交于点，易得，再说明为的中位线可得，进而得到与都是等腰直角三角形，然后再证明，最后根据全等三角形的性质即可证明结论． 【解答】 解：与的数量关系是：．理由如下： 如图：延长交于点， 由题意，知，， ， 又点为的中点， 点为的中点，且， 为的中位线， ． ， ， ，即． ，， ， ， ． 与都是等腰直角三角形， ， ， ， ．  21.(8分) 如图，在中，分别是的中点，延长到点，使．连接． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，求的长． 【答案】 见解析 2 【解析】 （1）证明EF是ΔABC的中位线，得出EF∥AB，EF=AB，由AD=AB得EF=AD，可证明四边形ADFE是平行四边形； （2）应用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半和平行四边形的性质：平行四边形的对边相等，求得DF长即可. 【解答】 （1）证明：∵ 点E，F分别为BC，AC的中点， ∴ EF∥AB，EF=AB. 又∵ AD=AB， ∴ EF=AD. 又∵ EF∥AD， ∴ 四边形ADFE是平行四边形. （2）解：在RtΔABC中， ∵ E为BC的中点，BC=4， ∴ AE=BC=2. 又∵ 四边形ADFE是平行四边形， ∴ DF=AE=2. 22.(9分) 如图，在中，的平分线交于点，过点作的垂线交的延长线于点，连接，若． （1）求证：； （2）若，，求线段的长． 【答案】 见解答 AE=4 【解析】 （1）根据平行四边形的性质和平行线的性质得出∠BAE=∠DEA，根据角平分线的定义和等角对等边得出DA=DE，根据角平分线的性质得出EF=EB，根据全等三角形的判定和性质得出AB=AF，即可证明； （2）根据平行四边形的性质和平行线的性质得出∠CEB=∠EBA=90°，根据勾股定理求出BE=4，由(1)得EF=EB=4，DA=DE，AB=AF，CE=DF=3，根据平行四边形的性质推得AF=8，根据勾股定理即可求解. 【解答】 （1）证明：∵ 四边形ABCD是平行四边形， ∴ AB∥CD，AB=CD， ∴ ∠BAE=∠DEA， 又∵ AE平分∠BAD， ∴ ∠BAE=∠DAE， ∴ ∠DEA=∠DAE， ∴ DA=DE． ∵ EF⊥AD，∠ABE=90°，AE平分∠BAD， ∴ EF=EB， ∴ 在Rt△AEF和Rt△AEB中， ∴ Rt△AEF≌Rt△AEB． ∴ AB=AF， 即CD=AF． ∴ CD-DE=AF-AD， 即CE=DF． （2）解：∵ 四边形ABCD是平行四边形， ∴ AB∥CD， ∴ ∠CEB=∠EBA=90°， 在Rt△BEC中，BC=5，CE=3， ∴ BE=， 由(1)得EF=EB=4，DA=DE，AB=AF，CE=DF=3， ∴ 四边形ABCD是平行四边形， ∴ AD=BC=DE=5， 故AF=AD+DF=5+3=8， ∴ AB=CD=8， 在Rt△ABE中，AE=．  23.(9分) 如图，四边形是矩形，延长到点，使，连接，，过点作，交的延长线于点，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求四边形的面积． 【答案】 证明： ， . , , , 四边形 是平行四边形. 四边形 是矩形， , , 平行四边形 是菱形。 【解析】 （1）证明 ，则 ，即可证明四边形 是平行四边形．根据四边形 是矩形得到 ，即可证明平行四边形 是菱形； （2）证明 是等边三角形， ，勾股定理求出 ，即可求出答案. 【解答】 （1）证明： ， . , , , 四边形 是平行四边形. 四边形 是矩形， , , 平行四边形 是菱形。 （2）解： 四边形 是菱形， ， 平分 ， ， 是等边三角形， ， ，   24.(10分) 如图，正方形中，点为边上一点（与点，不重合），连接，过点作交的延长线于点，连接，过点作于点，连接． （1）依题意补全图形，并证明； （2）用等式表示线段与之间的数量关系，并证明． 【答案】 见解答 【解析】 （1）根据题意补全的图形即可。根据正方形的性质得到 ， ，根据同角的余角相等得到 ，从而证明 （ASA），得到 ，根据等腰三角形的“三线合一”即可得出结论； （2）取BE的中点H，连接GH，GB，根据直角三角形斜边上中线的性质得到BG=DG ，即可证明 ，得到 .根据三角形中位线的性质得到GH ，GH ，从而可得出 是等腰直角三角形，根据勾股定理得到 因此BF 【解答】 （1）补全的图形如图所示 证明： 四边形ABCD是正方形， 即 （ASA） 于点G， （2）解： 证明如下： 如图，取BE的中点H，连接GH，GB. 四边形ABCD是正方形， 点G是EF的中点，点H是BE的中点， 为 的中位线， 在Rt 中，   25.(12分) 在菱形中，，点在对角线上运动（点不与点，点重合），，以点为顶点作菱形，且菱形与菱形的形状、大小完全相同，即，在菱形绕点旋转的过程中，与边交于点与边交于点． 特例感知】 （1）如图1，当，时，则，，之间满足的数量关系是_____； 【类比探究】 （2）如图2，菱形的边长为8，，求的值（用含的代数式表示）； 【拓展应用】 （3）在（2）的条件下，连接，求的长度． 【答案】 CE的长度为 或 【解析】 （1）连接 ，当 ， 时，四边形ABCD和 均为正方形，且 为AC的中点，可证得 （ASA），得出BE=CF，即可求得答案； （2）过点 作 ，交BC于G，可证得 均为等边三角形，得出 ，再证得 （ASA），即可得出答案； （3）连接BD交AC于O，运用勾股定理求得 分两种情况：当点O'在线段AO上时，当点O'在线段OC上时，分别求得CE即可 【解答】 （1）如图1，连接 ，则 ， ， （图1） (ASA) , 故答案为： (2) 如图2，过点 作 ，交BC于G， 四边形ABCD和四边形 是形状、大小完全相同的菱形，且边长为8， 、 均为等边三角形， 是等边三角形 （ASA） （3）四边形ABCD是菱形， 即 当点 在线段AO上时，如图2，过点 作 于H，则 （图2） 由（2）知： （图3） 当点 O在线段OC上时，如图3 则 综上所述，CE的长度为 或 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $