第二十一章四边形暑假作业30题 2025-2026学年人教版八年级数学下册

**基本信息** 分层设置中考真题、基础题、巩固题共30题，循序渐进构建四边形知识体系，强化几何推理与计算能力 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |真题感知|10道中考真题|选择、填空、解答题，涉及菱形性质、勾股定理应用、图形变换|承接三角形和平行线知识，关联勾股定理与图形变换，体现中考高频考点| |基础练习|10道基础题|概念辨析、坐标计算、基本性质应用|聚焦平行四边形、菱形等图形的判定与性质，夯实几何推理基础| |巩固提高|10道提升题|动态问题、折叠、最值、综合证明|综合应用图形性质与几何模型，提升空间观念与逻辑推理能力，支撑函数几何综合|

四边形 暑假作业30题 四边形是八下几何核心重点，承接三角形、平行线相关知识，支撑勾股定理、图形变换、函数几何综合等后续重难点，也是中考几何大题高频考点，图形推理与计算能力直接影响数学综合得分。 本套暑假作业精选 30 题，不搞题海战术，分层设置 10 道 2026 年中考真题（真题感知）、10 道基础题（基础练习）、10 道巩固提升题（巩固提高），循序渐进理清图形性质、突破几何模型易错点、感受最新中考考情。利用假期专项训练，夯实几何推理基础，稳步提升几何综合解题能力。 1．（2026·四川攀枝花·中考真题）如图，菱形中，对角线相交于点O，M、N分别是的中点，，则的长为（     ）真题感知 A． B．1 C． D．2 2．（2026·四川自贡·中考真题）我国清代数学家李善兰不仅创译了“代数”“函数”等科学名词，还利用出入相补的原理证明了勾股定理．如图所示，图中两个阴影正方形的面积分别记作，，正方形的面积记作，则，与的关系是（     ） A． B． C． D． 3．（2026·四川乐山·中考真题）如图，四边形是平行四边形，与相交于点，添加一个条件后，不能判定四边形是菱形的是（     ） A． B． C． D． 4．（2026·四川眉山·中考真题）如图，菱形中，对角线 与 相交于点O， ， ，点P为线段 上的一个动点（不与端点重合），过点P作 于点M， 于点N，连接，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 5．（2026·安徽·中考真题）两个直角三角板如图摆放，其中，，，，边分别与，相交于点，．若，则（     ） A． B． C． D． 6．（2026·四川达州·中考真题）两条完全相同的矩形纸条如图叠放，若，则（   ） A． B． C． D． 7．（2026·四川泸州·中考真题）的对角线，相交于点．下列结论中一定成立的是（     ） A． B． C．， D．， 8．（2026·福建·中考真题）如图，四边形是矩形，，点在的延长线上． (1)求作点 ，使点 在边上，且；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，若，，，求的长． 9．（2026·四川攀枝花·中考真题）综合探究与应用 【阅读材料】 如图1，两定点A、B在直线l异侧，点P是直线l上任意一点，当点P为线段与直线l的交点时，的值最小，最小值为线段的长．理由：在直线l上另取一点，连结，因为三角形的两边之和大于第三边，所以，即最小值为的长． 【类比应用】 (1)根据阅读材料中的相同道理，类比解决下面的问题： 如图2，两定点A、B在直线l同侧，点P是直线l上任意一点，当点P为线段延长线与直线l的交点时，的值最大，最大值为线段的长．请说明理由． 【拓展提升】 (2)如图3，在矩形中，，为对角线的中点，点H在边上，且，点E在边上，连结，，求的最大值． 10．（2026·四川内江·中考真题）如图，在四边形 中， ，点是的中点，连接 并延长交的延长线于点 ． (1)求证：； (2)若，请判断四边形 的形状，并说明理由． 11．（天津市南开区2025-2026学年八年级下学期期末数学试题）如图，平行四边形的顶点，， 的坐标分别是，，，则点的坐标是（     ）基础练习 A． B． C． D． 12．（上海市普陀区2025-2026学年八年级下学期期末考试数学试卷）已知四边形是平行四边形，下列条件中，能判定该四边形为菱形的是（     ） A． B． C． D． 13．（新疆维吾尔自治区2026年中考数学试题）如图，在中，点在上．第一步：以点为圆心，任意长为半径画弧交，于点，；第二步：以点为圆心，长为半径画弧交于点；第三步：以点为圆心，长为半径画弧交第二步所画的弧于点，连接并延长，交于点．则下列结论一定成立的是（     ） A． B． C． D． 14．（2026·内蒙古通辽·三模）传统菱形窗花常用于中式装修装饰，某款菱形窗花的两条对角线长度分别为和，那么这个菱形窗花的面积是（     ） A． B． C． D． 15．（2026·广东东莞·模拟预测）在中国传统建筑中，花窗不仅是为了美观，通常也用来表达吉祥和愿望．如图是六角花窗，则六边形的内角和为（     ） A． B． C． D． 16．（25-26八年级下·四川泸州·阶段检测）下列命题中，正确的是（     ） A．一组邻边相等的四边形是菱形 B．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 C．对角线互相垂直的四边形是菱形 D．两组对边分别相等的四边形是平行四边形 17．（2026·河南平顶山·三模）如图1，千斤顶利用四边形的不稳定性可以达到“四两拨千斤”的效果，其基本形状是菱形（如图2），当千斤顶工作时，横杆与地面平行．若，则与地面的夹角为（     ） A． B． C． D． 18．（25-26八年级下·云南大理·期末）下列条件中，不能判断四边形 是平行四边形的是（     ） A． B． C． D． 19．（2026·贵州黔东南·三模）如图，每个小正方形的边长为1，在中，点D为的中点，则线段的长为（     ） A． B． C． D． 20．（25-26六年级下·上海闵行·期末）如图，在长方形 中，放入六个形状、大小相同的小长方形，经测量，，．图中阴影部分的面积和为（     ） A． B． C． D． 21．（2026年上海市中考数学试题）如图，已知边长为的正方形，点是边上的一点(不与点、重合)，过点作，交边与点，作点、关于的对称点、，联结、交于点、，现有以下两个命题：①四边形的周长是一个定值；②四边形的周长是一个定值；巩固提高 下列说法中，正确的是(    ) A．①、②均正确 B．①正确，②错误 C．①错误，②正确 D．①、②均错误 22．（2026·河南平顶山·三模）如图，在矩形中，，，点P是边AD上一点（不与点A，D重合），连接．M，N分别是的中点，连接，则的最小值是（     ） A． B．5 C．6 D．7 23．（2026·河南平顶山·三模）如图，在菱形中，，点E，F分别在边，上，且，连接，G是的中点，连接交对角线于点H，则的长为（     ） A． B．1 C． D． 24．（25-26八年级下·陕西汉中·期末）如图，河岸，村庄E和村庄F在河的两岸，现要在河上架一座桥，点M、N分别在、上，M、N是动点，，过点F作，连接，，若米，米，米，则的最小值为（     ） A．50米 B．60米 C．80米 D．120米 25．（24-25八年级下·北京·期末）如图，在矩形中，，，点P是线段上的一个动点，连结，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 26．（25-26八年级下·云南大理·期末）如图，将平行四边形沿 折叠，点恰好落在的延长线上的点处，连接交于点． (1)证明：四边形是菱形； (2)若，． ①求的面积； ②若直线上有一点F，当为等腰三角形时，直接写出线段的长． 27．（25-26八年级下·陕西汉中·期末）探究以下问题： (1)【提出问题】 如图①，在 中， ，， ，过点A作 于点D，求线段AC的长； (2)【探究问题】 如图②，四边形ABEC为某城市规划中的一座主题公园示意图，BC是公园内的主景观带，A、B、C处均有一个观景台， 是等边三角形；等边 内的点M处是一个休息厅，休息厅M到观景台B和C的距离相等，AB上有一处打卡点N，打卡点N到观景台A和休息厅M的距离相等，BM与NE互相平分，且交于点D，在点D处设置便民服务站，CD、CN、EN为公园内的休闲步道，AM是公园内的石板小路，请你判断步道CD与DN的数量关系和位置关系，并说明理由．（景观台、休息厅、打卡点、便民服务站的大小以及景观带、步道、石板小路的宽度忽略不计） 58．（25-26八年级下·江苏苏州·期末）如图，在正方形中， 为对角线，点为的中点，垂直平分线段，分别交，，于点，，．已知． (1)求线段的长． (2)求的值． 29．（25-26八年级下·陕西榆林·期末）【问题探究】 (1)如图1，在菱形中，点E、F分别是、上的点，连接、，过点D作交的延长线于点N，过点C作于点M，若，试探究与的数量关系，并写出证明过程； 【问题解决】 (2) 如图2，正方形是李叔叔家的菜地示意图，对角线为菜地中间的原有走道．在边上设有灌溉水龙头F，从水龙头F到点C拉设引水绳，便于灌溉．李叔叔在边、上分别打入固定桩M、N，两桩之间牵设畦线绳，且垂直平分引水绳，垂足为G．畦线绳与原有走道交于点H，连接作为新走道，经测量，．李叔叔计划给走道铺设石砖，为了合理规划并明确所需石砖数量，现需确定与之间的数量关系．请你判断线段与的数量关系，并说明理由．（走道、引水绳、畦线绳的宽度和灌溉水龙头、固定桩的大小均忽略不计） 30．（25-26八年级下·陕西榆林·期末）如图，是的对角线，，点E是边的延长线上一点，连接，过点C作于点F，交于点G，且． (1)求证：四边形是正方形； (2)若点F是的中点，，求的长． 学科网（北京）股份有限公司 $ 四边形 暑假作业30题 四边形是八下几何核心重点，承接三角形、平行线相关知识，支撑勾股定理、图形变换、函数几何综合等后续重难点，也是中考几何大题高频考点，图形推理与计算能力直接影响数学综合得分。 本套暑假作业精选 30 题，不搞题海战术，分层设置 10 道 2026 年中考真题（真题感知）、10 道基础题（基础练习）、10 道巩固提升题（巩固提高），循序渐进理清图形性质、突破几何模型易错点、感受最新中考考情。利用假期专项训练，夯实几何推理基础，稳步提升几何综合解题能力。 1．（2026·四川攀枝花·中考真题）如图，菱形中，对角线相交于点O，M、N分别是的中点，，则的长为（     ）真题感知 A． B．1 C． D．2 【答案】B 【分析】因为，根据菱形的性质可知，而，由M、N分别是的中点，根据中位线的性质即可求得． 【详解】解：∵在菱形中，， ∴，， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∵M、N分别是的中点， ∴． 2．（2026·四川自贡·中考真题）我国清代数学家李善兰不仅创译了“代数”“函数”等科学名词，还利用出入相补的原理证明了勾股定理．如图所示，图中两个阴影正方形的面积分别记作，，正方形的面积记作，则，与的关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】取点，，容易证明，则，由勾股定理可得，从而得到． 【详解】解：如图，取点，， 根据题意可知，， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在中，， ∵，，， ∴． 3．（2026·四川乐山·中考真题）如图，四边形是平行四边形，与相交于点，添加一个条件后，不能判定四边形是菱形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、，根据邻边相等的平行四边形为菱形，可以得到平行四边形是菱形，不符合题意； B、，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，可以得到平行四边形为菱形，不符合题意； C、，根据对角线相等的平行四边形可以得到矩形，但不是菱形，符合题意； D、∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴平行四边形是菱形，不符合题意； 综上，故选C． 4．（2026·四川眉山·中考真题）如图，菱形中，对角线 与 相交于点O， ， ，点P为线段 上的一个动点（不与端点重合），过点P作 于点M， 于点N，连接，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由菱形性质和已知条件可证四边形为矩形，所以，则的最小值为最小值，因为点P为线段 上的一个动点，所以时，最小，根据面积法求出最小值即可． 【详解】解：连接， ∵在菱形中， ∴，， ∵，， ∴四边形为矩形， ∴， 则的最小值为最小值， ∵点P为线段 上的一个动点， ∴时，最小， 此时， ∵， ∴， ∴的最小值为． 5．（2026·安徽·中考真题）两个直角三角板如图摆放，其中，，，，边分别与，相交于点，．若，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据等腰直角三角形的性质求出的长，根据直角三角形两锐角互余求出的度数，最后在中利用勾股定理和含角的直角三角形性质求解 ． 【详解】解：， ， 是等腰直角三角形， 于点 ， 是斜边上的高，也是中线， ， 在中，， ， 即 ， 在中， ， ， 根据勾股定理得 ， ∴， 解得． 6．（2026·四川达州·中考真题）两条完全相同的矩形纸条如图叠放，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据矩形对边平行的性质，利用平行线的同位角相等及对顶角相等即可求解． 【详解】解：如图 矩形纸条的对边平行 水平纸条的上下边平行，倾斜纸条的左右边平行 水平纸条上下边平行 倾斜纸条左右边平行 与是对顶角 7．（2026·四川泸州·中考真题）的对角线，相交于点．下列结论中一定成立的是（     ） A． B． C．， D．， 【答案】D 【分析】平行四边形的对角线性质为互相平分，根据平行四边形的基本性质逐一判断选项即可． 【详解】解：A选项 只有矩形的对角线才满足，普通平行四边形不成立，A错误． B选项 只有菱形的对角线才互相垂直，普通平行四边形不满足，B错误． C选项 对角线垂直且相等是正方形的性质，普通平行四边形不成立，C错误． D选项 根据平行四边形对角线互相平分的性质，一定可得，，D成立． 8．（2026·福建·中考真题）如图，四边形是矩形，，点在的延长线上． (1)求作点 ，使点 在边上，且；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，若，，，求的长． 【答案】(1)如图，点即为所求． (2) 【分析】（1）利用尺规作图作，的边与的交点即为所求作的点； （2）由矩形的性质、平行线的性质、等边对等角可得，即可求得的长；设，则，在中，利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】（1）解：作，的边与的交点即为所求作的点； ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴，即点即为所求． （2）解：∵四边形是矩形，， ，． ， ， ， ． ， ， 设，则， 在中，，， 由勾股定理得， ，解得， 即． 9．（2026·四川攀枝花·中考真题）综合探究与应用 【阅读材料】 如图1，两定点A、B在直线l异侧，点P是直线l上任意一点，当点P为线段与直线l的交点时，的值最小，最小值为线段的长．理由：在直线l上另取一点，连结，因为三角形的两边之和大于第三边，所以，即最小值为的长． 【类比应用】 (1)根据阅读材料中的相同道理，类比解决下面的问题： 如图2，两定点A、B在直线l同侧，点P是直线l上任意一点，当点P为线段延长线与直线l的交点时，的值最大，最大值为线段的长．请说明理由． 【拓展提升】 (2)如图3，在矩形中，，为对角线的中点，点H在边上，且，点E在边上，连结，，求的最大值． 【答案】(1)解：理由如下： 如图，在直线上另取一点，连结，， ∵三角形的两边之差小于第三边， ∴， 当点为线段延长线与直线的交点时，， ∴对于直线上的任意一点，都有， ∴当点为线段延长线与直线的交点时，的值最大，最大值为线段的长． (2) 【分析】（1）根据三角形的三边关系定理解答即可； （2）取的中点，连接，先求出的长，再利用勾股定理求出的长，然后利用（1）的结论解答即可． 【详解】（1）解：略． （2）解：如图，取的中点，连接， ∵在矩形中，， ∴， ∵， ∴， ∵点为的中点，点为对角线的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， 在中，， 由（1）可知，当点为与延长线的交点时，的值最大，最大值为线段的长，即为． 10．（2026·四川内江·中考真题）如图，在四边形 中， ，点是的中点，连接 并延长交的延长线于点 ． (1)求证：； (2)若，请判断四边形 的形状，并说明理由． 【答案】(1)证明：∵点是的中点， ∴ ∵ ∴ ∵ ∴； (2)四边形是平行四边形，理由如下： 由（1）知 ∴ ∵ ∴， ∵ ∴四边形是平行四边形． 【分析】（1）根据平行线的性质，得到，再结合已知条件，利用即可证明； （2）根据全等三角形的对应边相等结合已知条件，再利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明即可． 【详解】（1）略 （2）略 11．（天津市南开区2025-2026学年八年级下学期期末数学试题）如图，平行四边形的顶点，， 的坐标分别是，，，则点的坐标是（     ）基础练习 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平行四边形对边平行且相等，结合已知点的坐标求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， 又∵， ∴点B的纵坐标为2，横坐标为， ∴． 12．（上海市普陀区2025-2026学年八年级下学期期末考试数学试卷）已知四边形是平行四边形，下列条件中，能判定该四边形为菱形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据特殊平行四边形的判定定理逐一判断选项即可. 【详解】解：四边形是平行四边形，逐一判断选项： 选项A. ，无法推出平行四边形邻边相等或对角线垂直，不能判定为菱形，不符合题意； 选项B. ，对角线相等的平行四边形是矩形，不能判定为菱形，不符合题意； 选项C. ，即，有一个角是直角的平行四边形是矩形，不能判定为菱形，不符合题意； 选项D. ，根据“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”，可判定该平行四边形是菱形，符合题意. 13．（新疆维吾尔自治区2026年中考数学试题）如图，在中，点在上．第一步：以点为圆心，任意长为半径画弧交，于点，；第二步：以点为圆心，长为半径画弧交于点；第三步：以点为圆心，长为半径画弧交第二步所画的弧于点，连接并延长，交于点．则下列结论一定成立的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据尺规作图痕迹可知，从而推出，结合平行四边形的性质，利用三角形内角和定理及平角定义进行角度转换即可得出结论． 【详解】解： 由作图步骤可知， 四边形是平行四边形 在中， ，其余结论均不能证明． 14．（2026·内蒙古通辽·三模）传统菱形窗花常用于中式装修装饰，某款菱形窗花的两条对角线长度分别为和，那么这个菱形窗花的面积是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据菱形的面积等于对角线的乘积的一半列出计算即可． 【详解】解：∵菱形窗花的两条对角线长度分别为和， ∴这个菱形窗花的面积是． 15．（2026·广东东莞·模拟预测）在中国传统建筑中，花窗不仅是为了美观，通常也用来表达吉祥和愿望．如图是六角花窗，则六边形的内角和为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：六边形的内角和为． 16．（25-26八年级下·四川泸州·阶段检测）下列命题中，正确的是（     ） A．一组邻边相等的四边形是菱形 B．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 C．对角线互相垂直的四边形是菱形 D．两组对边分别相等的四边形是平行四边形 【答案】D 【分析】根据菱形与平行四边形的判定定理逐一判断选项即可. 【详解】解：∵ 选项A中，一组邻边相等的平行四边形才是菱形，一组邻边相等的任意四边形不一定是菱形，故A错误； ∵ 选项B中，等腰梯形满足一组对边平行，另一组对边相等，但不是平行四边形，故B错误； ∵ 选项C中，对角线互相垂直的平行四边形才是菱形，仅对角线互相垂直的四边形不一定是菱形，故C错误； ∵ 选项D中，两组对边分别相等的四边形是平行四边形，这是平行四边形的判定定理，命题正确. 17．（2026·河南平顶山·三模）如图1，千斤顶利用四边形的不稳定性可以达到“四两拨千斤”的效果，其基本形状是菱形（如图2），当千斤顶工作时，横杆与地面平行．若，则与地面的夹角为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：菱形中，，对角线平分， ， 与地面平行， 与地面的夹角为． 18．（25-26八年级下·云南大理·期末）下列条件中，不能判断四边形 是平行四边形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平行四边形的判定定理逐项判断即可． 【详解】解：A．若 ，，该四边形可能是等腰梯形，不能推出四边形 是平行四边形，故本选项符合题意； B．由， ，即一组对边平行且相等，则四边形 是平行四边形，故本选项不符合题意； C． 由可得，结合可得，即，根据两组对边分别平行可得四边形 是平行四边形，故本选项不符合题意； D．∵，，，，∴，两组对边分别平行， 四边形 是平行四边形，故本选项不符合题意． 19．（2026·贵州黔东南·三模）如图，每个小正方形的边长为1，在中，点D为的中点，则线段的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先判定是直角三角形，再用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半计算即可． 【详解】解：由图可得，， ， 为直角三角形．， 又为中点， ， ． 20．（25-26六年级下·上海闵行·期末）如图，在长方形 中，放入六个形状、大小相同的小长方形，经测量，，．图中阴影部分的面积和为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设小长方形长为，宽为 ，可得，，解答即可； 【详解】解：设小长方形长为，宽为 ．由，，可得，， 解得，． 故阴影部分的面积为： 21．（2026年上海市中考数学试题）如图，已知边长为的正方形，点是边上的一点(不与点、重合)，过点作，交边与点，作点、关于的对称点、，联结、交于点、，现有以下两个命题：①四边形的周长是一个定值；②四边形的周长是一个定值；巩固提高 下列说法中，正确的是(    ) A．①、②均正确 B．①正确，②错误 C．①错误，②正确 D．①、②均错误 【答案】B 【分析】设，则，根据题意以及正方形的性质分别求得，，进而求得四边形、的周长，即可求解． 【详解】解：依题意，，设，则， 是等腰直角三角形，则，是等腰直角三角形，，是等腰直角三角形，则 同理可得，， ∴四边形的周长 四边形的周长 故①正确，②错误 22．（2026·河南平顶山·三模）如图，在矩形中，，，点P是边AD上一点（不与点A，D重合），连接．M，N分别是的中点，连接，则的最小值是（     ） A． B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】斜边上的中线得到，，进而得到，即当的值最小时，有最小值，作点C关于直线的对称点，连接，，得到，利用勾股定理进行求解即可. 【详解】解：∵，M，N分别是的中点， ∴，． ∴，即当的值最小时，有最小值． 如图，作点C关于直线的对称点，连接，，则， 即当B，P，三点共线时，的值最小，最小值就是的长． 在中，，， ∴． ∴的最小值． 23．（2026·河南平顶山·三模）如图，在菱形中，，点E，F分别在边，上，且，连接，G是的中点，连接交对角线于点H，则的长为（     ） A． B．1 C． D． 【答案】C 【分析】连接交于点O，连接，由菱形的性质得到，，可得是的中位线，得到，，从而证得，得出四边形是平行四边形，进而推出，再说明，即可求解． 【详解】解：连接交于点O，连接， ∵四边形是菱形， ∴，， ∵G是的中点， ∴是的中位线． ∴，． ∵，， ∴． ∴四边形是平行四边形． ∴． ∵， ∴． ∵在菱形中，，，平分， ∴， ∴， ∵， ∴． ∴． 24．（25-26八年级下·陕西汉中·期末）如图，河岸，村庄E和村庄F在河的两岸，现要在河上架一座桥，点M、N分别在、上，M、N是动点，，过点F作，连接，，若米，米，米，则的最小值为（     ） A．50米 B．60米 C．80米 D．120米 【答案】C 【分析】过点作，交于点，证明四边形为平行四边形，连接，当三点共线时，最短，为的长度，计算的长度，即可求得的最小值． 【详解】解：如图，过点作，交于点， ，， ， ， 四边形为平行四边形， ，米， ， 连接，当三点共线时，最短，为的长度， 米，米， 米， 根据勾股定理可得米， 则的最小值为米． 25．（24-25八年级下·北京·期末）如图，在矩形中，，，点P是线段上的一个动点，连结，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】作的平分线，过作于，当、与三点共线，且时，最小，利用直角三角形的性质及勾股定理求解即可. 【详解】解：作的平分线，过作于， ∴， ∴， ∴， ∴， 当、与三点共线，且时，最小为， ∵， ∴， ∴， ∵， ， ∴， ∴， 即：的最小值为. 26．（25-26八年级下·云南大理·期末）如图，将平行四边形沿 折叠，点恰好落在的延长线上的点处，连接交于点． (1)证明：四边形是菱形； (2)若，． ①求的面积； ②若直线上有一点F，当为等腰三角形时，直接写出线段的长． 【答案】(1)证明：∵平行四边形沿 折叠，点恰好落在的延长线上点处，连接交于点， ∴，， ， ∴，而， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又 ， ∴平行四边形是菱形． (2)①，②线段的长为2或18或或5． 【分析】（1）由题意可得，，，结合，得到，得，可证四边形是平行四边形，再由折叠可知 ，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，得证； （2）①利用菱形的面积的两种求解方式：对角线乘积的一半，底×高，列出方程，，即可得到的高，再利用，求出面积；②分三种情况讨论，以E点为圆心，为半径画弧，与直线相交于、，即；以C点为圆心，为半径画弧，与直线相交于，即；，画出图形，分别求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：①∵平行四边形是菱形， ∴ ∴ ∵四边形是菱形， ∴ ∵平行四边形， ∴ 设菱形边上的高为h， ∴菱形的面积为 即 解得 ∴； ②由① ∵平行四边形， ∴ 如图所示，以E点为圆心，为半径画弧，与直线相交于、， 当，此时为等腰三角形 ∴； 当，此时为等腰三角形 ∴； 如图所示，以C点为圆心，为半径画弧，与直线相交于， 当，此时为等腰三角形， 由①可知 ∴ ； 由①可知 ∵四边形是菱形， ∴ ∴ ∴即B点，此时为等腰三角形， 则 综上所述：当为等腰三角形时，线段的长为2或18或或5． 27．（25-26八年级下·陕西汉中·期末）探究以下问题： (1)【提出问题】 如图①，在 中， ，， ，过点A作 于点D，求线段AC的长； (2)【探究问题】 如图②，四边形ABEC为某城市规划中的一座主题公园示意图，BC是公园内的主景观带，A、B、C处均有一个观景台， 是等边三角形；等边 内的点M处是一个休息厅，休息厅M到观景台B和C的距离相等，AB上有一处打卡点N，打卡点N到观景台A和休息厅M的距离相等，BM与NE互相平分，且交于点D，在点D处设置便民服务站，CD、CN、EN为公园内的休闲步道，AM是公园内的石板小路，请你判断步道CD与DN的数量关系和位置关系，并说明理由．（景观台、休息厅、打卡点、便民服务站的大小以及景观带、步道、石板小路的宽度忽略不计） 【答案】(1) (2) ， 理由如下： 连接 ， ，如图所示， ∵ 是等边三角形 ∴ ， ， ∵休息厅M到观景台B和C的距离相等， ∴ ， 在 和 中， ， ∴， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∵ 和 互相平分， ∴四边形 是平行四边形， ∴ ， ， ∴ ， ∵打卡点N到观景台A和休息厅M的距离相等， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ 在 和 中， ， ∴, ∴ ， ， ∵ ， ， ∴ ， ∴ 是等边三角形， ∵ 和 互相平分， ∴点 是 的中点， ∴ ， ， ∴ ，即 ， 根据勾股定理， ， 综上， ， ． 【分析】（1）首先在 中，因为已知和 的长度，所以可利用直角三角形中 角的性质求 、 的长；再结合 的长求出 的长，最后在 中用勾股定理计算 的长度． （2）连接 ， ，先利用等边 与 证角平分线，再由对角线平分得平行四边形，结合 推导角度，通过 证三角形全等得到等边 ，最后利用等边三角形三线合一与勾股定理推出 、 的数量、位置关系． 【详解】（1）解：∵ ，， , ∴ 中，， ∴ ， ∵ ， ∴ ， 在 中， ∴ ． （2）略 58．（25-26八年级下·江苏苏州·期末）如图，在正方形中， 为对角线，点为的中点，垂直平分线段，分别交，，于点，，．已知． (1)求线段的长． (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）连接，由点为的中点得，设，则，再由垂直平分线段得，在中，由勾股定理得：，据此即可求出线段的长； （2）连接，，设，则，由垂直平分线段得，在和中，由勾股定理得，由（1）可知,则，证明，再由相似三角形的性质可得的值． 【详解】（1）解：连接，如图所示： 四边形是正方形，且， ，，， 是直角三角形， 点为的中点， ， 设，则， 垂直平分线段， ， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得， 即线段的长为； （2）连接，，如图所示： 设，则， 垂直平分线段， ， 在中，， 由勾股定理得：， 在中，， 由勾股定理得：， ， 解得， ， 由（1）可知：，则， ， ， ， 即的值为． 29．（25-26八年级下·陕西榆林·期末）【问题探究】 (1)如图1，在菱形中，点E、F分别是、上的点，连接、，过点D作交的延长线于点N，过点C作于点M，若，试探究与的数量关系，并写出证明过程； 【问题解决】 (2)如图2，正方形是李叔叔家的菜地示意图，对角线为菜地中间的原有走道．在边上设有灌溉水龙头F，从水龙头F到点C拉设引水绳，便于灌溉．李叔叔在边、上分别打入固定桩M、N，两桩之间牵设畦线绳，且垂直平分引水绳，垂足为G．畦线绳与原有走道交于点H，连接作为新走道，经测量，．李叔叔计划给走道铺设石砖，为了合理规划并明确所需石砖数量，现需确定与之间的数量关系．请你判断线段与的数量关系，并说明理由．（走道、引水绳、畦线绳的宽度和灌溉水龙头、固定桩的大小均忽略不计） 【答案】(1)，证明如下： ∵四边形为菱形， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ∵，， ∴， ∴； (2)，理由如下： 如图，过点H作于点P，交于点Q，于点K，连接，， ∵四边形为正方形， ∴平分，， ∴，，为等腰直角三角形， ∴， ∵垂直平分， ∴， 在和中， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即． 【分析】（1）先证明，可得，再证明，即可解答； （2）过点H作于点P，交于点Q，于点K，连接，，根据正方形的性质可得为等腰直角三角形，从而得到，再由垂直平分，可得，可得，从而得到，进而得到为等腰直角三角形，继而得到，可得到，即可解答． 【详解】（1）略 （2）略 30．（25-26八年级下·陕西榆林·期末）如图，是的对角线，，点E是边的延长线上一点，连接，过点C作于点F，交于点G，且． (1)求证：四边形是正方形； (2)若点F是的中点，，求的长． 【答案】(1)证明：∵中， ∴四边形是菱形， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是正方形； (2) 【分析】（1）先证明四边形是菱形，再结合，，可得，即可求证； （2）根据勾股定理可得，再根据线段垂直平分线的性质解答即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵四边形是正方形，， ∴， ∴， ∵点F是的中点，， ∴垂直平分， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $