精品解析：山东省济南市莱芜区2025—2026学年度第二学期期末质量检测八年级数学试题

秘密★启用前 2025—2026学年度第二学期期末质量检测八年级 数学试题（A卷） 注意事项： 1．答卷前，考生务必在答题卡的规定位置将自己的学校、班级、姓名、座位号填写准确． 2．本试卷分选择题和非选择题两部分，共150分，考试时间120分钟． 3．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题用黑色签字笔直接答在答题卡相应区域，不能答在试卷上；解答题作图需用黑色签字笔，不能用铅笔． 4．考试结束后，试卷不交，请妥善保存，只交答题卡． 选择题部分 共40分 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 二次函数的顶点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵二次函数顶点式的顶点坐标为， ∴的顶点坐标为． 2. 关于反比例函数的图象和性质，下列说法正确的是（ ） A. 图象经过点 B. y的值随x值的增大而增大 C. 图象位于一、三象限 D. 图象关于原点中心对称 【答案】D 【解析】 【分析】根据反比例函数的性质，结合逐一分析各选项即可得到答案． 【详解】解：∵反比例函数为， ∴． 对于选项A，当时，，∴图象经过点，不经过点，故A错误． 对于选项B，时，仅在每个象限内的值随值的增大而增大，选项未限定象限，故B错误． 对于选项C，∵，∴反比例函数图象位于第二、四象限，故C错误． 对于选项D，所有反比例函数的图象都关于原点中心对称，故D正确． 3. 已知，那么锐角的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用锐角正弦值随角度增大而增大的性质，结合已知特殊角的正弦值求解范围． 【详解】解：∵是锐角，且，又∵当为锐角时，随角度的增大而增大， ∴由可得， ∵锐角满足， ∴． 4. 如图所示，每个小正方形的边长均为1，若点A，B，C都在格点上，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】连接，先得出是直角三角形，且，再根据正切的定义求解即可． 【详解】解：如图，连接， 由图可知，，，， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴在中，． 5. 某露营爱好者在营地搭建一种“天幕”（如图①），其截面示意图是轴对称图形（如图②），对称轴是垂直于地面的支杆所在的直线，撑开的遮阳面和的长均为1.8米，的度数为，则此时“天幕”的宽度是（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形、等腰三角形三线合一，灵活运用相关知识是解题的关键；根据正弦函数解直角三角形即可解答． 【详解】解：设交于点， ∵，， ∴，， 在中，， ∵， ∴. 6. 如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点，则关于x的不等式的解集是（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数图象得到当或时在上方，即可得到答案． 【详解】解：一次函数与反比例函数的图象交于，两点， 根据函数图象可知当或时在上方， 关于的不等式解集是或． 7. 将抛物线向左平移2个单位，向上平移1个单位，所得抛物线的表达式是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先将原抛物线配方为顶点式，再按二次函数平移规律“上加下减常数项，左加右减自变量”，可得到结果． 【详解】解：∵ ∴向左平移2个单位，自变量加2，得 ， 再向上平移1个单位，常数项加1，得 ， ∴所得抛物线的表达式为 ． 8. 将二次函数的图象在轴下方的部分以轴为对称轴翻折到轴上方，得到如图所示的新函数图象，下列对新函数的描述正确的是（ ） A. 当时，函数有最大值 B. 当时，随的增大而增大 C. 图象与轴两个交点之间的距离为 D. 图象与轴的交点坐标为 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次函数的图象与性质逐项判断即可． 【详解】解：解方程，可得：，， 当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大， 该函数没有最大值， 故A选项错误； 当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大， 故B选项错误； ， 故C选项正确； 当时，， 由翻折可知，图象与轴的交点坐标为， 故D选项错误． 9. 如图，一架水平飞行的无人机在A处测得正前方河岸边C处的俯角为，，无人机沿水平线方向继续飞行80米至B处时，被河对岸D处的小明测得其仰角为．无人机距地面的垂直高度用表示，点M，C，D在同一条直线上，其中米，则河流的宽度（ ） A. 160米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】B 【解析】 【分析】过B作于点N，因为，均垂直，所以四边形是矩形，可得．在中，因为已知​，结合米，利用勾股定理求出的长度．在中，因为仰角为，，利用角的正切值求出的长度．因为，代入对应长度即可得到的表达式． 【详解】 解：∵， ∴A处俯角等于， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 过作于， 则四边形是矩形， ∴，． 在中，，， ∴． ∴． ∴米． 10. 已知二次函数的图象如下，则一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次函数图象的性质得到，，，由此得到一次函数、反比例函数图象经过的象限，把代入得到，联立方程组得到一次函数与反比例函数的交点坐标，由此即可求解． 【详解】解：根据二次函数图象得到，开口向下，对称轴直线为，二次函数图象与x轴交于点，二次函数与y轴交于正半轴， ∴，，， ∴， ∴一次函数的图象经过第二、三、四象限， 反比例函数经过第一、三象限， 当时，， ∴， ∴， 解得，或， ∴一次函数与反比例函数的交点坐标为，， ∴符合题意的函数图象是A选项 ． 非选择题部分 共110分 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分．请直接填写答案．） 11. 若函数是反比例函数，则k的值为__________． 【答案】0 【解析】 【分析】根据反比例函数的定义，形如（为常数且）的函数是反比例函数，据此列式求解即可． 【详解】解：函数是反比例函数， ∴且， 解得． 12. 计算：__________． 【答案】 【解析】 【详解】解： 13. 如图，点A在反比例函数的图象上，过点A作轴，垂足为B，与反比例函数的图象交于点D．若，则k的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据反比例函数k的几何意义得，结合，可得，进而可求出k的值． 【详解】解：∵点A在反比例函数的图象上，点D在反比例函数的图象上，轴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 14. 如图所示，是一个长、宽的矩形花园，根据需要将它的长缩短、宽增加，要想使修改后的花园面积达到最大，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据矩形的面积公式列出函数关系式，再根据二次函数的性质即可求得结果． 【详解】解：由题意得修改后的花园面积， ∵， ∴当时，修改后的花园面积达到最大． 15. 如图，中，，，于点，是线段上的一个动点，则的最小值是__________． 【答案】 【解析】 【分析】过点D作于，过点C作于，首先通过勾股定理及求出AE,BE的长度，然后根据等腰三角形两腰上的高相等得出，然后通过锐角三角函数得出，进而可得出，最后利用即可求值． 【详解】解：如图，过点D作于，过点C作于． ∵， ∴， ∵， 设，， ∴， ∴， ∴或（舍弃）， ∴， ∵，，， ∴（等腰三角形两腰上的高相等） ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为, 故答案为：． 【点睛】本题主要考查解直角三角形，等腰三角形的性质，勾股定理，垂线段最短等，学会添加辅助线并利用转化的思想是解题的关键． 三、解答题（本大题共10小题，共90分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 16. 计算：． 【答案】1 【解析】 【详解】解：原式 17. 用配方法把二次函数化成的形式． 【答案】 【解析】 【详解】解： ． 18. 如图，在中，，，的平分线交于点D，，求． 【答案】 【解析】 【分析】求出的值，可知，根据角平分线的定义得到，根据计算即可． 【详解】解：在中，，， ， ， 平分， ， 在中，， ． 19. 如图，矩形的顶点A，C分别在x轴，y轴上，顶点B在第一象限，点A的坐标为．将线段绕O顺时针旋转至线段，若反比例函数的图象经过B、D两点，求反比例函数的表达式． 【答案】 【解析】 【分析】过点D作轴于点E，设反比例函数的表达式为：，得到，进而得到，代入解析式即可求出k的值． 【详解】解：过点D作轴于点E， 设反比例函数的表达式为：， ∵四边形是矩形，， ，， ， ∵旋转， ，， ，， 由勾股定理得， ， 在反比例函数图象上， ， 解得（舍去），， ∴反比例函数的表达式为：． 20. 如图，抛物线与x轴交于A、B两点，直线l与抛物线交于A、C两点，其中C的横坐标为1． （1）求直线l的表达式； （2）点P是线段上的一个动点（点P与点A、C不重合），过点P作y轴的平行线交抛物线于点E，求的最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）分别求出，，设：，将，代入求解即可； （2）设，，求出的函数解析式，根据二次函数的性质作答即可． 【小问1详解】 解：令，， 解得，， ， 将代入得， ， 设：， 将，代入， 解得， ：； 【小问2详解】 解：设，， ， ∴当时，有最大值． 21. “人潮人海中，有你有我”，上下学的“停车大战”与“拥堵大戏”已成为社会热点问题．某校对本校下午放学校门口“堵塞”情况做了一次调查后发现：每天放学时间3分钟后校门外学生流量变化大致可以用“拥挤指数”y（）与放学后时间x（分）的函数关系描述．如图，3~13分钟函数图象为抛物线，且在第13分钟达到该函数最大值100（此时为抛物线的顶点）；13分钟之后为函数（）的图象的一部分． （1）求二次函数和反比例函数的表达式（需明确x的取值范围）； （2）若“拥挤指数”，出于安全考虑，需要护学岗执勤人员维护秩序、疏导交通．请依据图象计算每天至少需要执勤的时间． 【答案】（1）（），（）； （2）每天至少需要执勤的时间为分钟 【解析】 【分析】（1）将分别代入二次函数和反比例函数计算即可； （2）将分别代入二次函数和反比例函数求出的值，相减即可， 【小问1详解】 解：由题意可知：抛物线的顶点坐标为， 设该二次函数的解析式为， 把点代入，得：， 解得， ∴所求二次函数的解析式为（）， 把点代入得：， ∴所求反比例函数的解析式为（）； 【小问2详解】 解：由， 解得，（不合题意，舍去）， 由， 解得， ， 答：每天至少需要执勤的时间为分钟． 22. 如图，海上观察哨所B位于观察哨所A正北方向，距离为50海里，在某时刻，哨所A与哨所B同时发现一走私船，其位置C位于哨所A北偏东的方向上，位于哨所B南偏东的方向上． （1）求观察哨所A与走私船所在的位置C的距离； （2）若观察哨所A发现走私船从C处以24海里/小时的速度向正东方向逃窜，并立即派缉私艇沿北偏东的方向前去拦截，若缉私艇在D处恰好成功拦截，求缉私艇拦截走私船所用时间． （参考数据：，，，） 【答案】（1），C的距离约为30海里 （2）缉私艇所用时间是2小时 【解析】 【分析】（1）先求出，再根据三角函数计算即可； （2）延长交于点M，由题意得，根据三角函数求出海里，海里，可知海里，进而可知缉私艇拦截走私船所用时间． 【小问1详解】 解：在中，，， ， 在中，， （海里）， ，C的距离约为30海里； 【小问2详解】 解：延长交于点M，由题意得， 在中，（海里）， （海里）， 在中，， （海里）， （海里）， （小时）， 答：缉私艇所用时间是2小时． 23. 某文具店购进一批纪念册，每本进价为20元，根据市场调查，当销售单价为22元时，每周的销售量为36本，售价每提高1元，每周的销售量就减少2本． （1）请求出该纪念册每周的销售量y（本）与每本纪念册的售价x（元）之间的函数关系式； （2）物价部门规定，每本纪念册的售价不高于28元．设该文具店每周销售这种纪念册所获得的利润为W元，将该纪念册的销售单价x定为多少时，才能使文具店销售该纪念册所获利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1） （2）当销售单价为28元时，利润最大，最大利润为192元 【解析】 【分析】（1）根据“单价每涨1元，销量少2本”,用基础销量减去涨价减少的销量，列出一次函数； （2）单本利润=售价进价，总利润单本利润销量，得到二次函数；二次函数开口向下，对称轴左侧随增大而增大，结合售价上限，取时利润最大． 【小问1详解】 解：由题意得：， 即：． 【小问2详解】 解：， ，开口向下， ∴当时，W随x的增大而增大， ， ∴当时，W最大， 此时（元）， 答：当销售单价为28元时，利润最大，最大利润为192元． 24. 直线与双曲线（）交于点，与x轴交于点B，点C是线段上一点． （1）求k，b的值； （2）如图，过点C作y轴的垂线l，l与（）的图象交于点D，当线段时，求点D的坐标； （3）双曲线（）上是否存在点E，使得是以为直角边的等腰直角三角形，若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）， （2） （3）存在；E点的坐标为或或 【解析】 【分析】（1）把点A的坐标分别代入一次函数与反比例函数解析式中，即可求解； （2）设，由可得，由点D在反比例函数的图象上，把其坐标代入解析式中即可求解； （3）设；分两种情况：当点C为直角顶点时；当点O为直角顶点时，利用全等三角形的判定与性质即可求解． 【小问1详解】 解：将代入得， 解得， 将代入，得，即， 【小问2详解】 解：：， ， 设， ， ， ∴， ， ∵点D在双曲线上， ， 解得，（舍去）， ； 【小问3详解】 解：存在． 设， ①当C为直角顶点时，过点C作x轴的垂线，垂足为N，过点E作，垂足为M，则， ， ， ， ， ， 又∵等腰直角三角形中，， ， ，， ； ②当O为直角顶点时，过点C作轴，垂足为N，过点E作轴，垂足为M，同理可得， ，， ， ，解得，， 此时，， 综上所述：满足条件的E点的坐标为或或． 25. 二次函数的图象经过点，与x轴交于点B和点，与y轴交于点D． （1）求二次函数的表达式； （2）如图1，连接，平移线段至，使点B的对应点E落在二次函数在第一象限的图象上，点D的对应点F落在直线上，请求出此时点E的坐标； （3）如图2，在x轴上有一动点（），过点P作直线轴，交抛物线于点M．连接并延长，交y轴于点N，连接，，设的面积为，的面积为，当时，求m的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解； （2）首先求出，，直线的表达式为，设点，根据平移的性质得到，然后代入求解即可； （3）首先表示出，，，，证明，得到，求出，然后表示出，，然后根据列方程求解． 【小问1详解】 解：将和代入， 得， 解得， ∴二次函数的表达式为； 【小问2详解】 解：令得，， 解得：，， ， 把代入中，得：， ， ∴点B向左平移3个单位，向下平移3个单位得到点D， ∵， ∴可得直线的表达式为， ∵平移线段至， 设点，则点E向左平移3个单位，向下平移3个单位得到点， 将点F代入，得 整理得，， 解得（舍去），， ∴； 【小问3详解】 解：，轴，交抛物线于点M， ， ∴，，， ， ∴， ，即， 解得， ，， ， ， 整理得，， 解得（舍去），， 的值是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 秘密★启用前 2025—2026学年度第二学期期末质量检测八年级 数学试题（A卷） 注意事项： 1．答卷前，考生务必在答题卡的规定位置将自己的学校、班级、姓名、座位号填写准确． 2．本试卷分选择题和非选择题两部分，共150分，考试时间120分钟． 3．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题用黑色签字笔直接答在答题卡相应区域，不能答在试卷上；解答题作图需用黑色签字笔，不能用铅笔． 4．考试结束后，试卷不交，请妥善保存，只交答题卡． 选择题部分 共40分 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 二次函数的顶点坐标为（ ） A. B. C. D. 2. 关于反比例函数的图象和性质，下列说法正确的是（ ） A. 图象经过点 B. y的值随x值的增大而增大 C. 图象位于一、三象限 D. 图象关于原点中心对称 3. 已知，那么锐角的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 如图所示，每个小正方形的边长均为1，若点A，B，C都在格点上，则（ ） A. B. C. D. 5. 某露营爱好者在营地搭建一种“天幕”（如图①），其截面示意图是轴对称图形（如图②），对称轴是垂直于地面的支杆所在的直线，撑开的遮阳面和的长均为1.8米，的度数为，则此时“天幕”的宽度是（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 6. 如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点，则关于x的不等式的解集是（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 7. 将抛物线向左平移2个单位，向上平移1个单位，所得抛物线的表达式是（ ） A. B. C. D. 8. 将二次函数的图象在轴下方的部分以轴为对称轴翻折到轴上方，得到如图所示的新函数图象，下列对新函数的描述正确的是（ ） A. 当时，函数有最大值 B. 当时，随的增大而增大 C. 图象与轴两个交点之间的距离为 D. 图象与轴的交点坐标为 9. 如图，一架水平飞行的无人机在A处测得正前方河岸边C处的俯角为，，无人机沿水平线方向继续飞行80米至B处时，被河对岸D处的小明测得其仰角为．无人机距地面的垂直高度用表示，点M，C，D在同一条直线上，其中米，则河流的宽度（ ） A. 160米 B. 米 C. 米 D. 米 10. 已知二次函数的图象如下，则一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象大致是（ ） A. B. C. D. 非选择题部分 共110分 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分．请直接填写答案．） 11. 若函数是反比例函数，则k的值为__________． 12. 计算：__________． 13. 如图，点A在反比例函数的图象上，过点A作轴，垂足为B，与反比例函数的图象交于点D．若，则k的值为__________． 14. 如图所示，是一个长、宽的矩形花园，根据需要将它的长缩短、宽增加，要想使修改后的花园面积达到最大，则__________． 15. 如图，中，，，于点，是线段上的一个动点，则的最小值是__________． 三、解答题（本大题共10小题，共90分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 16. 计算：． 17. 用配方法把二次函数化成的形式． 18. 如图，在中，，，的平分线交于点D，，求． 19. 如图，矩形的顶点A，C分别在x轴，y轴上，顶点B在第一象限，点A的坐标为．将线段绕O顺时针旋转至线段，若反比例函数的图象经过B、D两点，求反比例函数的表达式． 20. 如图，抛物线与x轴交于A、B两点，直线l与抛物线交于A、C两点，其中C的横坐标为1． （1）求直线l的表达式； （2）点P是线段上的一个动点（点P与点A、C不重合），过点P作y轴的平行线交抛物线于点E，求的最大值． 21. “人潮人海中，有你有我”，上下学的“停车大战”与“拥堵大戏”已成为社会热点问题．某校对本校下午放学校门口“堵塞”情况做了一次调查后发现：每天放学时间3分钟后校门外学生流量变化大致可以用“拥挤指数”y（）与放学后时间x（分）的函数关系描述．如图，3~13分钟函数图象为抛物线，且在第13分钟达到该函数最大值100（此时为抛物线的顶点）；13分钟之后为函数（）的图象的一部分． （1）求二次函数和反比例函数的表达式（需明确x的取值范围）； （2）若“拥挤指数”，出于安全考虑，需要护学岗执勤人员维护秩序、疏导交通．请依据图象计算每天至少需要执勤的时间． 22. 如图，海上观察哨所B位于观察哨所A正北方向，距离为50海里，在某时刻，哨所A与哨所B同时发现一走私船，其位置C位于哨所A北偏东的方向上，位于哨所B南偏东的方向上． （1）求观察哨所A与走私船所在的位置C的距离； （2）若观察哨所A发现走私船从C处以24海里/小时的速度向正东方向逃窜，并立即派缉私艇沿北偏东的方向前去拦截，若缉私艇在D处恰好成功拦截，求缉私艇拦截走私船所用时间． （参考数据：，，，） 23. 某文具店购进一批纪念册，每本进价为20元，根据市场调查，当销售单价为22元时，每周的销售量为36本，售价每提高1元，每周的销售量就减少2本． （1）请求出该纪念册每周的销售量y（本）与每本纪念册的售价x（元）之间的函数关系式； （2）物价部门规定，每本纪念册的售价不高于28元．设该文具店每周销售这种纪念册所获得的利润为W元，将该纪念册的销售单价x定为多少时，才能使文具店销售该纪念册所获利润最大？最大利润是多少？ 24. 直线与双曲线（）交于点，与x轴交于点B，点C是线段上一点． （1）求k，b的值； （2）如图，过点C作y轴的垂线l，l与（）的图象交于点D，当线段时，求点D的坐标； （3）双曲线（）上是否存在点E，使得是以为直角边的等腰直角三角形，若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 25. 二次函数的图象经过点，与x轴交于点B和点，与y轴交于点D． （1）求二次函数的表达式； （2）如图1，连接，平移线段至，使点B的对应点E落在二次函数在第一象限的图象上，点D的对应点F落在直线上，请求出此时点E的坐标； （3）如图2，在x轴上有一动点（），过点P作直线轴，交抛物线于点M．连接并延长，交y轴于点N，连接，，设的面积为，的面积为，当时，求m的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $