精品解析：山东省济南市平阴县2025-2026学年第二学期八年级数学期末试题

2025—2026学年度第二学期期末学习诊断检测 八年级数学试题 温馨提示：1．本试题分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，考试时间120分钟，满分150分． 2．答题前，考生务必认真阅读答题纸中的注意事项，并按要求进行填、涂和答题． 第Ⅰ卷 选择题（40分） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分，每小题只有一个选项符合题目要求． 1. 起源于中国的围棋深受青少年喜爱．以下由黑白棋子形成的图案中，为中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形，根据中心对称图形的定义判断即可，解题的关键是正确理解中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形可得答案． 【详解】解：、图形绕某一点旋转后与原来的图形不重合，不是中心对称图形，不符合题意； 、图形绕某一点旋转后与原来的图形不重合，不是中心对称图形，不符合题意； 、图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，是中心对称图形，符合题意； 、图形绕某一点旋转后与原来的图形不重合，不是中心对称图形，不符合题意； 故选：． 2. 下列由左到右的变形，是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】该题考查了因式分解的定义，因式分解是将多项式化为几个整式的乘积的形式．选项A左边为多项式，右边为乘积形式，符合定义；选项B是整式乘法；选项C右边不是纯乘积；选项D左边是单项式，不是多项式． 【详解】解： A、，左边为多项式，右边为整式乘积，符合定义． B、，是整式乘法，不是因式分解． C、，右边有“”，不是纯乘积，因此不是因式分解． D、，左边是单项式，不是多项式，因此不是因式分解． ∴只有选项A正确． 故选：A． 3. 矩形具有而菱形不具有的性质是（ ） A. 对角线相等 B. 对角线互相平分 C. 对角线互相垂直 D. 对角相等 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了矩形和菱形的性质，特殊四边形的性质要从边、角、对角线三方面入手，并加以考虑它们之间的联系和区别． 根据矩形和菱形的性质判断即可． 【详解】解：A、矩形的对角线相等，而菱形的对角线不一定相等，故本选项符合题意； B、矩形和菱形对角线都互相平分，故本选项不符合题意； C、菱形的对角线垂直，矩形的对角线不一定垂直，故本选项不符合题意； D、矩形和菱形都是对角相等，故本选项不符合题意； 故选：A． 4. 如果分式中的，都扩大为原来的倍，那么分式的值（ ） A. 不变 B. 扩大为原来的倍 C. 缩小为原来的 D. 缩小为原来的 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的性质是解题的关键． 当和都扩大为原来的2倍时，代入新值计算分式，化简后比较与原分式的关系． 【详解】解：原分式为，当和都扩大为原来的2倍时，新分式为： ∴ 新分式是原分式的2倍，即分式的值扩大为原来的2倍． 故选：B． 5. 已知多项式可以写成一个多项式的平方，则k为（ ） A. 4 B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用完全平方公式对比系数即可求出的值． 【详解】解：∵多项式可以写成一个多项式的平方， ∴，即， ∴． 6. 计算的结果等于（ ） A. B. C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查分式的加法运算，先通分化为同分母，再进行计算，最后约分化简即可． 【详解】解：原式 ； 故选A． 7. 若关于x的一元二次方程无实数根，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式．根据一元二次方程根的判别式，当判别式Δ < 0时，方程无实数根．代入方程系数计算判别式并解不等式即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程无实数根， ∴， 解得：， 故选：B． 8. 某书店今年3月份盈利6000元，5月份盈利6200元．设该书店每月盈利的平均增长率为，根据题意，下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，涉及平均增长率问题，正确理解题意是解题的关键． 根据题意，3月到5月共经过两个月，每个月的增长率为x，则5月份的盈利为3月份的盈利乘以，即可建立方程． 【详解】解：设该书店每月盈利的平均增长率为， 由题意得： ， 故选：A． 9. 在如图所示的中，，分别为边，的中点，点，分别在边，上移动（不与端点重合），且满足，则下列为定值的是（ ） A. 四边形的周长 B. 的大小 C. 四边形的面积 D. 线段的长 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，熟练掌握平行四边形对边平行且相等的性质，通过全等三角形转化面积关系，是解题的关键．利用平行四边形的性质，通过证明三角形全等分析四边形各边、角、面积等是否为定值，重点关注面积能否通过转化为平行四边形面积的一部分来判断 ． 【详解】解：连接， 在中，，分别为，中点， 且，，， 且， 四边形是平行四边形， ， 同理，且． ∴四边形是平行四边形， 则与的面积分别为与面积的一半， 四边形的面积， 四边形的面积始终为面积的一半，是定值． 选项A：、等边长随、移动变化，周长不定，错误． 选项B：随位置改变，错误． 选项D：长度随、移动改变，错误． 综上，四边形的面积是定值， 故选：． 10. 如图，在中，，将绕点顺时针旋转得到，点B，C的对应点分别为的延长线与边相交于点，连接．若，则线段的长为（ ） A. B. C. 4 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质、线段垂直平分线的判定、旋转的性质、勾股定理等知识，熟练掌握旋转的性质是解题关键．连接，交于点，先证出，根据全等三角形的性质可得，再证出垂直平分，则可得，，然后利用勾股定理和三角形的面积公式求出的长，由此即可得． 【详解】解：如图，连接，交于点， 由旋转的性质得：，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴垂直平分， ∴，， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故选：D． 第Ⅱ卷 非选择题（110分） 二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分，直接填写答案． 11. 在平面直角坐标系中，将点向下平移2个单位长度，得到的对应点的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了点的平移，掌握平移规律“左减右加，上加下减”是解题的关键． 直接运用平移规律“上加下减”即可解答． 【详解】解：将点向下平移2个单位长度，得到的对应点的坐标是，即， 故答案为：． 12. 分解因式：x2－9＝______． 【答案】(x＋3)(x－3) 【解析】 【详解】解：x2-9=（x+3）（x-3）， 故答案为：（x+3）（x-3）. 13. 若分式的值为0，则的值是________． 【答案】1 【解析】 【分析】直接利用分式值为零的条件，则分子为零进而得出答案． 【详解】∵分式的值为0， ∴x−1＝0，2x≠0 解得：x＝1． 故答案为：1． 【点睛】此题主要考查了分式值为零的条件，正确把握分式的相关性质是解题关键． 14. 若一元二次方程的两根之和与两根之积分别为m、n．则点在平面直角坐标系中位于第______象限． 【答案】 三 【解析】 【分析】先将原方程整理为一元二次方程的一般形式，利用根与系数的关系求出，的值，再根据平面直角坐标系中点的坐标特征判断点所在象限即可． 【详解】解：将原方程整理为一般形式得， 设方程的两根分别为， 由根与系数的关系可得，， 即点为，位于第三象限． 15. 如图，折叠正方形ABCD的一边BC，使点C落在BD上的点F处，折痕BE交AC于点G．若，则CG的长是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据正方形的性质和折叠的性质计算和，发现是等腰三角形，又因为是等腰直角三角形，得出的结论，最后根据求解即可． 【详解】解：设与交于点， ∵四边形是正方形， ∴，， 由折叠可得：，，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 设， 在中，， 解得：， 即． 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质、等腰三角形的性质和折叠的性质，灵活运用这些知识是解题的关键． 三、解答题：共10小题，满分90分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 把下列各式因式分解 （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 17. 先化简，再求值：，再从，，，四个数中选一个合适的数作为a的值代入求值． 【答案】， 【解析】 【分析】先对括号内进行运算，同时对分子、分母进行因式分解，再将除转化为乘，进行约分，结果化为最简分式或整式，排除使得分式无意义的值，然后代值计算，即可求解． 【详解】解：原式 ， 又、、， 当时， 原式． 【点睛】本题考查了分式化简求值，掌握分式化简的步骤，排除分式无意义的数值是解题的关键． 18. 解方程： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：， ， ， 或， ； 【小问2详解】 解：， ， 或， ． 19. 解方程： （1） （2） 【答案】（1） （2）无解 【解析】 【小问1详解】 解：， 方程两边同时乘，得 ， 去括号，得 ， 解得： ， 经检验，是原分式方程的解， ∴分式方程的解为； 【小问2详解】 解：， 方程两边同时乘，得 ， 解得 ， 经检验，当时，， ∴是原方程的增根， ∴原方程无解． 20. 如图，在中，点，分别是，的中点，延长至点，使，连接，． （1）请判断四边形的形状，并说明理由； （2）若，求四边形的面积． 【答案】（1）四边形是平行四边形，理由见解析 （2） 【解析】 【分析】（）由三角形中位线的性质可得，进而根据平行四边形的判定定理即可求证； （）根据中点定义可得，再根据平行四边形的性质解答即可求解； 本题考查了三角形中位线的性质，平行四边形的判定和性质，掌握以上知识点是解题的关键． 【小问1详解】 解：四边形是平行四边形，理由如下： ∵点，分别是，的中点， ∴是的中位线， ∴，即， 又∵， ∴四边形是平行四边形； 【小问2详解】 解：∵点是的中点，， ∴， ∵，， ∴，即， ∴． 21. 我们已经学过多项式分解因式的方法有提公因式法和公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法等等． ①分组分解法：将一个多项式适当分组后，再利用提公因式法或公式法分解的方法叫作分组分解法． 例如： ②拆项法：将一个多项式的某一项拆成两项或多项后，再利用提公因式法或公式法分解的方法叫作拆项法． 例如：． （1）仿照以上方法，按照要求分解因式： ①（分组分解法）； ②（拆项法）． （2）已知的三边长a，b，c满足，判断的形状并说明理由． 【答案】（1）①，② （2）为等腰三角形，理由见解析 【解析】 【分析】（1）①将式子整理为，再结合完全平方公式和平方差公式分解因式即可； ②将式子整理为，再结合完全平方公式和平方差公式分解因式即可； （2）将整理得到，再结合，b，c均为正数，分析求解，即可解题． 熟练掌握因式分解方法，以及正确理解新方法是解题的关键． 【小问1详解】 解：①． ②． 【小问2详解】 解：为等腰三角形．理由如下： ． 的三边长a，b，c ，b，c均为正数， ， ， 为等腰三角形． 22. 一辆汽车开往距离出发地的目的地，出发的第一小时按原计划的速度匀速行驶，一小时后以原来速度的1.2倍匀速行驶，比原计划提前到达目的地． （1）求原计划的行驶速度； （2）汽车按原路返回，若司机准备一半路程以的速度行驶，另一半路程以的速度行驶（），共用时小时；若司机准备用一半时间以的速度行驶，另一半时间以的速度行驶，共用时小时． ①直接写出用含a，b的式子分别表示和； ②试比较，的大小，并说明理由 【答案】（1）原计划的行驶速度为 （2）①；② 【解析】 【分析】本题考查分式方程的应用、列代数式、分式的化简，理解题意是解答的关键． （1）设原计划的行驶速度为，根据题意，利用一小时后的时间差为列方程求解即可； （2）①根据时间、路程、速度关系分别求得，；②作差，根据分式的混合运算法则化简，然后与0比较即可求解． 【小问1详解】 解：设原计划的行驶速度为，则 ， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴原分式方程的解为． 答：原计划的行驶速度为． 【小问2详解】 解：①根据题意， ，； ②，理由如下： ∵， 为正数，且， ． ． 23. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． （1）将向上平移5个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到，画出两次平移后的，并写出点的坐标； （2）画出绕原点O逆时针旋转后得到的，并写出点的坐标； （3）在如图的正方形网格中是否存在点D，使得以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出符合条件的所有点D的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）如图，即为所求；点的坐标为． （2）如图，即为所求． （3）存在； 【解析】 【分析】（1）分别描出平移后的点，再顺次连接即可得到，根据点的平移方式即可求解； （2）将点分别绕原点O逆时针旋转得到点，再顺次连接即可得到，最后写出点的坐标； （3）分三种情况：当为对角线时，当为对角线时，当为对角线时，根据中点坐标公式分别求出点D的坐标即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：存在； 设点D的坐标为， 当为对角线时，根据中点坐标公式得： ， 解得：， ∵不在网格内， ∴不符合题意，舍去； 当为对角线时，根据中点坐标公式得： ， 解得：， ∴此时点D的坐标为：； 当为对角线时，根据中点坐标公式得： ， 解得：， ∴此时点D的坐标为：； 综上，点D的坐标为：或． 24. 在综合实践活动中，同学们将对学校的一块正方形花园进行测量规划使用，如图，点处是它的两个门，且，要修建两条直路，与相交于点（两个门的大小忽略不计）． （1）请问这两条路是否等长？它们有什么位置关系，说明理由； （2）同学们测得米，米，根据实际需要，某小组同学想在四边形地上再修一条米长的直路，这条直路的一端在门处，另一端在已经修建好的路段或花园的边界上，并且另一端与点B处的距离不少于米，请问能否修建成这样的直路，若能，能修建几条，并说明理由． 【答案】（1）这两条路与等长，且它们相互垂直； 理由：∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴这两条路与等长，且它们相互垂直； （2） 如果另一端点在花园边界上时，能修建成这样的一条直路，理由如下： 由（）得，， ∵米，米， ∴米，米，米， ∴， ∴， ∴， 又∵在中有， ∴， ∴， ∴， 如果另一端点在路段上， 则在中，， ∴此种情况不成立； 如果另一端点在花园边界上时， 设，则在中，有， ∴， ∴， ∵， ∴能修建成这样的一条直路． 【解析】 【分析】本题考查主要了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等面积法等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． （）由四边形是正方形，则，，证明，故有，，又，则，从而求解； （）由（）得，，由勾股定理得出，由，即，得到，则有，然后分另一端点在路段上和另一端点在花园边界上时两种情况分析即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 25. 在菱形中，，． （1）如图，求的值． （2）如图，是延长线上的一点，连接，作与关于直线对称，交射线于点，连接． ①当时，求的长． ②直接写出的最小值． 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】c（1）根据菱形的性质得出，，利用勾股定理求出，即可得出答案； （2）①根据菱形的性质，结合得出，可得，根据轴对称的性质得出，进而得出，根据等角对等边得出，即可求出的长； ②过点作于，于，设，利用菱形的性质及勾股定理得出，，可得，进而得出当点与点重合时，最小，的值最小，利用“等积法”求出，根据角平分线的性质得出，利用勾股定理求出，即可得出答案． 【小问1详解】 解：∵菱形中，，， ∴，， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：①∵四边形是菱形，由（1）可知，， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵与关于直线对称， ∴， ∴， ∴， ∴． ②如图，过点作于，于，设， ∵，交射线于点，，， ∴，， ∴ ， ∴要使最小，则最大， ∴最小， ∵， ∴当最小时，最小， ∵， ∴最小时，最小， ∵， ∴， 解得：， ∵，，， ∴， ∵垂线段最短， ∴当点与点重合时，最小，即， ∴， ∴． ∴的最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度第二学期期末学习诊断检测 八年级数学试题 温馨提示：1．本试题分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，考试时间120分钟，满分150分． 2．答题前，考生务必认真阅读答题纸中的注意事项，并按要求进行填、涂和答题． 第Ⅰ卷 选择题（40分） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分，每小题只有一个选项符合题目要求． 1. 起源于中国的围棋深受青少年喜爱．以下由黑白棋子形成的图案中，为中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列由左到右的变形，是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 3. 矩形具有而菱形不具有的性质是（ ） A. 对角线相等 B. 对角线互相平分 C. 对角线互相垂直 D. 对角相等 4. 如果分式中的，都扩大为原来的倍，那么分式的值（ ） A. 不变 B. 扩大为原来的倍 C. 缩小为原来的 D. 缩小为原来的 5. 已知多项式可以写成一个多项式的平方，则k为（ ） A. 4 B. 2 C. D. 6. 计算的结果等于（ ） A. B. C. D. 1 7. 若关于x的一元二次方程无实数根，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 某书店今年3月份盈利6000元，5月份盈利6200元．设该书店每月盈利的平均增长率为，根据题意，下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 在如图所示的中，，分别为边，的中点，点，分别在边，上移动（不与端点重合），且满足，则下列为定值的是（ ） A. 四边形的周长 B. 的大小 C. 四边形的面积 D. 线段的长 10. 如图，在中，，将绕点顺时针旋转得到，点B，C的对应点分别为的延长线与边相交于点，连接．若，则线段的长为（ ） A. B. C. 4 D. 第Ⅱ卷 非选择题（110分） 二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分，直接填写答案． 11. 在平面直角坐标系中，将点向下平移2个单位长度，得到的对应点的坐标是______． 12. 分解因式：x2－9＝______． 13. 若分式的值为0，则的值是________． 14. 若一元二次方程的两根之和与两根之积分别为m、n．则点在平面直角坐标系中位于第______象限． 15. 如图，折叠正方形ABCD的一边BC，使点C落在BD上的点F处，折痕BE交AC于点G．若，则CG的长是________． 三、解答题：共10小题，满分90分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 把下列各式因式分解 （1） （2） 17. 先化简，再求值：，再从，，，四个数中选一个合适的数作为a的值代入求值． 18. 解方程： （1） （2） 19. 解方程： （1） （2） 20. 如图，在中，点，分别是，的中点，延长至点，使，连接，． （1）请判断四边形的形状，并说明理由； （2）若，求四边形的面积． 21. 我们已经学过多项式分解因式的方法有提公因式法和公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法等等． ①分组分解法：将一个多项式适当分组后，再利用提公因式法或公式法分解的方法叫作分组分解法． 例如： ②拆项法：将一个多项式的某一项拆成两项或多项后，再利用提公因式法或公式法分解的方法叫作拆项法． 例如：． （1）仿照以上方法，按照要求分解因式： ①（分组分解法）； ②（拆项法）． （2）已知的三边长a，b，c满足，判断的形状并说明理由． 22. 一辆汽车开往距离出发地的目的地，出发的第一小时按原计划的速度匀速行驶，一小时后以原来速度的1.2倍匀速行驶，比原计划提前到达目的地． （1）求原计划的行驶速度； （2）汽车按原路返回，若司机准备一半路程以的速度行驶，另一半路程以的速度行驶（），共用时小时；若司机准备用一半时间以的速度行驶，另一半时间以的速度行驶，共用时小时． ①直接写出用含a，b的式子分别表示和； ②试比较，的大小，并说明理由 23. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． （1）将向上平移5个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到，画出两次平移后的，并写出点的坐标； （2）画出绕原点O逆时针旋转后得到的，并写出点的坐标； （3）在如图的正方形网格中是否存在点D，使得以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出符合条件的所有点D的坐标，若不存在，请说明理由． 24. 在综合实践活动中，同学们将对学校的一块正方形花园进行测量规划使用，如图，点处是它的两个门，且，要修建两条直路，与相交于点（两个门的大小忽略不计）． （1）请问这两条路是否等长？它们有什么位置关系，说明理由； （2）同学们测得米，米，根据实际需要，某小组同学想在四边形地上再修一条米长的直路，这条直路的一端在门处，另一端在已经修建好的路段或花园的边界上，并且另一端与点B处的距离不少于米，请问能否修建成这样的直路，若能，能修建几条，并说明理由． 25. 在菱形中，，． （1）如图，求的值． （2）如图，是延长线上的一点，连接，作与关于直线对称，交射线于点，连接． ①当时，求的长． ②直接写出的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $