精品解析：山东省济南市莱芜区2024-2025学年下学期期末考试八年级数学试题

2024—2025学年度第二学期期末考试八年级 数学试题 选择题部分 共40分 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 已知二次根式与是同类二次根式，则值可以是（ ） A. B. C. D. 2. 下列四个命题中，正确的是（ ） A. 一组对边相等且另一组对边平行的四边形是平行四边形 B. 对角线相等的平行四边形是菱形 C. 四个角都相等的四边形是矩形 D. 两条对角线互相垂直的菱形是正方形 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 若是关于x的方程的一个根，则m的值是（ ） A. B. 1 C. D. 3 5. 用14米长的铝材制成一个矩形窗框，使它的面积为10平方米．若设它的一条边长为x米，则根据意可列出关于x的方程为（ ） A. B. C. D. 6. 已知，则（ ） A. 2025 B. C. D. 5050 7. 在中，D、E分别是、上的点，、交于点F，下列不能判定的是（ ） A. B. C. D. 8. 宽与长的比是（约）的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形蕴藏着丰富的美学价值，给我们以协调和匀称的美感．我们可以用这样的方法画出黄金矩形：作正方形，分别取、的中点E、F，连接；以点E为圆心，以为半径画弧，交的延长线于点G；作，交的延长线于点H，则下列矩形是黄金矩形的是（ ） A. 矩形 B. 矩形 C. 矩形 D. 矩形 9. 如图，在正方形中，以对角线为边作菱形，连接、，、交于点M，连接，则（ ） A B. C. D. 10. 如图，在直角坐标系中，矩形的对角线轴，若，，与的交点为E，则C的坐标为（ ） A. B. C. D. 非选择题部分 共110分 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分．请直接填写答案．） 11. 已知方程．可以配方成的形式，那么a的值为________． 12. 如图，在中，点D、E分别在、上，，如果，的面积为9，四边形的面积为16，则的值为_____． 13. 已知，，则的值为________． 14. 已知、方程的两个实数根，则的值是________． 15. 正方形的边长为6，点E是边上一点，且，把线段绕点E逆时针旋转得到线段，取中点M，连接，线段的长为________． 三、解答题（本大题共10小题，共90分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 16. 解方程：． 17. 计算：． 18. 如图，在菱形中，E、F是对角线上两点，，连接、．求证：． 19. 在的正方形网格中，每个小方格的顶点叫做格点，按下列要求在网格中画出图形． （1）在图1中，以格点为顶点画一个面积为4的等腰直角三角形； （2）在图2中，以格点为顶点画一个面积为4的菱形； （3）在图3中，以格点为顶点画一个面积为10的正方形． 20. （1）如图1，在正方形中，点E、F分别是、上的两点，连接、，若，则的值为________：（直接写出结果） （2）如图2，在矩形中，，，点E、F分别是、上的两点，连接、，若，求的值． 21. 某居民小区有块形状为长方形绿地，绿地的长为，宽为，现要在长方形绿地中修建一个长方形花坛（图中阴影部分），花坛的长为，宽为． （1）求长方形绿地的周长； （2）除去修建花坛地方，其它地方全部修建成通道，通道上铺地砖的造价为80元，求通道铺地砖需要花费多少元？ 22. 商场销售一批衬衫，平均每天可销售20件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件衬衫每降价5元，商场平均每天可多售出10件． （1）若商场平均每天要盈利1250元，每件衬衫应降价多少元？ （2）要使商场平均每天盈利1400元，可能吗？请说明理由． 23. 已知关于x的方程． （1）求证：无论k取何值，它总有实数根； （2）若等腰三角形的一边长为3，另外两边的长为方程的根，求k的值及三角形的周长． 24. 已知：如图，在正方形中，点P在上，，，垂足分别为E、F，，． （1）试判断四边形的形状，并说明理由； （2）连接，求的长； （3）若点Q是上的一动点，求周长的最小值． 25. 【问题情境】 在综合实践课上，老师给出如下问题： 如图1，中，，，，点D在边上，，连接． （1）求的长； 【实践探究】 （2）如图2，过点C作，且，连接．判断的形状，并说明理由； 【拓展应用】 （3）在（2）的条件下，如图3，善于思考的小明同学发现，过点A作，垂足为H，交于点N，并求出了的长．请你完整地完成小明的解答过程： ①求证：； ②求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024—2025学年度第二学期期末考试八年级 数学试题 选择题部分 共40分 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 已知二次根式与是同类二次根式，则的值可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了同类二次根式的定义，根据二次根式的性质把各个二次根式化简，然后由同类二次根式的定义判断即可，掌握二次根式的性质是解题的关键． 【详解】解：、当时，与不是同类二次根式，不符合题意； 、当时，与是同类二次根式，符合题意； 、当时，与不是同类二次根式，不符合题意； 、当时，与不是同类二次根式，不符合题意； 故选：． 2. 下列四个命题中，正确的是（ ） A. 一组对边相等且另一组对边平行的四边形是平行四边形 B. 对角线相等平行四边形是菱形 C. 四个角都相等的四边形是矩形 D. 两条对角线互相垂直的菱形是正方形 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行四边形、菱形、矩形、正方形的判定定理逐一分析各选项的正确性． 本题考查了特殊四边形的判定，熟练掌握判定定理是解题的关键． 【详解】解：A. 一组对边相等且另一组对边平行的四边形不一定是平行四边形，例如等腰梯形满足此条件，但不是平行四边形，故A错误； B. 对角线相等的平行四边形是矩形，而非菱形（菱形的对角线互相垂直但未必相等），故B错误； C. 四个角都相等的四边形，每个角为90度，满足矩形的定义，故C正确； D. 菱形的对角线本就互相垂直，若其对角线相等则为正方形，但仅垂直不满足正方形条件，故D错误； 故选：C． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次根式的运算，根据二次根式的运算法则分别对各选项进行计算，判断其正确性． 【详解】解：选项A：，故A错误． 选项B：根据二次根式乘法法则，，但选项结果为，故B错误． 选项C：利用平方差公式 ，代入 ，，得 ，但选项结果为3，故C错误． 选项D：根据根式除法法则 ，，结果正确， 故选：D． 4. 若是关于x的方程的一个根，则m的值是（ ） A. B. 1 C. D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的根，将代入方程，解关于m的一元一次方程即可． 【详解】将代入方程，得：， 化简得：， 即：， 解得：， 因此m的值为， 故选：C． 5. 用14米长的铝材制成一个矩形窗框，使它的面积为10平方米．若设它的一条边长为x米，则根据意可列出关于x的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了列方程以及矩形的面积，由周长表示出矩形的另外一条边长是解决本题的关键． 设矩形的一条边长为x米，根据周长为14米可得另一条边长为米，再利用面积公式建立方程即可． 【详解】解：∵矩形周长为14米，则长与宽之和为米， 设一条边长为x米，则另一条边长为米， ∴矩形的面积为平方米，根据题意得方程：． 故选：B． 6. 已知，则（ ） A. 2025 B. C. D. 5050 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的意义和性质，正确掌握二次根式的意义和性质是解题的关键．根据二次根式的被开方数非负性，确定x的值，进而求出y的值，代入所求表达式即可求解． 【详解】解：由和的被开方数非负性，得， 解得：， 将代入原方程，得， ， 将和代入，得， 故选：B． 7. 在中，D、E分别是、上的点，、交于点F，下列不能判定的是（ ） A. B. C D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角形相似的判定定理，判断解答即可． 本题考查了三角形相似的判定，熟练掌握判定定理是解题的关键． 【详解】解：若，已经具备的条件是一对公共角相等即， 故A. ，符合两边对应成比例且夹角相等，故能判定 ，不符合题意； B. 即，由，得，得，故能判定，不符合题意； C. ，，能判定，不符合题意； D. ，夹角不相等，无法判定相似，错误，符合题意， 故选：D． 8. 宽与长的比是（约）的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形蕴藏着丰富的美学价值，给我们以协调和匀称的美感．我们可以用这样的方法画出黄金矩形：作正方形，分别取、的中点E、F，连接；以点E为圆心，以为半径画弧，交的延长线于点G；作，交的延长线于点H，则下列矩形是黄金矩形的是（ ） A. 矩形 B. 矩形 C. 矩形 D. 矩形 【答案】C 【解析】 【分析】设正方形的边长为，根据勾股定理得，根据作图性质，计算，，解答即可． 本题考查了正方形的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握性质和定理是解题的关键． 【详解】解：设正方形的边长为， ∵正方形，、的中点E、F， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形是矩形， ∴，符合定义， 故选：C． 9. 如图，在正方形中，以对角线为边作菱形，连接、，、交于点M，连接，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，菱形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半性质，等腰三角形的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 根据正方形的性质确定，，再利用菱形的性质，确定，，，最后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半性质，确定，解答即可． 【详解】解：∵正方形 ∴，， ∵菱形， ∴，，， ∴ ∴， ∴， ∵，， ∴, ∴， 故选：A． 10. 如图，在直角坐标系中，矩形的对角线轴，若，，与的交点为E，则C的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】不妨设，，利用中点坐标公式，建立等式，根据矩形的对角线相等，利用两点间距离公式建立新等式，解答即可． 本题考查了坐标的特点，中点坐标公式，两点间距离公式，矩形的性质，熟练掌握公式和性质是解题的关键． 【详解】解：由轴，，， 不妨设，， 由矩形， 故点E是与的中点，且， 故，或， 同一点的坐标是相同的， 故， 故， 故 故， 解得， 故， 故选：A． 非选择题部分 共110分 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分．请直接填写答案．） 11. 已知方程．可以配方成的形式，那么a的值为________． 【答案】5 【解析】 【分析】本题主要考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法是解题的关键，用配方法将一元二次方程配方即可求的a的值． 【详解】解：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：5． 12. 如图，在中，点D、E分别在、上，，如果，的面积为9，四边形的面积为16，则的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质：有两组角分别相等的两三角形相似；相似三角形的对应角相等，对应边的比相等，相似三角形面积的比等于相似比的平方．由，，根据相似三角形的判定得到，根据相似的性质得，然后把三角形面积代入计算即可． 详解】解：∵， 而， ∴， ∴， ∵的面积为9，四边形的面积为16， ∴的面积， ∴，而， ∴． 故答案为． 13. 已知，，则的值为________． 【答案】13 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值．先求出． ，再根据进行求解即可． 【详解】解：，， ． ． ． 14. 已知、方程的两个实数根，则的值是________． 【答案】2028 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，方程的解的含义，熟练掌握根与系数的关系是解题的关键．根据根与系数的关系：，可直接求解． 【详解】解：∵，是方程的两个实数根， ∴，， ∴， ∴ ， 故答案为：2028． 15. 正方形的边长为6，点E是边上一点，且，把线段绕点E逆时针旋转得到线段，取中点M，连接，线段的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】延长，过点F作于点G，过点M作于点H，延长交于点K，延长，过点F作于点N，证明，得出，，证明，得出，，证明四边形为矩形，得出，，证明四边形为矩形，得出，，，根据勾股定理得出． 【详解】解：延长，过点F作于点G，过点M作于点H，延长交于点K，延长，过点F作于点N，如图所示： ∵四边形为正方形， ∴，， ∵， ∴， 根据旋转可知：，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵M为的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为矩形， ∴，，， ∴， ∴根据勾股定理得：． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，矩形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质，作出辅助线． 三、解答题（本大题共10小题，共90分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 16. 解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的求法，判断出判别式的取值范围是解决本题的关键． 先判断方程跟的判别式，再由求根公式代入求解即可． 【详解】解：方程为， ，，， ， ， ，． 17. 计算：． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查的是二次根式的混合运算，先计算括号内二次根式的加减运算，再计算二次根式的除法运算即可. 【详解】解： ． 18. 如图，在菱形中，E、F是对角线上两点，，连接、．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，利用菱形的性质可得出，，利用等式的性质得出，利用证明，即可得证． 【详解】证明：∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴． 19. 在的正方形网格中，每个小方格的顶点叫做格点，按下列要求在网格中画出图形． （1）在图1中，以格点为顶点画一个面积为4的等腰直角三角形； （2）在图2中，以格点为顶点画一个面积为4的菱形； （3）在图3中，以格点为顶点画一个面积为10的正方形． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）见解析 【解析】 【分析】本题考查作图-应用与设计作图，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题． （1）作一个直角边为的等腰直角三角形即可； （2）作一个对角线分别为2，4的菱形即可； （3）作一个边长为的正方形即可． 【小问1详解】 解：如图1中，即为所求； ； 【小问2详解】 解：如图2中，菱形即为所求； 【小问3详解】 解：如图3中，正方形即为所求． ． 20. （1）如图1，在正方形中，点E、F分别是、上的两点，连接、，若，则的值为________：（直接写出结果） （2）如图2，在矩形中，，，点E、F分别是、上的两点，连接、，若，求的值． 【答案】（1）1；（2）． 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质、矩形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形和相似三角形的性质是解答的关键． （1）先根据正方形的性质得，，再根据余角性质得到，进而利用证明，根据全等三角形的对应边相等得到即可求解； （2）根据矩形的性质和余角性质得到，，进而证明，然后根据相似三角形的性质可得结论． 【详解】解：（1）∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴， 故答案为：1； （2）∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 21. 某居民小区有块形状为长方形的绿地，绿地的长为，宽为，现要在长方形绿地中修建一个长方形花坛（图中阴影部分），花坛的长为，宽为． （1）求长方形绿地的周长； （2）除去修建花坛的地方，其它地方全部修建成通道，通道上铺地砖的造价为80元，求通道铺地砖需要花费多少元？ 【答案】（1） （2）2240元 【解析】 【分析】本题考查二次根式的应用，长方形的周长和面积，平方差公式．解题的关键是掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则及其性质． （1）根据长方形的周长列出算式，再利用二次根式的混合运算顺序和运算法则计算即可； （2）先计算出空白部分的面积，然后再用空白部分的面积乘以单价即可得出结论． 【小问1详解】 解：由题意，长方形绿地的周长为： ， 答：长方形绿地的周长为； 【小问2详解】 解： ， ， 答：铺地砖需要花费2240元． 22. 商场销售一批衬衫，平均每天可销售20件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件衬衫每降价5元，商场平均每天可多售出10件． （1）若商场平均每天要盈利1250元，每件衬衫应降价多少元？ （2）要使商场平均每天盈利1400元，可能吗？请说明理由． 【答案】（1）15元 （2）不可能；理由见解析 【解析】 【分析】此题主要考查了一元二次方程的应用和根的判别式，利用基本数量关系：平均每天售出的件数×每件盈利每天销售的利润是解题关键． （1）利用衬衣每件盈利平均每天售出的件数每天销售这种衬衣利润，列出方程解答即可． （2）同样列出方程，若方程有实数根则可以，否则不可以． 【小问1详解】 解：设每件衬衫应降价x元． 根据题意，得：， 整理，得：， 解得， 答：每件衬衫应降价15元． 【小问2详解】 解：不可能．理由如下： 设每件衬衫应降价x元， ， 整理得， ，方程无实数根． 商场平均每天不可能盈利1400元． 23. 已知关于x的方程． （1）求证：无论k取何值，它总有实数根； （2）若等腰三角形的一边长为3，另外两边的长为方程的根，求k的值及三角形的周长． 【答案】（1）证明见解析 （2）或6；周长为7或8 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的判别式（实数根条件）、等腰三角形的性质（底边与腰的分类）和分类讨论思想，关键在于根据几何条件确定方程参数并验证解的有效性。 （1）通过计算判别式，利用完全平方式的非负性直接证明方程恒有实数根即可； （2）根据等腰三角形中边长3的角色分类讨论：若3为底边，则两腰需相等一转化为方程有两个相等实数根()，解得并验证边长组合能否构成三角形；若3为腰，则3必为方程的一根，代入解出，求得另一根为2 并验证边长能否构成三角形． 【小问1详解】 解： ， ， 无论k取何值，它总有实数根； 【小问2详解】 解：分两种情况讨论： ①当3是等腰三角形的底时， 则，即，解得：， 则方程为， 即， 解得：， ，2，3能构成三角形， 此时等腰三角形的周长为7； ②当3是等腰三角形的腰时，则3是方程的一个根， 将代入， 得：，解得， 则方程， 即， 解得，． 2、3、3能构成三角形， 则此时等腰三角形的周长为8． 综上所述，或6；三角形的周长为7或8． 24. 已知：如图，在正方形中，点P在上，，，垂足分别为E、F，，． （1）试判断四边形的形状，并说明理由； （2）连接，求的长； （3）若点Q是上的一动点，求周长的最小值． 【答案】（1）矩形；理由见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由正方形的性质及，，得，则四边形是矩形； （2）连接，则垂直平分，因为，所以， （3）连接，可证明，则，则，求得，由，据此求解即可． 【小问1详解】 解：四边形为矩形， 理由：∵四边形是正方形，，， ∴， ∴四边形是矩形； 【小问2详解】 解：连接，则垂直平分， ∵， ∴， ∴的长是； 【小问3详解】 解：连接，则， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴周长的最小值为． 【点睛】此题重点考查正方形性质、矩形的判定与性质、线段的垂直平分线的性质、勾股定理、等腰直角三角形的判定与性质、两点之间线段最短等知识，正确地添加辅助线是解题的关键． 25. 【问题情境】 在综合实践课上，老师给出如下问题： 如图1，在中，，，，点D在边上，，连接． （1）求的长； 【实践探究】 （2）如图2，过点C作，且，连接．判断的形状，并说明理由； 【拓展应用】 （3）在（2）的条件下，如图3，善于思考的小明同学发现，过点A作，垂足为H，交于点N，并求出了的长．请你完整地完成小明的解答过程： ①求证：； ②求的长． 【答案】（1）；（2）等腰直角三角形，理由见解析；（3）①证明见解析；② 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定与性质等，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． （1）利用勾股定理求解； （2）依次证明，，根据相似三角形对应边成比例求出，再证，可得是等腰直角三角形． （3）①过点D作，垂足为点M，则，推出，得到，求得，即可求解；②证明，根据相似三角形对应边成比例即可求解． 【详解】（1）解：，，， ， ，， ； （2）解：是等腰直角三角形，理由如下： ，， ， ， ， ，， ， ， ，， 由（1）可知，，， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形； （3）证明：①过点D作，垂足为点M，则， ， ，， ， ，， ，， ， ， ， ； ②解：，由（2）可知， ，； ， ， 由（2）可知是等腰直角三角形，又， ， ， 又， ， ， 由（2）可知， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$