河北省盐山中学2025-2026学年高二下学期7月期末数学试题

**基本信息** 高二数学期末试卷，聚焦概率统计与排列组合核心知识，结合新能源汽车销量分析、非遗宣传等现实情境，通过分层设问考查数学抽象、数据分析及逻辑推理能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|随机变量、线性回归、概率、二项式定理|基础题如第2题线性回归考查残差分析，体现数据意识| |多选题|3/18|分布列性质、回归方程修正、概率应用|第11题结合“石头剪刀布”游戏，考查复杂情境下的概率计算，培养数学思维| |填空题|3/15|分层抽样、数学期望、逻辑推理|第12题非遗志愿者抽样，第14题名次排列推理，渗透数学语言表达| |解答题|5/77|概率分布、回归方程、排列组合、统计应用|第18题新能源汽车销量分析，综合考查数据处理与模型应用；第19题航天队员选拔，融合排列组合与分配问题，提升创新应用能力|

高二数学 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知随机变量，若，且，则(    ) A. B. C. D. 2.下表提供了某厂进行技术改造后生产产品过程中记录的产量单位：与相应的生产能耗单位：标准煤的几组数据： 标准煤 根据散点图分析知与线性相关，且求得经验回归方程为，则(    ) A. 与负相关 B. C. 回归直线过点 D. 时的残差为 3.将数字，，，，这五个数随机排成一列组成一个数列，则该数列为单调数列的概率为(    ) A. B. C. D. 4.已知的展开式中只有第项的二项式系数最大，则(    ) A. B. C. D. 5.已知随机变量的分布列为 当在上变化时，的数学期望的变化情况为(    ) A. 单调递增 B. 先减后增 C. 单调递减 D. 先增后减 6.已知变量与变量的关系可以用模型其中为自然对数的底数拟合，设，变换后得到的数据如下表． 则当时，的估计值为(    ) 参考公式：经验回归方程中的系数，． A. B. C. D. 7.的展开式中的系数为(    ) A. B. C. D. 8.援鄂医护人员，，，，，共人其中是队长圆满完成抗击新冠肺炎疫情任务返回本地，他们受到当地群众与领导的热烈欢迎当地媒体为了宣传他们的优秀事迹，让这名医护人员和当地的一位领导共人站成一排拍照，则领导和队长相邻且不站两端，与相邻，与不相邻的排法种数为 A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.已知离散型随机变量的分布列如下表所示，则下列选项正确的是(    ) A. B. C. D. 10.已知由样本数据点，，，求得的回归直线方程为，且，现发现两个数据点和的误差较大，剔除后重新求得的回归直线的斜率为，则(    ) A. 变量和具有负相关关系 B. 剔除后不变 C. 剔除后的回归直线方程为 D. 剔除后对应于样本数据点的残差为 11.“石头、剪刀、布”游戏起源于中国汉朝，称为“手势令”游戏规则为：参加游戏的人随机出一种手势，且石头赢剪刀，剪刀赢布，布赢石头两人游戏时，出相同的手势为平局多人游戏时，都出相同的手势或三种手势都出现为平局现有个人共举行了局游戏，且各局游戏互不影响，则下列说法正确的有(    ) A. 若，，则只有一人获胜的概率为 B. 若，，则平局的概率为 C. 若，且规定其中一人连续两局获胜，比赛结束，则恰经过局比赛结束的概率为 D. 若，且规定每局比赛输者淘汰，则恰经过局比赛决出最终胜利者的概率为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.月日，习总书记在湖南省常德市考察调研期间来到河街，了解历史文化街区修复利用等情况，这片历史文化街区汇聚了常德高腔、常德丝弦、桃源刺绣、安乡木雕、澧水船工号子等品类繁多的非遗项目．现为了更好的宣传河街文化，某部门召集了名志愿者，根据报名情况得到如下表格： 项目 常德高腔 常德丝弦 桃源刺绣 安乡木雕 澧水船工号子 志愿者人数 若从这名志愿者中按照比例分配的分层随机抽样方法抽取人进行培训，再从这人中随机选取人聘为宣传大使，记为这人中来自澧水船工号子的人数，则的数学期望为          ． 13.已知某学校高二年级有男生人、女生人，调查该年级全部男、女学生是否喜欢徒步运动的等高堆积条形图如下，现从所有喜欢徒步的学生中按分层抽样的方法抽取人，则抽取的女生人数为          ． 14.某校开展学农活动，举办劳动技能比赛，通过初选，甲、乙、丙、丁、成名同学进入决赛，决出第名到第名的名次比赛后甲、乙、丙三人去询问成绩，回答者对甲说：“很遗憾，你和乙都未拿到冠军”对乙说：“你当然不是最差的”对丙说：“甲比你好”对这三个回答进行分析，这人的名次排列顺序有          种可能． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分 某同学为了研究两个变量与的相关关系，收集到如下表格的组数据： 从表格中的组数据中随机抽取组，记与相等的组数为随机变量，求的分布列与期望； 根据上表提供的数据，求经验回归直线方程． 参考公式：，． 16.本小题分 袋中装着外形完全相同且标有数字，，，，的小球各个，从袋中任取个小球，按个小球上最大数字的倍计分，每个小球被取出的可能性都相等，用表示取出的个小球上的最大数字，求： 取出的个小球上的数字互不相同的概率 随机变量的分布列 计算介于分到分之间的概率． 17.本小题分 现有高二学生共人，其中来自一、二、三、四班的学生各有人、人、人、人，他们自愿组成数学课外小组． 选其中一人为负责人，有多少种不同的选法 从每班学生中各选一名组长，有多少种不同的选法 推选两人发言，这两人需来自不同的班级，有多少种不同的选法 18.本小题分 近年来，新能源汽车受到越来越多消费者的青睐．据统计，年月至年月全国新能源市场三种车型月度零售销量数据如下单位：万辆： 月 月 月 月 月 月 轿车 Ⅰ从年月至年月中任选个月份，求该月零售销量超过这个月该车型月度零售销量平均值的概率； Ⅱ从年月至年月中任选个月份，将其中的月度零售销量相比上个月份增加的月份个数记为，求的分布列和数学期望； Ⅲ记年月至年月轿车月度零售销量数据的方差为，同期各月轿车与对应的月度零售销量分别相加得到个数据的方差为，写出与的大小关系．结论不要求证明 19.本小题分 为了某次的航天飞行，现准备从名预备队员其中男人，女人中选人参加航天任务． Ⅰ若男甲和女乙同时被选中，共有多少种选法？ Ⅱ若至少两名男航天员参加此次航天任务，问共有几种选法？ Ⅲ若选四个航天员分配到、、三个实验室去，其中每个实验室至少一个航天员，共有多少种选派法？ 答案 1. 2. 3. 4. 5. 6.  7. 解：， 根据的展开式的通项为，， 则含的项为， 所以的展开式中的系数为． 8. 解：先将领导和队长  ，  和  “捆绑”，分别当作一个整体，领导和队长  ，  和  两个小整体内部可以互换位置，有  种不同的排法， 将  和  小整体与除领导和队长  外的个人一起排列，有  种不同的排法， 再让领导和队长  这个小整体从中间的个位置选个位置排，有  种不同的排法， 所以共有  种不同的排法， 当  与  相邻时，将  安排在中间，  ，  安排在  的两侧，有  种排法， 然后将他们人当作一个整体，与除领导和队长  外的个人一起排列，有  种不同的排法， 再让领导和队长  这个小整体从中间的个位置中选个位置排，共有  种不同的排法， 故共有  种不同的排法． 故选B． 9. 解：由分布列的性质可得，解得，故A正确 ，故B正确 ，故C错误 ， 则，故D正确． 10. 解：对于，由剔除前回归直线的斜率为  ， 剔除后重新求得的回归直线  的斜率为  ， 两者均大于，则变量  与  具有正相关关系，A错误； 对于，剔除前  ， 而剔除的两个数据点 ，  ， 因此剔除后   不变，B正确； 对于，剔除后  ，  ， 而回归直线  的斜率为  ， 则回归直线方程为  ，C正确； 对于， 剔除后的回归直线方程为 ， 当 时，  ， 则残差为  ，D错误． 11. 解：对于：当，时，每个人出的手势都有种可能，所以总的基本事件数为种，只有一人获胜的情况：先从人中选人获胜，有种选法， 假设选出的这个人出石头，另外两人出剪刀 或者这个人出剪刀，另外两人出布 或者这个人出布，另外两人出石头，共种情况， 所以只有一人获胜的情况有种， 则只有一人获胜的概率，选项正确； 对于：当，时，总的基本事件数为种， 平局的情况分为两种： 情况一：所有人出相同的手势，有种情况都出石头、都出剪刀、都出布； 情况二：三种手势都出现， 先把个人分成三组，分组方式有和两种， 按分组，有种分法， 然后这三组对应三种手势有种排列方式， 所以这种分组的情况有种； 按分组，有种分法， 然后这三组对应三种手势有种排列方式， 所以这种分组的情况有种， 平局的情况共有种， 则平局的概率，选项正确； 对于：当时，不妨设这两人为甲、乙， 在一局比赛中，甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，两人平局的概率为， 考虑恰经过局比赛甲获胜的概率，此时第四局和第五局是甲获胜， 当第二局是甲获胜时，第一局和第三局是平局或乙获胜， 此时的概率为； 当第二局是乙获胜时，第一局是平局或甲获胜，第三局是平局， 此时的概率为； 当第二局是平局时，第三局是平局或乙获胜，第一局任意， 此时的概率为； 综上可知，恰经过局比赛甲获胜的概率为， 同理可知，恰经过局比赛乙获胜的概率为， 则恰经过局比赛结束的概率，选项错误； 对于：记表示个人玩一轮游戏，恰好剩人的概率， 则，，，，， 则恰经过局比赛决出最终胜利者的情况有以下五种： 前四局均是三人平局，第五局三人中只有一人获胜； 前三局均是三人平局，第四局三人中有两人获胜，第五局一人获胜； 前两局均是三人平局，第三局三人中有两人获胜，第四局两人平局，第五局一人获胜； 第一局三人平局，第二局三人中有两人获胜，第三、四局两人平局，第五局一人获胜； 第一局三人中有两人获胜，第二、三、四局两人平局，第五局一人获胜， 设经过局比赛决出最终胜利者的概率为， 则恰经过局比赛决出最终胜利者的概率为： ，选项正确． 12.．  13. 解：由等高条形图，男生不喜欢徒步的人数为，则喜欢徒步的有人， 女生不喜欢徒步的人数为，则喜欢徒步的有人， 由分层抽样得，抽取喜欢徒步的女生人数为． 故答案为：． 14.  由题意可得，第名只能是丁或戊，第名只能是丙、丁或戊，因此可分为如下三种情况： 甲是第名，先考虑乙，有种情况，再考虑丙，有种情况，最后排丁、戊，有种情况，即此时所包含的情况有种． 甲是第名，当乙是第名时，丙只能是第名，只需考虑丁、戊的排列，此时有种情况当乙是第名时，丙可以有种选择，最后排丁、戊，有种情况故此时包含的情况共有种． 甲是第名，丙只能是第名，而乙有种选择，最后排丁、戊，有种情况，此时所包含的情况有种． 综上，这人的名次排列顺序有种可能． 15.解：由题意可得的所有可能取值为，，， ，，， 的分布列为： ； 由题意可得，， 则， 所以， 所以．  16.解：设“一次取出的个小球上的数字互不相同”， 则． 由题意知，的所有可能取值为，，，， ， ， ， ． 所以随机变量的分布列为 设“一次取球得分介于分到分之间”， 则． 17.根据题意，要从人中选其中一人为负责人，有种选法． 根据题意，分析可得： 从一班选一名组长，有种情况 从二班选一名组长，有种情况 从三班选一名组长，有种情况 从四班选一名组长，有种情况． 故从每班各选一名组长，不同的选法共有种． 根据题意，分六种情况讨论： 从一、二班学生中各选人，有种不同的选法 从一、三班学生中各选人，有种不同的选法 从一、四班学生中各选人，有种不同的选法 从二、三班学生中各选人，有种不同的选法 从二、四班学生中各选人，有种不同的选法 从三、四班学生中各选人，有种不同的选法． 故不同的选法共有种．   18.解：Ⅰ由表格得这个月车型月度零销售量平均值为 ， 则零售销量超过这个月该车型月度零售销量平均值的月份有月，月，月， 该月零售销量超过这个月该车型月度零售销量平均值的概率为； Ⅱ从年月至年月中，，的月度零销售量相比上个月份增加的月份有个：月和月， 随机变量的可能取值为，，， 则，，， 故随机变量的分布列为 的数学期望； Ⅲ由题意得年月至年月轿车月度零售销量分别为，，，，，， 则这个月轿车月度零销售量平均值为， ， 又同期各月轿车与对应的月度零售销量分别相加得到个数据为，，，，，， 这个数据的平均值为， ， ， ．  19.解：若男甲和女乙同时被选中，剩下的人从人中任选人即可，即有种； 至少两名男航天员，可以分为名，名，名男航天员三类， 利用分类计数原理可得种； 先选名航天员，然后把这名航天员可以分，，一组， 再分配到、、三个实验室去，共有种．  第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $