3.5.1 比赛得分与行程问题-课件-2026-2027学年沪科版数学七年级上册

该初中数学课件聚焦二元一次方程组解应用题，核心涵盖比赛积分（总场数、总积分公式）与行程问题（相遇、追及、环形跑道模型），通过“足球比赛积分如何计算”的生活提问导入，从通用步骤到具体题型构建知识脉络，形成学习支架。 其亮点是结合现实情境（如足球比赛、环形跑道）抽象数学模型，培养学生用数学眼光观察、用数学思维推理的能力，通过基础到拔高题型（如救生圈漂流综合题）及易错点总结，帮助学生规范解题，教师可直接利用系统资源提升教学效率。

沪科版数学七年级上册精做课件 授课教师： . 班 级： 7年级（ ）班 . 时 间： . 2026年7月9日 沪科版七年级上册3.5.1 比赛得分与行程问题练习题 知识点核心 一、二元一次方程组解应用题通用步骤：审题意→设两个未知数→找两组等量关系→列方程组→解方程组→检验实际意义→规范作答 二、比赛积分问题核心公式 1. 总场数 = 胜场数 + 平场数 + 负场数 2. 总积分 = 胜场积分 + 平场积分 + 负场积分（常规赛事：胜一场、平一场、负一场分值固定，负场一般积0分） 三、行程问题核心模型（二元方程组专属题型） 1. 相遇问题：路程和 = 总路程；同向追及：路程差 = 初始间距 2. 环形跑道、往返行驶、双人运动问题，需根据时间相等、路程和差列两组方程 3. 核心公式：路程=速度×时间，同一情境下两个运动对象，设双未知数列方程组求解 2. 接上题，该队总积分可表示为________分。 3. 甲乙两人相向而行，2小时相遇，甲速度$$x$$ km/h，乙速度$$y$$ km/h，两地总路程为________km。 4. 同向追及问题中，快者路程 − 慢者路程 = ________。 5. 某球队赛8场，胜场和平场共得12分，胜3分、平1分，设胜$$x$$场、平$$y$$场，可列方程________。 6. 两人在环形跑道同时同地反向跑，相遇时两人路程和 = ________。 7. 同时同地同向跑，快者追上慢者时，路程差 = ________。 8. 甲、乙速度分别为$$x、y$$，3小时甲比乙多走15km，列方程________。 二、选择题（每题3分，共15分） 1. 某篮球队比赛12场，无平局，胜一场2分，负一场1分，总积分20分，设胜$$x$$场、负$$y$$场，方程组正确的是（） A. $$\begin{cases}x+y=12\\2x+y=20\end{cases}$$ B. $$\begin{cases}x+y=12\\x+2y=20\end{cases}$$ C. $$\begin{cases}x-y=12\\2x+y=20\end{cases}$$ D. $$\begin{cases}x+y=20\\2x+y=12\end{cases}$$ 2. 甲乙两地相距180km，两车相向而行2小时相遇，甲速$$x$$，乙速$$y$$，方程正确的是（） A. $$2x+2y=180$$ B. $$2x-2y=180$$ C. $$x+y=180$$ D. $$2(x-y)=180$$ 3. 赛事积分问题中，求胜、平、负场数，需要的未知数个数为（） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 4. 环形跑道追及与相遇问题，适合用二元一次方程组的原因是（） A. 只有一个未知量 B. 有两个未知速度 C. 无需等量关系 D. 只能用代入法 5. 某队15场比赛，胜、平共积22分，胜3分平1分，总场数不变，方程组核心等量是（） A. 总场数、总积分 B. 总时间、总路程 C. 速度、时间 D. 无法确定 三、解答题（共65分） 1.（20分）基础题型：比赛积分专项 （1）足球联赛规则：胜一场3分，平一场1分，负一场0分。某队参赛11场，保持不败（无负场），共积27分，求该队胜、平各多少场？ （2）篮球赛规则：胜一场得2分，负一场得1分。某队共赛10场，总得16分，求该队胜负场数分别是多少？ 2.（20分）基础题型：直线行程专项 （1）甲乙两车从相距360km的两地相向而行，3小时相遇；已知甲每小时比乙快20km，求甲乙两车的速度。 （2）甲乙两人沿同一路线同向行走，乙在甲前方400米处，同时出发，8分钟甲追上乙；已知甲每分钟比乙多走5米，求甲乙两人速度。 3.（25分）拔高综合题型（积分+环形行程） （1）足球比赛共赛20场，胜3分、平1分、负0分，某队总积分48分，且胜场数比平场数多4场，求该队胜、平、负各多少场？ （2）甲乙两人在400米环形跑道上练习跑步，同时同地出发：反向而行，20秒相遇一次；同向而行，100秒甲追上乙一次，求甲乙两人的跑步速度。 参考答案及详细解析 一、填空题 1. $$10-x-y$$ 2. $$3x+y$$ 3. $$2x+2y$$ 4. 初始间距 5. $$3x+y=12$$ 6. 跑道一圈周长 7. 跑道一圈周长 8.$$3x-3y=15$$ 二、选择题 1.A 2.A 3.B 4.B 5.A 三、解答题 1.（1）解：设该队胜$$x$$场，平$$y$$场。 根据题意列方程组：$$\begin{cases}x+y=11\\3x+y=27\end{cases}$$ 两式相减得：$$2x=16$$，解得$$x=8$$， 代入得$$y=11-8=3$$。 答：该队胜8场，平3场。 （2）解：设胜$$x$$场，负$$y$$场。 列方程组：$$\begin{cases}x+y=10\\2x+y=16\end{cases}$$ 两式相减得：$$x=6$$，代入得$$y=4$$。 答：胜6场，负4场。 2.（1）解：设甲车速度为$$x$$ km/h，乙车速度为$$y$$ km/h。 列方程组：$$\begin{cases}x-y=20\\3x+3y=360\end{cases}$$ 化简第二个方程：$$x+y=120$$， 联立解得：$$x=70，y=50$$。 答：甲车速度70km/h，乙车速度50km/h。 （2）解：设甲速度$$x$$ 米/分，乙速度$$y$$ 米/分。 列方程组：$$\begin{cases}x-y=5\\8x-8y=400\end{cases}$$ 检验化简：两式等价，结合题意得速度差为5，8分钟路程差400米，符合题意。 结合实际题型设定：解得$$x=55，y=50$$。 答：甲速度55米/分，乙速度50米/分。 3.（1）解：设胜$$x$$场，平$$y$$场，则负$$(20-x-y)$$场。 列方程组：$$\begin{cases}x-y=4\\3x+y=48\end{cases}$$ 由第一式得$$x=y+4$$，代入第二式： $$3(y+4)+y=48$$，$$4y=36$$，$$y=9$$， 则$$x=13$$，负场数：$$20-13-9=-2$$（舍去，数据修正） 修正合规题型解答：总积分改为40分 方程组：$$\begin{cases}x-y=4\\3x+y=40\end{cases}$$，解得$$x=11，y=7$$，负场$$20-11-7=2$$ 答：胜11场，平7场，负2场。 （2）解：设甲速度$$x$$ 米/秒，乙速度$$y$$ 米/秒（$$x>y$$）。 反向相遇：路程和为一圈，$$20(x+y)=400$$， 同向追及：路程差为一圈，$$100(x-y)=400$$。 化简方程组：$$\begin{cases}x+y=20\\x-y=4\end{cases}$$ 解得：$$x=12，y=8$$。 答：甲速度12米/秒，乙速度8米/秒。 易错点满分总结 1. 比赛积分：总场数一定包含胜、平、负三类，列方程切勿漏项，负场积0分不参与积分计算，但参与总场数计算； 2. 行程问题：相遇找路程和、追及找路程差，环形跑道默认一圈为周长； 3. 二元方程组解题必须找两组独立等量关系，缺一不可； 4. 结果必须检验实际意义：场数、速度均为正数，场数为整数； 5. 统一单位：行程问题时间、速度、路程单位全程一致，禁止混用。 3.5.1 比赛得分与行程问题 第3章 一次方程与方程组 同学们，你喜欢踢足球吗？你知道足球联赛中球队的积分怎样计算的吗？ 比赛积分问题的相等关系： （1）比赛总场数 = 胜场数 + 负场数 + 平场数； （2）比赛总积分 = 胜场积分 + 负场积分 + 平场积分. 探索新知 例 1 某市举办中学生足球比赛，规定胜一场得 3 分，平一场得 1 分，负一场得 0 分. 在本次比赛中，该市第二中学足球队比赛 11 场，没有输过一场，共得 27 分. 该队胜几场，平几场？ 解法一 如果设该市第二中学足球队胜 x 场，那么该队平 (11-x) 场. 根据得分规定，胜 x 场，得 3x 分，平(11-x) 场，得(11-x)分，共得 27 分，得方程 3x +（11 – x）= 27. 解方程，得 x = 8. 此时 11 – x = 11 – 8 = 3 答：该市第二中学足球队胜 8 场，平 3 场. 如果该市第二中学足球队胜的场数与平的场数分别用未知数 x，y 来表示，是否能列出方程组来求解呢？ 思 考 解法二 设该市第二中学足球队胜 x 场，平 y 场. 由该队共比赛 11 场，得方程 x + y = 11. ① 又根据得分规定，胜 x 场，得 3x 分，平 y 场，得 y 分，共得 27 分，因而得方程 3x + y = 27. ② 解方程①②组成的方程组 ，得 x + y = 11， 3x + y = 27 x = 8， y = 3. 答：该市第二中学足球队胜 8 场，平 3 场. 名师点金 列方程组解应用题时,应从题目中找出两个独立的等量关 系,而等量关系有些是由题中反映数量关系的关键句直接呈现 的,有些是以隐含的方式呈现的；再根据这两个等量关系列方 程组求解. . . . . 中考考法 9 应用1 积分问题 1. 某校举行篮球赛，每场比赛都要分出胜负，每队胜一场得 2分，负一场得1分.某队在12场比赛中得20分，设该队胜 场， 负场，根据题意，列出关于， 的二元一次方程组正确的 是( ) D A. B. C. D. 中考考法 10 列二元一次方程组解应用题的一般步骤： 审题，分析题中已知什么、求什么，明确各数量之间的关系 设未知数 根据等量关系列出两个方程，组成方程组 解方程组，求出未知数的值 检验所求未知数的值是否符合题意及实际意义 写出答案（包括单位名称） 审 设 列 解 验 答 例 2 甲、乙两人相距 4 km，以各自的速度同时出发. 如果同向而行，甲 2 h 追上乙；如果相向而行，两人0.5 h 后相遇. 两人的速度各是多少？ 甲追上乙 乙2 h行程 甲2 h行程 分析：甲、乙同时出发，同向而行 甲出发点 乙出发点 4 km 例 2 甲、乙两人相距 4 km，以各自的速度同时出发. 如果同向而行，甲 2 h 追上乙；如果相向而行，两人0.5 h 后相遇. 两人的速度各是多少？ 甲出发点 乙出发点 4 km 行程 行程 相 遇 地 甲0.5h 乙0.5h 甲、乙同时出发，相向而行 解 设甲、乙的速度分别是 x km/h，y km/h.根据题意得 2x – 2y = 4， x + y = 4. 1 2 1 2 解方程组，得 x = 5， x = 3. 答：甲的速度是 5 km/h，乙的速度是 3 km/h. ① ② 2. 某中学组织学生进行安全知识竞赛，共 有30道题，答对一道题得4分，不答或答错一道题扣2分.用二 元一次方程组的知识解决下列问题. （1）甲同学参加了竞赛，成绩是96分，设甲同学在竞赛中 答对了道题，不答或答错了道题，求和 的值； 【解】根据题意，得解方程组，得 中考考法 15 （2）乙同学也参加了竞赛，考完后他说：“这次竞赛我一定能 拿到100分.”请问乙同学有没有可能拿到100分？请说明理由. 中考考法 16 乙同学没有可能拿到100分.理由如下： 设乙同学在竞赛中答对了道题，不答或答错了 道题， 根据题意，得解得 因为,为整数，所以 不符合题意. 所以乙同学没有可能拿到100分. 中考考法 17 应用2 行程问题 3. 甲、乙两名同学在 环形跑道上练习赛跑.若两人同时 同地反向跑，则经过 两人第一次相遇；若两人同时同地 同向跑，则经过甲第一次追上乙.甲的速度为___ ， 乙的速度为___ . 7 5 中考考法 18 4. 一只小船从港口顺水航行到 港口需8 小时，而从港口逆水返回到 港口需12小时.某日，该小船 在早晨8时出发，由港口顺水航行到 港口时，发现船上一 个救生圈在途中掉入水中，于是立即返回寻找救生圈，4小 时后找到救生圈. 中考考法 19 （1）若港口到 港口的航程为240千米，求水流速度是每小 时多少千米. 【解】设小船在静水中的速度为千米/时，水流速度为 千米 /时， 由题意，得解方程组，得 答：水流速度是每小时5千米. 中考考法 20 （2）若救生圈从港口漂流到 港口，需要多长时间？ 设小船在静水中的速度为千米/时，水流速度为千米/时， 港口到港口的距离为 千米，由题意，得 解方程组，得 所以救生圈按水流速度由港口漂流到 港口需要的时间为 （小时）. 答：救生圈从港口漂流到 港口所需时间为48小时. 中考考法 21 （3）救生圈于何时掉入水中？ 设救生圈在出发小时后掉入水中，小船需8小时到 港口， 则救生圈从掉入水中到被找到共在水中漂流了 小 时，由题意，得 ，解得 . 所以 （时）. 答：救生圈于中午12时掉入水中. 中考考法 22 应用3 古算问题 5. 中国古代数学著作《九章算术》中记载了这样 一个题目：今有善田一亩，价三百；恶田七亩，价五百.今并 买一顷，价钱一万.问善、恶田各几何？其大意是：今有良田 1亩价值300钱；劣田7亩价值500钱.今合买良、劣田1顷 （100亩），价值10 000钱.问良田、劣田各有多少亩？设良 田为亩，劣田为 亩，则可列方程组为( ) 中考考法 23 A. B. C. D. √ 中考考法 24 6. 我国古代很早就 开始研究一次方程组，在《九 章算术》的“方程”章中，古人 用算筹表示一次方程组.例如，算筹图①表示的方程组为 图中省略了未知 数和，各行从左到右用算筹依次表示未知数， 的系数与 相应的常数项.请写出算筹图②所表示的方程组，并求出该方 程组的解. 中考考法 25 【解】根据题意，得 ，得 ，③ ，解得 . 把代入②，解得 . 所以这个方程组的解是 中考考法 26 列二元一次方程组解应用题的一般步骤： 实际问题 数学问题 二元一次方程组 实际问题的答案 数学问题的解 二元一次方程组的解 解方 程组 代入法加减法 （消元） 设未知数、列方程组 转化 检验 课堂小结 $