3.3.1等积变形和行程问题（课件）-2026-2027学年沪科版数学七年级上册

该初中数学课件聚焦一元一次方程的等积变形与行程问题应用，通过“老乌鸦喝水”情境、剪长方形纸条等实例导入，从形变积不变原理、路程公式到例题解析、综合练习，构建连贯的学习支架，衔接前后知识脉络。 其亮点在于以“数学眼光”抽象实际问题中等量关系（如量筒水体积不变），“数学思维”推理数量关系（如行程问题表格梳理时间路程），“数学语言”建立方程模型（如剪纸条面积相等列方程）。采用情境导入、步骤归纳的教学方法，助力学生提升应用能力，为教师提供系统教学资源。

沪科版数学7年级上册培优精做课件 授课教师： . 班 级： 7年级（ ）班 . 时 间： . 2026年5月23日 3.3.1等积变形和行程问题 第3章 一元一次方程 3.3.1 等积变形和行程问题 练习题讲解 一元一次方程的实际应用是初中数学的重点与难点，而等积变形问题和行程问题是最基础、最常考的两类应用题。相较于单纯的解方程计算，实际应用题需要我们先分析题意、找出等量关系，再设未知数、列方程求解。两类题型核心逻辑一致：抓住“变化前后总量不变”或“题目中恒定的数量关系”，将文字语言转化为方程，实现用数学思维解决实际问题。熟练掌握这两类题型，是攻克一元一次方程应用题的关键。 等积变形问题的核心原理是形变积不变。物体的形状、结构发生改变，但体积、面积、周长等总量始终保持恒定，这是列方程的核心等量关系。常见题型包括几何体锻造、拼接、分割、熔铸等，比如圆柱锻压、长方体重塑、铁丝围图形等。解题通用步骤为：首先确定变形前后不变的量，梳理变形前后的面积、体积计算公式；其次设出合理未知数，表示出变形前后的对应量；最后根据“变形前总量=变形后总量”列出一元一次方程，解方程并检验作答。需要注意区分周长不变、面积不变、体积不变的不同场景，切勿混淆公式。 等积变形基础例题：用一根长80cm的铁丝围成一个长方形，若长方形的长是宽的3倍，求长方形的长和宽。本题属于周长不变的等积变形问题，铁丝长度即为长方形周长。解：设长方形的宽为$$x$$ cm，则长为$$3x$$ cm。根据长方形周长公式列方程：$$2(x+3x)=80$$，化简得$$8x=80$$，解得$$x=10$$。则长为$$3\times10=30$$ cm。答：长方形长30cm，宽10cm。本题精准体现了等积问题“总量恒定”的核心思路。 行程问题是一元一次方程应用的经典题型，核心公式为：路程=速度×时间，根据运动状态分为相遇问题、追及问题、匀速行驶问题等。所有行程问题的本质都是围绕路程、速度、时间三者的等量关系展开。基础解题思路为：梳理运动对象、运动方向、运动时间，找准路程之间的和、差关系；设未知数表示未知的速度或时间；根据总路程、路程差列方程求解。其中相遇问题满足“甲路程+乙路程=总路程”，同向追及问题满足“快者路程-慢者路程=初始距离”。 行程问题经典例题：甲、乙两人从相距240千米的两地同时出发，相向而行，甲每小时行50千米，乙每小时行30千米，经过几小时两人相遇。本题为典型相向相遇问题。解：设经过$$x$$小时两人相遇。根据相遇路程关系列方程：$$50x+30x=240$$，合并同类项得$$80x=240$$，解得$$x=3$$。答：经过3小时两人相遇。解题时需注意统一单位，速度、时间、路程单位需匹配，同时区分相向、同向、背向等不同运动场景。 综合解题易错总结：等积变形问题最易出错的地方是公式记忆错误、混淆不变量，误将面积不变当成周长不变；行程问题易错点为找错路程关系、单位不统一、遗漏运动时间差。解决两类应用题的通用核心是：不急于列方程，先找恒定等量关系，理清已知量和未知量，规范设元、列方程、求解、检验、作答完整步骤。掌握这两类基础题型，能为后续工程问题、利润问题等复杂应用题的学习打下坚实基础，建立方程建模的解题思维。 会用一元一次方程解决关于等积变形与行程的实际问题. 掌握列方程解应用题的一般步骤. 能体会数学问题源于实际生活，会从实际情境中建立方程模型. 根据图中给出的信息，正确的方程是什么呢？ 探索新知 例1：如图，李明同学从一张正方形纸片上剪去一张宽为4cm的长方形纸条，再从剩下的长方形纸片上剪去一张宽5cm的长方形纸条．如果两次剪下的长方形纸条面积正好相等，那么原正方形的边长为多少? 4 5 （单位：cm） 【教材P103 例1】 思考：1.本题中有什么等量关系？ 4 5 （单位：cm） 宽为4cm的长方形面积=宽为5cm的长方形面积 2.设正方形的边长是 x cm，完成下表： 宽 长 面积 图形1 4 x 4x 图形2 5 x-4 5(x-4) 4x 5(x-4) 4 5 （单位：cm） 解：设正方形的边长是 x cm，根据题意，得 4x = 5(x-4). 解方程，得x=20. 答：原正方形的边长为20cm. 4x 5(x-4) 宽为4cm的长方形面积=宽为5cm的长方形面积 形积变化中的等量关系 ①形状发生了变化，体积/面积不变. 其相等关系是： 变化前图形的体积/面积=变化后图形的体积/面积 ②形状、面积发生了变化，周长不变. 其相等关系是： 变化前图形的周长=变化后图形的周长 ③形状、体积不同，面积相同．根据题意找出面积之间的关系，即相等关系． 如图，长方形纸片的长是15cm，现从 长、宽上各剪去一个宽为3cm的长条，剩下的面积是原长方形面积的 .求原长方形纸片的宽. 练一练 解：设原长方形纸片的宽为x cm，则剩下的长方形的长为15-3=12(cm)，宽为(x-3)cm. 根据题意，得12(x-3)= ×15x，解得x=12. 答：原长方形纸片的宽为12cm. 例2：某县举办越野赛. 选手从起点出发，先沿着山区公路跑步到达补给站，再登山到达比赛终点. 张老师参加了这个比赛，他的相关数据如下表： 总距离/km 跑步平均速度/km·h-1 登山平均速度/km·h-1 8.2 10 3 已知张老师在补给站休息了10min，用时1.5h完成了比赛.求补给站与起点的距离. 8.2km 起点 补给站 终点 跑步距离+登山距离=总距离 【教材P103 例2】 8.2km 起点 补给站 终点 x km 8.2-x km 跑步时间+登山时间=总用时-休息时间 解：设补给站离起点x km. 根据题意，得 注意单位换算! 解方程，得x=6. 答：补给站与起点的距离为6km. 归纳总结 列方程解应用题的一般步骤如下： ⑴弄清题意和题中的数量关系，用字母（如x，y）表示问题涉及的未知数； ⑵分析题意，找出等量关系（可借助示意图、表格等）； ⑶根据等量关系，列出需要的代数式，并列出方程； ⑷解这个方程，求出未知数的值； ⑸检查所得的值是否正确和符合实际情形，并写出答案（包括单位）. 1. 一个宽为 3 cm 的长方形与一个边长为 6 cm 的正方形面积相等，则这个长方形的周长为（ ） A. 12.5 千米/时 B. 15 千米/时 C. 17.5 千米/时 D. 20 千米/时 2. 甲、乙两人骑自行车同时从相距 65 千米的两地相向而行，2 小时相遇，若甲比乙每小时多骑 2.5 千米，则乙的时速是（ ） A. 12 cm B. 18 cm C. 24 cm D. 30 cm D B 随堂练习 3. 一个底面直径为 16 厘米的圆柱形木桶内装满水，水中淹没着一个底面直径为 8 厘米、高为 15 厘米的铁质小圆柱体. 当铁质小圆柱体取出后，木桶内水面下降了多少？ [解析] 木桶内水面下降的圆柱体体积 ＝ 铁质小圆柱体体积． 解：设木桶内水面下降 x cm. 由题意，得 解方程，得 答：木桶内水面下降 随堂练习 4. 一艘船从甲码头到乙码头顺流行驶，用了 2 小时；从乙码头返回甲码头逆流行驶，用了 2.5 小时. 已知水流的速度是 3 千米/时，求船在静水中的速度. 解：设船在静水中的平均速度为 x 千米/时，则顺流速度为 (x + 3) 千米/时，逆流速度为 (x - 3) 千米/时. 根据题意，得 2(x + 3) = 2.5(x - 3). 解方程，得 x = 27. 答：船在静水中的平均速度为 27 千米/时. 随堂练习 知识点1 几何图形问题 （第1题） 1. 如图，小明从一张正方 形纸片上剪去一张宽为 的长方形纸 条后，再从剩下的长方形纸片上剪去一张 宽为 的长方形纸条，如果两次剪下 的长方形纸条面积正好相等，那么原来正 方形纸片的面积是( ) D A. B. C. D. 返回 中考考法 15 （第2题） 2. 强强利用两个完全相同的瓶子和一些沙 子做成了如图所示的沙漏（两个瓶子的瓶 底相连，中间有一个小孔）.初始时刻上方 瓶子中沙子的高度为 ，终止时刻下 方瓶子中空余部分的高度为 .若每个瓶 B A. B. C. D. 子的容积都为 ，则沙子的体积为 ( ) 中考考法 16 【点拨】设瓶子的底面积为 ，初始 时刻时，沙子的体积是 ，终止时 刻时，空白部分的体积是 .根据题意 列方程得， ，解得 ，则沙子的体积为 . （第2题） 返回 中考考法 17 3.一个圆柱形容器的底面半径为，高为 ，里面盛 有深的水，将底面半径为、高为 的圆柱形铁块 沉入水中，则容器内水面将升高_____ . 0.18 返回 中考考法 18 4.［2025金华期末］现有一张宽 为 的长方形纸条，纸条两面 的颜色分别为灰色和白色 （图①是白色面，图②是灰色 面），折叠该纸条得到如图③所 47 示的图形.已知图中四个灰色的梯形是完全相同的，则原来的 长方形纸条的长度为____ . 返回 中考考法 19 知识点2 行程问题 5. 轮船沿江从港顺流行驶到港，比从港返回 港少用3小 时，若船在静水中的速度为26千米/时，水速为2千米/时，求 港和港相距多少千米？设港和港相距 千米，根据题意， 可列出的方程是( ) A A. B. C. D. 返回 中考考法 20 6.［2024扬州］《九章算术》是中国古代的数学专著，是 《算经十书》中最重要的一部，书中第八章内容“方程”里记 载了一个有趣的追及问题，可理解为：速度快的人每分钟走 100米，速度慢的人每分钟走60米，现在速度慢的人先走100 米，速度快的人去追他.问速度快的人追上他需要____分钟. 2.5 返回 中考考法 21 课堂小结 用一元一次方程解决实际问题的基本过程 实际问题 找等量关系，列方程 数学问题 （一元一次方程） 解方程 数学问题的解 （一元一次方程的解） 检验 实际问题的答案 $