3.6 三元一次方程组及其解法 课件 -2026-2027学年沪科版数学七年级上册

该初中数学课件聚焦三元一次方程组的概念、消元思想及解题步骤，通过古代稻子产量问题导入，关联二元一次方程组知识，搭建从二元到三元的学习支架，帮助学生实现知识自然过渡。 其亮点在于知识点梳理系统，分层次练习题覆盖基础到综合，结合高频易错总结。以古代问题抽象建模培养数学眼光，规范消元步骤训练数学思维，幼儿营养配餐等应用实例提升数学语言表达，助力学生夯实基础，教师高效教学。

沪科版数学7年级上册培优精做课件 授课教师： . 班 级： 7年级（ ）班 . 时 间： . 2026年6月4日 3.6 三元一次方程组及其解法 第3章 一元一次方程 沪科版七上3.6 三元一次方程组及其解法 专项练习题（满分100分） 知识点梳理（必背核心） 1. 三元一次方程组概念 同时满足三个条件：①含有三个未知数；②含未知数的项的次数都是1；③都是整式方程。 由三个三元一次方程组成的方程组，叫做三元一次方程组。 2. 核心思想：消元 三元 → 二元 → 一元 先消去同一个未知数，把三元方程组转化为二元一次方程组，再消元转化为一元一次方程求解。 3. 标准解题步骤 ① 观察选元：选择系数简单、最好为±1的未知数作为优先消去的元； ② 两次消元：两两组合方程，消去同一个未知数，得到二元一次方程组； ③ 解二元组：求出两个未知数的值； ④ 回代求元：代入原方程求出第三个未知数； ⑤ 联立写解：用大括号联立三个未知数的值。 一、选择题（每题4分，共20分） 1. 下列方程组属于三元一次方程组的是（） A. $$\begin{cases}x+y=1\\y+z=2\\x+z=3\end{cases}$$ B. $$\begin{cases}x+y+z=1\\xy=2\\y+z=3\end{cases}$$ C. $$\begin{cases}x+y=1\\y+z^2=2\\x+z=3\end{cases}$$ D. $$\begin{cases}x+y+z=1\\x+2y=3\\4x+5y=6\end{cases}$$ 2. 解三元一次方程组的核心思想是（） A. 合并同类项 B. 消元 C. 移项 D. 化简 3. 解方程组优先消去的未知数一般选择（） A. 系数最大的 B. 系数最简单（±1）的 C. 任意未知数 D. 字母靠前的 4. 已知 $$\begin{cases}x=1\\y=2\\z=3\end{cases}$$，代入 $$x+y+z$$ 的值为（） A.5 B.6 C.7 D.8 5. 解三元方程组最终要转化为（）求解 A. 二元一次方程组 B. 一元一次方程 C. 二元二次方程 D. 整式方程 二、填空题（每题4分，共20分） 1. 三元一次方程组含有______个未知数，且含未知数的项次数都是______。 2. 解三元方程组的转化流程：三元 → ______ → ______。 3. 若 $$x+y+z=10$$，已知$$x=2，y=3$$，则$$z=$$______。 4. 消元时，两次消元必须消去______（填“同一个”或“不同”）未知数。 5. 三元方程组的解需要用______联立三个未知数的值。 三、解答题（共60分，严格按消元步骤规范解题） 1. 基础简单型（20分） 解三元一次方程组： $$\begin{cases}x+y+z=6 \ \ \ \ ①\\x=1 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ②\\y=2 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ③\end{cases}$$ 2. 代入消元型（20分） 解三元一次方程组： $$\begin{cases}x+y+z=12 \ \ \ ①\\x=y \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ②\\y+z=7 \ \ \ \ \ \ \ ③\end{cases}$$ 3. 加减消元综合型（20分） 解三元一次方程组： $$\begin{cases}x+y+z=6 \ \ \ \ ①\\x-y=1 \ \ \ \ \ \ \ \ ②\\2x+y-z=5 \ \ ③\end{cases}$$ 参考答案与详细解析 一、选择题 1.A   2.B   3.B   4.B   5.B 解析关键：无平方、无乘积、分式不是一次；解题全程围绕消元，统一消元目标。 二、填空题 1. 三、1 2. 二元、一元 3. 5 4. 同一个 5. 大括号 三、解答题详细步骤 1. 基础简单型 解：把$$x=1，y=2$$代入①式： $$1+2+z=6$$，解得 $$z=3$$ ∴方程组的解为 $$\begin{cases}x=1\\y=2\\z=3\end{cases}$$ 2. 代入消元型 解：把②$$x=y$$代入①得：$$y+y+z=12$$，即 $$2y+z=12 \ \ ④$$ 联立③④：$$\begin{cases}y+z=7\\2y+z=12\end{cases}$$ ④-③得：$$y=5$$ 把$$y=5$$代入③得：$$5+z=7$$，$$z=2$$ 由$$x=y$$得 $$x=5$$ ∴方程组的解为 $$\begin{cases}x=5\\y=5\\z=2\end{cases}$$ 3. 加减消元综合型 解：由①+③消去$$z$$得： $$x+y+z+2x+y-z=6+5$$ 整理得：$$3x+2y=11 \ \ ④$$ 由②得：$$x=y+1 \ \ ⑤$$ 把⑤代入④：$$3(y+1)+2y=11$$ $$3y+3+2y=11$$ $$5y=8$$，解得 $$y=\dfrac{8}{5}$$ 回代⑤：$$x=\dfrac{8}{5}+1=\dfrac{13}{5}$$ 把$$x、y$$代入①：$$\dfrac{13}{5}+\dfrac{8}{5}+z=6$$ $$\dfrac{21}{5}+z=\dfrac{30}{5}$$，解得 $$z=\dfrac{9}{5}$$ ∴方程组的解为 $$\begin{cases}x=\dfrac{13}{5}\\[4pt]y=\dfrac{8}{5}\\[4pt]z=\dfrac{9}{5}\end{cases}$$ 本节高频易错总结 1. 消元不统一：两次消元消去不同未知数，无法组成二元方程组； 2. 概念判断错误：含平方、乘积、分母含未知数的都不是一次方程组； 3. 漏解未知数：只求两个未知数，忘记回代求第三个； 4. 格式错误：三元方程组的解必须用大括号联立三个值，缺一不可； 5. 计算失误：多次消元、扩倍、加减时符号出错。 5x + 4y = 18， 15x + 10y = 50. 3x + 2y + z = 39， 2x + 3y + z = 34， x + 2y + 3z = 26. 二元一次方程组 ？ 由三个一次方程组成，且含三个未知数的方程组，叫作三元一次方程组. 1 三元一次方程（组）的概念 问题1：题中有未知量？你能找出哪些等量关系？ 现在有上等稻子 3 捆、中等稻子 2 捆、下等稻子 1 捆，总共可以打出 39 斗谷子； 上等稻子 2 捆、中等稻子 3 捆、下等稻子 1 捆，总共可以打出 34 斗谷子； 上等稻子 1 捆、中等稻子 2 捆、下等稻子 3 捆，总共可以打出 26 斗米. 问上等稻子、中等稻子和下等稻子每一秉各能打出多少斗米？” 未知量： 每一个未知量都用一个字母表示 等量关系： (1) 3上禾＋2中禾＋下禾＝39 (2) 2上禾＋3中禾＋下禾＝34 (3) 上禾＋2中禾＋3下禾＝26 用方程表示等量关系. x＋2y＋3z＝26 ③ 3x＋2y＋z＝39 ① 2x＋3y＋z＝34 ② 设上、中、下等稻子(禾)每捆(秉)可出谷子(实)分别为 x，y，z (斗)， 问题2：观察下列方程，你有什么发现？ 二元一次方程 含三个未知数 未知数的次数都是 1 含两个未知数 未知数的次数都是 1 三元一次方程 x－y＝1 x＋2y＋3z＝26 ③ 3x＋2y＋z＝39 ① 2x＋3y＋z＝34 ② 因这三个数必须同时满足上述三个方程，故将三个方程联立在一起. 这种由三个一次方程组成，且含三个未知数的方程组，叫作三元一程组. 总结 x＋2y＋3z＝26 ③ 3x＋2y＋z＝39 ① 2x＋3y＋z＝34 ② 1. 下列方程组不是三元一次方程组的是 ( ) C 判断关键：①整式方程；②共含三个未知数；③含有未知数的项的系数都是1. 总结 练一练 问题3：如何解这个方程呢？ 合作探究 可以消元求解！ 解三元一次方程组 2 x＋2y＋3z＝26 ③ 3x＋2y＋z＝39 ① 2x＋3y＋z＝34 ② 能不能像以前一样“消元”，把“三元”化成“二元”呢？ 解：先用加减法消去 z， ① - ②，得 x＝5＋y ④ ⑤ - ⑥，得 4y＝17. 把④分别代入②③得 5y＋z＝24. ⑤ y＋z＝ 7. ⑥ 所以 例1 解方程组 典例精析 x＋2y－4z＝－5. x＋y＋2z＝－15， －2x－y＋z＝－3， ① ② ③ 解：先用加减消元法消去 x. ②＋①×2，得 y＋5z＝3. ④ ③－①，得 y－6z＝－8. ⑤ ④－⑤，得 11z＝11. 下面解由④⑤联立成的二元一次方程组. z＝1. ⑥ 将⑥代入④，得 y＝－2. 将 y，z 的值代入①，得 x＝3. 所以 z＝1. x＝3， y＝－2， 例2 幼儿营养标准中要求每一个幼儿每天所需的营养量中应包含 35 单位的铁、70 单位的钙和 35 单位的维生素.现有一营养师根据上面的标准给幼儿园小朋友们配餐，其中包含 A、B、C 三种食物，下表给出的是每份(50g)食物 A、B、C 分别所含的铁、钙和维生素的量(单位). 食物 铁 钙 维生素 A 5 20 5 B 5 10 15 C 10 10 5 三元一次方程组的应用 3 （1）设配餐中 A、B、C 三种食物各有 x、y、z 份，请根据题意列出方程组； （2）解该三元一次方程组，求出满足要求的 A、B、C 的份数. 解：(1)设配餐中 A，B，C 三种食物各 x，y，z 份，由题意得 ③ ① ② 由①，得 x＝7－y－2z. ④ 将④代入②③，得 解这个方程组，得 x＝2. 所以 z＝2. x＝2， y＝1， y＋3z＝7， ⑤ 2y－z＝0. ⑥ y＝1， z＝2. 将 的值代入④，得 y＝1， z＝2. 答： A 种食物 2 份，B 种食物 1 份，C 种食物 2 份. 例3 已知甲、乙两数之和为 3，乙、丙两数之和为 6，甲、丙两数之和为7. 求这三个数. x＋z＝7 ③ x＋y＝3 ① y＋z＝6 ② 解：设甲，乙、丙三数分别为 x，y，z，由题意得 ①+②+③，两边同除以 2，得 x＋y＋z＝8 ④ ④－① 得 z＝5， ④－② 得 x＝2， ④－③ 得 y＝1. 答：甲、乙、丙三数分别为 2，1，5. 练 习 【教材P127 练习 第1题】 1. 解下列方程组： （1） 3x + y - 4z = 13， 5x - y + 3z = 5， x + y–z = 3； （2） 3x - y + z = 4， 2x + 3y - z = 12， x + y + z = 6. x = 2， y = -1， z = -2. x = 2， y = 3， z = 1. 随堂练习 2. 某厂家生产甲、乙、丙三种型号的手机，出厂价分别为每部 3 600 元、1 200 元和 2 400 元. 一商场用 120 000 元购买上述三种型号手机共 40 部，其中甲型号手机比丙型号手机多 24 部. 求该商场购买上述三种型号手机各多少部. 【教材P127 练习 第2题】 随堂练习 解：设商场购买了甲型号手机 x 部，乙型号手机 y 部，丙型号手机 z 部. x + y + z = 40， 3 600x + 1 200y + 2 400z = 120 000， x - z = 24. 根据题意，得 x = 28， y = 8， z = 4. 解方程组，得 答：商场购买了甲型号手机 28 部，乙型号手机 8 部，丙型号手机 4 部. 随堂练习 知识点1 三元一次方程组的概念 1.下列方程组是三元一次方程组的是( ) B A. B. C. D. 中考考法 18 知识点2 三元一次方程组的解法 2.解方程组 最简便的消元方法是( ) B A.先消去 B.先消去 C.先消去 D.先消去常数项 中考考法 19 3.(4分)解方程组： 中考考法 20 解：由,得，由 ,得 ，由,得，所以 ， 把代入①,得，把代入③,得 ，所以 方程组的解为 中考考法 解法 三元一次方程组 概念 含有___个未知数 3 每个方程中含未知数的项的次数______ 都是 1 一共含有____个方程 三 三元一次方程组 二元一次方程组 一元一次方程组 消元 消元 课堂小结 $