精品解析：山西省运城市夏县 部分学校2025-2026学年八年级下学期6月期末数学试题

2025—2026学年第二学期期末试卷 八年级数学 一、单选题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 我国古代数学成就中蕴含了许多具有对称美的图案．在下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 如果把分式中的x和y都扩大为原来的2倍，那么分式的值（ ） A. 扩大为原来的4倍 B. 缩小为原来的 C. 扩大为原来的2倍 D. 不变 3. 把不等式组中每个不等式的解集在同一数轴上表示出来，正确的为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在中，已知，，分别以点、为圆心，大于长为半径画弧，两弧在两侧分别交于、两点，作直线交于点，交于点．若，则的长为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在四边形中，对角线、相交于点，下列条件不能判定四边形为平行四边形的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 6. 下列等式从左到右的变形中，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，为△的中位线，点在上，且∠=90°．若=7，，则的长为（　 ） A. B. C. D. 8. 2026清明节，万州中学某班组织部分学生步行2000米到纪念馆参加活动，要求学生队伍比原计划提前10分钟到达，这样学生队伍的实际行进速度比原计划的行进速度快，问学生队伍原计划的行进速度为多少？设学生队伍原计划的行进速度为米/分，则所列方程为（　　） A. B. C. D. 9. 如图，在中，，，边的中点为，于点，于点，若，则的长是（ ） A. B. 3 C. 4 D. 5 10. 一次函数与的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 当___________时，分式与的值互为相反数． 12. 如图，中，的垂直平分线交边于点，的垂直平分线交边于点，若，则的周长为__________． 13. 如图，在中，，将在平面内绕点旋转到的位置，使，则的度数为_________°． 14. 某博物馆为提升游客体验，计划购进A、B两种型号的智能导览机器人共10台．A种型号的智能导览机器人每台单价8万元，B种型号的智能导览机器人每台单价6万元，若博物馆采购预算不超过66万元，则该博物馆最少可以购进______台B型号的智能导览机器人． 15. 如图，中，对角线相交于点O，过点O，交于点F，交于点E．若，则图中阴影部分的面积是________． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16. 因式分解： （1）； （2）． 17. 解答下列各题： （1）解方程：. （2）先化简，再求值：，其中． 18. 如图，已知在中，． （1）用直尺和圆规在边上求作一点，使点到边和的距离相等（保留作图痕迹，写出结论，不写作法）； （2）如果，点是边上一点，且，求的长． 19. 在中，为边上一点，且， （1）求证：； （2）若，求的面积． 20. 学校科创社团采购两种实验器材：简易电路套件和智能传感器套件，简易电路套件每套元，智能传感器套件每套元． （1）该社团首次采购两种套件共套，共花费元，求采购简易电路套件和智能传感器套件各多少套． （2）该社团计划再次采购两种套件共套，若采购总经费不超过元，则智能传感器套件最多能采购多少套？ 21. 【阅读理解】在学习因式分解时，我们学习了提公因式法和运用公式法（平方差公式和完全平方公式），事实上，除了这两种方法外，还可以用其他方法来因式分解，比如配方法，例如，要因式分解，发现既不能用提公因式法，又不能直接用公式法．这时，我们可以采用下面的办法： ． （1）上述解题运用了转化的思想方法，使得原式变为可以继续用平方差公式因式分解，这种方法就是配方法：显然上述因式分解并未结束，请补全的因式分解： （2）【实战演练】用配方法因式分解； （3）【拓展创新】当x、y为何值时，多项式有最小值？并求出这个最小值． 22. 将一副三角板中的两块直角三角板如图1放置，已知PQ∥MN，∠ACB＝∠EDF＝90°，∠ABC＝∠BAC＝45°，∠DFE＝30°，∠DEF＝60°． （1）若三角板如图1摆放时，则∠α=　　 °，∠β=　　 °． （2）现固定△ABC位置不变，将△DEF沿AC方向平移至点E正好落在PQ上，如图2所示，作∠PEA和∠MBC的角平分线交于点H，求∠EHB的度数； （3）将（2）中的△DEF固定，在△ABC绕点A以每秒15°的速度顺时针旋转至AB与直线AN首次重合的过程中，当△ABC的某条边与△DEF的一条边平行时，请求出符合条件t的值． 23. 阅读下面材料，并解决问题： （1）如图①，等边内有一点P，若点P到顶点A，B，C的距离分别为3，4，5，求的度数． 为了解决本题，我们可以将绕顶点A旋转到处，此时，这样就可以利用旋转变换，将三条线段，，转化到一个三角形中，从而求出 ． （2）基本运用 请你利用第(1)题的解答思想方法，解答下面问题： 如图②，在中，，，E，F为上的点且，求证： （3）能力提升 如图③，在中，，，，O为内一点，连接，，，且，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年第二学期期末试卷 八年级数学 一、单选题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 我国古代数学成就中蕴含了许多具有对称美的图案．在下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】轴对称图形：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形； 中心对称图形：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形 ． 【详解】A． 是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意 ， B． 既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意 ， C． 不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意， D． 既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意 ． 2. 如果把分式中的x和y都扩大为原来的2倍，那么分式的值（ ） A. 扩大为原来的4倍 B. 缩小为原来的 C. 扩大为原来的2倍 D. 不变 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了分式的基本性质，解题的关键是根据，的变化找出分子分母的变化．解决该题型题目时，根据分式的基本性质找出分式的变化是关键．根据，都扩大为原来的2倍，即可得出分子扩大为原来的4倍，分母扩大为原来的2倍，由此即可得出结论． 【详解】解：∵，都扩大为原来的2倍， ∴分子扩大为原来的4倍，分母扩大为原来的2倍， ∴分式的值扩大为原来的2倍． 故选：C． 3. 把不等式组中每个不等式的解集在同一数轴上表示出来，正确的为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据大于方向向右，小于方向向左，有等号，点用实点覆盖，无等号，点用空心圆圈覆盖，解答即可． 本题考查了解不等式组，不等式解集的数轴表示，正确掌握解集表示法是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得，第一个不等式的解集为，第二个不等式的解集为，数轴表示为， 故选：B． 4. 如图，在中，已知，，分别以点、为圆心，大于长为半径画弧，两弧在两侧分别交于、两点，作直线交于点，交于点．若，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】连接，过点作交于点，根据作图可知，垂直平分，即可得，，在中，，同理可得，由勾股定理可得，易得，故，结合勾股定理即可求解． 【详解】解：连接，过点作交于点，如下图所示： 根据作图可知，垂直平分， ∴，， ∵，， ∴，， ∴，， 在中，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴在中，． 【点睛】围绕特殊的角度构造直角三角形是常用的辅助线添加方法． 5. 如图，在四边形中，对角线、相交于点，下列条件不能判定四边形为平行四边形的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【详解】解：A、根据“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”可判定四边形为平行四边形，故此选项不符合题意； B、根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”可判定四边形为平行四边形，故此选项不符合题意； C、有一组对边平行，另一组对边相等的四边形也可能是等腰梯形，故此选项符合题意； D、根据“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”可判定四边形为平行四边形，故此选项不符合题意． 6. 下列等式从左到右的变形中，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】因式分解是将多项式写成几个整式的积的形式，需满足变形符合定义且等式成立，据此判断各选项即可． 【详解】解：A．，是整式乘法运算，不是因式分解，故该选项不符合题意， B．，是因式分解，故该选项符合题意， C．，右边不是整式积的形式，不是因式分解，故该选项不符合题意， D．，是整式乘法运算，不是因式分解，故该选项不符合题意． 7. 如图，为△的中位线，点在上，且∠=90°．若=7，，则的长为（　 ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角形中位线定理求出，根据直角三角形的性质求出，结合图形计算，得到答案． 【详解】解：为的中位线， ， 在中，是的中点， ， ， 故选：D． 【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形的中线，解题的关键是掌握三角形的中位线等于第三边的一半、直角三角形的性质． 8. 2026清明节，万州中学某班组织部分学生步行2000米到纪念馆参加活动，要求学生队伍比原计划提前10分钟到达，这样学生队伍的实际行进速度比原计划的行进速度快，问学生队伍原计划的行进速度为多少？设学生队伍原计划的行进速度为米/分，则所列方程为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】表示出原计划的时间和实际的时间，根据实际比原计划提前10分钟到达的等量关系即可列出方程． 【详解】解：设学生队伍原计划的行进速度为米/分，则学生队伍的实际行进速度为（米/分）， ∵学生队伍比原计划提前10分钟到达， ∴可列方程． 9. 如图，在中，，，边的中点为，于点，于点，若，则的长是（ ） A. B. 3 C. 4 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】根据等边三角形的判定和性质得出为等边三角形，，，再由题意确定，利用含30度角的直角三角形的性质得出，再由余弦函数求解即可 【详解】解：∵，， ∴为等边三角形， ∴， ∵边的中点为， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ 10. 一次函数与的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数图象得出，，，，根据两条直线交点的横坐标为4，得出，然后逐项进行判断即可． 【详解】解：根据函数图象可得：，，，， ∴，，故A、B错误； ∵两条直线交点的横坐标为4， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，故C正确； ∵， ∴， ∵， 又∵，， ∴， ∴， ∴， 即，故D错误． 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 当___________时，分式与的值互为相反数． 【答案】0 【解析】 【分析】本题考查了相反数和解分式方程，利用相反数的性质列出方程并熟练解分式方程是解题的关键．利用互为相反数两数之和为0列出方程，求出方程的解即可得到x的值． 【详解】解：分式与的值互为相反数， 去分母，得∶， 解得：． 经检验，是分式方程的解． 故答案为∶0． 12. 如图，中，的垂直平分线交边于点，的垂直平分线交边于点，若，则的周长为__________． 【答案】 24 【解析】 【分析】由垂直平分线的性质可得，，的周长可转化为的长度． 【详解】解：∵垂直平分，垂直平分， ∴，， ∴． 13. 如图，在中，，将在平面内绕点旋转到的位置，使，则的度数为_________°． 【答案】 【解析】 【分析】先由，利用平行线内错角相等得；再根据旋转性质得，推出为等腰三角形，结合三角形内角和求出旋转角，即；最后用减去，算出． 【详解】解：∵， ∴， ∵绕点旋转得到， ∴对应边相等，旋转角相等， ∴， ∴， ∴， ∴． 14. 某博物馆为提升游客体验，计划购进A、B两种型号的智能导览机器人共10台．A种型号的智能导览机器人每台单价8万元，B种型号的智能导览机器人每台单价6万元，若博物馆采购预算不超过66万元，则该博物馆最少可以购进______台B型号的智能导览机器人． 【答案】 7 【解析】 【分析】设购进型号智能导览机器人台，根据总采购预算不超过万元列出一元一次不等式，求解后取满足条件的最小正整数即可． 【详解】解：设购进型号智能导览机器人台，则购进型号智能导览机器人台， 根据题意列不等式得： ， 解得：， 该博物馆最少可以购进台型号的智能导览机器人． 15. 如图，中，对角线相交于点O，过点O，交于点F，交于点E．若，则图中阴影部分的面积是________． 【答案】15 【解析】 【分析】利用平行四边形的性质得出，利用勾股定理的逆定理得出直角三角形，证明，即可得出结论． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16. 因式分解： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解： 17. 解答下列各题： （1）解方程：. （2）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1）分式方程无解 （2）， 【解析】 【小问1详解】 解：， 方程两边同时乘，得， 去括号，得， 解得：， 检验：把代入， 是分式方程的增根， ∴分式方程无解． 【小问2详解】 解： ， 当时，原式． 18. 如图，已知在中，． （1）用直尺和圆规在边上求作一点，使点到边和的距离相等（保留作图痕迹，写出结论，不写作法）； （2）如果，点是边上一点，且，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）2 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图---作角平分线，角平分线的性质定理，直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的外角定理，等腰三角形的判定等知识点． （1）作出的平分线与的交点即为点，根据角平分线的性质定理即可求解； （2）连接，先证明，则，再由直角三角形锐角互余得到，再证明为等腰三角形即可． 【小问1详解】 解：如图，点即为所求； 【小问2详解】 解：连接， ∵平分， ∴， ∵ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 19. 在中，为边上一点，且， （1）求证：； （2）若，求的面积． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由平行四边形的性质得，再证明，然后根据可证； （2）求出得，根据勾股定理求出，即可根据平行四边形的面积公式解答． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∴． ∵， ∴． ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 20. 学校科创社团采购两种实验器材：简易电路套件和智能传感器套件，简易电路套件每套元，智能传感器套件每套元． （1）该社团首次采购两种套件共套，共花费元，求采购简易电路套件和智能传感器套件各多少套． （2）该社团计划再次采购两种套件共套，若采购总经费不超过元，则智能传感器套件最多能采购多少套？ 【答案】（1）采购简易电路套件套，智能传感器套件套 （2）套 【解析】 【分析】（1）设采购简易电路套件套，智能传感器套件套，可列关于的一元一次方程，解方程即可求出结果； （2）设智能传感器套件最多能采购套，根据采购总经费不超过元，列一元一次不等式即可求出结果． 【小问1详解】 解：设采购简易电路套件套，智能传感器套件套， 根据题意可得：， 解得：， （套）， 答：采购简易电路套件套，智能传感器套件套； 【小问2详解】 解：设智能传感器套件最多能采购套， 根据题意可得：， 解得：， 答：智能传感器套件最多能采购套． 21. 【阅读理解】在学习因式分解时，我们学习了提公因式法和运用公式法（平方差公式和完全平方公式），事实上，除了这两种方法外，还可以用其他方法来因式分解，比如配方法，例如，要因式分解，发现既不能用提公因式法，又不能直接用公式法．这时，我们可以采用下面的办法： ． （1）上述解题运用了转化的思想方法，使得原式变为可以继续用平方差公式因式分解，这种方法就是配方法：显然上述因式分解并未结束，请补全的因式分解： （2）【实战演练】用配方法因式分解； （3）【拓展创新】当x、y为何值时，多项式有最小值？并求出这个最小值． 【答案】（1） （2） （3），时，原式有最小值 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解，解题的关键是熟练掌握完全平方公式和平方差公式． （1）用平方差公式继续进行因式分解即可； （2）将原式改写为，先用完全平方公式，再用平方差公式，即可进行因式分解； （3）用题目所给方法，将原式整理为，即可进行解答． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解： ∵， ∴ ∴当，时，多项式有最小值，最小值为5． 22. 将一副三角板中的两块直角三角板如图1放置，已知PQ∥MN，∠ACB＝∠EDF＝90°，∠ABC＝∠BAC＝45°，∠DFE＝30°，∠DEF＝60°． （1）若三角板如图1摆放时，则∠α=　　 °，∠β=　　 °． （2）现固定△ABC位置不变，将△DEF沿AC方向平移至点E正好落在PQ上，如图2所示，作∠PEA和∠MBC的角平分线交于点H，求∠EHB的度数； （3）将（2）中的△DEF固定，在△ABC绕点A以每秒15°的速度顺时针旋转至AB与直线AN首次重合的过程中，当△ABC的某条边与△DEF的一条边平行时，请求出符合条件t的值． 【答案】（1）15， 150 ； （2）45， 150 ； （3）综上所述，t的值为2或5或6或8或11． 【解析】 【分析】（1）如图1中，过点E作EJPQ，证明，可得结论； （2）如图2中，根据（1）可证∠EHB=∠PEH+∠MBH ．利用角平分线的定义求出∠PEH，∠MBH，可得结论； （3）分9种情形∶当ACDF时，当ACDE时，当ACEF时，当BCDF时，当BCED时，当BCEF时，当ABDF时，当ABED时，当ABEF时，分别讨论求出∠MBA的度数，可得结论． 【小问1详解】 解∶如图1中，过点E作EJPQ， ∵， PQEJ， ∴EJMN， ∴，∠JEA=∠BAC=45°， ∴， ∵∠DEF=60°， ∴， ∵∠DFE=30°，， ∴， 故答案为∶ 15， 150 ； 【小问2详解】 解：如图2中， 利用（1）可证∠EHB=∠PEH+∠MBH ． ∵PQMN， ∴∠QEA=∠BAC=45° ， ∴∠AEP=180°-45°=135°， ∵∠CBA=45°， ∴∠CBM=180°-45°= 135*， ∵HE， HB分别平分∠AEP，∠CBM， ∴∠PEH=∠PEA=67.5°，∠MBH=∠FBM=67.5°， ∴∠EHB=∠PEH+∠MBH=135°； 【小问3详解】 解：①当ACDF时，如图1， 易得此时BCED ， ∵ACDF，易知E，F，A三点共线，∠DFE= ∠FAC=30°， ∴∠FAB=∠BAC-∠FAC=45-30°= 15°，∠BAM=∠FAM-∠FAB=45°-15°=30°，即15t=30，解得t=2； ②当ACDE时，如图2， 易得此时BCDF．过点A作AHBC，则AH BCDF， ∴∠EAB=∠EAH+∠BAH=∠EFD+∠ABC=30°+45°=75°， ∴∠MAB=∠MAE+∠EAB=45°+75°=120°． ∴15t=120， ∴t=8， 当ACEF时，情况不存在； ④当BCDF时，同②； ⑤当BCED时，同①； ⑥当BCEF时，如图3， 此∠MAB=90°，即15t= 90，解得t=6； ⑦当ABDF时，如图4， ∵ABDF ∴∠BAF=∠DFE=30°， ∴∠MAB=∠MAF+∠BAF= 45°+30°=75°，即15t=75，解得t=5； ⑧当ABED时， ∵ABED， ∴∠FAB=180°-∠DEF=180°-60°=120°， ∴∠MAB=∠MAF+∠FAB=120°+45°=165°， ∴15t=165， 解得t=11； ⑨当ABEF时，此情况不存在． 综上所述，t的值为2或5或6或8或11． 【点睛】本题考查了旋转变换，角平分线的定义，平行线的性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题． 23. 阅读下面材料，并解决问题： （1）如图①，等边内有一点P，若点P到顶点A，B，C的距离分别为3，4，5，求的度数． 为了解决本题，我们可以将绕顶点A旋转到处，此时，这样就可以利用旋转变换，将三条线段，，转化到一个三角形中，从而求出 ． （2）基本运用 请你利用第(1)题的解答思想方法，解答下面问题： 如图②，在中，，，E，F为上的点且，求证： （3）能力提升 如图③，在中，，，，O为内一点，连接，，，且，求的值． 【答案】（1） （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）连接，利用旋转的性质，易得为等边三角形，得到，勾股定理逆定理得到，进而推出的度数，即可得解； （2）把绕点A逆时针旋转得到，证明，可得，即可得证； （3）将绕点B顺时针旋转至处，连接，易得，然后可得，进而问题可求解． 【小问1详解】 解：如图，点P到顶点A、B、C的距离分别为3，4，5，将绕顶点A逆时针旋转到，连接， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 证明：如图，把绕点A逆时针旋转得到， 由旋转的性质得，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴． ∴． 由勾股定理得，， 即． 【小问3详解】 解：如图，将绕点B顺时针旋转至处，连接，   ∵在中，，，， ∴， ∴， ∵绕点B顺时针旋转至， ∴，，，， ∴是等边三角形， ∴． ∵， ∴， ∴四点共线， 在中，由勾股定理得：． ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $