精品解析：山西运城市平陆县曹川中学等校2025-2026学年第二学期期末试卷八年级数学

2025-2026学年第二学期期末试卷 八年级数学 一、单选题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 下列四个山西地标的简图中，不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 如果，那么下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 3. 山西太原为迎接2026年（世界乒乓球职业大联盟）常规挑战赛太原站赛事，在滨河体育中心周边计划打造融合晋派建筑风格的多边形文化花坛．若该多边形花坛内角和为，则这个多边形花坛的边数是（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 4. 若将多项式因式分解得，则的值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 5. 若，则的值为（ ） A. 10 B. 7 C. D. 6. 为更好地开展劳动教育课程，学校计划将一块空地（如图）修建一条笔直的小路（小路宽度忽略不计）．有两个要求：经过边上一点；分成面积相等的两部分．则小路除了经过点外，还经过（ ） A. 点 B. 的中点 C. 的中点 D. 边上的点，且 7. 定义：我们把直线与直线的交点称为直线的“幸福点”．例如求直线的“幸福点”：联立方程，解得，则直线的“幸福点”为．如果直线的“幸福点”是，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，是的中线，，，把沿直线折叠后，点落到的位置上，那么为（ ） A. 1 B. C. 3 D. 9. 小强是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：，分别对应下列五个字：德、州、我、爱、游．现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（ ） A. 游德州 B. 我爱游 C. 我爱德州 D. 我游德州 10. 在等边三角形中，cm，射线，点从点出发，沿射线以的速度运动，同时点从点出发，沿射线以的速度运动，设运动时间为，当以，，，为顶点的四边形是平行四边形时，的值为（ ） A. B. 3 C. 或4 D. 3或4 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 分解因式：a3－a=___________ 12. 点向右平移3个单位长度，再向下平移6个单位长度对应点的坐标为_____________． 13. 若关于的分式方程有增根，则_____________． 14. 如图，的对角线，相交于点，的平分线与边相交于点，是中点，若，，则的长为_____________． 15. 如图，在中，，，为的角平分线，为边上的中点，为边上一点，将沿翻折，使点的对应点恰好落在角平分线上，连接并延长交于点，若，则点到的距离为_____________． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 按要求解答： （1）解不等式组，，并写出它的整数解； （2）解分式方程：． 17. 如图，已知，垂直平分，交于点，交于点，垂直平分，交于点，交于点，连接． （1）连接，，若，求的周长； （2）若，求证：平分． 18. 化简：，选择一个你喜欢的m值代入求出分式的值． 19. 如图，在中，点G，H分别是的中点，点E，F在对角线上，且． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）连接交于点O，若，求的长． 20. 配方法是通过配凑将整式化为完全平方式，利用其非负性解题的方法，在代数式求值、解方程、求最值及几何、经济等领域应用广泛． 例：某文具店批发一批笔记本，设进货数量为（本），总成本（元）为： 利用配方法求的最小值， 解： ∴当时，总成本最小，最小值为4元． 请根据上述阅读材料，解决下列问题： （1）求的最小值___________； （2）已知，求的值； （3）若一个直角三角形的两条直角边之和为12，设其中一条直角边为，三角形面积为，用配方法求的最大值． 21. 如图，在中，于点．请用尺规作图在上求作一点，连接，，使得四边形是平行四边形． （1）某数学小组经过讨论，得到如下两种作法，请选择其中一种作法说明其正确性． 思路一 思路二 作图步骤 在上作．点即为所求． 过点作于点．点即为所求． 作图痕迹 我选择思路_____，理由如下： （2）请你用不同于（1）中的尺规作图方法求作出点（保留作图痕迹，不写作法），并说明作法的正确性． 22. 年末，洪山区一家快递公司在“年终大促”购物节期间承担包裹配送任务．快递公司需要从仓库调运一批货物到仓库，途中必须经过中转站．仓库到中转站的距离为千米，中转站到仓库的距离为千米（如图）．已知直接运输成本为每千米每小时元，货物需要在中转站停留小时进行分拣和重新包装，中转操作成本为每批货物元． （运输总成本直接运输成本中转操作成本；直接运输成本运输距离运输时间） （1）如果货车的平均行驶速度为千米小时，写出从仓库到仓库的运输时间______小时，直接运输成本______元；运输总成本______元； （2）仓库到中转站路段：货车的平均行驶速度为千米小时；中转站到仓库路段：由于城市道路拥堵，货车的平均行驶速度为千米小时．从仓库到仓库全程用时小时（全程用时运输时间中转站停留时间），求：货车从仓库到中转站的平均行驶速度； （3）在（）的条件下，如果快递公司希望将全程用时控制在小时到小时之间（含端点值），记货车从仓库到中转站的平均速度千米小时，请直接写出的取值范围______． 23. 按要求解答下列问题： （1）【问题初探】 在数学活动课上，李老师给出如下问题：如图1，在中，，点D在边上，连接，将线段绕点D顺时针旋转得到线段，连接并延长交的延长线于点F．求证：． ①如图2，小辉同学要证明，从而给出如下解题思路：过点E作交的延长线于点M． ②如图3，小光同学要证，从而给出如下解题思路：在上截取，连接． 请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程． （2）【类比分析】 李老师发现之前两名同学都利用构造全等三角形，证明出特殊三角形，为了帮助学生更好地感悟构造全等三角形的方法，李老师提出下面的问题，请你解答． 如图4，在中，，点D，E在边上，，连接，点F在边上，连接，且．求证：． （3）【学以致用】 如图5，在中，，点D在边上，，连接，将线段绕点D逆时针旋转得到线段，连接并延长交的延长线于点F，连接，求的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第二学期期末试卷 八年级数学 一、单选题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 下列四个山西地标的简图中，不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据轴对称图形的定义：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴；依次进行判断即可． 【详解】解：根据轴对称图形的定义可知：A、B、C都是轴对称图形，而D不是轴对称图形. 2. 如果，那么下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查不等式的基本性质，根据不等式的基本性质逐一判断各选项即可得到答案． 【详解】解：对于A选项，∵，不等式两边同乘，根据不等式性质，不等号方向改变，∴，故A选项不成立； 对于B选项，∵，不等式两边同乘，不等号方向不变，∴，故B选项不成立； 对于C选项， ∵，∴，可得，故C选项成立； 对于D选项， ∵，不等式两边同除以，不等号方向不变，∴，故D选项不成立； 3. 山西太原为迎接2026年（世界乒乓球职业大联盟）常规挑战赛太原站赛事，在滨河体育中心周边计划打造融合晋派建筑风格的多边形文化花坛．若该多边形花坛内角和为，则这个多边形花坛的边数是（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 【答案】B 【解析】 【分析】利用多边形内角和公式列一元一次方程即可求解边数． 【详解】解：设这个多边形花坛的边数为， ∵边形的内角和公式为，该多边形内角和为， ∴ ， 两边同除以得 ， 解得 ． 4. 若将多项式因式分解得，则的值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】先将因式分解后的乘积展开，根据多项式相等时对应系数相等，即可求解的值． 【详解】解：展开右侧的因式乘积： ， 又， 两个多项式对应系数相等，常数项满足， 解得：． 5. 若，则的值为（ ） A. 10 B. 7 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题先根据已知等式推导得到与的数量关系，再将待求分式整理为含和的形式，整体代入化简即可得到结果． 【详解】，通分得， ，且，对待求分式整理得：， 将代入上式：原式． 6. 为更好地开展劳动教育课程，学校计划将一块空地（如图）修建一条笔直的小路（小路宽度忽略不计）．有两个要求：经过边上一点；分成面积相等的两部分．则小路除了经过点外，还经过（ ） A. 点 B. 的中点 C. 的中点 D. 边上的点，且 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，根据平行四边形的性质即可得出答案，熟练掌握平行四边形的性质是解此题的关键． 【详解】解：由平行四边形的性质结合题意得：小路除了经过点外，还经过的中点， 故选：B． 7. 定义：我们把直线与直线的交点称为直线的“幸福点”．例如求直线的“幸福点”：联立方程，解得，则直线的“幸福点”为．如果直线的“幸福点”是，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据“幸福点”的定义，将“幸福点”的坐标代入直线求出的值，再代入不等式求解即可． 【详解】∵直线的“幸福点”为，即在直线上， 把代入，得 解得． 把代入不等式，得 解得． 8. 如图，是的中线，，，把沿直线折叠后，点落到的位置上，那么为（ ） A. 1 B. C. 3 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据中点的性质得．再根据折叠得，判定为等边三角形即可求． 【详解】解：∵，是的中线， ∴． 由折叠可得：，， ∴， ∴为等边三角形， ∴． 9. 小强是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：，分别对应下列五个字：德、州、我、爱、游．现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（ ） A. 游德州 B. 我爱游 C. 我爱德州 D. 我游德州 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查因式分解的应用，需通过分组分解法、提取公因式法和平方差公式对多项式进行因式分解，再对应密码信息得出结果． 【详解】解：∵ 又∵对应“我”，对应“爱”，对应“德”，对应“州”， ∴结果呈现的密码信息是“我爱德州”． 故选：C． 10. 在等边三角形中，cm，射线，点从点出发，沿射线以的速度运动，同时点从点出发，沿射线以的速度运动，设运动时间为，当以，，，为顶点的四边形是平行四边形时，的值为（ ） A. B. 3 C. 或4 D. 3或4 【答案】C 【解析】 【分析】分别从当点在的左侧时与当点在的右侧时去分析，当时，以为顶点的四边形是平行四边形，可得方程，解方程即可求得答案． 【详解】解：①当点在的左侧时， 根据题意得：，，则， ∵， ∴当时，四边形是平行四边形， 即，解得：； ②当点在的右侧时， 根据题意得：，，则， ∵， ∴当时，四边形是平行四边形， 即，解得：； 综上可得：当或时，以为顶点的四边形是平行四边形． 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 分解因式：a3－a=___________ 【答案】 【解析】 【详解】解：a3－a =a(a2-1) = 故答案为： 12. 点向右平移3个单位长度，再向下平移6个单位长度对应点的坐标为_____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查平面直角坐标系中点的平移规律，利用平移规则计算即可得到结果． 【详解】解：平面直角坐标系中点的平移规律为：左右平移改变横坐标，右平移横坐标加，左平移横坐标减，平移过程中纵坐标不变；上下平移改变纵坐标，上平移纵坐标加，下平移纵坐标减，平移过程中横坐标不变． 已知点的坐标为， 点向右平移个单位长度，横坐标为，纵坐标不变，此时点的坐标为， 再向下平移个单位长度，纵坐标为，横坐标不变，得点的坐标为． 13. 若关于的分式方程有增根，则_____________． 【答案】1 【解析】 【分析】先确定分式方程的增根，再将分式方程去分母化为整式方程，把增根代入整式方程即可求出k的值． 【详解】解：原方程可变形为， 两边同乘最简公分母，得， 因为分式方程有增根， 所以最简公分母，即增根为， 将代入整式方程，得， 即， 解得． 14. 如图，的对角线，相交于点，的平分线与边相交于点，是中点，若，，则的长为_____________． 【答案】2 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质得出，，，证明，进而利用三角形中位线定理解答即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， ∵的平分线与边相交于点F， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵G是中点，， ∴是的中位线， ∴． 15. 如图，在中，，，为的角平分线，为边上的中点，为边上一点，将沿翻折，使点的对应点恰好落在角平分线上，连接并延长交于点，若，则点到的距离为_____________． 【答案】3 【解析】 【分析】由折叠的性质及等腰三角形的性质证明，再由可判定，由全等三角形的性质得，是的垂直平分线，进而得和是等腰直角三角形，由等腰三角形的性质得，，在中由直角三角形性质求出，进一步即可求解. 【详解】解：如图，过作交于，连接， ， ， 为的角平分线， ， 由翻折得：， ， ， 是的中点， ， ， ， 在和中 ， ， ， 是的垂直平分线， ∴， ∵， ，， ∴， ，， 和是等腰直角三角形，是等腰三角形， ， ∵，，， ， ， ∴点到的距离为. 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 按要求解答： （1）解不等式组，，并写出它的整数解； （2）解分式方程：． 【答案】（1）这个不等式组的解集是：； 这个不等式组的整数解是：，，0． （2） 【解析】 【分析】（1）分别解不等式组中的两个不等式，确定解集，再求解整数解即可； （2）去分母，把方程化为整式方程，再解整式方程并检验即可. 【小问1详解】 解： 解不等式①得：， 解不等式②得： 这个不等式组的解集是： 这个不等式组的整数解是：，，0． 【小问2详解】 解：， 方程两边同乘得：， 解得：， 经检验是原分式方程的解． 17. 如图，已知，垂直平分，交于点，交于点，垂直平分，交于点，交于点，连接． （1）连接，，若，求的周长； （2）若，求证：平分． 【答案】（1）的周长； （2）证明：，垂直平分，垂直平分， ，， ， 平分． 【解析】 【分析】（1）证明，，进一步求解即可； （2）证明，结合角平分线的判定可得答案． 【小问1详解】 解：如图，连接， ∵垂直平分， ， 同理：， 的周长． 【小问2详解】 略 18. 化简：，选择一个你喜欢的m值代入求出分式的值． 【答案】，当时，原式．（所选m值不同，答案不唯一） 【解析】 【分析】通分，计算括号内，除法变乘法，约分化简后，代入一个使分式有意义的值计算即可． 【详解】解：原式 ． ∵， ∴， ∴当时，原式．（所选m值不同，答案不唯一） 19. 如图，在中，点G，H分别是的中点，点E，F在对角线上，且． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）连接交于点O，若，求的长． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、三角形中位线定理等知识点，掌握平行四边形的性质是解题关键． （1）根据平行四边形的性质易证可得，进而推出，即可证明结论； （2）根据平行四边形的性质证明是的中位线，再根据中位线的性质即可解答． 【小问1详解】 证明：， ， ， 点G，H分别是的中点， ， ， ， ， ， ， 又， 四边形是平行四边形． 【小问2详解】 解：如图：连接交于点O， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， ， 又点G是的中点， 是的中位线， ． 的长为2.5． 20. 配方法是通过配凑将整式化为完全平方式，利用其非负性解题的方法，在代数式求值、解方程、求最值及几何、经济等领域应用广泛． 例：某文具店批发一批笔记本，设进货数量为（本），总成本（元）为： 利用配方法求的最小值， 解： ∴当时，总成本最小，最小值为4元． 请根据上述阅读材料，解决下列问题： （1）求的最小值___________； （2）已知，求的值； （3）若一个直角三角形的两条直角边之和为12，设其中一条直角边为，三角形面积为，用配方法求的最大值． 【答案】（1）2； （2）； （3）的最大值为18． 【解析】 【分析】（1）模仿题干的过程，利用完全平方式的非负性求解即可； （2）将已知等式利用完全平方公式配方后，再根据非负数的性质求出、的值，代入所求式子计算即可； （3）设其中一条直角边为a，则另一条直角边为，，根据，确定出最大值即可． 【小问1详解】 解： ， ， 当时，有最小值； 【小问2详解】 解：， ， ， ，， ，， ； 【小问3详解】 解：设其中一条直角边为，则另一条直角边为， ， ， 当时，有最大值18． 21. 如图，在中，于点．请用尺规作图在上求作一点，连接，，使得四边形是平行四边形． （1）某数学小组经过讨论，得到如下两种作法，请选择其中一种作法说明其正确性． 思路一 思路二 作图步骤 在上作．点即为所求． 过点作于点．点即为所求． 作图痕迹 我选择思路_____，理由如下： （2）请你用不同于（1）中的尺规作图方法求作出点（保留作图痕迹，不写作法），并说明作法的正确性． 【答案】（1）详见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，尺规作图等知识，关键是掌握基本的尺规作图，平行四边形的判定与性质； （1）思路一：根据平行四边形的性质得出，结合已知可得出，然后根据平行四边形的判定即可得证； 思路二：先证明，然后根据证明，得出，然后根据平行四边形的判定即可得证； （2）答案一：连接交于点O，以O为圆心，为半径画弧，交于Q，连接，，即可；根据平行四边形的性质得出，然后根据平行四边形的判定即可得证； 答案二：以C为顶点，为边，在左侧作，交于Q，连接，，即可；根据证明，得出，，然后证明，最后根据平行四边形的判定即可得证. 【小问1详解】 解：选择思路一，理由如下： 连接交于点O， 四边形是平行四边形， ， ， ， 即， ， 四边形为平行四边形； 选择思路二：理由如下： ， ， ， 四边形是平行四边形， ，， ， 在和中， ， （）， ， 又， 四边形是平行四边形； 【小问2详解】 解：答案一：如图，连接交于点O， 由作图痕迹可知：， 四边形是平行四边形， ， 又， 四边形是平行四边形. 答案二： 解：如图，由作图痕迹可知：， 四边形为平行四边形， ，， ， 在和中， ， ， ， ， 四边形是平行四边形． 22. 年末，洪山区一家快递公司在“年终大促”购物节期间承担包裹配送任务．快递公司需要从仓库调运一批货物到仓库，途中必须经过中转站．仓库到中转站的距离为千米，中转站到仓库的距离为千米（如图）．已知直接运输成本为每千米每小时元，货物需要在中转站停留小时进行分拣和重新包装，中转操作成本为每批货物元． （运输总成本直接运输成本中转操作成本；直接运输成本运输距离运输时间） （1）如果货车的平均行驶速度为千米小时，写出从仓库到仓库的运输时间______小时，直接运输成本______元；运输总成本______元； （2）仓库到中转站路段：货车的平均行驶速度为千米小时；中转站到仓库路段：由于城市道路拥堵，货车的平均行驶速度为千米小时．从仓库到仓库全程用时小时（全程用时运输时间中转站停留时间），求：货车从仓库到中转站的平均行驶速度； （3）在（）的条件下，如果快递公司希望将全程用时控制在小时到小时之间（含端点值），记货车从仓库到中转站的平均速度千米小时，请直接写出的取值范围______． 【答案】（1），，； （2）货车从仓库到中转站的平均行驶速度为千米小时； （3）． 【解析】 【分析】本题考查了有理数运算的应用，分式方程的应用，不等式组的应用，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据从仓库到仓库的运输时间为：（小时），直接运输成本为：（元），运输总成本为：（元），从而求解； （）由仓库到中转站路段的行驶时间为：小时；中转站到仓库路段的行驶时间为：小时；根据题意得，然后解方程并检验即可； （）由仓库到中转站路段的行驶时间为：小时；中转站到仓库路段的行驶时间为：小时，所以全程共用时（小时），由于全程用时控制在小时到小时之间（含端点值），得出则，然后解不等式组即可． 【小问1详解】 解：从仓库到仓库的运输时间为：（小时）， 直接运输成本为：（元）， 运输总成本为：（元）， 故答案为：，，； 【小问2详解】 解：由仓库到中转站路段的行驶时间为：小时；中转站到仓库路段的行驶时间为：小时； 根据题意得，， 解得：， 经检验：是原方程的解且符合题意， 答：货车从仓库到中转站的平均行驶速度为千米小时； 【小问3详解】 解：由仓库到中转站路段的行驶时间为：小时；中转站到仓库路段的行驶时间为：小时， 所以全程共用时（小时）， 由于全程用时控制在小时到小时之间（含端点值）， 则，解得：， ∴的取值范围是， 故答案为：． 23. 按要求解答下列问题： （1）【问题初探】 在数学活动课上，李老师给出如下问题：如图1，在中，，点D在边上，连接，将线段绕点D顺时针旋转得到线段，连接并延长交的延长线于点F．求证：． ①如图2，小辉同学要证明，从而给出如下解题思路：过点E作交的延长线于点M． ②如图3，小光同学要证，从而给出如下解题思路：在上截取，连接． 请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程． （2）【类比分析】 李老师发现之前两名同学都利用构造全等三角形，证明出特殊三角形，为了帮助学生更好地感悟构造全等三角形的方法，李老师提出下面的问题，请你解答． 如图4，在中，，点D，E在边上，，连接，点F在边上，连接，且．求证：． （3）【学以致用】 如图5，在中，，点D在边上，，连接，将线段绕点D逆时针旋转得到线段，连接并延长交的延长线于点F，连接，求的面积． 【答案】（1）解：选择小辉同学的解题思路． 证明：如图2，过作交的延长线于， ， ， ，， ． 将线段绕点顺时针旋转得到线段， ， ，，， ， ，． ， ， ， ， ， ， ． ， 为等腰直角三角形， ， ， ， ． 选择小光同学的解题思路． 证明：如图3，在上截取，连接． ， ， ． ， ，即． ，，， ， ， ，， ， ， ， ， ． ， ， ； （2） 证明：如图4，过作于，过作于． ，， ， ，，， ， ，． ，，， ，， ， ． 在和中， ， ， ． ，， ， ，， ， ，即， ； （3） 【解析】 【分析】（1）①选择小辉同学的解题思路，证明，再证出为等腰直角三角形，最后根据勾股定理可得，即可得出结论；②选择小光同学的解题思路，证明，再根据勾股定理可得，即可得出结论； （2）过作于，过作于，证明，得到，；再证明，即可得出结论； （3）在边上截取，连接，过作于，可得，证明，，根据含角直角三角形的性质得到的长，再根据勾股定理算出，即可求出面积． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图5，在边上截取，连接，过作于， 由题意得，，． ， ． ，， ∴， ， 在和中， ，，， ， ． ，， ， ， ， ． 又， ，， ． ，， ， 根据勾股定理得，， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $