专题提优：函数、一次函数 暑假复习专项 2025-2026学年人教版 数学八年级下册

**基本信息** 聚焦一次函数概念、图象与应用，通过待定系数法、数形结合等方法体系，构建从基础到综合的知识逻辑，强化抽象能力与模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念理解|第11题|函数关系构建|从等腰三角形周长抽象出一次函数解析式，体现数学抽象| |图象性质|第2、5题|性质应用与数形结合|结合正比例函数性质判断图象，关联函数与方程不等式| |实际应用|第3、6题|函数建模|行程问题、液体质量问题中建立函数关系，培养模型意识| |综合探究|第21、22题|分类讨论与项目化|等腰三角形存在性、接水温度问题，提升应用与创新意识|

专题提优：函数、一次函数-2025-2026学年数学八年级下册人教版（2024）暑假复习专项 一、单选题 1．若，，三点在同一条直线上，则的值为（     ） A． B． C． D． 2．正比例函数的函数值y随x的增大而减小，则一次函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 3．一客车从甲地开往距甲地的乙地，行驶到达丙地停留，又行驶到达乙地．下列图象中，能大致描述客车行驶过程中距离乙地（单位：）与所用时间（单位：）之间的函数关系的是（　　） A． B． C． D． 4．在平面直角坐标系中，一束光线沿直线经点反射后与y轴交于点C，再反射后与直线重合，则直线的函数表达式为（     ） A． B． C． D． 5．如图，一次函数的图象与轴交于点，与的图象交于点，则下列说法错误的是（   ）． A．方程的解是 B．方程的解是 C．不等式的解集是 D．关于的方程组的解是 6．我们知道物体的质量公式（其中表示质量，表示密度，表示体积）．小佳同学在做测量液体密度的实验中，测得液体和烧杯的总质量与液体体积之间的关系如图所示，则下列错误的是（    ） A．总质量m随着液体体积的增大而增大 B．空烧杯的质量为 C．当液体和烧杯的总质量为时，液体的体积为 D．当液体的体积为时，液体的质量为 7．在探究小球速度随时间变化规律的实验中，如图①所示，小球由静止开始沿斜面向下滚动，到达斜面底端后，在水平面上继续滚动直至停止．小球滚动过程中的速度与时间之间的关系如图②所示，下列说法不正确的是（     ） A．小球在斜面上的最大速度为 B．所在直线的函数解析式为 C．小球从斜面底端到停止所用的时间为 D．小球在水平面上运动的总路程为 8．如图，平面直角坐标系中，矩形顶点A，C坐标分别为，．若直线与矩形有公共点，则k的取值范围为（     ） A． B．或 C． D．或 9．如图，一次函数的图象分别与轴、轴交于，两点，正比例函数与交于点．若一次函数的图象与，可以围成三角形，那么的取值可能是（     ） A． B． C． D． 10．某冷饮店统计一段时间卖出的冷饮杯数和当天最高气温的有关数据，绘制如下统计图，并添加了一条尽可能靠近所有散点的直线来描述这段时间卖出冷饮杯数的发展趋势．根据这些信息，下列推断不合理的是（   ） 最高气温/℃ 12 13 17 19 20 22 24 25 28 冷饮杯数 50 69 74 90 108 97 119 125 154 A．当一天的最高气温为时，冷饮店可卖出冷饮119杯 B．这段时间，随着最高气温的逐渐升高，冷饮店卖出的冷饮杯数大致呈现逐渐上升的趋势 C．这些散点大致落在一条呈下降趋势的直线附近 D．当一天的最高气温为时，冷饮店卖出的冷饮可能会超过155杯 二、填空题 11．若等腰三角形的周长为，一腰长为，底边长为，则y与x的函数解析式是_____________________． 12．若一次函数的图象不经过第二象限，则一次函数的图象不经过第______象限． 13．星期天，小明和小丽相约从学校沿同一条路出发去万州科技馆参观，小丽出发10分钟后小明才出发，结果小丽到了科技馆后等了一会儿小明才到．两人之间的距离（米）与他们步行的时间（分钟）之间的函数关系如图所示，结合图象可知，小丽到了科技馆等了小明________分钟． 14．已知一次函数与的图象交于点，则关于x，y的二元一次方程组的解是________． 15．已知正方形在平面直角坐标系中位置如图所示，点的坐标是，则直线的函数解析式为_________． 16．古琴历史悠久，最初仅有五弦，对应传统五音：宫、徵、商、羽、角．其发声管的管长可以通过“三分损益法”推算，例如基本音“宫”音的发声管长是时，“宫”经“三分益一”得“徵”，即“徵”音的发声管长是；“徵”经“三分损一”得“商”音的发声管长是；“商”经“三分益一”得“羽”；“羽”经“三分损一”得“角”．设“宫”音的发声管长为，五根发声管的长度总和为，则“徵”音的发声管长可用含的代数式表示为______，关于的函数解析式为______． 三、解答题 17．如图，已知直线与直线相交于点．直线与 轴交于． (1)分别求出直线的解析式； (2)当时，直接写出 的取值范围； (3)点 在 轴上，当时，求点 的坐标． 18．下图表示水的质量（单位：g）随温度（单位：）变化的图象： (1)在这一变化过程中，自变量是什么？ (2)温度是多少时，水的质量最大？ (3)这一变化过程中，温度在什么范围内，水的质量随温度的升高而增大？温度在什么范围内，水的质量随温度的升高而减小？ 19．近年来，中国传统服饰汉服备受青睐，某服装店购进汉服进行销售，其中，两款每件的进货价和销售价如表（单位：元）． 类别 款 款 进价 70 80 售价 100 120 (1)该服装店第一次购进款汉服30件，款50件，求服装店销售完这批汉服获得的利润． (2)该服装店第二次按原进价购进两款共100件，为了促销，款售价不变，款打九折销售，已知第二次进货总费用不高于7400元，且款数量不少于款数量的，服装店应如何设计进货方案，才能在销售完这批服装后获得的利润最大，最大利润是多少？ 20．已知一次函数与的图象相交于点． (1)求点的坐标； (2)结合图象，当时，直接写出的取值范围； (3)若一次函数的图象与轴交于点，一次函数的图象与轴交于点，求的面积． 21．如图，已知一次函数与轴相交于点，与轴交于点． (1)求出点和点的坐标． (2)若点的坐标是， ①点是轴上的点，若，请求出点的坐标． ②在轴上是否存在点，使得是等腰三角形？如果存在，请求出点的坐标，如果不存在，请说明理由． 22．根据以下项目化学习材料，解答后面的问题． 【主题】如何接到最佳温度的温水 【背景】学校教学楼的公共饮水机有开水、常温水两个出水按钮，如图为其信息图，开水出水温度为，出水速度为；常温水出水温度为，出水速度为． 【素材】常用水杯容积：． 物理知识：开水和常温水混合时会发生热传递，开水放出的热量等于常温水吸收的热量．即：开水体积×开水降低的温度常温水体积×常温水升高的温度． 生活经验：饮水最佳温度是（包括与）． 【操作】先从饮水机接常温水秒，再接开水，直至接满的水杯为止．（备注：接水期间不计热量损失，不考虑水溢出的情况） 【问题】 (1)接到常温水的体积是 ，接到开水的体积是 ．（用含的代数式表示）； (2)学校倡导减少开水浪费，要求所接的常温水体积不少于开水体积的倍，则至少应接常温水多少秒？ (3)设水杯接满水后水杯中温度为， ①求关于的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）； ②若要使杯中温度达到最佳水温，直接写出的取值范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《专题提优：函数、一次函数-2025-2026学年数学八年级下册人教版（2024）暑假复习专项》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D C B D C D C D C C 1．D 【分析】利用待定系数法求出直线的解析式，再将点代入，求出的值． 【详解】解：设直线的解析式为， 将，代入得， ， 解得， ∴直线的解析式为， 将代入，得， 解得． 2．C 【分析】利用正比例函数的性质得到，所以，然后根据一次函数的性质对各选项进行判断． 【详解】解：正比例函数的函数值随的增大而减小， ， ， 的图象经过第一、三象限，与轴的交点在轴的负半轴． 故选：C． 3．B 【分析】本题考查了函数图象，根据行驶分钟时，客车离乙地距离逐渐减少；停留时，距离不变；继续行驶，距离逐渐变短最后为，据此即可求解，读懂题目信息，明确整个过程分为三阶段进行是解题的关键． 【详解】解：由题意可知，图象分三段： 第一段：行驶，由到，距离变短，由随的增大而减少； 第二段：停留，由到，距离不变，随的增大而不变； 第三段：行驶，距离变短，随的增大而减少，最后为； 综上可知，符合题意的只有选项， 故选：． 4．D 【分析】先利用点坐标求出直线的解析式，根据光的反射原理，即入射光线与反射光线关于反射面所在直线对称，依次求出点与点的坐标，从而确定直线的表达式． 【详解】解：延长交y轴于点E，延长交x轴于点F，如图， ∵直线经过点， ∴，解得， ∴直线的解析式为， 令，可得，即点， ∵光线在x轴上的点处反射得到直线， ∴直线与直线关于x轴对称， ∴点， ∵光线在y轴上的点处反射得到直线， ∴直线与直线关于y轴对称， ∴点， 设直线的函数表达式为， 将点与点代入， ∴，解得， ∴直线的函数表达式为． 5．C 【分析】利用一次函数与一元一次方程、一元一次不等式、二元一次方程组的图像关系逐一判断：一次函数与轴交点横坐标，是对应一元一次方程的解；两个一次函数交点的横坐标，是方程的解，交点坐标是对应二元一次方程组的解；不等式的解集，对应直线图像在上方部分的取值范围． 【详解】解：选项A：与轴交于，即当时，， 方程的解是，A说法正确； 选项B：两直线交于，即当时，与函数值相等， 方程的解是，B说法正确； 选项C：观察图像：交点左侧()，直线在直线上方； 交点右侧()，直线在直线下方． 不等式的解集是，不是，C说法错误； 选项D：两个一次函数图像的交点坐标，就是对应二元一次方程组的解， 交点， 方程组的解是，D说法正确． 6．D 【分析】根据图象可判断A，C，再求解函数解析式进一步判断B，D. 【详解】解：由图象可得：总质量m随着液体体积的增大而增大， ∴A正确； 设，将，分别代入， 得， 解得， 故． 当时，， ∴B正确； 由图象可得：当液体和烧杯的总质量为时，液体的体积为； ∴C正确； 当时，， ∴液体的质量为， ∴D错误. 7．C 【分析】利用求一次函数的解析式，一次函数的应用，逐一分析各个选项，结合题意和图象进行判断选出正确选项即可． 【详解】解：设所在直线的函数表达式为， 把代入， ∴， ∴， 当时，， 即A点坐标为， ∴小球在斜面上的最大速度为，故选项A正确，不符合题意； 设所在直线的函数表达式为， 得， 解得， ∴所在直线的函数表达式为，故选项B正确，不符合题意； 当时，， 解得， ∴， ∴该小球在滚动过程中从斜面底端至停止所用的时长为，故选项C错误，符合题意； 小球在水平面上运动的总路程为，故选项D正确，不符合题意． 8．D 【分析】当直线过矩形的顶点，时，正好有1个公共点，根据待定系数法分别求出k的值，结合图象确定范围即可． 【详解】解：∵矩形顶点A，C坐标分别为，， ∴， ∵， ∴直线过点， 当直线过点时，则，解得，此时正好有1个公共点； 当直线过点时，则，解得，此时正好有1个公共点； ∴若直线与矩形有公共点，则k的取值范围是或． 9．C 【分析】先求得C的坐标，然后讨论，与直线不能围成三角形时分三种情况：①直线过点时；②直线与平行时；③直线与平行时；进而得出，，直线可以围成三角形时k的取值范围． 【详解】解：∵一次函数的图象过点， ∴，解得， ∴， 设正比例函数的解析式为，把代入得：，解得：， ∴正比例函数的解析式为， 一次函数的图象为，如果，，不能围成三角形，那么可分三种情况： ①经过点时，，解得， ②，平行时，， ③，平行时，， 又是一次函数，所以． 故，，可以围成三角形时，k的取值范围是且且且． ∴k的值可以为． 10．C 【分析】本题考查了统计图的运用．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键． 先根据统计图依次判断各选项，再选出推断不合理的即可． 【详解】解：由统计图可知： A．当一天的最高气温为时，冷饮店可卖出冷饮119杯，本选项推断合理，故不符合题意； B．这段时间，随着最高气温的逐渐升高，冷饮店卖出的冷饮杯数大致呈现逐渐上升的趋势，本选项推断合理，故不符合题意； C．这些散点大致落在一条呈上升趋势的直线附近，故本选项推断不合理，故符合题意； D．当一天的最高气温为时，冷饮店卖出的冷饮可能会超过155杯，本选项推断合理，故不符合题意； 故选：C． 11． 【分析】根据等腰三角形的定义及三角形周长公式列出函数解析式，再结合三角形三边关系确定自变量x的取值范围，即可求解． 【详解】解：根据题意，得， ∴， 根据三角形的三边关系，得，即， 解得， ∴y与x的函数解析式是． 12．三 【分析】根据已知一次函数的位置，结合确定和的取值范围，再根据一次函数性质判断所求函数的象限位置． 【详解】解：一次函数的图象不经过第二象限， ，， 的图象经过第一，二，四象限， 即一次函数的图象不经过第三象限． 13． 【分析】根据函数图像求出小丽的速度，根据小丽到万州科技馆花了40分钟求出学校到万州科技馆的距离，再求出小明的速度，得到小明到万州科技馆的时间，即可求出小丽到了科技馆等待小明的时间． 【详解】解：小丽的速度为：（米/分）， 学校到万州科技馆的距离为：（米）， 小明的速度为：（米/分）， 小明到万州科技馆的时间为：（分钟）， 小丽到了科技馆等待小明的时间为：（分钟）． 14． 【分析】一次函数图象的交点坐标就是对应两个解析式联立得到的二元一次方程组的解，先根据点P在一次函数上求出交点纵坐标，即可得到方程组的解． 【详解】解：点在一次函数的图象上， 将代入，得， 即一次函数与的图象交点为， ∴二元一次方程组解为． 又二元一次方程组整理变形得， 二元一次方程组的解为． 15． 【分析】先利用正方形邻边垂直且相等、坐标旋转构造全等三角形，求出点坐标，再设一次函数解析式,将、两点坐标代入，解方程组求出、，得到直线解析式． 【详解】解：过点作轴于，过点作轴于， ，，， 四边形是正方形， ，， ， 又， ， 在和中： ， ， ，， 在轴左侧、轴上方， ， 设直线的解析式为， 把、代入得：， 两式相减：，得， 把代入： ， ， ， 直线的函数解析式为． 16． 【分析】根据题目给出的“三分损益法”计算规则，依次求出徵，商，羽，角的发声管长，再将五个发声管长度相加，即可得到关于的函数解析式． 【详解】①∵由题意得，宫音发声管长为， “宫”经“三分益一”得“徵”， ∴徵的发声管长为：， ②∵“徵”经“三分损一”得“商”， ∴商的发声管长为：， ∵“商”经“三分益一”得“羽”， ∴羽的发声管长为：， ∵“羽”经“三分损一”得“角”， ∴角的发声管长为： ， ∵五根发声管长度总和为， ∴． 17．(1)， (2) (3)或 【分析】（1）把点代入，把点代入，求解即可； （2）利用数形结合思想，结合交点的横坐标，函数的增减性求解即可； （3）设．则．根据三角形的面积建立方程求解即可； 【详解】（1）解：把点代入，得． 解得． 直线的解析式为． 把点代入，得 解得 直线的解析式为． （2）解：由图象意，得． （3）解：（3）设． ， ． 点， ． 或． 点 的坐标为或． 18．(1)温度 (2) (3)在时，水的质量随温度的升高而增大，在时，水的质量随温度的升高而减小 【分析】（1）根据自变量和因变量的定义判断即可； （2）利用图象判断即可； （3）利用图象判断即可． 【详解】（1）解：图象表示的是水的质量m随温度t变化的情况， 在这一变化过程中，自变量是温度，因变量是质量； （2）解：观察图象知，最高点表示的质量最大， 温度是时，水的质量最大； （3）解：观察图象知， 在时，水的质量随温度的升高而增大， 在时，水的质量随温度的升高而减小． 19．(1)2900元． (2)购进A款汉服75件，B款汉服25件时利润最大，最大利润为2950元． 【分析】（1）根据利润等于每件的利润乘以件数求解即可． （2）设该服装店计划第二次购进A款汉服x件，B款汉服件，根据第二次进货总费用不高于7400元，且款数量不少于款数量的，列出关于x的一元一次不等式组求出x的取值范围，再设销售完第二批汉服后获得的利润为W元，得出W关于x的一次函数，结合x的取值范围以及一次函数的性质即可得出答案． 【详解】（1）解：根据题意可得出：（元） 则服装店销售完这批汉服获得的利润为元． （2）解：设该服装店计划第二次购进A款汉服x件，B款汉服件， 根据题意可得出：， 解得：， 设销售完后获得的利润为W元， 则， ∵ ∴W随x的增大而增大， ∴当时，即该服装店再次购进A款汉服75件，B款汉服件时，才能在销售完这些汉服后获得的利润最大，最大利润是元． 20．(1) (2) (3) 【分析】（1）联立两条直线解析式求交点即可； （2）利用图象找出一次函数的图象在的图象上方部分对应的自变量取值即可； （3）令一次函数的图象与轴交于点，分别求出点、、的坐标，再根据求解即可． 【详解】（1）解：联立，解得：， 点的坐标为； （2）解：由图象可知，当时，一次函数的图象在的图象上方， 则当时，的取值范围为； （3）解：如图，令一次函数的图象与轴交于点， 一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点， 令，则，解得：；令，则， ,， ，, 一次函数的图象与轴交于点， 令,则， ， ， ， ． 21．(1)， (2)①点坐标为或；②存在，点D的坐标为或或或 【分析】（1）令可求出点A的坐标，令可求出点B的坐标； （2）①根据求出长即可求解； ②分三种情况，利用勾股定理列出方程求解即可． 【详解】（1）解：∵当时，，， ∴． ∵当时，， ∴； （2）解：①∵， ∴， ∴， ∴或，即或； ②设D的坐标是 ∴，，， 当时，，解得：，（舍去）； 当时，，解得：，； 当时，，解得：； 综上可知，点D的坐标为或或或． 22．(1)， (2)至少应接常温水秒 (3)①；② 【分析】（1）体积出水速度时间； （2）根据“所接的常温水体积不少于开水体积的倍”列出关于的一元一次不等式，求解即可； （3）①根据“开水体积×开水降低的温度常温水体积×常温水升高的温度”得出，整理即可得解；②根据饮水最佳温度是，列出关于的一元一次不等式组，求解即可． 【详解】（1）解：由题意可得接到常温水的体积是，接到开水的体积是； （2）解：由题意可得， 解得， ∴至少应接常温水秒； （3）解：①∵开水体积×开水降低的温度常温水体积×常温水升高的温度， ∴， 整理可得， ∴关于的函数关系式为； ②∵饮水最佳温度是， ∴， ∴， 解得， ∴的取值范围为． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $