专题提优：勾股定理 暑假复习专项 2025-2026学年人教版 数学八年级下册

**基本信息** 以勾股定理为核心，通过基础应用、综合拓展、实际问题构建系统性训练，提炼逆定理判定、方程思想、展开图转化等方法，培养几何直观与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础应用|单选1-4、填空11-12|勾股定理及逆定理判定、等面积法|从概念辨析到边长计算，构建“判定-计算”基础链| |综合拓展|单选5-9、填空13-16|坐标几何转化、轴对称求最值、规律探究|结合坐标系、图形变换，实现知识向复杂情境迁移| |实际应用|单选10、15，解答17-22|数学建模（芦苇问题、秋千问题）、项目式解题|从古代名题到现代项目，强化应用意识与数据观念|

专题提优：勾股定理-2025-2026学年数学八年级下册人教版（2024）暑假复习专项 一、单选题 1．的三条边分别为a，b，c，下列条件不能判断是直角三角形的是（   ） A． B． C． D．，， 2．如图，在中，，，，的垂直平分线分别交、于点、，连接，则的长为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 3．如图，每个小正方形的边长为1，则的长和的面积分别为（   ） A．，8 B．40，8 C．，16 D．40，16 4．下列选项中（图中三角形都是直角三角形），不能用来验证勾股定理的是（   ） A． B． C． D． 5．在平面直角坐标系中，已知点，点，点，点，若，则的值可能是（    ） A． B． C． D． 6．如图，在平面直角坐标系中，是等腰直角三角形，，，点的坐标为，点在第一象限内，将沿到的方向平移个单位至的位置，则点的坐标为（　　）    A． B． C． D． 7．攀岩是一项在天然岩壁或人工岩壁上进行的向上攀爬的运动项目．如图，攀岩墙可近似看成一个长方体的两个侧面．小天根据学过的数学知识准确地判断出从点A攀爬到点B的最短路径长为（   ）． A．14 B．12 C．10 D． 8．有一个边长为1的大正方形，经过1次“生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形，其中三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过1次“生长”后，形成的图形如图1所示．如果继续“生长“下去，它将变得“枝繁叶茂”如图2所示，若”生长”了2026次后，形成的图形中所有的正方形的面积和是（   ） A．2025 B．2026 C．2027 D． 9．如图，在中，，，是的平分线．若，分别是和上的动点，则的最小值是（    ） A．9.6 B．6 C．4.8 D．10 10．我国古代数学著作《九章算术》记载了一道有趣的问题．原文是：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何．译为：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，水的深度与这根芦苇的长度分别是多少？设芦苇的长度是尺．根据题意，可列方程为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 11．已知中，，若，，则该三角形的面积是________． 12．如图，在等腰中，，是边上的高．若，，则______． 13．如图，在平面直角坐标系中，已知点，，轴正半轴上有一动点，以为一边在上方作等边，连接，当的长取最小值时，点的坐标为______． 14．已知x，y为正数，且如果以x，y为直角边作一个直角三角形，那么这个直角三角形的斜边上的高为 __________． 15．在《算法统宗》中有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索长有几．”其大意为：有一架秋千（如图），当它静止时，踏板离地距离为1尺．将它往前水平推送10尺（尺），则秋千的踏板离地距离就和身高5尺的人一样高……若运动过程中秋千的绳索始终拉得很直，设绳索的长为尺，则可列方程为_________________． 16．如图1，在中，，分别以为边，向形外作等边三角形，所得等边三角形的面积分别为，请解答以下问题： （1）满足的数量关系是 ________ ； （2）现将向上翻折，如图2，若阴影部分的面积，则_____ ． 三、解答题 17．已知：如图，在中，，，垂足为D，，，求的面积和线段的长． 18．小明在测量风筝离地面的垂直高度时，得到如下记录：①测得水平距离的长为12米；②风筝线的长为15米；③小明牵线放风筝的手到地面的距离的长为1.6米． (1)求风筝到地面的距离的长； (2)如果小明想要风筝沿方向再上升7米，且和的长度不变，求他应该再放出多少米线． 19．如图，点D在中，，，，，． (1)求的长； (2)求图中阴影部分的面积． 20．如图，在中，，于点，的角平分线交于点，交于点，于M，的延长线交于点N． (1)求证：； (2)若，，求的长． 21．我们知道直角三角形的三边长满足，那么在锐角三角形和钝角三角形中，三边长又满足什么关系呢？勤思小组做了进一步探究，以下是部分探究过程： 如图①，在锐角中，过点A作于点D． 在中， 在中， 由上面两个等式，等量代换得： ； 所以，化简为 ； (1)请你补充完成上面横线上所缺的过程； (2)善学小组在探究中发现，如图②，当为钝角三角形（为钝角）时，也有类似的结论．请类比勤思小组的方法写出该结论，并说明理由； (3)如图③，在四边形中，，求该四边形的面积；敏学小组的思路是连接，过点D作于点F，请利用敏学小组的思路直接写出四边形的面积． 22．项目式学习 【项目主题】城市空气质量监测系统设计 【项目背景】2025年，大同市空气质量创历史最优，连续六年获国家二级标准．优质空气是生命之基，洁净空气关乎每个人的当下与未来．我校综合与实践小组以“城市空气质量监测”为主题开展项目式学习． 【测量工具】皮尺、测角仪等工具． 【操作步骤】 步骤一：如图1，综合与实践小组计划在某公园的一棵倾斜的树木上安装两个空气质量传感器，以便收集不同高度的污染数据． 步骤二：如图2，测得树木与水平地面的夹角，传感器与树木底部B的距离为，传感器D与树木底部B的距离为． 步骤三：为了数据传输需要，必须在水平地面上安装一个信号接收器E，使得信号接收器E到传感器C和D的距离相等，即．（图中各点均在同一竖直平面内） 【问题解决】求信号接收器E与传感器C的距离（结果精确到．参考数据：）． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《专题提优：勾股定理-2025-2026学年数学八年级下册人教版（2024）暑假复习专项》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D C A C A B C C A A 1．D 【分析】利用勾股定理逆定理和三角形内角和定理，对各选项逐一判断即可． 【详解】解：选项A， 展开等式得，整理得，根据勾股定理逆定理，是直角三角形，故选项A不符合题意． 选项B，∵三角形内角和为，， ，代入内角和得，即，是直角三角形，故选项B不符合题意． 选项C ，设，，， ， ，解得， ，是直角三角形，故选项C不符合题意． 选项D ， ， ， ， 不是直角三角形，故选项D符合题意． 2．C 【分析】根据线段垂直平分线的性质得到，设，则，，再在中利用勾股定理列方程求解． 【详解】解：设， ∵是的垂直平分线， ∴， ∵， ∴， ∵，， 在中，由勾股定理得： ， 即， ， ， ， ， 故的长为． 3．A 【分析】根据勾股定理，找到、、的长分别为、、，由勾股定理的逆定理可判断是直角三角形，然后根据三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】解：；；； ∴， ∴是直角三角形，， ∴的面积． 4．C 【分析】利用图形的面积关系，通过等面积法推导出，据此判断各选项是否能通过面积相等得到勾股定理的结论． 【详解】解：A、大正方形的面积可表示为，也可表示为， ∴，整理得，故A选项可以验证勾股定理； B、梯形的面积可表示为，也可表示为， ∴，整理得，故B选项可以验证勾股定理； C、图形的面积关系无法直接通过等面积法推导出，故C选项不能用来验证勾股定理； D、大正方形的面积可表示为，也可表示为， ∴，整理得，故D选项可以验证勾股定理． 5．A 【分析】连接、，过点作轴的垂线，过点作轴的垂线，两直线交于点，过点作轴的垂线，过点作轴的垂线，两直线交于点，则，则，，得到，，，，根据勾股定理可得，，由得到，则，即可求解． 【详解】解：如图，连接、，过点作轴的垂线，过点作轴的垂线，两直线交于点，过点作轴的垂线，过点作轴的垂线，两直线交于点，则， 点，点，点，点， ，， ，，，， ，， ， ， ， 解得或， 故选：A． 6．B 【分析】过点作轴，由，可知，可得，利用勾股定理可以求出，从而可知图形向右平移个单位长度，向上平移个单位长度，根据平移的方向和距离确定点的坐标． 【详解】解：如下图所示，过点作轴， ，， ， ， ， ， 向右平移个单位长度，向上平移个单位长度到达的位置， 点向右平移个单位长度，向上平移个单位长度到达点的位置， 点的坐标为， 点的坐标为    7．C 【分析】利用立体图形路径最小值为展开平面图的两点间距离，再根据勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，平面展开图如下所示， 则， 即从点A攀爬到点B的最短路径长为． 8．C 【分析】根据勾股定理求出“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和，结合图形总结规律，根据规律解答即可． 【详解】解：如图，由题意得，正方形A的面积为1， 由勾股定理得，正方形B的面积正方形C的面积正方形A的面积， ∴“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2， 同理可得，“生长”了2次后形成的图形中所有的正方形的面积和为3， ∴“生长”了3次后形成的图形中所有的正方形的面积和为4， …… ∴“生长”了2026次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2027． 9．A 【分析】根据等腰三角形三线合一性质求出的长，利用轴对称性质将转化为，根据垂线段最短可知当时取得最小值，最后利用等面积法求解即可． 【详解】解：∵，是的平分线， ∴，（等腰三角形三线合一）， 在中，， ∴， 作点关于直线的对称点，连接， ∴， ∵是的平分线， ∴点在上， ∴， 当、、三点共线且时，有最小值，最小值为边上的高， 设边上的高为， ∵， ∴， 解得， ∴的最小值是． 10．A 【分析】根据题意，水深为尺，利用勾股定理列方程即可． 【详解】解：设芦苇的长度是尺，则水深为尺， 根据题意，得． 11． 【分析】利用勾股定理列出两直角边的关系式，结合完全平方公式变形求出两直角边的乘积，再根据直角三角形面积公式计算面积即可． 【详解】解：设，，， 由题意得，， 中，， 由勾股定理得：， 由完全平方公式变形可得：， 即， 即， 解得， 因此的面积为． 12．8 【分析】设中点为，连接，根据等腰三角形的性质求出，接着利用等面积法求出高，再由勾股定理求即可． 【详解】解：设中点为，连接， ， ， ， ，， ， 是边上的高， ，，解得， ． 13． 【分析】以为边在x轴的上方作等边，连接，过点E作轴于点H，证明，可得，可得到当最小时，最小，从而得到当轴时， 最小，即可解答． 【详解】解：如图，以为边在x轴的上方作等边，连接，过点E作轴于点H， ∴， ∵为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当最小时，最小， ∵点C在y轴的正半轴上， ∴当轴时， 最小， ∵点，， ∴， ∵，轴， ∴， ∴， ∵点C在y轴上，轴， ∴点的坐标为． 14． 【分析】本题根据非负数的性质求出x、y的值.再利用勾股定理求出直角三角形的斜边长.最后根据直角三角形面积的两种不同表示方法求出斜边上的高． 【详解】解：∵与均为非负数，且， ∴根据非负数的性质可得，， ∵，为正数， ∴，； 设直角三角形的斜边长为，斜边上的高为， 根据勾股定理得：， ∵， ∴， 根据直角三角形的面积公式，可得， 约去得， 代入值得． 15． 【分析】本题考查勾股定理的应用，理解题意能力，解题的关键是能构造出直角三角形，用勾股定理来解． 设绳索的长为尺，由题意知：尺，尺，尺，根据勾股定理列方程即可． 【详解】解：设绳索的长为尺， 由题意知：尺，尺，尺， 在中，由勾股定理得：， ∴， 故答案为：． 16． 7 【分析】（1）利用等边三角形的面积公式以及勾股定理即可证明． （2）设面积为S，图②中两个白色图形的面积分别为a，b，根据（1）得到，整理之后即可代值求解． 【详解】解：（1）在中，，则， 如图，在等边中，， 作于点H， ， 边上的高， 同理： ， ， ∴ ∴； （2）设面积为S，图②中旁边两个白色图形的面积分别为a，b； 由（1）知， ∴， ∴， ∴． 17．，． 【分析】根据勾股定理求的长，再根据直角三角形的两个面积公式求的长． 【详解】解：∵在中，，，，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴, 解得． 18．(1)风筝到地面的距离的长为10.6米 (2)需要再放出的线长为5米 【分析】（1）得出米，再由勾股定理可得米，即可得出结果； （2）风筝上升7米后，新的垂直高度米，米不变，再结合勾股定理计算即可得出结果． 【详解】（1）解：由题意，，，米， 根据勾股定理得（米）， （米）， 答：风筝到地面的距离的长为10.6米； （2）解：风筝上升7米后，新的垂直高度米，米不变． 在中，根据勾股定理得（米）， 需要再放出的线长为（米）． 19．(1) (2) 【分析】（1）利用勾股定理求解即可； （2）利用勾股定理的逆定理证明，再进一步求解即可. 【详解】（1）解：∵，，， . （2）解：在中，，，， ， 即， ， 的面积为， 的面积为， 阴影部分面积为， 故阴影部分面积为24． 20．(1)见解析 (2)3 【分析】（1）先证明，由角平分线定义得，再根据三角形外角性质得 ，,故可得，由等角对等边可得结论； （2）由勾股定理求出，证明和 得，利用面积关系得，可求． 【详解】（1）证明：∵， ， ∵平分 又 ， ∴ （2）解：在中，， 连接， ∵， ∴， ∵的平分线交于E， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∵， ． 21．(1)； (2)，理由见解析 (3) 【分析】（1）由．．可得，然后作答即可； （2）作交的延长线于点D，则．由勾股定理得，．．则．整理得； （3）如图3，连接，作于点F．由勾股定理得，．由题意知，是锐角三角形，则，即，解得．．根据，计算求解即可． 【详解】（1）解：∵，． ∴， 所以，化简为： ． （2）解：，理由如下： 如图2，作交的延长线于点D，则． 在中，． 在中，． ∴．即， ∴； （3）解：如图3，连接，作于点F． 由勾股定理得，． 由题意知，是锐角三角形， ∴，即，解得． ∴． ∴． 22． 【分析】过点E作于点F，则，根据等腰三角形的性质可得，从而得到，在中，根据直角三角形的性质可得，，即可求解． 【详解】解：如图，过点E作于点F，则， ，， 点F是CD的中点，即， ，， ， ， ， 在中，，， ∴， ， ， 在中， 答：信号接收器E与传感器C的距离约为． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $