暑假专项复习 勾股定理2025-2026学年人教版数学八年级下册

**基本信息** 聚焦勾股定理核心概念与多场景应用，通过分层题型构建从基础判定到综合拓展的逻辑训练体系，培养几何直观与应用意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念理解|选择1/3|直角三角形判定、勾股数辨析|从定义出发，建立直角三角形三边关系的基本认知| |基础应用|选择2/填空13|数轴表示无理数、简单路径计算|通过数形结合，实现勾股定理的直接应用| |综合应用|选择6/12/解答22|梯子滑动、圆柱最短路径、实际取水问题|结合图形变换与生活情境，培养模型意识| |拓展探究|选择10/解答24|希波克拉底月牙、赵爽弦图双求法|关联数学史与跨知识综合，深化推理能力|

暑假专项复习 勾股定理 一、选择题 1.在中，的对边分别是，不能构成直角三角形的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 2.如图所示，在数轴上点A所表示的数为a，则a的值为（    ）    A． B． C． D． 3.下列各组数构成勾股数的是（   ）． A．，， B．1.5，2，2.5 C．6，8，12 D．9，40，41 4.如图，为了求出湖两岸、两点之间的距离，观测者在湖边找到一点，并分别测得，，又量得，则、两点之间的距离为（   ） A． B．50 C． D．25 5.如图，在等腰中，，，则高的长为（    ） A．9 B．10 C．12 D．12.5 6.如图，一个梯子长为5米，顶端靠在墙上，这时梯子下端与墙角间的距离为3米，梯子滑动后停在的位置上，测得的长为1米，则梯子顶端A下落了（　　） A．1米 B．2米 C．3米 D．5米 7.如图是一个圆柱形饮料罐，底面半径是3，高是4，上底面中心有一个小圆孔，则一条长的直吸管露在罐外部分a的长度（罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计）范围是（    ） A． B． C． D． 8.我国古代九章算术中有数学发展史上著名的“葭生池中”问题，今有方池一丈二，葭生其中央，出水二尺，引薜赴岸，适与岸齐，问：葭长几何？（1丈尺）．意思是有一个长方体池子，底面是边长为丈的正方形，正中间有芦苇，把高出水面2尺的芦苇拉向池边（芦苇没有折断），刚好贴在池边上，则芦苇长（   ）尺 A．8 B．10 C．12 D．13 9.如图，有一张直角三角形纸片，，现将折叠，使边与重合，折痕为，则的长为（    ） A． B． C． D． 10.如图，分别以的各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上被称为“希波克拉底月牙”．当，时，“希波克拉底月牙”的面积是（    ） A．18 B． C．24 D．48 11.如图，在中，，，，将折叠，得到折痕，且顶点B恰好与点A重合，点C落在点F处，则的长为（　　）． A．4 B． C．5 D． 12.如图，有一个圆柱形玻璃杯，高为，底面周长为，在圆柱的下底面的内壁处有一只蚂蚁，它想吃到在杯内离杯上沿的点处的一滴蜂蜜，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离（    ）    A． B． C． D． 二、填空题 13.如图，某公园的一块草坪旁边有一条直角小路，公园管理处为了方便群众，沿修了一条近路，已知米，米，则走这条近路可以少走__________米路。 14.若实数m，n满足，且m，n恰好是的两条边长，则第三条边长为：_______． 15.如图，在四边形中，，，，，则_____． 16.如图，长方体的底面是边长为的正方形，高是．如果用一根细线从点开始经过4个侧面围绕一圈到达点．那么所用的细线最短长度是__________厘米． 17.把正方形沿对边中点所在的直线对折后展开，折痕为，再过点B折叠纸片，使点A落在上的点F处，折痕为．若长为4，则的长为_______． 18.如图，在中，，，点是的中点，点是边上的动点，连接，过点作交于点，连接，下列结论：①△ADE≌△CDF； ②；③；④的最小值是4；⑤四边形的面积是定值．其中正确的是_______．（填序号）    3、 解答题 19.如图，在的网格中，每个小正方形的边长都为1，四边形的顶点都在格点（网格线的交点）上． (1)求线段和的长． (2)是直角吗？请说明理由． 20.阅读理解：请阅读下列材料，并完成相应的任务，两点间的距离公式：如果平面直角坐标系内有两点，，那么两点间的距离 例如： 若点，，则 根据以上材料，解决下列问题： (1)已知点，， 求A，B两点间的距离； (2)已知点，，， 判断的形状． 21.勾股定理是重要的数学定理之一，是用代数思想解决几何问题的重要工具，也是数形结合的纽带． (1)应用场景1：在数轴上画出表示无理数的点． 如图1，在数轴上找出表示3的点A，过点A作直线，在l上取点B，使，以原点O为圆心，OB为半径作弧，则点C表示的数为_______． (2)应用场景2：解决实际问题． 如图2，秋千静止时，，将它往前推至点C处时，水平距离，它的绳索始终拉直，求绳索的长． 22.如图，在一条东西走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点，，道路因为施工需要封闭，该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点（，，在同一条直线上），并新修一条道路，已知，，． (1)是否为村庄到河边最近的道路？请通过计算加以说明； (2)已知新的取水点与原取水点相距，求新路比原路少多少千米． 23.如图，四边形是某公园的休闲步道．经测量，点B在A的正西方向，，点D在A的正北方向． (1)求四边形步道所围公园的面积； (2)小明和小亮从B到D去玩耍，公园内有一条小路，小明决定走小路从B→E→D，小明的速度为，小亮决定全程走步道从B→C→D，小亮的速度为，已知，则小明和小亮谁先到达D？请说明理由．（精确到十分位，参考数据：，，） 24.【背景介绍】“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图1的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形围成的一个大正方形，中空的部分是一个小正方形，用它可以证明勾股定理．图中大正方形的面积有两种求法：一种是等于，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即，从而得到等式，化简得：．这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”． 【方法运用】 (1)如图2，在的网格图中，小正方形边长为1，连接小正方形的三个顶点，可得，求边上的高； (2)如图3，在中，，，，是边的中线．在中，用a，b，c表示． 25.如图，在长方形中，． (1)如图①，将长方形沿翻折，使点A与点C重合，点D落在点处，求BF的长； (2)如图②，将沿翻折，若交于点E，求△BDE的面积； (3)如图③，，P为边上的一点，将沿翻折得到，，分别交边于点E，F，且，求的长． 暑假专项复习 勾股定理答案 1、 选择题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 A C D A C A D B B C B D 二、填空题 13. 20 14. 5或 15. 4 16．10 17. 18. ①②④⑤ 三、解答题 19.（1）解：根据题意得：， ； （2）解：是直角，理由如下： 如图，连接， 根据题意得：， ∴， ∴为直角三角形，且， 即是直角． 20.（1）解：根据题意，得； （2）解：根据题意，得， ， ， ∴， ∴是直角三角形． 21.（1）． 解：（2）设绳索的长为， 由题意得 ， 四边形为矩形，， 在中，由勾股定理得， 即， 解得， 绳索的长为． 22.（1）∵，， ∴． ∴是直角三角形，且． ∴． 根据“垂线段最短”可知是村庄到河边最近的道路． （2）∵， ∴． 在中，． 由，可知新路比原路少. 23.（1）解：∵，，， ∴， ∴为直角三角形， ∴； 根据方位得，， 由勾股定理得，， ∴； ∴； （2）解：小明先到达D，理由如下： ， 由勾股定理得， 小明所需时间为； 小亮所需时间为； ∵， ∴小明先到达D． 24.（1）解：如图，作边上的高， ， ， ， ， 解得， （2）过点C作于点F，如图3， ∵是边的中线， ∴， 设，则，， 由勾股定理得：，， 即，得： ， ， ， ， ， 即， ． 25.（1）解：根据折叠的性质，得． ∵四边形是长方形， ∴∠ABC=90°．设，则， 在Rt中， ， ∴，解得， ∴． （2）解：∵四边形是长方形，∴． 根据折叠的性质，得． 又∵， ∴． ∵交于点， ∴， ∴， ∴． 设，则． 在Rt中， ， ∴，解得， ∴． ∴， ∴． （3）解：∵四边形是长方形，∴． 由折叠的性质，得， ∴． 又∵， ∴， ∴， ∴． 又∵， 设，则， ∴． 在Rt中，， 解得， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $