专题01 二次根式 专项训练【快乐暑假・专题突破】2025-2026学年人教版八年级下册数学

**基本信息** 聚焦二次根式概念-性质-运算-应用全链条，通过分层题型提炼判定法则、运算技巧及规律探究方法，培养抽象能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念辨析|3题|最简二次根式双条件判定法|从定义生成（被开方数不含分母及开方因数）到概念辨析| |性质应用|4题|被开方数非负性分析、根式化简规则|性质推导（√a≥0）到字母取值范围、大小比较应用| |运算求解|5题|二次根式乘除混合运算法则、同类根式合并技巧|运算原理（√a·√b=√ab）到化简求值综合应用| |规律探究|2题|算式规律归纳法、数学归纳法证明|从特殊算式观察到一般规律抽象（n≥1自然数等式）| |实际应用|2题|几何图形面积转化、均值不等式建模|实际问题抽象为二次根式模型，培养应用意识与模型观念|

专题01二次根式专项训练【快乐暑假・专题突破】2025-2026学年人教版八年级下册数学 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．下列各式中，是最简二次根式的是（     ） A． B． C． D． 2．若代数式在实数范围内有意义，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．下列计算正确的是（   ）． A． B． C． D． 4．计算的结果是（　　） A． B． C． D． 5．和的大小关系是(    ) A． B． C． D．不能确定 6．若最简二次根式与最简二次根式可以合并，则m，n的值分别为（   ）． A．， B．， C．， D．， 7．与根式的值相等的是（  ） A． B． C． D． 8．如图，用四张一样大小的长方形纸片拼成的正方形的面积是75， ，图中空白的地方是一个正方形，则这个小正方形的面积为（　　） A． B． C． D．5 二、填空题 9．二次根式是一个整数，那么正整数的最小值是______． 10．已知，，则与的关系为________． 11．若为实数，且，则的值为________． 12．观察下列算式：① ，② ，③ ．．．由此规律猜想第 7 个算式为：_____ 三、解答题 13．计算：． 14．先化简，再求值：，其中 15．观察下列各式：    (1)猜想的变形结果． (2)针对上述各式反映的规律，给出用（为任意自然数，且）表示的等式，并进行证明． 16．若x，y是实数，且，求的值． 17．阅读下面的解题过程体会如何发现隐含条件并回答下面的问题： 化简： 解：隐含条件，解得： ∴， ∴原式 【启发应用】 （1）按照上面的解法，隐含的条件是：x______． （2）按照上面的解法，试化简． 【类比迁移】 （3）已知a，b，c为的三边长． 化简：． 18．阅读材料: 若两个正数，，则有下面不等式，当时取等号，我们把叫作正数，的算术平均数，把叫作正数，的几何平均数，于是上述不等式可以表述为：两个正数的算术平均数不小于(即大于或等于)它们的几何平均数．它在数学中有广泛的应用，是解决最大(小)值问题的有力工具．不等式可以变形为不等式，当且仅当时取到等号．(，均为正数) 例：已知x>0，求的最小值． 解：由得，当且仅当，即时，有最小值，最小值为．根据上面材料回答下列问题： (1)______；______；(用“”“”“”填空) (2)当，则的最小值为，此时_____； (3)当，则的最小值为______； (4)用篱笆围一个面积为的长方形花园，问这个长方形花园的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短，最短篱笆是多少？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《专题01二次根式专项训练【快乐暑假・专题突破】2025-2026学年人教版八年级下册数学》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A C D D A A D B 1．A 【分析】本题考查最简二次根式的概念，根据最简二次根式的定义逐一判断选项即可，最简二次根式需满足两个条件：1 是二次根式；2 被开方数不含分母，且被开方数不含能开得尽方的因数或因式． 【详解】解：A、是二次根式，被开方数3不含分母，且没有能开得尽方的因数，符合定义，是最简二次根式； B、中，被开方数是分数，不是最简二次根式； C、中，被开方数是分数，不是最简二次根式； D、中，被开方数12含能开得尽方的因数4，不是最简二次根式． 2．C 【分析】根据二次根式有意义的条件，二次根式的被开方数必须是非负数，据此列出关于x的不等式，解不等式即可得到x的取值范围． 【详解】解：∵代数式在实数范围内有意义，即二次根式的被开方数为非负数， ∴， 解得：． 3．D 【分析】根据二次根式的性质和除法公式解答即可． 本题考查了二次根式的性质和除法公式，熟练掌握公式是解题的关键． 【详解】A. ，错误，不符合题意； B. ，错误，不符合题意； C. ，错误，不符合题意；     D. ，正确，符合题意， 故选D． 4．D 【分析】根据二次根式乘除混合运算法则进行计算即可． 【详解】解： ． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了二次根式混合运算，熟练掌握二次根式混合运算法则，准确计算． 5．A 【详解】试题解析： 即 故选A. 点睛：两个负数，绝对值大的反而小. 6．A 【分析】因为给定的根式是二次根式，所以它们的根指数必须为2；又因为它们是可以合并的最简二次根式，所以它们的被开方数相等，据此列方程组求解即可． 【详解】解：∵两个根式均为最简二次根式，且可以合并， ∴根指数都为2，且被开方数相等， ∴ 解第二个方程，移项合并同类项，得， 即， 把代入， 得． 7．D 【分析】先化简二次根式，再计算二次根式的乘法即可. 【详解】由题意可得x是负数， 所以=， 故选：D. 【点睛】此题考查二次根式的化简，二次根式的乘法计算法则，正确化简二次根式是解题的关键，注意题目中x的符号是负号，这是解题的难点. 8．B 【分析】通过正方形的面积求出边长为，根据图形之间的联系求出空白小正方形的边长，即可求解． 【详解】解：∵正方形的面积是75， ∴， ∵， ∴， ∴空白小正方形的边长， ∴这个小正方形的面积为． 9． 【分析】本题考查二次根式的性质，利用二次根式的性质化简后判断是个平方数，即可求解． 【详解】解：∵是一个正整数， ∴是一个平方数， ∴正整数的最小值是， 故答案为：． 10． 【分析】将进行化简得，可判断． 【详解】解：， 又， ∴． 11． 【分析】本题考查代数式求值，涉及二次根式有意义的条件，熟记二次根式有意义的条件求出值是解决问题的关键． 根据二次根式的被开方数非负，求出，再代入求出，最后代入代数式计算即可得到答案． 【详解】解：中，， ， 解得， 则， ， 故答案为：． 12． 【分析】本题考查了观察类比总结，关键在于充分理解题干给出的信息，找到各式的公共特点，最终得到通过公式． 通过观察类比总结出通用规律，两个根式相等，第一个根式里面是整数加分数，第二个根式里面是分数，根式外面是整数，发现等式两边的整数和分数之间的关系，即可求解． 【详解】解：， ， ， … ， 所以第7个等式： ， 故答案为：． 13． 【详解】解： ． 14．， 【分析】本题考查了分式的化简求值，化简二次根式，熟练掌握知识点是解题的关键． 先将除法转化为乘法运算，再进行加减运算，最后再代入求值即可． 【详解】解：原式 ， 当，原式． 15．(1) (2)，理由见解析 【分析】本题主要考查了与实数相关的规律，二次根式的性质，解题的关键在于能够根据题意找到规律． （1）根据题意写出第五个式子即可； （2）根据式子间的规律可以发现第n个式子为． 【详解】（1）解：由题意得，第五个式子为． （2）解：第n个式子为，理由如下： ， ∴． 16． 【分析】根据二次根式有意义的条件可得，，再化简各二次根式，合并同类二次根式，最后代入，计算即可. 【详解】解：∵， ∴， 解得， ， ∴， ， 当，时，原式． 17．（1）；（2）；（3） 【分析】本题主要考查了化简二次根式，二次根式有意义的条件，三角形三边关系的意义： （1）根据二次根式有意义的条件判断出x的范围； （2）根据（1）所求结合二次根式的性质化简可得答案； （3）由三角形三边间的关系得出、、，再利用二次根式的性质化简可得答案． 【详解】解：（1）∵二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0， ∴隐含条件， 解得：， （2）∵， ， ∴ ； （2）由三角形三边之间的关系可得隐含条件：，，，， ∴，，， ∴ ． 18．(1)， (2)， (3) (4)这个长方形的长、宽为时：所用的篱笆最短，最短的篱笆是 【分析】本题考查了二次根式的性质，理解题意是解题的关键； （1）根据，当且仅当时取到等号．(，均为正数)即可求解． （2）根据例题的方法，，即可求解． （3）将看成整理，即，进而根据，代入即可求解； （4）设这个矩形的长为x米，根据宽=面积÷长，可得宽为米，则所用的篱笆长等于长加宽的和乘以2，根据阅读材料即可求解； 【详解】（1）解：∵，， ∴； ∵ ∴ 故答案为：，． （2）解：∵， ∴ ∴当，即时，有最小值，最小值为 故答案为：，． （3）解：∵ ∴ 设 ∴ 当时，即时，有最小值，最小值为 故答案为：． （4）设这个矩形的长为，所用的篱笆总长为， ∵围一个面积为的长方形花园， ∴宽为， ∴ ∵， ∴， 当且仅当时，即时有最小值，最小值为40． 时，=10， ∴当这个长方形的长、宽为时：所用的篱笆最短，最短的篱笆是． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $