湖南邵阳市邵东市第四中学2025-2026学年期末质量监测高二数学试题

**基本信息** 以机器人表演调查、景区游客统计等真实情境为载体，融合函数导数、统计概率等核心知识，通过分层设问考查数学抽象、数据观念与逻辑推理素养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|排列组合（3/5）、统计（6）、导数（8）|基础概念辨析，如第6题线性回归预测| |多选题|3/18|二项式定理（9）、概率（10）、导数应用（11）|多维度能力考查，如第11题导数单调性与极值综合| |填空题|3/15|切线方程（12）、二项式常数项（13）、计数原理（14）|运算能力检测，如14题分组计数应用| |解答题|5/77|导数综合（15/19）、统计案例（16/18）、概率分布（17）|情境化问题设计，如16题机器人表演独立性检验；分层设问，如19题导数极值与零点证明递进考查|

2026年上学期期末质量监测 高二数学 本试卷满分 150 分，考试时量120分钟，请将答案填写在答题卡上的指定位置 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 计算（ ） A. 13 B. 23 C. 29 D. 198 2．下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 3. 从7本不同的书中选出3本送给3位同学，每人一本，不同的选法种数是（ ） A. B. C. 21 D. 210 4. 已知，若，则（ ） A. B. C. D. 5．五名同学站成一排，要求其中的甲和乙必须相邻，则不同的站队方式的种数为(  ) A．12 B．24 C．48 D．120 6．对具有线性相关关系的变量x，y，测得一组数据如下表，根据表中数据，利用最小二乘法得到经验回归方程，据此模型预测当x=20时，y的估计值为（  ） x 7 9 11 13 y 2 3 5 6 A．10 B．11 C．12 D．13 7. 已知随机变量服从两点分布，，设，则的值是（  ） A. 0.84 B. 0.7 C. 0.4 D. 0.3 8. 如图是函数的导函数的图像，则下列说法错误的是（ ） A. 在处取极大值 B. C. 在上存在最小值 D. 在上至多有3个零点 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分. 9．关于的展开式，下列说法正确的是（ ） A．展开式共有6项 B．展开式的二项式系数之和为64 C．展开式各项的系数之和为1 D．展开式中第4项的二项式系数最大 10. 下列说法正确的是（ ） A. 经验回归方程为时，变量与变量成正相关 B. 在做回归分析时，残差图中残差点分布的带状区域的宽度越窄表示回归效果越好 C. 若随机变量，且，则 D. 若随机变量,则2, 11．设函数，则下列说法正确的有（ ） A．不等式的解集为 B．函数在单调递增，在单调递减 C．当时，总有恒成立 D．若函数有两个极值点，则实数的取值范围为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 曲线在点处的切线方程为__________. 13．在的展开式中，常数项为__________．（用数字作答） 14. 甲、乙、丙等6位同学都要报名参加学校举办的3项不同活动，每人仅报其中一项，要求每项活动至少有一人报名，则不同的报名方式种数是_________.（用数字作答） 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. (满分13分) 已知函数. （1）求单调区间； （2）求在区间上的最大值和最小值. 16. (满分15分) 在春节联欢晚会上进行了机器人团体舞蹈表演，某机构随机抽取了100名观众进行问卷调查，得到了如下数据： 喜欢 不喜欢 男性 40 10 女性 20 30 （1）依据的独立性检验，试分析对机器人表演节目的喜欢是否与性别有关联？ （2）从这100名样本观众中任选1名，设事件“选到的观众是男性”，事件“选到的观众喜欢机器人团体舞蹈表演节目”，求的大小． 附：，． 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 17．(满分15分)从2016年1月1日起全国统一实施全面两孩政策，为了解适龄民众对放开生二孩政策的态度，某市选取80后作为调查对象，随机调查了10人，其中打算生二胎的有4人，不打算生二胎的有6人. (1)从这10人中随机抽取3人，记打算生二胎的人数为x，求随机变量x的分布列和数学期望； (2)若以这10人的样本数据估计该市的总体数据，且以频率作为概率，从该市80后中随机抽取3人，记打算生二胎的人数为y，求随机变量y的分布列和数学期望，方差. 18．(满分17分) 某景区在五一劳动节期间开展“致敬最美劳动者”主题游园活动，天的入园游客量统计数据如下： 活动开展第天 入园游客量（百人） (1)由数据看出，可用线性回归模型拟合与的关系，请计算相关系数（保留小数点后两位），并推断相关程度的强弱； (2)求经验回归方程以及表中第个观测的残差；（观测值减去预测值称为残差） (3)该景区在活动期间设置个打卡通道，记为通道①、通道②、通道③，游客入园时选择通道①、②、③的概率依次为、、；游客离园时，从原先入园通道离园的概率为，从另两个通道离园的概率均为，求游客从通道①离园的概率. 附：参考公式：相关系数；回归直线方程，其中，；； 19.(满分17分) 已知函数． （1）若是函数的极值点，求m的值； （2）当时，求证：； （3）若有两个不同的零点和，且， 求证：． 2026年上学期期末质量监测 高二数学 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $2026年上学期期末质量监测 高二数学参考答案 一、 选择题 题号 1 2 4 6 7 8 9 10 11 答案 B D B C B A 0 BCD BCD ACD 1.解析：由f(e)=xhx得，f(y)=1+nx,则g)=1+血x, 8'(w)=-ln ,x∈(0，+0)， 于A:因为x∈0，+0)，所以8)=>0等价于1+nx>0,解得x>,所以放 项A正确：对于B:由g国：E@树， 令g(x)>0,解得0<x<1,所以g(x)在(0,1)上单调递增 令g(x)<0,解得x>1,所以g(x)在(1，+)上单调递减，所以选项B错误； 对于C:当x 。时，nx<0,所以f)=xnx<0, 「1 因为日月0，且g 上单调递增， 所以此时g(x)≥g(白)=0>f), e 又因为g(1)=1>f(1)=0,所以x∈ 是1时，总有f()<g()恒成立，所以选项C正 确；对于D:F(x)=f(x)-ax2,F'()=f"(x)-2ax=1+lhx-2ax 若函数F(x)有两个极值点，则F(x)有两个不同的零点， 令r'的=0，化简得：2a=1+hx=g(), 所以直线y=2a与函数W)-1+血x>0的图象有两个不同的交点： 8)=1+血x>的图象如图所示： y=f(x) y=2a 1 当直线y=2a与函数g)=1+血'6x>0的图象有两个不同的交点时，0<2a<,解得 0<a<行所以选项D正确： 故选：ACD. 2026年上学期期末质量监测高二数学参考答案第1页共5页 二、填空题： 12.4x-y-3=0 13. 14.540 三、解答题： 15.(1)函数f(x)=x-3x2+2的定义域为R, 求导得f'(x)=3x2-6x=3x(x-2) --1分 由f"(x)>0,得x<0或x>2: ---3分 由f'(x)<0,得0<x<2, -5分 所以函数f(x)的单调递增区间为(-0,0)，(2，十0)，单调递减区间为(0,2) -6分 (2)由(1)知，f(x)在[-1,0)，(2,3]上单调递增，在(0,2)上单调递减， -8分 而f(-1)=-2,f(2)=-2，f(0)=2,f3)=2, -10分 则f()mx=f(0)=f(3)=2,f(x)mn=f(-1)=f(2)=-2, -12分 所以f(x)在区间[-1,3]上的最大值和最小值分别为2，-2. -13分 16.(1)零假设H,：对机器人表演节目的喜欢与性别无关 ----1分 根据列联表中的数据得 100×(40×30-10×20)2_5 ≈16.667>10.828=X0001 6分 50×50×60×40 3 依据α=0.001的独立性检验，可以推断H,不成立，即对机器人表演节目的喜欢与性 别有关联。 8分 (2)方法一：依据题意，P(B|A)= n(AB)404 n(A)505 40 方法二：由条件概率公式得P(B|A)= P(AB)100-4 ------15分 P(A)505 100 17.(1)由题意知，X的值为0,1,2,3， ----1分 P(X-0)-CG=1. P(X=1)= Cc6-1 C。61 C2' P(X=2)= cic3 P(K-3)-cC-1 C30 -5分 C。10 所以X的分布列为： X 0 1 2 3 1-6 1 10 30 6分 2026年上学期期末质量监测高二数学参考答案第2页共5页 (x)=0x21x+2×3+3x=1.2: -7分 2 10 30 (2)由题意可知，全市70后打算生二胎的概率为P=4-2 -8分 105 y-0,123且-8 9分 PV=)=ce=01,23) 11分 Y的分布列为： Y 0 1 2 3 27 54 36 8 125 125 125 125 一一一一一 -13分 BY)=3x2=1.2D)=3×2x318 -15分 5 5525 18.(1)由表格中的数据可得x=1+2+3+4+5-3,=53+64+71+79+83=70, 5 5 y=1×53+2×64+3×71+4×79+5×83=1125, i=1 5 0=+2+3+4+9=5， =53+6+71+79+83-25076, -3分 了y-m可 则s 1125-5×3×70 75 0.99 - V55-5×32)(25076-5x702) √10√576 -5分 由相关系数r≈0.99，可以推断入园游客量y与活动开展第x天相关程度很强， 6分 xy-5y (2)b=过 1125-5×3x7075 x2-5x 55-5×32 10 =7.5, -7分 i=1 a=70-7.5×3=47.5, -8分 故经验回归方程为y=7.5x+47.5. 9分 对于表中第3个观测，入园游客量为71（百人）， 预测值为y=7.5×3+47.5=70(百人) 10分 残差为71-70=1（百人） -11分 2026年上学期期末质量监测高二数学参考答案第3页共5页 (3)记从通道i入园的事件为A(i=1,2,3),从通道离园的事件为B,(i=1,2,3), -12分 由思意可得PA)多，P4)=P4)号，P叫a4)号P(4)=Pa,)广0 1 14分 P因)=P4)P()+PP(a4)-P4)2Pa)-=品+号品-号 --17分 19f()=e"-x>0) -1分 因为x=1是函数f)的极值点，则了)=e0,得m=-】 ----3分 经检验，当x∈(0,1)，f'(x)<0,当x∈(1，+o),f(x)>0, 所以x=1是函数f(x)的极小值点，符合题意. ----4分 (2)证明：当≥-2时，f(x)=e+m-lnx≥e-2-nx, ----5分 若证f(x)>0,只需证g(x)=ex-2-lnx>0, 所以g(x)=e?-1, 国为含(=e+>0.所以g(四)在0+列上单词溢抛。 -6分 又因为g(2)号0，g0=。-1<0,所以布在6∈12)，使得g()=0, 则e-?=,即e+:=飞 -8分 xn 当x∈(0，)，g(x)<0,当x∈(x,+o),g(x)>0, 则g(x)在(0，x)单调递减，在(x,+o)单调递增， e6)e-me)片-少o, 即g(x)>0,所以当m≥-2时，f(x)>0. -10分 (3)证明：了)=e-0).则了)=e+>0(f)为届数f✉) 的导函数)， 2026年上学期期末质量监测高二数学参考答案第4页共5页 知f'(x)在区间(0，+o)内单调递增，所以f'(x)在区间(0，+o)内存在唯一的零点， 即f()=e+m-1=0, X 所以em= 一，则x+=-nx -12分 当x∈(0，)时，f'(x)<0,f(x)单调递减： 当x∈(，+o)时，f(x)>0,f(x)单调递增. 因为y=f(x)有两个不同的零点x和x,且x<e<x, 所以f(e)=e+m-lne<0,解得m<-e. ------14分 所以je-)=em-n(e-l)<e…-ln(e-)-是n(e-)<n17-n 1.7 所以x,<e-1,所以x2-x>1,令t=x3-x>1, 要证e--e>n(x,-x+1)-l,即证e--ln(x,-x+l)>e-1, 即证e-n(t+l)>e-1. 令h(t)=e-n(t+1), )=d-中在1e俱+o)上单调通道，H0-e号0 2 --17分 2026年上学期期末质量监测高二数学参考答案第5页共5页2026年上学期期末质量监测 高二数学 本试卷满分150分，考试时量120分钟，请将答案填写在答题卡上的指定位置 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选 项中，只有一项是符合题目要求的. 1.计算C3-A=() A.13 B.23 C.29 D.198 2.下列选项正确的是( A.(sin 45)=cos45 B. (gx=1 C.(cosx)=-sinx D.(e2）=e2 3.从7本不同的书中选出3本送给3位同学，每人一本，不同的选法种数是() A.37 B.73 C.21 D.210 4.己知f(x)=nx-x,若'(x)=0,则=( ) A.-1 B.1 C.e D.e2 5.五名同学站成一排，要求其中的甲和乙必须相邻，则不同的站队方式的种数为() A.12 B.24 C.48 D.120 6.对具有线性相关关系的变量x,y,测得一组数据如下表，根据表中数据，利用最小 二乘法得到经验回归方程)=0.7x+à，据此模型预测当x=20时，y的估计值为() > 9 b 2 3 5 6 A.10 B.11 C.12 D.13 7.已知随机变量X服从两点分布，P(X=1)=0.7,设Y=2X-1,则D(Y)的值是( ) A.0.84 B.07 C.0.4 D.0.3 8.如图是函数y=f(x)的导函数y=f'(x)的图像，则下列说法错误的是( A.f(x)在x=2处取极大值 B.f(I)<f(2) -2-1 C.f(x)在(-2,5)上存在最小值 45 D.f(x)在(-3,5)上至多有3个零点 2026年上学期期末质量监测高二数学第1页共4页 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中， 有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得 部分分. 9.关于(2x-1)°的展开式，下列说法正确的是() A.展开式共有6项 B.展开式的二项式系数之和为64 C.展开式各项的系数之和为1 D.展开式中第4项的二项式系数最大 10.下列说法正确的是() A.经验回归方程为y=0.1-0.7x时，变量x与变量y成正相关 B.在做回归分析时，残差图中残差点分布的带状区域的宽度越窄表示回归效果越好 C.若随机变量X~N(2,o2),且P(X≥3)=0.3，则P(1≤X≤2)=0.2 D.若随机变量X~B(5,号，则E凶=2，D四=号 1.设函数f田)=xng田=四，则下列说法正确的有() A。不号式)>0伦解炎为[很 B.函数8(x)在(0，)单调递增，在(e,+o)单调递减 c.当xe1时，总有f国)<g()恒成立 e D.若函数F(x)=f(x)-ax有两个极值点，则实数a的取值范围为 0. 2 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.曲线f(x)=x3+x在点(1,1)处的切线方程为 13.在-公+的凝开式中，常数项为 (用数字作答) 14.甲、乙、丙等6位同学都要报名参加学校举办的3项不同活动，每人仅报其中一项， 要求每项活动至少有一人报名，则不同的报名方式种数是 (用数字作答) 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或 演算步骤， 15.(满分13分)己知函数f(x)=-3x2+2 (1)求f(x)单调区间： (2)求f(x)在区间[-1,3]上的最大值和最小值. 2026年上学期期末质量监测高二数学第2页共4页 16.(满分15分)在春节联欢晚会上进行了机器人团体舞蹈表演，某机构随机抽取了100 名观众进行问卷调查，得到了如下数据： 喜欢 不喜欢 男性 40 10 女性 20 30 (1)依据α=0.001的独立性检验，试分析对机器人表演节目的喜欢是否与性别有关 联？ (2)从这100名样本观众中任选1名，设事件A=“选到的观众是男性”，事件B=“选 到的观众喜欢机器人团体舞蹈表演节目”，求P(BA)的大小. nad-be) 附：X n=a+b+c+d. (a+b)(c+d)(a+c)(b+d) a 0.050 0.010 0.001 a 3.841 6.635 10.828 17.(满分15分)从2016年1月1日起全国统一实施全面两孩政策，为了解适龄民众对 放开生二孩政策的态度，某市选取80后作为调查对象，随机调查了10人，其中打算生 二胎的有4人，不打算生二胎的有6人 (1)从这10人中随机抽取3人，记打算生二胎的人数为x,求随机变量x的分布列和数 学期望； (2)若以这10人的样本数据估计该市的总体数据，且以频率作为概率，从该市80后中 随机抽取3人，记打算生二胎的人数为y,求随机变量y的分布列和数学期望，方差. 2026年上学期期末质量监测高二数学第3页共4页 18.(满分17分)某景区在五一劳动节期间开展“致敬最美劳动者”主题游园活动，5天 的入园游客量统计数据如下： 活动开展第x天 1 2 3 4 5 入园游客量y(百人) 53 64 71 79 83 (1)由数据看出，可用线性回归模型拟合y与x的关系，请计算相关系数”（保留小数点 后两位)，并推断相关程度的强弱： (2)求经验回归方程y=bx+a以及表中第3个观测的残差；（观测值减去预测值称为残差） (3)该景区在活动期间设置3个打卡通道，记为通道①、通道②、通道③，游客入园时选 择通道①、②、®的概率依次为弓、号、号：游客离园时，从原先入园通道离园的概率 322 为手，从另两个通道离园的概率均为行 求游客从通道①离园的概率. 10 ∑y-m i=1 附：参考公式：相关系数= 回归直线方程y=r+a,其 -2 =1 兰xy-x:y 中b= a=y-bx;V10=3.162: -2 19.(满分17分)已知函数f(x)=e+m-1nx. (1)若x=1是函数f(x)的极值点，求m的值； (2)当m≥-2时，求证：f(x)>0: (3)若y=f(x)有两个不同的零点x和x,且x<e<x, 求证：e--e>n(x-x+l)-1. 2026年上学期期末质量监测高二数学第4页共4页2026年上学期期末质量监测高二数学答题卡 姓名： 准 考 证号 学校： 班级： 条形码粘贴处 考室号： 座位号： o 0 0] 1 1.答题前，考生先将自己的名，准考证号填写 2 清楚，并认真核准条形码上的考生信息。 3 注 2.选择题必须用2B铅笔填涂非选择题必须使用 4 4 4 填涂正确填涂 意 黑色签字笔书写，字体工整、笔迹清晰。 样例错误填涂回☒日四白中 象 3.请按题号顺序在各愿目的答题区域作答，超 6 6 缺考标记 出区域书泻的答案无效：在试题卷、草稿纸上 1 7 缺考考生，由监考员贴条 书写的答案无效。 形码、并用2B铅笔填涂☐ 4.保特答题卡清洁，不折叠、不坏。 9999 9 右面的缺考标记。 一、 单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1 23456 7 8 [A][A][A][A][A][A][A][A] [B][B][B][B][B][B][B][B] 二多选题 [c][c][c][c][c][c][c][c] [D][D][D][D][D][D][D][D] (本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求 全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分) 9 10 11 [A][A][A] [B][B][B] 填空题 [c][c][c] [D][D][D] (本题共3小题，每小题5分，共15分) 12. 13 14. 四、解答题（本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(13分)(1) (2) 16.(15分)(1) (2) 17.(15分)(1) (2) (I)(LI)6I () () (I)(LI)8I ■2026年上学期期末质量监测高二数学答题卡 姓名： 准 考 证号 学校： 班级： 条形码粘贴处 考室号： 座位号： 0 0 0 0 0 1 1 1 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写 2 2 2 2 2 清楚，并认真核准条形网上的考生信息。 注 2.选择题必须用2B铅笔填涂非选择题必须使用 4 4口 4 4 4 填涂正确填涂 ■ 意 黑色签字笔书泻，字体工整、笔迹清晰。 5 样例错误填涂回☒曰口日中 3.请按题号顺序在各题目的答题区域纳作答，超 6 6 6 缺考标记 项 出区域书泻的答案无效：在试题卷、草稿纸上 7 7 7 7 缺考考生，由监考员贴条 书写的答案无效。 8 形码、并用2B铅笔填涂☐ 4.保特答题卡清洁，不折叠、不损坏。 9999 g 右面的缺考标记。 一、 单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1 2 3 4 5 6 7 8 [A][A][A][A][A][A][A][A] [B][B][B][B][B][B][B][B] [c][c][c][c][c][c][c][c] [D][D][D][D][D][D][D][D] 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求 全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分) 9 10 11 A][A][A] [B][B][B] [c][c][c] [D][D][D] 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 13 14. 四、解答题（本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(13分)(1) (2) 16.(15分)(1) (2) 17.(15分)(1) (2) 18.(17分)(1) (2) (3) (E) (Z) (I)(马LI)6I 2026年上学期期末质量监测 高二数学参考答案 一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 B C D B C B A D BCD BCD ACD 11.解析：由得，，则，，， 对于A：因为，所以等价于，解得，所以选项正确；对于B：由，， 令，解得，所以在上单调递增， 令，解得，所以在上单调递减，所以选项错误； 对于C：当时，，所以， 因为，且在上单调递增，所以此时， 又因为，所以时，总有恒成立，所以选项正确；对于D：，， 若函数有两个极值点，则有两个不同的零点， 令，化简得：， 所以直线与函数的图象有两个不同的交点； 的图象如图所示： 当直线与函数的图象有两个不同的交点时，，解得，所以选项D正确； 故选：ACD. 二、填空题： 12. 13. 14. 540 三、解答题： 15.（1）函数的定义域为R， 求导得 ------1分 由，得或； - ------3分 由，得， ------5分 所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为. --6分 （2）由（1）知，在上单调递增，在上单调递减， --8分 而，， ---------10分 则，， ---------12分 所以在区间上的最大值和最小值分别为. ---------13分 16.（1）零假设：对机器人表演节目的喜欢与性别无关． ---------1分 根据列联表中的数据得， ---------6分 依据的独立性检验，可以推断不成立，即对机器人表演节目的喜欢与性别有关联． ----------8分 （2）方法一：依据题意， 方法二：由条件概率公式得． ----------15分 17.（1）由题意知，的值为0，1，2，3， ----------1分 ，， ， ----------5分 所以的分布列为： 0 1 2 3 P ----------6分 ； ------------7分 （2）由题意可知，全市70后打算生二胎的概率为 -----------8分 ，1，2，3，且， -----------9分 -----------11分 的分布列为： 0 1 2 3 P -----------13分 . -----------15分 18．（1）由表格中的数据可得，， ， ， ， -----------3分 则 -----------5分 由相关系数，可以推断入园游客量与活动开展第天相关程度很强. -----------6分 （2）， -----------7分 ， -----------8分 故经验回归方程为. -----------9分 对于表中第个观测，入园游客量为（百人）， 预测值为（百人） -----------10分 残差为（百人） -----------11分 （3）记从通道入园的事件为，从通道离园的事件为， -----------12分 由题意可得，，，， -----------14分 . -----------17分 19.（1） -----------1分 因为是函数的极值点，则，得 -------3分 经检验，当，，当，， 所以是函数的极小值点，符合题意． -----------4分 （2）证明：当时，， -----------5分 若证，只需证， 所以， 因为，所以在上单调递增， -----------6分 又因为，，所以存在，使得， 则，即， -----------8分 当，，当，， 则在单调递减，在单调递增， 所以， 即，所以当时，. -----------10分 （3）证明：，则（为函数的导函数）， 知在区间内单调递增，所以在区间内存在唯一的零点，即， 所以，则． -----------12分 当时，，单调递减； 当时，，单调递增． 因为有两个不同的零点和，且， 所以，解得． -----------14分 所以， 所以，所以， 令， 要证，即证， 即证． 令， 在上单调递增，且 -----------17分 2026年上学期期末质量监测 高二数学参考答案 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $